Многочлены Рака

В математике, Рака полиномы - это ортогональные полиномы, названные в честь Джулио Рака, поскольку их отношения ортогональности эквивалентны его отношениям ортогональности для коэффициентов Рака.

Полиномы Рака были впервые определены Wilson (1978) и даются как

$pn\; (x\; (x\; +\; \gamma \; +\; \delta \; +\; 1))\; =\; 4\; F\; 3\; [-\; nn\; +\; \alpha \; +\; \beta \; +\; 1\; -\; xx\; +\; \gamma \; +\; \delta \; +\; 1\; \alpha \; +\; 1\; \gamma \; +\; 1\; \beta \; +\; \delta \; +\; 1;\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; (x\; (x\; +\; \backslash \; gamma\; +\; \backslash \; delta\; +1))\; =\; \{\}\; \_\; \{4\}\; F\_\; \{3\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; -n\; n\; +\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; +\; 1\; -\; x\; x\; +\; \backslash \; gamma\; +\; \backslash \; delta\; +1\; \backslash \backslash \backslash \; alpha\; +\; 1\; \backslash \; gamma\; +\; 1\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; delta\; +1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\};\; 1\; \backslash \; right].\}$

Askey Wilson (1979) ввел полиномы q-Рака, определенные в терминах базовых гипергеометрических функций как

$pn\; (q\; -\; x\; +\; qx\; +\; 1\; cd;\; a,\; b,\; c,\; d;\; q)\; =\; 4\; \varphi \; 3\; [q\; -\; nabqn\; +\; 1\; q\; -\; xqx\; +\; 1\; cdaqbdqcq;\; q;\; q].\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; (q\; ^\; \{-\; x\}\; +\; q\; ^\; \{x\; +\; 1\}\; cd;\; a,\; b,\; c,\; d;\; q)\; =\; \{\}\; \_\; \{4\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{3\}\; \backslash \; left\; [\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; q\; ^\; \{-\; n\}\; abq\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; q\; ^\; \{-\; x\}\; q\; ^\; \{x\; +\; 1\}\; cd\; \backslash \backslash \; aq\; bdq\; cq\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\};\; q;\; q\; \backslash \; right\; ].\}$

Иногда они задаются с заменой переменных как

$W\; n\; (x;\; a,\; b,\; c,\; N;\; q)\; =\; 4\; \varphi \; 3\; [q\; -\; nabqn\; +\; 1\; q\; -\; xcqx\; -\; naqbcqq\; -\; N\; ;\; q;\; q].\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{n\}\; (x;\; a,\; b,\; c,\; N;\; q)\; =\; \{\}\; \_\; \{4\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{3\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; q\; ^\; \{-\; n\}\; abq\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; q\; ^\; \{-\; x\}\; cq\; ^\; \{xn\}\; \backslash \backslash \; aq\; bcq\; q\; ^\; \{-\; N\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\};\; q;\; q\; \backslash \; right].\}$

• Askey, Ричард; Уилсон, Джеймс (1979), «Набор ортогональных многочленов, которые обобщают коэффициенты Рака или 6-j символы», SIAM Journal on Mathematical Analysis, 10 (5): 1008– 1016, doi : 10.1137 / 0510092, ISSN 0036-1410, MR 0541097
• Уилсон, Дж. (1978), гипергеометрический ряд рекуррентные соотношения и некоторые новые ортогональные функции, канд. диссертация, Univ. Висконсин, Мэдисон