Классические ортогональные многочлены

В математике классические ортогональные многочлены наиболее широко используются ортогональные полиномы : полиномы Эрмита, полиномы Лагерра, полиномы Якоби (включая в особом качестве случая полиномы Гегенбауэра, полиномы Чебышева и полиномы Лежандра ).

У них много важных приложений в таких областях, как математическая физика (в частности, теория случайных матриц ), теория приближений, численный анализ и многие другие.

Классические ортогональные полиномы появились в начале 19 века в работах Адриана-Мари Лежандра, который ввел полиномы Лежандра. В конце 19 века исследование непрерывных дробей для решения проблемы моментов, проведенное П. Л. Чебышев, а затем А.А. Марков и Т.Дж. Стилтьес привел к общему понятию ортогональных многочленов.

Для заданных полиномов $Q,\; L:\; R\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; Q,\; L:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$и $\forall \; N\; \in \; N\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; \backslash ,\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \_\; \{0\}\}$классические ортогональные многочлены $fn:\; R\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$характеризуются тем, что являются решениями дифференциального уравнения

$Q\; (x)\; fn\; \prime \; \prime \; +\; L\; (x)\; fn\; \prime \; +\; \Lambda \; nfn\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; Q\; (х)\; \backslash ,\; f\_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; +\; L\; (x)\; \backslash ,\; f\_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; f\_\; \{n\; \}\; =\; 0\}$

константами, которые предстоит определить $\lambda \; n\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$.

Есть несколько более общих определений ортогональных классических полиномы; например, Andrews Askey (1985) используют этот термин для всех полиномов в схеме Askey.

• 1 Определение
  • 1.1 Полиномы Якоби
    • 1.1.1 Важно частные случаи
  • 1.2 Многочлены Эрмита
  • 1.3 Многочлены Лагерра
• 2 Дифференциальное уравнение
  • 2.1 Вторая Формула Родригеса
  • 2.2 Числа λ n
  • 2.3 Форма для дифференциального уравнения
  • 2.4 Третья форма для дифференциального уравнения
  • 2.5 Формулы с производными
  • 2.6 Ортогональность
• 3 Вывод из дифференциального уравнения
  • 3.1 Полином Якоби
  • 3.2 Полиномы Гегенбауэра
  • 3.3 Полиномы Лежандра
    • 3.3.1 Связанные полиномы Лежандра многочлены
  • 3.4 многочлены Чебышева
  • 3.5 многочлены Лагерра
  • 3.6 многочлены Эрмита
• 4 характеризации классических ортогональных многочленов
• 5 Таблица классических ортогональных многочленов
• 6 См. также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

В общем, ортогональные многочлены $P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\}$относительно веса $W:\; R\; \to \; R\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; W:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{+\}\}$

$deg\; \; P\; n\; =\; n,\; n\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots \; \int \; P\; m\; (x)\; P\; n\; (x)\; W\; (x)\; dx\; =\; 0,\; m\; n.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; deg\; P\_\; \{n\}\; =\; n\; ~,\; \backslash \; quad\; n\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots\; \backslash \backslash \; \backslash \; int\; P\_\; \{m\}\; (x)\; \backslash ,\; P\_\; \{n\}\; (x)\; \backslash ,\; W\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0\; ~,\; \backslash \; quad\; m\; \backslash \; neq\; n\; ~.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Приведенные выше отношения определяют $P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\}$с точностью до умножения на число. Для исправления константы используются различные нормализации, например

$\int \; P\; n\; (x)\; 2\; W\; (x)\; dx\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; P\_\; \{n\}\; (x)\; ^\; \{2\}\; W\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 1\; ~.\}$

Классические ортогональные многочлены соответствуют трем семействам весов:

$(Якоби)\; W\; (x)\; =\; \{(1\; -\; x)\; \alpha \; (1\; +\; x)\; \beta ,\; -\; 1\; \le \; x\; \le \; 1\; 0,\; иначе\; (\; Эрмит)\; W\; (x)\; =\; exp\; \; (-\; x\; 2)\; (Лагер)\; W\; (x)\; =\; \{x\; \alpha \; exp\; \; (-\; x),\; x\; \ge \; 0\; 0,\; в\; случае\; опасности\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\; \backslash \; text\; \{(Якоби)\}\}\; \backslash \; quad\; W\; (x)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; (1-\; x)\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; (1\; +\; x)\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; ~,\; -\; 1\; \backslash \; leq\; x\; \backslash \; leq\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; ~,\; \{\backslash \; text\; \{иначе\}\}\; \backslash \; end\; \{case\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; text\; \{(Hermite)\}\}\; \backslash \; quad\; W\; (x)\; =\; \backslash \; exp\; (-x\; ^\; \{2\})\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; text\; \{(Laguerre)\}\}\; \backslash \; quad\; W\; (x)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; exp\; (-x)\; ~,\; x\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; ~,\; \{\backslash \; text\; \{else\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Стандартная нормализация (также называется стандартизацией) подробно описана ниже.

Многочлены Якоби

Для $\alpha ,\; \beta >-\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha,\; \backslash ,\; \backslash \; beta>-1\}$многочлены Якоби задаются формулой (α, β <901)) (z) = (- 1) n 2 nn! (1 - z) - α (1 + z) - β dndzn {(1 - z) α (1 + z) β (1 - z 2) n}. {\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {n} n!}} (1 -z) ^ {- \ alpha} (1 + z) ^ {- \ beta} {\ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} \ left \ {(1-z) ^ {\ alpha} (1 + z) ^ {\ beta} (1-z ^ {2}) ^ {n} \ right \} ~.}

Они нормализованы (стандартизированы) на

$P\; n\; (\alpha ,\; \beta )\; (1)\; знак\; равно\; (n\; +\; \alpha \; n),\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\}\; (1)\; =\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; n\},\}$

и удовлетворить условие ортогональности

$\int \; -\; 1\; 1\; (1\; -\; x)\; \alpha \; (1\; +\; x)\; \beta \; P\; m\; (\alpha ,\; \beta )\; (x)\; P\; n\; (\alpha ,\; \beta )\; (x)\; dx\; =\; 2\; \alpha \; +\; \beta \; +\; 1\; 2\; n\; +\; \alpha \; +\; \beta \; +\; 1\; \Gamma \; (n\; +\; \alpha \; +\; 1)\; \Gamma \; (n\; +\; \beta \; +\; 1)\; \Gamma \; (n\; +\; \alpha \; +\; \beta \; +\; 1)\; n!\; \Delta \; нм.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; b\; начало\; \{выровнено\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; 1\}\; ^\; \{1\}\; (1-x)\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; (1\; +\; x)\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; P\_\; \{m\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; бета)\}\; (х)\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\}\; (x)\; \backslash ;\; dx\; \backslash \backslash \; =\; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; +1\}\}\; \{2n\; +\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; +1\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; +\; \backslash \; alpha\; +1)\; \backslash \; Гамма\; (n\; +\; \backslash \; beta\; +1)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; +\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; +1)\; n!\}\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{nm\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Многочлены Якоби являются решениями дифференциального уравнения

$(1\; -\; x\; 2)\; y\; ″\; +\; (\beta \; -\; \alpha \; -\; (\alpha \; +\; \beta \; +\; 2)\; x)\; y\; \prime \; +\; N\; (N\; +\; \alpha \; +\; \beta \; +\; 1)\; Y\; =\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; (1-х\; ^\; \{2\})\; у\; \text{'}\text{'}\; +\; (\backslash \; бета\; -\; \backslash \; альфа\; -\; (\backslash \; альфа\; +\; \backslash \; бета\; +2)\; х)\; у\; \text{'}+\; п\; (п\; +\; \backslash \; альфа\; +\; \backslash \; бета\; +1)\; у\; =\; 0\; ~.\}$

Важные частные случаи

Полиномы Якоби с $\alpha \; =\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; beta\}$называются полиномами Гегенбауэра (с параметром $\gamma \; =\; \alpha \; +\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; \backslash \; alpha\; +1/2\}$)

для $\alpha \; =\; \beta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; beta\; =\; 0\}$, они называются многочленами Лежандра (для интервал ортогональности равенство [-1, 1], а весовая функция равна просто 1):

$P\; 0\; (х)\; =\; 1,\; п\; 1\; (х)\; =\; х,\; п\; 2\; (х)\; =\; 3\; х\; 2\; -\; 1\; 2,\; п\; 3\; (х)\; =\; 5\; х\; 3\; -\; 3\; х\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\; (x)\; =\; 1,\; \backslash ,\; P\_\; \{1\}\; (x)\; =\; x,\; \backslash ,\; P\_\; \{2\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3x\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \{2\}\},\; \backslash ,\; P\_\; \{3\; \}\; (Икс)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{5x\; ^\; \{3\}\; -3x\}\; \{2\}\},\; \backslash \; ldots\}$

Для $\alpha \; =\; \beta \; =\; \pm \; 1/2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; alph\; a\; =\; \backslash \; beta\; =\; \backslash \; pm\; 1/2\}$, получаем многочлены Чебышева (второго и первого рода соответственно).

многочлены Эрмита

Многочлены Эрмитапо

$ЧАС\; N\; (Икс)\; =\; (-\; 1)\; nex\; 2\; dndxne\; -\; x\; 2\; =\; ex\; 2/2\; (x\; -\; ddx)\; ne\; -\; x\; 2\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (x)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; e\; ^\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; =\; e\; ^\; \{x\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \{\backslash \; bigg)\}\; ^\; \{n\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\}$

Они удовлетворяют ортогональности условие

$\int \; -\; \infty \; \infty \; H\; n\; (x)\; H\; m\; (x)\; e\; -\; x\; 2\; dx\; =\; \pi \; 2\; nn!\; \delta \; mn,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; H\_\; \{n\}\; (x)\; H\_\; \{m\}\; (x)\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; 2\; ^\; \{n\}\; п!\; \backslash \; delta\; \_\; \{mn\}\; ~,\}$

и дифференциальное уравнение

$y\; ″\; -\; 2\; xy\; \prime \; +\; 2\; ny\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\text{'}\; -\; 2xy\; \text{'}+\; 2n\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; ~.\}$

Многочлены Лагерра

Обобщенные многочлены Лагерра анализ как

$L\; n\; (\alpha )\; (x)\; =\; x\; -\; \alpha \; exn!\; dndxn\; (е\; -\; xxn\; +\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \{x\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\}\; e\; ^\; \{x\}\; \backslash \; over\; n!\}\; \{d\; ^\; \{n\}\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; x\}\; x\; ^\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\}\; \backslash \; right)\}$

(классические многочлены Лагерра соответствуют $\alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 0\; \}$.)

Они удовлетворяют действию ортогональности

$\int \; 0\; \infty \; x\; \alpha \; e\; -\; x\; L\; n\; (\alpha )\; (x)\; L\; m\; (\alpha )\; (x)\; dx\; =\; \Gamma \; (\; п\; +\; \alpha \; +\; 1)\; п!\; \delta \; N,\; м,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; L\_\; \{m\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; +\; \backslash \; alpha\; +1)\}\; \{n!\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n,\; m\}\; ~,\}$

и дифференциальное уравнение

$ху\; ″\; +\; (\alpha \; +\; 1\; -\; x)\; y\; \prime \; +\; ny\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; (\backslash \; alpha\; +\; 1-x)\; \backslash ,\; y\; \text{'}+\; n\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; ~.\}$

Классические ортогональные многочлены уравнения из дифференциального уравнения вида

$Q\; (x)\; f\; ″\; +\; L\; (x)\; f\; \prime \; +\; \lambda \; f\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (x)\; \backslash ,\; f\; \text{'}\text{'}\; +\; L\; (x)\; \backslash ,\; f\; \text{'}+\; \backslash \; lambda\; f\; =\; 0\}$

где Q - заданный квадратичный (максимум) многочлен, а L - заданный линейный многочлен. Необходимо найти функцию f и постоянную λ.

(Обратите внимание, что такое уравнение имеет смысл иметь полиномиальное решение.

Каждый член в уравнении является полиномом, а степень согласованы.)

Это Уравнение типа Штурма - Лиувилля. Такие уравнения обычно имеют особенности в функциях решения f, за конкретные значения λ. Их можно представить в виде задач на собственный вектор / собственное значение : если D будет дифференциальным оператором, $D\; (f)\; =\; Q\; f\; ″\; +\; L\; f\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (f)\; =\; Qf\; \text{'}\text{'}\; +\; Lf\; \text{'}\}$, и меняя знак λ, задача состоит в том, чтобы найти собственные значения λ, такие, что f не имеет сингулярных функций и D (f) = λf.

Решения этого дифференциального уравнения имеют особенности, если λ не принимает значения. Существует ряд чисел λ 0, λ 1, λ 2,... которые приводят к серии полиномиальных решений P 0, P 1, P 2,... если выполняется одно из следующих наборов условий:

1. Q фактически квадратично, L линейно, Q имеет два действительных корней, корень L лежит строго между корнями Q, а главные члены Q и L один и тот же знак.
2. Q на самом деле не квадратичный, но линейный, L линейный, корни Q и L различны, и главные члены Q и L имеют одинаковый знак, если корень L меньше, чем корень Q или наоборот.
3. Q - просто ненулевая константа, L линейно, и главный член L имеет противоположный Q.

Эти три случая приводят к подобию Якоби, подобию Лагерру и Эрмитоподобные полиномы соответственно.

В каждом из этих трех случаев мы имеем следующее:

• Решения представляют собой серию многочленов P 0, P 1, P 2,..., каждый P n имеет степень n и соответствует λ n.
• Интервал ортогональности ограничен любыми корнями Q.
• корень L находится внутри интервала ортогональности.
• Положим $R\; (x)\; =\; e\; \int \; L\; (x)\; Q\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (x)\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{L\; (x)\}\; \{Q\; (x)\}\}\; \backslash ,\; dx\}\}$, многочлены ортогональны относительно весовой функции $W\; (x)\; =\; R\; (x)\; Q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; R\; (x)\}\; \{Q\; (x)\}\}\}$
• W (x) не имеет нулей или бесконечностей внутри интервала, хотя может иметь нули или бесконечности в конечные точки.
• W (x) дает конечное внутреннее произведение для любых полиномов.
• W (x) может быть больше 0 в интервале. (Отмените все дифференциальное уравнение, если необходимо, чтобы Q (x)>0 внутри интервала.)

Из-за интегрирования величина R (x) определяется только с точностью до произвольной положительной мультипликативной постоянной. Он будет указывать только в однородных уравнениях (где это не имеет значения) и в определении весовой функции (которая также может быть неопределенной). В приведенных ниже «официальных» значениях R (x) и W. (Икс).

Формула Родригеса

Согласно предположениям данным раздела, P n (x) пропорционально $1\; W\; (x)\; dndxn\; (W\; (x)\; [Q\; (x)\; ]\; п).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{W\; (x)\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; left\; (W\; (x)\; [Q\; (x)]\; ^\; \{\; n\}\; \backslash \; right).\}$

Это известно как формула Родригеса после Олинде Родригес. Часто пишут

$P\; n\; (x)\; =\; 1\; en\; W\; (x)\; dndxn\; (W\; (x)\; [Q\; (x)]\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\; e\_\; \{n\}\}\; W\; (x)\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; left\; (W\; (x)\; [Q\; (x)]\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \}$

, где число e n зависит от стандартизации. Стандартные значения e n представлены в таблицах ниже.

Числа λ n

Мы имеем

$\lambda \; n\; =\; -\; n\; (n\; -\; 1\; 2\; Q\; ″\; +\; L\; \prime ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; =\; -\; n\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n-1\}\; \{2\}\}\; Q\; \text{'}\text{'}\; +\; L\; \text{'}\backslash \; right).\}$

(Времен Q квадратично, а L линейно, $Q\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \text{'}\text{'}\}$и $L\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \text{'}\}$- константы, поэтому это просто числа.)

Вторая форма для дифференциального уравнения

Пусть

$R\; (x)\; =\; e\; \int \; L\; (x)\; Q\; (x)\; dx.\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; (x)\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{L\; (x)\}\; \{Q\; (x)\}\}\; \backslash ,\; dx\}.\}$

Тогда

$(R\; y\; \prime )\; \prime \; =\; R\; y\; ″\; +\; R\; \prime \; y\; \prime \; =\; R\; y\; ″\; +\; RLQ\; y\; \prime .\; \{\backslash \; displaystyle\; (Ry\; \text{'})\text{'}\; =\; R\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; R\; \text{'}\backslash ,\; y\text{'}\; =\; R\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \backslash ,\; L\}\; \{Q\}\}\; \backslash ,\; y\; \text{'}.\}$

Теперь умножьте дифференциальное уравнение

$Q\; y\; ″\; +\; L\; y\; \prime \; +\; \lambda \; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; L\; \backslash ,\; y\; \text{'}+\; \backslash \; lambda\; y\; =\; 0\}$

на R / Q, получая

$R\; y\; ″\; +\; RLQ\; y\; \prime \; +\; R\; \lambda \; Q\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \backslash ,\; L\}\; \{Q\}\}\; \backslash ,\; y\; \text{'}+\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{R\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{Q\}\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\}$

или

$(R\; y\; \prime )\; \prime \; +\; R\; \lambda \; Q\; y\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; (Ry\; \text{'})\text{'}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{Q\}\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0.\}$

Это стандартная форма Штурма - Лиувилля для уравнений.

Третья форма для дифференциального уравнения

Пусть $S\; (x)\; =\; R\; (x)\; =\; e\; \int \; L\; (x)\; 2\; Q\; (x)\; d\; x.\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; (x)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{R\; (x)\}\}\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{L\; (x)\}\; \{2\; \backslash ,\; Q\; (x)\}\}\; \backslash ,\; dx\}.\}$

Тогда

$S\; \prime \; =\; SL\; 2\; Q.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{S\; \backslash ,\; L\}\; \{2\; \backslash ,\; Q\}\}.\}$

Теперь умножьте дифференциальное уравнение

$Q\; y\; ″\; +\; L\; y\; \prime \; +\; \lambda \; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; L\; \backslash ,\; y\; \text{'}+\; \backslash \; lambda\; y\; =\; 0\}$

на S / Q, получая

$S\; y\; ″\; +\; SLQ\; y\; \prime \; +\; S\; \lambda \; Q\; Y\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{S\; \backslash ,\; L\}\; \{Q\}\}\; \backslash ,\; y\; \text{'}+\; \{\backslash \; frac\; \{S\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{Q\}\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\}$

или

$SY\; ″\; +\; 2\; S\; \prime \; y\; \prime \; +\; S\; \lambda \; QY\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; 2\; \backslash ,\; S\; \text{'}\backslash ,\; y\text{'}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; S\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{Q\}\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\}$

Но $(S\; y)\; ″\; =\; S\; y\; ″\; +\; 2\; S\; \prime \; y\; \prime \; +\; S\; ″\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; (S\; \backslash ,\; y)\; \text{'}\text{'}\; =\; S\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; +2\; \backslash ,\; S\; \text{'}\backslash ,\; y\text{'}\; +\; S\; \text{'}\text{'}\; \backslash ,\; y\}$, поэтому

$(S\; y)\; ″\; +\; (S\; \lambda \; Q\; -\; S\; ″)\; y\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; (S\; \backslash ,\; y)\; \text{'}\text{'}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{S\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{Q\}\}\; -\; S\; \text{'}\text{'}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; y\; =\; 0,\}$

или, если u = Sy,

$и\; ″\; +\; (\lambda \; Q\; -\; S\; ″\; S)\; и\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \text{'}\text{'}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\}\; \{Q\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{S\; \text{'}\text{'}\}\; \{S\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; u\; =\; 0.\}$

Формулы с производными

В предположении предыдущего раздела пусть P. nобозначает r-ю производную от P n. (Мы заключили "r" в скобки, чтобы не путать с показателем.) P. n- многочлен степени n - r. Тогда мы имеем следующее:

• (ортогональность) При фиксированном r полиномиальная последовательность P. r, P. r + 1, P. r + 2,... ортогональны, взвешены по $WQ\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; WQ\; ^\; \{r\}\}$.
• (обобщенная формула Родригеса ) P. nпропорционально $1\; W\; (x)\; [Q\; (\; x)]\; rdn\; -\; rdxn\; -\; r\; (W\; (x)\; [Q\; (x)]\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{W\; (x)\; [Q\; (x)]\; ^\; \{r\}\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{nr\}\}\; \{dx\; ^\; \{nr\}\}\}\; \backslash \; left\; (W\; (\; x)\; [Q\; (x)]\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right).\}$
• (дифференциальное уравнение) P. nявляется решением $Q\; y\; ″\; +\; (r\; Q\; \prime \; +\; L)\; y\; \prime \; +\; [\lambda \; N\; -\; \lambda \; р]\; знак\; Y\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{Q\}\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; (rQ\; \text{'}+\; L)\; \backslash ,\; y\text{'}\; +\; [\backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{r\}]\; \backslash ,\; y\; =\; 0\}$, где λ r - та же функция, что и λ n, то есть $\lambda \; r\; =\; -\; r\; (r\; -\; 1\; 2\; Q\; ″\; +\; L\; \text{'})\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{r\}\; =\; -\; r\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r-1\}\; \{2\}\}\; Q\text{'}\; \text{'}+\; L\text{'}\; \backslash \; right)\}$
• (дифференциальное уравнение, секунда форма) P. nявляется решением $(RQ\; ry\; \prime )\; \prime \; +\; [\lambda \; n\; -\; \lambda \; r]\; RQ\; r\; -\; 1\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (RQ\; ^\; \{r\}\; y\; \text{'})\text{'}\; +\; [\backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{r\}]\; RQ\; ^\; \{r-1\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\}$

Есть также несколько смешанных повторов. В каждом из них числа a, b и c зависят от n и r и не связаны между собой в различных формулах.

• $п\; N\; [г]\; знак\; равно\; a\; п\; п\; +\; 1\; [г\; +\; 1]\; +\; б\; п\; п\; [r\; +\; 1]\; +\; с\; п\; п\; -\; 1\; [г\; +\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{[г\; ]\}\; =\; aP\_\; \{n\; +\; 1\}\; ^\; \{[r\; +\; 1]\}\; +\; bP\_\; \{n\}\; ^\; \{[r\; +\; 1]\}\; +\; cP\_\; \{n-1\}\; ^\; \{[r\; +\; 1]\}\}$
• $P\; n\; [r]\; =\; (ax\; +\; b)\; п\; N\; [r\; +\; 1]\; +\; c\; P\; n\; -\; 1\; [r\; +\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{[r]\}\; =\; (ax\; +\; b)\; P\_\; \{n\; \}\; ^\; \{[r\; +\; 1]\}\; +\; cP\_\; \{n-1\}\; ^\; \{[r\; +\; 1]\}\}$
• $QP\; n\; [r\; +\; 1]\; =\; (ax\; +\; b)\; P\; n\; [r]\; +\; c\; P\; n\; -\; 1\; [r]\; \{\backslash \; displaystyle\; QP\_\; \{n\}\; ^\; \{[r\; +\; 1]\}\; =\; (ax\; +\; b)\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{[r]\}\; +\; cP\_\; \{n-1\}\; ^\; \{[r]\}\}$

Существует огромное количество других формул, использующих ортогональные многочленные способы. Вот их крошечный образец, относящийся к полиномам Чебышева, ассоциированных полиномов Лагерра и Эрмита:

• $2\; T\; m\; (x)\; T\; n\; (x)\; =\; T\; m\; +\; n\; (x)\; +\; T\; m\; -\; n\; (x)\; \{\backslash \; Displaystyle\; 2\; \backslash ,\; T\_\; \{m\}\; (x)\; \backslash ,\; T\_\; \{n\}\; (x)\; =\; T\_\; \{m\; +\; n\}\; (x)\; +\; T\_\; \{mn\}\; (x)\}$
• $H\; 2\; n\; (x)\; =\; (-\; 4)\; пн!\; L\; N\; (-\; 1/2)\; (Икс\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\_\; \{2n\}\; (х)\; =\; (-\; 4)\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; п!\; \backslash ,\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(-\; 1/2)\}\; (x\; ^\; \{2\})\}$
• $H\; 2\; n\; +\; 1\; (x)\; =\; 2\; (-\; 4)\; nn!\; Икс\; L\; N\; (1/2)\; (Икс\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\_\; \{2n\; +\; 1\}\; (х)\; =\; 2\; (-4)\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; п!\; \backslash ,\; х\; \backslash ,\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(1/2)\}\; (x\; ^\; \{2\})\}$

Ортогональность

Можно записать дифференциальное уравнение для конкретного λ (без явной зависимости от x)

$Q\; е\; ¨\; N\; +\; L\; е\; \dot{}\; N\; +\; \lambda \; nfn\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \{\backslash \; ddot\; \{f\}\}\; \_\; \{n\}\; +\; L\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; \_\; \{n\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\; \}\; f\_\; \{n\}\; =\; 0\}$

умножение на $(R\; /\; Q)\; fm\; \{\backslash \; displaystyle\; (R\; /\; Q)\; f\_\; \{m\}\}$дает

$R\; fmf\; ¨\; n\; +\; RQL\; fmf\; \dot{}\; N\; +\; RQ\; \lambda \; nfmfn\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Rf\_\; \{m\}\; \{\backslash \; ddot\; \{f\}\}\; \_\; \{n\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{Q\}\}\; Lf\_\; \{m\}\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; \_\; \{n\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{Q\}\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; f\_\; \{m\}\; f\_\; \{n\}\; =\; 0\}$

и изменение нижних индексов дает

$R\; fnf\; ¨\; m\; +\; RQL\; fnf\; \dot{}\; м\; +\; RQ\; \lambda \; mfnfm\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Rf\_\; \{n\}\; \{\backslash \; ddot\; \{f\}\}\; \_\; \{m\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{Q\}\}\; Lf\_\; \{n\}\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; \_\; \{\; m\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{Q\}\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{m\}\; f\_\; \{n\}\; f\_\; \{m\}\; =\; 0\}$

вычитание и интегрирование:

$\int \; ab\; [R\; (fmf\; ¨\; n\; -\; fnf\; ¨\; m)\; +\; RQL\; (fmf\; \dot{}\; n\; -\; fnf\; \dot{}\; m)]\; dx\; +\; (\lambda \; N\; -\; \lambda \; m)\; \int \; ab\; RQ\; fmfndx\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; left\; [R\; (f\_\; \{\; m\}\; \{\backslash \; ddot\; \{f\}\})\; \_\; \{n\}\; -f\_\; \{n\}\; \{\backslash \; ddot\; \{f\}\}\; \_\; \{m\})\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{Q\}\}\; L\; (f\_\; \{m\}\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; \_\; \{n\}\; -f\_\; \{n\}\; \{\backslash \; точка\; \{f\}\}\; \_\; \{m\})\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; dx\; +\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{m\})\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{Q\}\}\; f\_\; \{m\}\; f\_\; \{n\}\; \backslash ,\; dx\; =\; 0\}$

но видно, что

$ddx\; [R\; (fmf\; \dot{}\; n\; -\; fnf\; \dot{}\; m)]\; =\; R\; (fmf\; ¨\; n\; -\; fnf\; ¨\; m)\; +\; RLQ\; (fmf\; \dot{}\; n\; -\; fnf\; \dot{}\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; [R\; (f\_\; \{m\}\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; \_\; \{n\}\; -f\_\; \{n\})\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; \_\; \{m\})\; \backslash \; right]\; =\; R\; (f\_\; \{m\}\; \{\backslash \; ddot\; \{f\}\}\; \_\; \{n\}\; -f\_\; \{n\}\; \{\backslash \; ddot\; \{f\}\}\; \_\; \{m\})\; \backslash ,\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \backslash ,\; R\; \{\; \backslash \; frac\; \{L\}\; \{Q\}\}\; (f\_\; \{m\}\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; \_\; \{n\}\; -f\_\; \{n\}\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; \_\; \{m\})\}$

так, чтобы:

$[R\; (fmf\; \dot{}\; n\; -\; fnf\; \dot{}\; m)]\; ab\; +\; (\lambda \; n\; -\; \lambda \; m)\; \int \; ab\; RQ\; fmfndx\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [R\; (f\_\; \{m\}\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; \_\; \{n\}\; -f\_\; \{n\}\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; \_\; \{m\})\; \backslash \; right]\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \backslash ,\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{m\})\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{Q\}\}\; f\_\; \{m\}\; f\_\; \{n\}\; \backslash ,\; dx\; =\; 0\}$

Если многочлены f таковы, что член слева равенство нулю, и $\lambda \; м\; \ne \; \lambda \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{m\}\; \backslash \; neq\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\}$для $m\; \ne \; n\; \{\backslash \; di\; splaystyle\; m\; \backslash \; neq\; n\}$, тогда соотношение ортогональности будет сохраняться:

$\int \; ab\; RQ\; fmfndx\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{Q\}\; \}\; f\_\; \{m\}\; f\_\; \{n\}\; \backslash ,\; dx\; =\; 0\}$

для $m\; \ne \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; neq\; n\}$.

Все полиномиальные последовательности, Соответствующие из приведенного выше дифференциального уравнения, эквивалентные при масштабах и стандарте и стандартизации полиномы к более узким классам. Эти ограниченные классы являются в точности «классическими ортогональными многочленами».

• Каждая последовательность полиномов типа Якоби может иметь сдвинутую и / или масштабируемую область так, чтобы ее интервал ортогональности был [-1, 1] и имел Q = 1 - x. Затем они могут быть стандартизированы в полиномы Якоби $P\; n\; (\alpha ,\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\}\}$. Существует несколько важных подклассов из них: Гегенбауэр, Лежандр и два типа Чебышева .
• . Каждая полиномиальная последовательность типа Лагерра может иметь сдвинутую, масштабируемую и / или отражается так, что его интервал ортогональности равен $[0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; \backslash \; infty)\}$, и Q = Икс. Затем их можно стандартизировать в ассоциированные многочлены Лагерра $L\; n\; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\}$. Простые многочлены Лагерра $L\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; L\_\; \{n\}\}$являются их подклассом.
• Каждая полиномиальная последовательность, подобная Эрмиту, может иметь его домен сдвинут и / или масштабирован так, чтобы его интервал ортогональности $(-\; \infty ,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; (-\; \backslash \; infty,\; \backslash \; infty)\}$и имелось Q = 1 и L (0) = 0. Затем они могут быть стандартизированы в полиномы Эрмита $H\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\}$.

Потому что что все полиномиальные системы, используемые из дифференциального уравнения описанным выше способом тривиально эквивалентны классическим многочленам, всегда используются настоящие классические многочлены.

Многочлен Якоби

Многочлены, подобные Якоби, после того, как их область сдвинута, масштабируется, что интервал ортогональности равенство [-1, 1], все еще имеют два элемента, которые необходимо определить. Они равны $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$в полиномах Якоби, записанных $P\; n\; (\alpha ,\; \beta )\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\}\}$. У нас есть $Q\; (x)\; =\; 1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (x)\; =\; 1-x\; ^\; \{2\}\}$и $L\; (x)\; =\; \beta \; -\; \alpha \; -\; (\alpha \; +\; \beta \; +\; 2)\; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; (х)\; =\; \backslash \; бета\; -\; \backslash \; альфа\; -\; (\backslash \; альфа\; +\; \backslash \; бета\; +2)\; \backslash ,\; х\}$. Оба параметра $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$должны быть больше -1. (Это помещает корень L в интервал ортогональности.)

Когда $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$не равны, эти многочлены не симметричны относительно x = 0.

Дифференциальное уравнение

$(1\; -\; x\; 2)\; y\; ″\; +\; (\beta \; -\; \alpha \; -\; [\alpha \; +\; \beta \; +\; 2]\; Икс)\; Y\; \prime \; +\; \lambda \; Знак\; Y\; равно\; 0\; с\; \lambda \; знак\; равно\; N\; (N\; +\; 1\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; \{\backslash \; Displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; (\backslash \; beta\; -\; \backslash \; alpha\; -\; [\backslash \; альфа\; +\; \backslash \; бета\; +\; 2]\; \backslash ,\; x)\; \backslash ,\; y\; \text{'}+\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; n\; (n\; +\; 1\; +\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta)\}$

- это уравнение Якоби .

Дополнительные сведения см. В разделе Многочлены Якоби.

Многочлены Гегенбауэра

При установке параметров $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$в полиномах Якоби, равных друг другу, получаем полиномы Гегенбауэра или ультрасферические . Они записываются как $C\; n\; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\}$и рассматриваются как

$C\; n\; (\alpha )\; (x)\; =\; \Gamma \; (2\; \alpha \; +\; n)\; \Gamma \; (\alpha \; +\; 1/2)\; \Gamma \; (2\; \alpha )\; \Gamma \; (\alpha \; +\; n\; +\; 1/2)\; P\; n\; (\alpha \; -\; 1/2,\; \alpha \; -\; 1/2)\; (x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\_\; \{п\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа)\}\; (х)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; Гамма\; (2\; \backslash \; альфа\; \backslash !\; +\; \backslash !\; П)\; \backslash ,\; \backslash \; Гамма\; (\backslash \; альфа\; \backslash !\; +\; \backslash !\; 1/2)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (2\; \backslash \; alpha)\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha\; \backslash !\; +\; \backslash !\; N\; \backslash !\; +\; \backslash !\; 1/2)\}\}\; \backslash !\; \backslash \; P\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; -1/2,\; \backslash \; альфа\; -1/2)\}\; (x).\}$

Имеем $Q\; (x)\; =\; 1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (x)\; =\; 1-х\; ^\; \{2\}\}$и $L\; (x)\; =\; -\; (2\; \alpha \; +\; 1)\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (x)\; =\; -\; (2\; \backslash \; alpha\; +1)\; \backslash ,\; x\}$. Параметр $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$должен быть больше -1/2.

(Между прочим, стандартизация, приведенная в таблице ниже, не использованная в таблице значения α = 0 и n 0, потому что она установила бы многочлены этими нулю. В принятой стандартизации устанавливается $C\; n\; (\; 0)\; (1)\; =\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\; ^\; \{(0)\}\; (1)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{n\}\}\}$вместо значений, в таблице.)

Игнорируя приведенные выше соображения, параметр $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$связан связан с производными $C\; n\; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\; ^\; \{(\; \backslash \; альфа)\}\}$:

$C\; N\; (\alpha \; +\; 1)\; (x)\; =\; 1\; 2\; \alpha \; ddx\; C\; n\; +\; 1\; (\alpha )\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +1)\}\; (\; x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; alpha\}\}\; \backslash !\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; C\_\; \{n\; +\; 1\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\}$

или, в более общем смысле:

$C\; n\; (\alpha \; +\; m)\; (x)\; =\; \Gamma \; (\alpha )\; 2\; m\; \Gamma \; (\alpha \; +\; m)\; C\; n\; +\; m\; (\alpha )\; [m]\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +\; m)\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha)\}\; \{2\; ^\; \{m\}\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha\; +\; m)\}\}\; \backslash !\; \backslash \; C\_\; \{n\; +\; m\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\; [m]\}\; (x).\}$

Все другие классические многочлены типа Якоби (Лежандра и т. Д.) Являются частными случаями многочленов Гегенбауэра, получаемые выбор значения $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и выбор стандартизации.

Подробнее см. Многочлены Гегенбауэра.

Многочлены Лежандра

Дифференциальное уравнение

$(1\; -\; x\; 2)\; y\; ″\; -\; 2\; xy\; \prime \; +\; \lambda \; y\; =\; 0\; с\; \lambda \; =\; n\; (n\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; -\; 2x\; \backslash ,\; y\; \text{'}+\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; n\; (n\; +\; 1).\}$

Это уравнение Лежандра .

Вторая форма дифференциального уравнения:

$ddx\; [(1\; -\; x\; 2)\; y\; \prime ]\; +\; \lambda \; y\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\; dx\}\}\; [(1-x\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\; y\; \text{'}]\; +\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; y\; =\; 0.\}$

Повторяющееся отношение равно

$(n\; +\; 1)\; P\; n\; +\; 1\; (х)\; знак\; равно\; (2\; n\; +\; 1)\; x\; P\; n\; (x)\; -\; n\; P\; n\; -\; 1\; (x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; (n\; +\; 1)\; \backslash ,\; P\_\; \{n\; +\; 1\}\; (x)\; =\; (2n\; +\; 1)\; x\; \backslash ,\; P\_\; \{n\}\; (x)\; -n\; \backslash ,\; P\_\; \{n-1\}\; (x).\}$

Смешанное повторение:

$P\; n\; +\; 1\; [r\; +\; 1]\; (x)\; =\; P\; n\; -\; 1\; [r\; +\; 1]\; (x)\; +\; (2\; n\; +\; 1)\; P\; n\; [r]\; (x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\_\; \{n\; +\; 1\}\; ^\; \{[r\; +\; 1]\}\; (x)\; =\; P\_\; \{n-1\}\; ^\; \{[r\; +\; 1]\}\; (x)\; +\; (2n\; +\; 1)\; \backslash ,\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{[r]\}\; (x).\}$

Формула Родригеса:

$P\; n\; (x)\; =\; 1\; 2\; nn!\; d\; n\; d\; x\; n\; ([x\; 2\; -\; 1]\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{n\}\; n!\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; left\; ([x\; ^\; \{2\}\; -1]\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right).\}$

Для получения дополнительной информации см. Многочлены Лежандра.

Связанные многочлены Лежандра

Связанные полиномы Лежандра многочлены, обозначаемые $P\; \ell \; (m)\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; ^\; \{(m)\}\; (x)\}$где $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$и $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- целые число с $0\; ⩽\; m\; ⩽\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leqslant\; m\; \backslash \; leqslant\; \backslash \; ell\}$, определение как

$P\; \ell \; (m)\; (x)\; =\; (-\; 1)\; m\; (1\; -\; x\; 2)\; m\; /\; 2\; P\; \ell \; [m]\; (x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; ^\; \{(m)\}\; (x)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{m\}\; \backslash ,\; (1-x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{m\; /\; 2\}\; \backslash \; P\; \_\; \{\backslash \; ell\; \}\; ^\; \{[m]\}\; (x).\}$

m в скобках (чтобы не путать с показателем степени). Буква m в скобках обозначает м-ю производную полинома Лежандра.

Эти "многочлены" неправильно названы - они не являются многочленами, когда m нечетно.

У них есть рекуррентное соотношение:

$(\ell \; +\; 1\; -\; m)\; P\; \ell \; +\; 1\; (m)\; (x)\; =\; (2\; \ell \; +\; 1)\; x\; P\; \ell \; (m)\; (x)\; -\; (\; \ell \; +\; m)\; P\; \ell \; -\; 1\; (m)\; (x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; (\backslash \; ell\; +\; 1-m)\; \backslash ,\; P\; \_\; \{\backslash \; ell\; +1\}\; ^\; \{(m)\}\; (x)\; =\; (2\; \backslash \; ell\; +1)\; x\; \backslash ,\; P\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; ^\; \{(\; m)\}\; (x)\; -\; (\backslash \; ell\; +\; m)\; \backslash ,\; P\; \_\; \{\backslash \; ell\; -1\}\; ^\; \{(m)\}\; (x).\}$

Для фиксированной m последовательности $P\; m\; (m),\; P\; м\; +\; 1\; (м),\; п\; м\; +\; 2\; (м),\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{m\}\; ^\; \{(m)\},\; P\_\; \{m\; +\; 1\}\; ^\; \{(m)\},\; P\_\; \{m\; +\; 2\}\; ^\; \{(m)\},\; \backslash \; dots\}$ортогональны над [-1, 1] с весом 1.

Для данного m, $P\; \ell \; (m)\; (x)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; ^\; \{(m)\}\; (x)\}$- это решения

$(1\; -\; x\; 2)\; y\; ″\; -\; 2\; xy\; \prime \; +\; [\lambda \; -\; m\; 2\; 1\; -\; x\; 2]\; y\; =\; 0\; с\; \lambda \; =\; \ell \; (\ell \; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; -\; 2xy\; \text{'}+\; \backslash \; left\; [\backslash \; lambda\; -\; \{\backslash \; frac\; \{m\; ^\; \{2\}\}\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; ell\; (\backslash \; ell\; +1).\}$

Многочлены Чебышева

Дифференциальное уравнение

$(1\; -\; x\; 2)\; y\; ″\; -\; xy\; \prime \; +\; \lambda \; y\; знак\; равно\; 0\; с\; \lambda \; =\; N\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; -\; x\; \backslash ,\; y\; \text{'}+\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; n\; ^\; \{2\}.\}$

Это уравнение Чебышева.

Рекуррентное соотношение:

$T\; n\; +\; 1\; (x)\; =\; 2\; x\; Т\; н\; (х)\; -\; Т\; п\; -\; 1\; (х).\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{n\; +\; 1\}\; (x)\; =\; 2x\; \backslash ,\; T\_\; \{n\}\; (x)\; -T\_\; \{n-1\}\; (x).\}$

Формула Родригеса:

$T\; n\; (x)\; =\; \Gamma \; (1/2)\; 1\; -\; x\; 2\; (-\; 2)\; n\; \Gamma \; (n\; +\; 1/2)\; dndxn\; ([1\; -\; x\; 2]\; n\; -\; 1/2).\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (1/2)\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{(-\; 2)\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (\; n\; +\; 1/2)\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; left\; ([1-x\; ^\; \{2\}]\; ^\; \{n-1/2\}\; \backslash \; right).\}$

Эти многочлены обладают тем своимством, что в интервале ортогональности

$T\; n\; (x)\; =\; cos\; \; (n\; arccos\; \; (x)).\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \backslash \; cos\; (n\; \backslash ,\; \backslash \; arccos\; (x)).\}$

(Чтобы доказать это, использовать формулу повторения.)

Это означает, что все их локальные минимумы и максимумы имеют значения −1 и +1, то есть есть полиномы являются «уровнями». Из-за этого разложения функций в терминах полиномов Чебышева иногда используется для полиномиальных приближений в компьютерных математических библиотеках.

Некоторые используют версии этих многочленов, которые были сдвинуты так, что интервал ортогональности равен [0, 1] или [−2, 2].

Есть также многочлены Чебышева второго рода, обозначенные $U\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{n\}\}$

Имеем:

$U\; n\; =\; 1\; n\; +\; 1\; T\; n\; +\; 1\; \prime .\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; +\; 1\}\}\; \backslash ,\; T\_\; \{n\; +\; 1\}\; \text{'}.\}$

Дополнительные сведения, включая выражения для нескольких многочленов, см. в Полиномы Чебышева.

Полиномы Лагерра

Наиболее общие полиномы типа Лагерра после сдвига и масштабирования области - это ассоциированные полиномы Лагерра (также называемые обобщенными полиномами Лагерра), обозначенные $L\; n\; (\alpha )\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\}$. Существует параметр $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$, который может быть любым действительным числом, строго большим, чем -1. Параметр заключен в круглые скобки, чтобы не путать с показателем степени. Простые полиномы Лагерра - это просто $\alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 0\}$их версия:

$L\; n\; (x)\; =\; L\; n\; (0)\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; (x)\; =\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(0)\}\; (x).\}$

Дифференциальное уравнение:

$xy\; ″\; +\; (\alpha \; +\; 1\; -\; x)\; y\; \prime \; +\; \lambda \; y\; =\; 0\; с\; \lambda \; =\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; (\backslash \; alpha\; +\; 1-x)\; \backslash ,\; y\; \text{'}+\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; \backslash \; lambda\; =\; n.\}$

Это Уравнение Лагерра .

Вторая форма дифференциального уравнения:

$(x\; \alpha \; +\; 1\; e\; -\; xy\; \prime )\; \prime \; +\; \lambda \; x\; \alpha \; e\; -\; xy\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{\backslash \; alpha\; +1\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash ,\; y\; \text{'})\text{'}\; +\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0.\}$

Повторяющееся соотношение:

$(n\; +\; 1)\; L\; n\; +\; 1\; (\alpha )\; (x)\; =\; (2\; n\; +\; 1\; +\; \alpha \; -\; x)\; L\; n\; (\alpha )\; (x)\; -\; (n\; +\; \alpha )\; L\; n\; -\; 1\; (\alpha )\; (x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; (п\; +\; 1)\; \backslash ,\; L\_\; \{п\; +\; 1\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа)\}\; (х)\; =\; (2n\; +\; 1\; +\; \backslash \; альфа-х)\; \backslash ,\; L\_\; \{п\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа)\}\; (x)\; -\; (n\; +\; \backslash \; alpha)\; \backslash ,\; L\_\; \{n-1\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x).\}$

Формула Родригеса:

$L\; n\; (\alpha )\; (x)\; =\; x\; -\; \alpha \; exn!\; d\; n\; d\; x\; n\; (x\; n\; +\; \alpha \; e\; -\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\}\; e\; ^\; \{x\}\}\; \{n!\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\; \}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash \; right).\}$

Параметр $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$связан с производными от $L\; n\; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\}$:

$L\; n\; (\alpha \; +\; 1)\; (x)\; =\; -\; ddx\; L\; n\; +\; 1\; (\alpha )\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{п\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа\; +1)\}\; (х)\; =\; -\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{d\}\; \{dx\}\}\; L\_\; \{п\; +\; 1\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа)\; \}\; (x)\}$

или, в более общем смысле:

$L\; n\; (\alpha \; +\; m)\; (x)\; =\; (-\; 1)\; m\; L\; n\; +\; m\; (\alpha )\; [m]\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +\; m)\}\; (x)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{m\}\; L\_\; \{n\; +\; m\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\; [m]\}\; (x).\}$

Уравнение Лагерра можно преобразовать в форму, более удобную для приложений:

$u\; =\; x\; \alpha \; -\; 1\; 2\; e\; -\; x\; /\; 2\; L\; n\; (\alpha )\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; x\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; -1\}\; \{2\}\}\; e\; ^\; \{-\; x\; /\; 2\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\}$

является решением

$u\; ″\; +\; 2\; xu\; \prime \; +\; [\lambda \; x\; -\; 1\; 4\; -\; \alpha \; 2\; -\; 1\; 4\; x\; 2]\; u\; =\; 0\; с\; \lambda \; =\; n\; +\; \alpha \; +\; 1\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \text{'}\text{'}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\}\}\; \backslash ,\; u\; \text{'}+\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\}\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \{4x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; u\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; \backslash \; lambda\; =\; n\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; +1\}\; \{2\}\}.\}$

Этим можно управлять и дальше. Когда $\ell \; =\; \alpha \; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; -1\}\; \{2\}\}\}$является целым числом, а $n\; \ge \; \ell \; +\; 1\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; п\; \backslash \; geq\; \backslash \; ell\; +1\}$:

$u\; =\; x\; \ell \; e\; -\; x\; /\; 2\; L\; n\; -\; \ell \; -\; 1\; (2\; \ell \; +\; 1)\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; x\; ^\; \{\backslash \; ell\}\; e\; ^\; \{-x\; /\; 2\}\; L\_\; \{n-\; \backslash \; ell\; -1\}\; ^\; \{(2\; \backslash \; ell\; +1)\}\; (x)\}$

является решением

$u\; ″\; +\; 2\; xu\; \prime \; +\; [\lambda \; x\; -\; 1\; 4\; -\; \ell \; (\ell \; +\; 1)\; x\; 2]\; u\; =\; 0\; с\; \lambda \; =\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \text{'}\text{'}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\}\}\; \backslash ,\; u\; \text{'}+\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\}\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ell\; (\backslash \; ell\; +1)\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; u\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; \backslash \; lambda\; =\; n.\}$

Решение часто выражается в терминах производных вместо ассоциированных многочленов Лагерра:

$u\; =\; x\; \ell \; e\; -\; x\; /\; 2\; L\; n\; +\; \ell \; [2\; \ell \; +\; 1]\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; x\; ^\; \{\backslash \; ell\}\; e\; ^\; \{-\; x\; /\; 2\}\; L\_\; \{n\; +\; \backslash \; ell\}\; ^\; \{[2\; \backslash \; ell\; +1]\}\; (x).\}$

Это уравнение возникает в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шредингера для одноэлектронного атома.

Физики часто используют определение полиномов Лагерра, которое в $(n!)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (n!)\}$раз больше, чем определение, используемое здесь.

Для получения дополнительных сведений, включая выражения для первых нескольких полиномов, см. Многочлены Лагерра.

Многочлены Эрмита

Дифференциальное уравнение:

$y\; ″\; -\; 2\; xy\; \prime \; +\; \lambda \; y\; =\; 0,\; при\; \lambda \; =\; 2\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\text{'}\; -\; 2xy\; \text{'}+\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; y\; =\; 0,\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; 2n.\}$

Это уравнение Эрмита .

Второе форма дифференциального уравнения:

$(e\; -\; x\; 2\; y\; \prime )\; \prime \; +\; e\; -\; x\; 2\; \lambda \; y\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; (e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; y\; \text{'})\text{'}\; +\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; y\; =\; 0.\}$

Третья форма:

$(e\; -\; x\; 2/2\; y)\; ″\; +\; (\lambda \; +\; 1\; -\; x\; 2)\; (\; е\; -\; Икс\; 2/2\; Y)\; =\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; (е\; ^\; \{-\; х\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\; \backslash ,\; y)\; \text{'}\text{'}\; +\; (\backslash \; lambda\; +\; 1-x\; ^\; \{2\})\; (е\; ^\; \{\; -x\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\; \backslash ,\; y)\; =\; 0.\}$

Рекуррентное соотношение:

$H\; n\; +\; 1\; (x)\; =\; 2\; x\; H\; n\; (x)\; -\; 2\; n\; H\; n\; -\; 1\; (\; Икс).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\; +\; 1\}\; (x)\; =\; 2x\; \backslash ,\; H\_\; \{n\}\; (x)\; -2n\; \backslash ,\; H\_\; \{n-1\}\; (x).\}$

Формула Родригеса:

$H\; n\; (x)\; =\; (-\; 1)\; nex\; 2\; dndxn\; (e\; -\; x\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (x)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; right).\}$

Первые несколько полиномов Эрмита:

$H\; 0\; (x)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{0\}\; (x)\; =\; 1\}$

$H\; 1\; (x)\; =\; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{1\}\; (x)\; =\; 2x\}$

$H\; 2\; (x)\; =\; 4\; x\; 2\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{2\}\; (x)\; =\; 4x\; ^\; \{2\}\; -2\}$

$H\; 3\; (x)\; =\; 8\; x\; 3\; -\; 12\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{3\}\; (x)\; =\; 8x\; ^\; \{3\}\; -12x\}$

$H\; 4\; (x)\; =\; 16\; x\; 4\; -\; 48\; x\; 2\; +\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{4\}\; (x)\; =\; 16x\; ^\; \{4\}\; -48x\; ^\; \{2\}\; +12\}$

Можно определить связанные функции Эрмита

$\psi \; n\; (x)\; =\; (hn)\; -\; 1/2\; e\; -\; x\; 2/2\; H\; n\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\; (x)\; =\; (h\_\; \{n\})\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\; H\_\; \{n\}\; (x).\}$

Поскольку множитель пропорционален квадратному корню из весовой функции, эти функции ортогональны по $(-\; \infty ,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; (-\; \backslash \; infty,\; \backslash \; infty)\}$без весовая функция.

Третья форма приведенного выше дифференциального уравнения для связанных функций Эрмита:

$\psi \; ″\; +\; (\lambda \; +\; 1\; -\; x\; 2)\; \psi \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \text{'}\text{'}\; +\; (\backslash \; lambda\; +\; 1-x\; ^\; \{2\})\; \backslash \; psi\; =\; 0.\}$

Соответствующие функции Эрмита возникают во многих областях математики и физики. В квантовой механике они являются решениями уравнения Шредингера для гармонического осциллятора. Они также являются собственными функциями (с собственным значением (−i) непрерывного преобразования Фурье.

Многие авторы, особенно вероятностные, используют альтернативное определение полиномов Эрмита с весовой функцией $e\; -\; x\; 2/2\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\}$вместо $e\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\}$. Если для этих многочленов Используется обозначение He, а для указанного выше - H, то есть они могут быть охарактеризованы как

$H\; en\; (x)\; =\; 2\; -\; n\; /\; 2\; H\; n\; (x\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; He\_\; \{n\}\; (x)\; =\; 2\; ^\; \{-\; n\; /\; 2\}\; \backslash ,\; H\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right).\}$

Для постоянной информации см. Многочлены Эрмита.

Существует несколько условий, которые выделяют классические ортогональные многочлены среди других.

Первое условие было найдено Сонайном (а позже Ханом). до линейных замен) классические ортогональные многочлены являются единственными, у которых их производные также являются ортогональными многочленами.

Бохнер охарактеризовал классические ортогональные полиномы в терминах их рекуррентных агентов.

Трикоми охарактеризовал классические ортогональные многочлены как те, которые имеют аналог формулы Родригеса.

Следующая таблица суммирует свойства классических ортогональных многочленов.

Имя и условное обозначение	Чебышев, $T\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; T\_\; \{n\}\}$	Чебышев. (второй вид), $U\; п\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; U\_\; \{n\}\}$	Лежандр, $P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; P\_\; \{n\}\}$	Эрмит, $H\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; H\_\; \{n\; \}\}$
Пределы ортогональности	$-\; 1,\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -1,1\}$	$-\; 1,\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -1,1\}$	$-\; 1,\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; 1,\; 1\}$	$-\; \infty ,\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty,\; \backslash \; infty\}$
Вес, $W\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (x)\}$	$(1\; -\; x\; 2)\; -\; 1\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{-\; 1/2\}\}$	$(1\; -\; x\; 2)\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{1\; /\; 2\}\}$	$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$	$e\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-x\; ^\; \{2\}\}\}$
Стандартизация	$T\; n\; (1)\; =\; 1\; \{\backslash \; d\; isplaystyle\; T\_\; \{n\}\; (1)\; =\; 1\}$	$U\; n\; (1)\; =\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{n\}\; (1)\; =\; n\; +\; 1\}$	$P\; n\; (1)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; (1)\; =\; 1\}$	Ведущий термин $=\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; 2\; ^\; \{n\}\}$
Квадрат нормы	$\{\pi :\; n\; =\; 0\; \pi \; /\; 2:\; п\; \ne \; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{\; матрица\}\; \backslash \; pi\; :\; ~\; n\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; pi\; /\; 2\; :\; ~\; n\; \backslash \; neq\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right.\}$	$\pi \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; /\; 2\}$	$2\; 2\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{2n\; +\; 1\}\}\}$	$2\; nn!\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; п!\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}$
Начальный член	$2\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{n-1\}\}$	$2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{n\}\}$	$(2\; п)!\; 2\; n\; (n!)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(2n)!\}\; \{2\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; (n!)\; ^\; \{2\}\}\}\}$	$2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{n\; \}\}$
Второй термин, $kn\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \text{'}\_\; \{n\}\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$
$Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$	$1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-x\; ^\; \{2\}\}$	$1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-x\; ^\; \{2\}\}$	$1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-x\; ^\; \{2\}\}$	$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$
$L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$	$-\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; -x\; \}$	$-\; 3\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; -3x\}$	$-\; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; -2x\}$	$-\; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; -2x\}$
$R\; (x)\; =\; e\; \int \; L\; (x)\; Q\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (x)\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{L\; (x)\}\; \{Q\; (x)\}\}\; \backslash ,\; dx\}\}$	$(1\; -\; x\; 2)\; 1\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{1/2\}\}$	$(1\; -\; x\; 2)\; 3/2\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{3/2\; \}\}$	$1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-x\; ^\; \{2\}\}$	$e\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\}\}$
Константа в разн. уравнение, $\lambda \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\}$	$n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{2\}\}$	$n\; (n\; +\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; (n\; +\; 2)\}$	$n\; (n\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; (n\; +\; 1)\}$	$2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n\}$
Константа в формуле Родригеса, $ru\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{n\}\}$	$(-\; 2)\; n\; \Gamma \; (n\; +\; 1/2)\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; (-2)\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; +\; 1/2)\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\; \}\}\}$	$2\; (-\; 2)\; n\; \Gamma \; (n\; +\; 3/2)\; (n\; +\; 1)\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; (-2)\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; +\; 3\; /\; 2)\}\; \{(n\; +\; 1)\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\}\}$	$(-\; 2)\; nn!\; \{\backslash \; displaystyle\; (-2)\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; n!\}$	$(-\; 1)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (-1)\; ^\; \{n\}\}$
отношение повторяемости, $an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\}$	$2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$	$2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$	$2\; n\; +\; 1\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2n\; +\; 1\}\; \{n\; +\; 1\}\}\}$	$2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$
Отношение повторяемости, $bn\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; 0\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$
Отношение повторения, $cn\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n\}\}$	$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$	$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$	$nn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{n\; +\; 1\}\}\}$	$2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n\}$

Имя и условное обозначение	Связанный Laguerre, $L\; n\; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\}$	Лагерр, $L\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; L\_\; \{n\}\}$
Пределы ортогональности	$0,\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; 0,\; \backslash \; infty\}$	$0,\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; 0,\; \backslash \; infty\}$
Вес, $W\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (x)\}$	$Икс\; \alpha \; е\; -\; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; ^\; \{\backslash \; а\; л\; ьфа\}\; е\; ^\; \{-\; х\}\}$	$е\; -\; х\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; ^\; \{-\; х\}\}$
Стандартизация	Ведущий термин $=\; (-\; 1)\; n\; n!\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\}$	Ведущий термин $=\; (-\; 1)\; n\; n!\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\}$
Квадрат нормы, $hn\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{n\}\}$	$\Gamma \; (n\; +\; \alpha \; +\; 1)\; п!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; +\; \backslash \; alpha\; +1)\}\; \{n!\}\}\}$	$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$
Начальный термин, $kn\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{n\}\; \}$	$(-\; 1)\; нн!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\}$	$(-\; 1)\; n\; n!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\}$
Второй член, $kn\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \text{'}\_\; \{n\}\}$	$(-\; 1)\; п\; +\; 1\; (п\; +\; \alpha )\; (п\; -\; 1)!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; (n\; +\; \backslash \; alpha)\}\; \{(n-1)!\}\}\}$	$(-\; 1)\; n\; +\; 1\; n\; (n\; -\; 1)\; !\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; n\}\; \{(n-1)!\}\}\}$
$Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$	$x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$	$x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$
$L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$	$\alpha \; +\; 1\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; +\; 1-x\}$	$1\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-x\}$
$R\; (Икс)\; знак\; равно\; е\; \int \; L\; (Икс)\; Q\; (Икс)\; dx\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; (х)\; =\; е\; ^\; \{\backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{L\; (x)\}\; \{Q\; (x)\}\}\; \backslash ,\; dx\}\}$	$Икс\; \alpha \; +\; 1\; е\; -\; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; ^\; \{\backslash \; альфа\; +1\}\; \backslash ,\; е\; ^\; \{-\; х\}\}$	$хе\; -\; х\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; \backslash ,\; е\; ^\; \{-\; х\}\}$
Константа в разн. уравнение, $\lambda \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\}$	$n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$	$n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$
Константа в формуле Родригеса, $en\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{n\}\}$	$н!\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\}$	$п!\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\}$
Отношение повторяемости, $an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\}$	$-\; 1\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{n\; +\; 1\}\}\}$	$-\; 1\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{n\; +\; 1\}\}\}$
Отношение повторяемости, $bn\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\}$	$2\; n\; +\; 1\; +\; \alpha \; N\; +\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2n\; +\; 1\; +\; \backslash \; alpha\}\; \{n\; +\; 1\}\}\}$	$2\; n\; +\; 1\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2n\; +\; 1\}\; \{n\; +\; 1\; \}\}\}$
Отношение повторяемости, $cn\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n\}\}$	$n\; +\; \alpha \; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\}\; \{n\; +\; 1\}\}\}$	$nn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{n\; +\; 1\}\}\}$

Имя и условное обозначение	Gegenbauer, $C\; n\; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\; \}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\}$	Якоби, $P\; n\; (\alpha ,\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\}\}$
Пределы ортогональности	$-\; 1,\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -1,1\}$	$-\; 1,\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -1,1\}$
Вес, $W\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (x)\}$	$(1\; -\; x\; 2)\; \alpha \; -\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{\backslash \; alpha\; -1/2\}\}$	$(1\; -\; x)\; \alpha \; (1\; +\; x)\; \beta \; \{\backslash \; d\; isplaystyle\; (1-x)\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; (1\; +\; x)\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}$
Стандарт zation	$C\; n\; (\alpha )\; (1)\; =\; \Gamma \; (n\; +\; 2\; \alpha )\; n!\; \Gamma \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (1)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; +\; 2\; \backslash \; alpha)\}\; \{п!\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (2\; \backslash \; alpha)\}\}\}$если $\alpha \; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; neq\; 0\}$	$P\; n\; (\alpha ,\; \beta )\; (1)\; =\; \Gamma \; (\; п\; +\; 1\; +\; \alpha )\; п!\; \Gamma \; (1\; +\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\}\; (1)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; +\; 1\; +\; \backslash \; alpha)\}\; \{п!\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (1+\; \backslash \; alpha)\}\}\}$
Квадрат нормы, $hn\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{n\}\}$	$\pi \; 2\; 1-2\; \alpha \; \Gamma \; (n\; +\; 2\; \alpha )\; n!\; (N\; +\; \alpha )\; (\Gamma \; (\alpha ))\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \backslash ,\; 2\; ^\; \{1-2\; \backslash \; альфа\}\; \backslash \; Gamma\; (п\; +\; 2\; \backslash \; альфа)\}\; \{п!\; (п\; +\; \backslash \; альфа)\; (\backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha))\; ^\; \{2\}\}\}\}$	$2\; \alpha \; +\; \beta \; +\; 1\; \Gamma \; (n\; +\; \alpha \; +\; 1)\; \Gamma \; (n\; +\; \beta \; +\; 1)\; n!\; (2\; n\; +\; \alpha \; +\; \beta \; +\; 1)\; \Gamma \; (n\; +\; \alpha \; +\; \beta \; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; +1\}\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (n\; \backslash !\; +\; \backslash !\; \backslash \; альфа\; \backslash !\; +\; \backslash !\; 1)\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (n\; \backslash !\; +\; \backslash !\; \backslash \; beta\; \backslash !\; +\; \backslash !\; 1)\}\; \{n!\; (2n\; \backslash !\; +\; \backslash !\; \backslash \; Alpha\; \backslash !\; +\; \backslash !\; \backslash \; Beta\; \backslash !\; +\; \backslash !\; 1)\; \backslash \; Gamma\; (п\; \backslash !\; +\; \backslash !\; \backslash \; Alpha\; \backslash !\; +\; \backslash !\; \backslash \; Beta\; \backslash !\; +\; \backslash !\; 1)\}\}\; \}$
Начальный член, $kn\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{n\}\}$	$\Gamma \; (2\; n\; +\; 2\; \alpha )\; \Gamma \; (1/2\; +\; \alpha )\; n!\; 2\; N\; \Gamma \; (2\; \alpha )\; \Gamma \; (N\; +\; 1/2\; +\; \alpha )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (2n\; +\; 2\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; Gamma\; (1/2\; +\; \backslash \; alpha)\}\; \{п!\; \backslash ,\; 2\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (2\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; Gamma\; (n\; +\; 1/2\; +\; \backslash \; alpha)\}\}\}$	$\Gamma \; (2\; n\; +\; 1\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; n!\; 2\; N\; \Gamma \; (N\; +\; 1\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; Gamma\; (2n\; +\; 1\; +\; \backslash \; альфа\; +\; \backslash \; бета)\}\; \{п!\; \backslash ,\; 2\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (n\; +\; 1+\; \backslash \; альфа\; +\; \backslash \; бета)\}\}\}$
Второй член, $kn\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \text{'}\_\; \{n\}\}$	$0\; \{\backslash \; Displaystyle\; 0\}$	$(\alpha \; -\; \beta )\; \Gamma \; (2\; п\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; (п\; -\; 1)!\; 2\; N\; \Gamma \; (N\; +\; 1\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{(\backslash \; альфа\; -\; \backslash \; бета)\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (2n\; +\; \backslash \; альфа\; +\; \backslash \; бета)\}\; \{(п-1)!\; \backslash ,\; 2\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (п\; +\; 1\; +\; \backslash \; альфа\; +\; \backslash \; бета)\}\}\}$
$Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$	$1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-x\; ^\; \{2\; \}\}$	$1\; -\; Икс\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; 1-х\; ^\; \{2\}\}$
$L\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\}$	$-\; (2\; \alpha \; +\; 1)\; х\; \{\backslash \; Displaystyle\; -\; (2\; \backslash \; альфа\; +1)\; \backslash ,\; х\}$	$\beta \; -\; \alpha \; -\; (\alpha \; +\; \beta \; +\; 2)\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; alpha\; -\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; +2)\; \backslash ,\; x\}$
$R\; (x)\; =\; е\; \int \; L\; (x)\; Q\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (x)\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{L\; (x)\}\; \{Q\; (x)\}\}\; \backslash ,\; dx\}\}$	$(1\; -\; Икс\; 2)\; \alpha \; +\; 1/2\; \{\backslash \; Displaystyle\; (1-х\; ^\; \{2\})\; ^\; \{\backslash \; альфа\; +1/2\}\}$	$(1\; -\; х)\; \alpha \; +\; 1\; (1\; +\; х)\; \beta \; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-x)\; ^\; \{\backslash \; alpha\; +1\}\; (1\; +\; x)\; ^\; \{\backslash \; beta\; +1\}\}$
Константа в разн. уравнение, $\lambda \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\}$	$n\; (n\; +\; 2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; (n\; +\; 2\; \backslash \; alpha)\}$	$n\; (n\; +\; 1\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; (n\; +\; 1\; +\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta)\}$
Константа в формуле Родригеса, $en\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{n\}\}$	$(-\; 2)\; nn!\; \Gamma \; (2\; \alpha )\; \Gamma \; (n\; +\; 1/2\; +\; \alpha )\; \Gamma \; (n\; +\; 2\; \alpha )\; \Gamma \; (\alpha \; +\; 1/2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(-2)\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; n!\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (2\; \backslash \; alpha)\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (n\; \backslash !\; +\; \backslash !\; 1/2\; \backslash !\; +\; \backslash !\; \backslash \; Alpha)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; \backslash !\; +\; \backslash !\; 2\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; альфа\; \backslash !\; +\; \backslash !\; 1/2)\}\}\}$	$(-\; 2)\; nn!\; \{\backslash \; displaystyle\; (-2)\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; n!\}$
отношения повторяемости, $an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\}$	$2\; (n\; +\; \alpha )\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; frac\; \{2\; (n\; +\; \backslash \; alpha)\}\; \{n\; +\; 1\}\}\}$	$(2\; n\; +\; 1\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; (2\; n\; +\; 2\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; 2\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 1\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(2n\; +\; 1\; +\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta)\; (2n\; +\; 2\; +\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta)\}\; \{2\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 1\; +\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta)\}\}\}$
Отношение повторяемости, $bn\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$(\alpha \; 2\; -\; \beta \; 2)\; (2\; n\; +\; 1\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; 2\; (n\; +\; 1)\; (2\; n\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; (n\; +\; 1\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(\{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; beta\}\; ^\; \{\; 2\})\; (2n\; +\; 1\; +\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta)\}\; \{2\; (n\; +\; 1)\; (2n\; +\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta)\; (n\; +\; 1\; +\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta)\}\}\}$
Отношение рекуррентности $сп\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n\}\}$	$n\; +\; 2\; \alpha \; -\; 1\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; 2\; \{\backslash \; alpha\}\; -1\}\; \{n\; +\; 1\}\}\}$	$(N\; +\; \alpha )\; (N\; +\; \beta )\; (2\; N\; +\; 2\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; (N\; +\; 1)\; (N\; +\; 1\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; (2\; N\; +\; \alpha \; +\; \beta )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(п\; +\; \backslash \; альфа)\; (п\; +\; \backslash \; бета)\; (2n\; +\; 2\; +\; \backslash \; альфа\; +\; \backslash \; бета)\}\; \{(п\; +\; 1)\; (п\; +\; 1\; +\; \backslash \; а\; lpha\; +\; \backslash \; beta)\; (2n\; +\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta)\}\}\}$

• Последовательность апелляций
• Схема Askey гипергеометрических ортогональных многочленов
• Полиномиальные придерживаться биномиального типа
• Биортогональные многочлены
• Обобщенный ряд Фурье
• Вторичная мера
• Последовательность Шеффчисление

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 22». Справочник по математическим функциям с формулами, графики и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард (1985). «Классические ортогональные многочлены». В Brezinski, C.; Draux, A.; Магнус, Альфонс П.; Марони, Паскаль; Ронво, А. (ред.). Ортогональные полиномы и другие приложения. Материалы симпозиума Лагерра, состоявшегося в Бар-ле-Дюк, 15–18 октября 1984 г. Конспект лекций по математике. 1171 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 36–62. doi : 10.1007 / BFb0076530. ISBN 978-3-540-16059-5. MR 0838970. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Чихара, Теодор Сейо (1978. Введение в ортогональные многочлены. Гордон и Брич, Нью-Йорк. ISBN 0-677 -04150-0. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Foncannon, JJ; Foncannon, JJ; Pekonen, Osmo (2008). «Обзор классических и квантовых ортогональных многочленов от одной доли», Мурад Исмаил ». The Mathematical Intelligencer. Springer New York. 30 : 54–60. doi : 10.1007 / BF02985757. ISSN 0343-6993. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Ismail, Mourad EH (2005). Классические и квантовые ортогональные многочлены от Кембридж: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-78201-5. CS1 maint: ref = harv (link )
• Джексон, Данэм (2004) [1941]. Ряды Фурье и ортогональные многочлены. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-43808-2. CS1 maint: ref = harv (lin k )
• Koornwinder, Tom H.; W онг, Родерик С.С.; Коэкоек, Рулоф; Свартту, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены», в Олвер, Фрэнк У. Дж. ; Лозье, Даниэль М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Суетин, П..К. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Сегё, Габор (1939). Ортогональные многочлены. Публикации коллоквиума. XXIII . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1023-1. MR 0372517. CS1 maint: ref = harv (ссылка )