Интеграл Даниэля

редактировать

В математике интеграл Даниэля - это тип интегрирования, который обобщает концепцию более элементарных версий, таких как интеграл Римана, с которыми студенты обычно знакомятся впервые. Одна из основных трудностей традиционной формулировки интеграла Лебега состоит в том, что она требует первоначального развития работоспособной теории меры, прежде чем могут быть получены какие-либо полезные результаты для интеграла. Однако доступен альтернативный подход, разработанный Перси Дж. Даниелл (1918), который не страдает этим недостатком и имеет несколько значительных преимуществ по сравнению с традиционным составом, особенно в том, что интеграл обобщен на многомерные пространства и дальнейшие обобщения, такие как интеграл Стилтьеса. Основная идея заключается в аксиоматизации интеграла.

Содержание

1 Аксиомы
2 Определение
3 Свойства
4 Измерение
5 Преимущества перед традиционной формулировкой
6 См. Также
7 Ссылки

Аксиомы

Начнем с выбора семейства $H {\ displaystyle H}$ $H$ ограниченных вещественных функций (называемых элементарными функциями), определенных на некотором наборе $X {\ displaystyle X}$ $X$ , удовлетворяющий этим двум аксиомам:

$H {\ displaystyle H}$ $H$ - линейное пространство с обычными операциями сложения и скалярного умножения.
Если функция $час (x) {\ displaystyle h (x)}$ $h (x)$ находится в $H {\ displaystyle H}$ $H$ , как и его абсолютное значение $| h (x) | {\ displaystyle | h (x) |}$ $| h (x) |$ .

Кроме того, каждой функции h в H присваивается действительное число $I h {\ displaystyle Ih}$ $Ih$ , которое называется элементарным интегралом h, удовлетворяющий этим трем аксиомам:

Линейность

Если h и k оба находятся в H, и

α {\ displaystyle \ alpha}

\ alpha

β {\ displaystyle \ beta }

\ beta

- любые два действительных числа, тогда

I (α h + β k) = α I h + β I k {\ displaystyle I (\ alpha h + \ beta k) = \ alpha Ih + \ бета Ik}

I (\ alpha h + \ beta k) = \ alpha Ih + \ beta Ik

Неотрицательность

Если

h (x) ≥ 0 {\ displaystyle h (x) \ geq 0}

h (x) \ geq 0

, то

I h ≥ 0 {\ displaystyle Ih \ geq 0}

Ih \ geq 0

Непрерывность

Если

hn {\ displaystyle h_ {n}}

h_{n}

- невозрастающая последовательность (например,

h 1 ≥ ⋯ ≥ hk ≥ ⋯ {\ displaystyle h_ {1} \ geq \ cdots \ geq h_ {k} \ geq \ cdots}

h_ {1} \ geq \ cdots \ geq h_ {k} \ geq \ cdots

) функций в

H {\ displaystyle H}

H

, который сходится к 0 для всех

x {\ displaystyle x}

x

X {\ displaystyle X}

X

, затем

I hn → 0 {\ displaystyle Ih_ {n} \ to 0 }

Ih_ {n} \ to 0

или (чаще)

Если

h n {\ displaystyle h_ {n}}

h_{n}

- возрастающая последовательность (т. Е.

час 1 ≤ ⋯ ≤ hk ≤ ⋯ {\ displaystyle h_ {1} \ leq \ cdots \ leq h_ {k} \ leq \ cdots}

{\ displaystyle h_ {1} \ leq \ cdots \ leq h_ {k} \ leq \ cdots}

) функций в

H {\ displaystyle H}

H

, который сходится к h для всех

x {\ displaystyle x}

x

X {\ displaystyle X}

X

, затем

I hn → I h {\ displaystyle Ih_ {n} \ to Ih}

{\ displaystyle Ih_ {n} \ to Ih}

То есть мы определяем непрерывный неотрицательный линейный функционал $I {\ displaystyle I}$ $I$ над пространством элементарных функций.

Эти элементарные функции и их элементарные интегралы могут быть любым набором функций и определений интегралов по этим функциям, которые удовлетворяют этим аксиомам. Семейство всех ступенчатых функций очевидно удовлетворяет указанным выше аксиомам для элементарных функций. Определение элементарного интеграла семейства ступенчатых функций как (знаковая) область под ступенчатой функцией, очевидно, удовлетворяет данным аксиомам для элементарного интеграла. Применение конструкции интеграла Даниэля, описанного ниже, с использованием ступенчатых функций в качестве элементарных функций, дает определение интеграла, эквивалентного интегралу Лебега. Использование семейства всех непрерывных функций в качестве элементарных функций и традиционного интеграла Римана в качестве элементарного также возможно, однако это даст интеграл, который также эквивалентен определению Лебега. То же самое, но с использованием интеграла Римана – Стилтьеса вместе с соответствующей функцией ограниченной вариации, дает определение интеграла, эквивалентного интегралу Лебега – Стилтьеса.

Наборы нулевой меры могут быть определены в терминах элементарных функций следующим образом. Набор $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ , который является подмножеством $X {\ displaystyle X}$ $X$ , является набором нулевой меры, если для любого $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}$ $\epsilon>0$ существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций $hp (x) {\ displaystyle h_ {p} (x)}$ $h_ {p} (x)$ в H, такая что $I hp < ϵ {\displaystyle Ih_{p}<\epsilon }$ $Ih_ {p} <\ epsilon$ и $sup php (x) ≥ 1 {\ displaystyle \ sup _ {p} h_ {p} (x) \ geq 1}$ $\ sup _ {p} h_ {p} (x) \ geq 1$ на $Z { \ displaystyle Z}$ $Z$ .

Набор называется набором полной меры, если его дополнение относительно $X {\ displaystyle X}$ $X$ является набором нулевой меры.. Мы говорим, что если какое-то свойство выполняется в каждой точке множества полной меры (или, что то же самое, везде, кроме множества нулевой меры), оно выполняется почти всюду.

Определение

Хотя конец результат один, разные авторы конструируют интеграл по-разному. Общий подход состоит в том, чтобы начать с определения более крупного класса функций на основе выбранных нами элементарных функций, класса $L + {\ displaystyle L ^ {+}}$ $L ^ {+}$ , который является семейством всех функции, являющиеся пределом неубывающей последовательности $hn {\ displaystyle h_ {n}}$ $h_{n}$ элементарных функций, таких что набор интегралов $I hn {\ displaystyle Ih_ {n}}$ $Ih_{n}$ ограничен. Интеграл функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ в $L + {\ displaystyle L ^ {+}}$ $L ^ {+}$ определяется как:

I f = lim n → ∞ I hn {\ displaystyle If = \ lim _ {n \ to \ infty} Ih_ {n}}

If = \ lim _ {{n \ to \ infty}} Ih_ {n}

Можно показать, что это определение интеграла хорошо определено, т. е. не зависит при выборе последовательности $hn {\ displaystyle h_ {n}}$ $h_{n}$ .

Однако класс $L + {\ displaystyle L ^ {+}}$ $L ^ {+}$ , как правило, не закрывается вычитание и скалярное умножение на отрицательные числа; необходимо расширить его, определив более широкий класс функций $L {\ displaystyle L}$ $L$ с этими свойствами.

Метод Даниэля (1918), описанный в книге Ройдена, сводится к определению верхнего интеграла общей функции $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ посредством

I + ϕ = inf f I f {\ displaystyle I ^ {+} \ phi = \ inf _ {f} If}

I ^ {+} \ phi = \ inf _ {f} If

, где нижняя грань берется по всем $f {\ displaystyle f}$ $f$ в $L + {\ displaystyle L ^ {+}}$ $L ^ {+}$ с $f ≥ ϕ {\ displaystyle f \ geq \ phi}$ $f \ geq \ phi$ . Нижний интеграл определяется аналогично или коротко как $I - ϕ = - I + (- ϕ) {\ displaystyle I ^ {-} \ phi = -I ^ {+} (- \ phi)}$ $I ^ {-} \ phi = -I ^ {+} (- \ phi)$ . Наконец, $L {\ displaystyle L}$ $L$ состоит из тех функций, верхний и нижний интегралы которых конечны и совпадают, и

∫ X ϕ (x) d x = I + ϕ = I - ϕ. {\ displaystyle \ int _ {X} \ phi (x) dx = I ^ {+} \ phi = I ^ {-} \ phi.}

\ int _ {X } \ phi (x) dx = I ^ {+} \ phi = I ^ {-} \ phi.

Выбран альтернативный маршрут, основанный на открытии Фредерика Рисса. в книге Шилова и Гуревича и в статье в Энциклопедии математики. Здесь $L {\ displaystyle L}$ $L$ состоит из тех функций $ϕ (x) {\ displaystyle \ phi (x)}$ $\ phi (x)$ , которые могут быть представлены в виде набора полная мера (определенная в предыдущем разделе) как разность $ϕ = f - g {\ displaystyle \ phi = fg}$ $\ phi = fg$ для некоторых функций $f {\ displaystyle f}$ $f$ и $g {\ displaystyle g}$ $g$ в классе $L + {\ displaystyle L ^ {+}}$ $L ^ {+}$ . Тогда интеграл функции $ϕ (x) {\ displaystyle \ phi (x)}$ $\ phi (x)$ можно определить как:

∫ X ϕ (x) dx = I f - I g { \ displaystyle \ int _ {X} \ phi (x) dx = If-Ig \,}

\ int _ {X} \ phi (x) dx = If-Ig \,

Опять же, можно показать, что этот интеграл хорошо определен, т.е. он не зависит от разложения $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ на $f {\ displaystyle f}$ $f$ и $g {\ displaystyle g}$ $g$ . Это оказывается эквивалентным исходному интегралу Даниэля.

Свойства

Практически все важные теоремы традиционной теории интеграла Лебега, такие как теорема Лебега о доминирующей сходимости, теорема Рисса – Фишера, лемма Фату и теорема Фубини также могут быть легко доказаны с использованием этой конструкции. Его свойства идентичны традиционному интегралу Лебега.

Измерение

Из-за естественного соответствия между множествами и функциями также возможно использовать интеграл Даниэля для построения теории меры. Если мы возьмем характеристическую функцию $χ (x) {\ displaystyle \ chi (x)}$ $\ chi (x)$ некоторого набора, то ее интеграл можно принять за меру множества. Можно показать, что это определение меры, основанное на интеграле Даниэля, эквивалентно традиционной мере Лебега.

Преимущества перед традиционной формулировкой

Этот метод построения общего интеграла имеет несколько преимуществ перед традиционный метод Лебега, особенно в области функционального анализа. Как указывалось выше, конструкции Лебега и Даниэля эквивалентны, если в качестве элементарных функций выбраны обычные конечнозначные ступенчатые функции. Однако, когда кто-то пытается расширить определение интеграла на более сложные области (например, пытается определить интеграл от линейного функционала ), каждый сталкивается с практическими трудностями при использовании конструкции Лебега, которые устраняются подходом Даниэля..

Польский математик Ян Микусинский сделал альтернативную и более естественную формулировку интегрирования Даниэля, используя понятие абсолютно сходящихся рядов. Его формулировка работает для интеграла Бохнера (интеграл Лебега для отображений, принимающих значения в банаховых пространствах ). Лемма Микусинского позволяет определить интеграл без упоминания нулевых множеств. Он также доказал теорему замены переменных для кратных интегралов Бохнера и теорему Фубини для интегралов Бохнера с помощью интегрирования Даниэля. В книге Асплунда и Бунгарта содержится ясная трактовка этого подхода для вещественнозначных функций. Также предлагается доказательство абстрактной теоремы Радона – Никодима с использованием.

См. Также

Ссылки

Эш, Роберт Б. (1972). «Взаимодействие теории меры и топологии». Реальный анализ и вероятность. Нью-Йорк: Academic Press. С. 168–200. ISBN 0-12-065201-3.
Дэниэлл, П. Дж. (1918). «Общая форма интеграла». Анналы математики. Вторая серия. 19 (4): 279–294. DOI : 10.2307 / 1967495. JSTOR 1967495.
Хаберман, Шелби Дж. (1996). «Построение интегралов Даниэля». Расширенная статистика. Нью-Йорк: Спрингер. С. 199–263. ISBN 0-387-94717-5.
Ройден, Х. Л. (1988). «Интеграл Даниэля». Реальный анализ (3-е изд.). Энглвудские скалы: Прентис-холл. С. 419–434. ISBN 0-02-404151-3.
Лумис, Линн Х. (1953), «Глава III: Интеграция», Введение в абстрактный гармонический анализ, Д. Ван Ностранд, стр. 29–47
Шилов Г.Е.; Гуревич, Б. Л. (1978). Интеграл, мера и производная: единый подход. Перевод Сильвермана, Ричард А. Довер Пабликейшнс. ISBN 0-486-63519-8.
Асплунд, Эдгар; Бунгарт, Лутц (1966). Первый курс интеграции. Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон.
Соболев, В. И. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Тейлор, А. Э. (1985) [1965]. Общая теория функций и интеграции. Дувр. ISBN 0-486-64988-1.