Càdlàg

редактировать

В математике, a càdlàg (французский: «продолжить à droite, limit à gauche "), RCLL (" непрерывный справа с левыми пределами ") или corlol (" непрерывный (справа), предел (слева) ") функция является функцией, определенной на вещественных числах (или на подмножестве из них), которое везде непрерывно справа и везде имеет левый ограничивает. Функции Кадлага важны при изучении случайных процессов, которые допускают (или даже требуют) скачки, в отличие от броуновского движения, у которого есть непрерывные траектории выборки. Набор функций càdlàg в заданном домене известен как пространство Скорохода .

Два связанных термина: càglàd, что означает «continue à gauche, limit à droite», реверсирование влево-вправо càdlàg и càllàl для «continue à l'un, limit à l'autre» (непрерывный с одной стороны, предел с другой стороны), для функции, которая взаимозаменяема càdlàg или càglàd в каждой точке домена.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Пространство Скорохода
4 Свойства пространства Скорохода
- 4.1 Обобщение однородной топологии
- 4.2 Полнота
- 4.3 Разделимость
- 4.4 Плотность в пространстве Скорохода
- 4.5 Алгебраическая и топологическая структура
5 Ссылки
6 Дополнительная литература

Определение

Кумулятивные функции распределения являются примерами функций càdlàg.

Пусть (M, г) быть метрическим пространством, и пусть E ⊆ R . Функция ƒ: E → M называется càdlàg функцией, если для каждого t ∈ E

левый предел ƒ (t−): = lim s ↑ t ƒ (s) существует; и
правый предел ƒ (t +): = lim s ↓ t ƒ (s) существует и равен ƒ (t).

То есть, непрерывно справа с левыми пределами.

Примеры

Все функции, непрерывные на подмножестве действительных чисел, являются функциями кадрирования на этом подмножестве.
Как следствие их определения, все кумулятивные функции распределения являются càdlàg функциями. Например, кумулятивное значение в точке $r {\ displaystyle r}$ $r$ соответствует вероятности быть меньше или равным $r {\ displaystyle r}$ $r$ , а именно $П [x ≤ r] {\ displaystyle \ mathbb {P} [x \ leq r]}$ $\ mathbb {P} [x \ leq r]$ . Другими словами, полуоткрытый интервал для двустороннего распределения $(- ∞, r] {\ displaystyle (- \ infty, r]}$ $(- \ infty, r]$ равен закрыто вправо.
Правая производная $f + ′ {\ displaystyle f _ {+} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle f _ {+} ^ {\ prime}}$ любой выпуклой функции f, определенной на открытом интервале - возрастающая функция кадлага.

Пространство Скорохода

Множество всех функций кадлага от E до M часто обозначается D (E; M) (или просто D) и называется Пространство Скорохода после украинского математика Анатолия Скорохода. Пространству Скорохода может быть назначена топология, которая интуитивно позволяет нам «покачивать пространство и время немного »(тогда как традиционная топология равномерной сходимости позволяет нам только« немного покачать пространство »). Для простоты возьмем E = [0, T] и M = R - см. Более общую конструкцию в Биллингсли.

Сначала мы должны определить аналог модуля непрерывности, ϖ ′ ƒ (δ). Для любого F ⊆ E, установите

w f (F): = sup s, t ∈ F | f (s) - f (t) | {\ displaystyle w_ {f} (F): = \ sup _ {s, t \ in F} | f (s) -f (t) |}

w_ {f} (F): = \ sup _ {s, t \ in F} | f (s) -f (t) |

и для δ>0 определите càdlàg модуль должен быть

ϖ f ′ (δ): = inf Π max 1 ≤ i ≤ kwf ([ti - 1, ti)), {\ displaystyle \ varpi '_ {f} (\ delta) : = \ inf _ {\ Pi} \ max _ {1 \ leq i \ leq k} w_ {f} ([t_ {i-1}, t_ {i})),}

\varpi '_{f}(\delta):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),

где infimum пробегает все разбиения Π = {0 = t 0< t1< … < tk= T}, k ∈ N, с min i(ti- t i − 1)>δ. Это определение имеет смысл для не-càdlàg ƒ (точно так же, как обычный модуль непрерывности имеет смысл для разрывных функций), и можно показать, что ƒ является càdlàg тогда и только тогда, когда ϖ′ƒ(δ) → 0 при δ → 0.

Теперь пусть Λ обозначает множество всех строго возрастающих, непрерывных биекций от E к себе (это «покачивания во времени»). Пусть

‖ f ‖: = sup t ∈ E | f (t) | {\ displaystyle \ | f \ |: = \ sup _ {t \ in E} | f (t) |}

\ | f \ |: = \ sup _ {t \ in E} | f (t) |

обозначает равномерную норму для функций на E. Определите метрику Скорохода σ на D по

σ (е, g): = inf λ ∈ Λ max {‖ λ - I ‖, ‖ f - g ∘ λ ‖}, {\ displaystyle \ sigma (f, g): = \ inf _ { \ lambda \ in \ Lambda} \ max \ {\ | \ lambda -I \ |, \ | fg \ circ \ lambda \ | \},}

\ sigma ( f, g): = \ inf _ {\ lambda \ in \ Lambda} \ max \ {\ | \ lambda -I \ |, \ | fg \ circ \ lambda \ | \},

где I: E → E - тождественная функция. В терминах интуиции "покачивания" || λ - I || измеряет размер «покачивания во времени», и || ƒ - g ○ λ || измеряет размер «покачивания в пространстве».

Можно показать, что метрика Скорохода действительно является метрикой. Топология Σ, порожденная σ, называется топологией Скорохода на D.

Свойства пространства Скорохода

Обобщение однородной топологии

Пространство C непрерывных функций на E является подпространством в D. Топология Скорохода, релятивизированная к C, совпадает с равномерной топологией там.

Полнота

Можно показать, что, хотя D не является полным пространством по отношению к метрике Скорохода σ, существует топологически эквивалентная метрика σ0, относительно которой D является полным.

Разделимость

В отношении либо σ, либо σ 0, D является разделяемым пространством. Таким образом, пространство Скорохода - это польское пространство.

Плотность в пространстве Скорохода

Применяя теорему Арзела – Асколи, можно показать, что последовательность (μ n)n = 1,2,... из вероятностных мер в пространстве Скорохода D является точным тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия:

lim a → ∞ lim sup n → ∞ μ N ({е ∈ D | ‖ е ‖ ≥ a}) знак равно 0, {\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mu _ {n} {\ big (} \ {f \ in D \; | \; \ | f \ | \ geq a \} {\ big)} = 0,}

\ lim _ {a \ to \ infty} \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mu _ {n} {\ big (} \ {f \ in D \; | \; \ | f \ | \ geq a \} {\ big)} = 0,

lim δ → 0 lim sup n → ∞ μ N ({е ∈ D | ϖ f '(δ) ≥ ε}) = 0 для всех ε>0. {\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0} \ limsup _ {n \ в \ infty} \ mu _ {n} {\ big (} \ {f \ in D \; | \; \ varpi '_ {f} (\ delta) \ geq \ varepsilon \} {\ big)} = 0 {\ text {для всех}} \ varepsilon>0.}

\lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in D\;|\;\varpi '_{f}(\delta)\geq \varepsilon \}{\big)}=0{\text{ for all }}\varepsilon>0.

Алгебраическая и топологическая структура

Под топологией Скорохода и пои При добавлении функций D не является топологической группой, как видно из следующего примера:

Пусть $E = [0, 2) {\ displaystyle E = [0,2)}$ $E = [0,2)$ - единичный интервал. Возьмем $fn = χ [1 - 1 / n, 2) ∈ D {\ displaystyle f_ {n} = \ chi _ {[1-1 / n, 2)}. \ in D}$ $f_ {n} = \ chi _ {[1-1 / n, 2)} \ in D$ как последовательность характеристических функций. Несмотря на то, что $fn → χ [1, 2) {\ displaystyle f_ {n} \ rightarrow \ chi _ {[1,2)}}$ $f_ {n} \ rightarrow \ chi _ {[1,2)}$ в топологии Скорохода, последовательность $fn - χ [1, 2) {\ displaystyle f_ {n} - \ chi _ {[1,2)}}$ $f_ {n} - \ chi _ {[1, 2)}$ не сходится к 0.

Ссылки

Дополнительная литература

Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.