Войти
В математической дисциплине общая топология Польский пробел - это разделимое полностью метризуемое топологическое пространство ; то есть пространство , гомеоморфное полному метрическому пространству, которое имеет счетное плотное подмножество. Польские пространства названы так потому, что их впервые всесторонне изучили польские топологи и логики - Серпинский, Куратовский, Тарский и другие. Тем не менее, сегодня польские пространства в основном изучаются, потому что они являются первичной средой для дескриптивной теории множеств, включая изучение отношений эквивалентности Бореля. Польские пробелы также удобны для более продвинутой теории меры, в частности, в теории вероятностей.
Распространенными примерами польских пробелов являются вещественная линия, любое разделяемое банахово пространство, пространство Кантора и пространство Бэра. Кроме того, некоторые пространства, которые не являются полными метрическими пространствами в обычной метрике, могут быть польскими; например, открытый интервал (0, 1) - польский.
Между любыми двумя несчетными польскими пробелами существует изоморфизм Бореля ; то есть биекция, сохраняющая борелевскую структуру. В частности, каждое бесчисленное польское пространство имеет мощность континуума.
пространства Люсина, пространства Суслина и пространства Радона являются обобщениями польских пространств.
Следующие пробелы польские:
Существует множество характеристик, которые говорят о том, что топологическое пространство с подсчетом секунд является метризуемым, например, теорема Урысона о метризации. Проблема определения, является ли метризуемое пространство полностью метризуемым, более сложна. Топологические пространства, такие как открытый единичный интервал (0,1), могут иметь как полные, так и неполные метрики, порождающие их топологию.
Существует характеристика полных отделимых метрических пространств в терминах игры, известной как сильная игра Шоке. Разделимое метрическое пространство полностью метризуемо тогда и только тогда, когда второй игрок имеет выигрышную стратегию в этой игре.
Вторая характеризация следует из теоремы Александрова. Он утверждает, что отделимое метрическое пространство полностью метризуемо тогда и только тогда, когда оно является 
Хотя польские пространства метризуемы, они не являются сами по себе метрическими пространствами ; каждое польское пространство допускает множество полных метрик, порождающих одну и ту же топологию, но ни одна из них не выделяется или не выделяется. Польское пространство с выделенной полной метрикой называется польским метрическим пространством . Альтернативный подход, эквивалентный приведенному здесь, состоит в том, чтобы сначала определить «польское метрическое пространство» как «полное сепарабельное метрическое пространство», а затем определить «польское пространство» как топологическое пространство, полученное из польского метрического пространства с помощью забывая метрику.
Топологическое пространство - это пространство Люсина, если оно гомеоморфно борелевскому подмножеству компактного метрического пространства.. Некоторая более сильная топология превращает Лусина в польское пространство.
Есть много способов сформировать пространства Люсина. В частности:
A Пространство Суслина - это образ польского пространства при непрерывном отображении. Итак, каждое пространство Лусина - это Суслин. В польском пространстве подмножество является пространством Суслина тогда и только тогда, когда оно является множеством Суслина (образ операции Суслина ).
. Ниже приведены пространства Суслина:
Они обладают следующими свойствами:
A Пространство Радона, названное после Иоганна Радона, это топологическое пространство такое, что каждая Борель мера вероятности на M является внутренним регулярным. Поскольку вероятностная мера глобально конечна и, следовательно, является локально конечной мерой, каждая вероятностная мера в пространстве Радона также является мерой Радона. В частности, отделимой полное метрическое пространство (M, d) является радоновым пространством.
Каждое суслинское пространство - это радон.
A Польская группа - это топологическая группа G, которая также является польским пространством, другими словами, гомеоморфна сепарабельному полному метрическому пространству. Есть несколько классических результатов Банаха, Фройденталя и Куратовского о гомоморфизмах между польскими группами. Во-первых, аргумент Банаха (1932, с. 23) применяется mutatis mutandi к неабелевым польским группам: если G и H являются сепарабельными метрическими пространствами с G Polish, то любой борелевский гомоморфизм из G в H является непрерывный. Во-вторых, существует версия теоремы об открытом отображении или теоремы о закрытом графе из-за Куратовского (1933, стр. 400) harvtxt error: no target: CITEREFKuratowski1933 (help ): непрерывный инъективный гомоморфизм польской подгруппы G на другую польскую группу H является открытым отображением. В результате в польских группах замечательно то, что измеримые по Бэру отображения (т. Е. Для которых прообраз любого открытого множества обладает свойством Бэра ), которые являются гомоморфизмами между ними, автоматически непрерывны. Группа гомеоморфизмов гильбертова куба [0,1] является универсальной польской группой в том смысле, что каждая польская группа изоморфна ее замкнутой подгруппе.
Примеры:
