Уравнение Чебышева

Уравнение Чебышева является линейным дифференциальным уравнением второго порядка

$(1\; -\; x\; 2)\; d\; 2\; ydx\; 2\; -\; xdydx\; +\; p\; 2\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; -\; x\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; +\; p\; ^\; \{2\}\; y\; =\; 0\}$

, где p - действительная (или комплексная) константа. Уравнение названо в честь русского математика Пафнутого Чебышева.

. Решение может быть получено с помощью степенного ряда :

$y\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; travelling\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n\}\}$

где коэффициенты подчиняются рекуррентному соотношению

$an\; +\; 2\; =\; (n\; -\; p)\; (n\; +\; p)\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2)\; ан.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\; +\; 2\}\; =\; \{(n-p)\; (n\; +\; p)\; \backslash \; over\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2)\}\; a\_\; \{n\}.\}$

Ряд сходится для (примечание, x может быть сложным), что можно увидеть, применив критерий отношения к повторению.

Повторение может начинаться с произвольных значений a 0 и 1, что приводит к двумерному пространству решений, которое возникает из дифференциальных уравнений второго порядка. Стандартные варианты:

a0= 1; a 1 = 0, что приводит к решению

$F\; (x)\; =\; 1\; -\; p\; 2\; 2!\; х\; 2\; +\; (п\; -\; 2)\; п\; 2\; (п\; +\; 2)\; 4!\; x\; 4\; -\; (p\; -\; 4)\; (p\; -\; 2)\; p\; 2\; (p\; +\; 2)\; (p\; +\; 4)\; 6!\; x\; 6\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{2\}\}\; \{2!\}\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(p-2)\; p\; ^\; \{2\}\; (\; p\; +\; 2)\}\; \{4!\}\}\; x\; ^\; \{4\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{(p-4)\; (p-2)\; p\; ^\; \{2\}\; (p\; +\; 2)\; (p\; +\; 4)\}\; \{6!\}\; \}\; x\; ^\; \{6\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

и

a0= 0; a 1 = 1, что приводит к решению

$G\; (x)\; =\; x\; -\; (p\; -\; 1)\; (p\; +\; 1)\; 3!\; х\; 3\; +\; (п\; -\; 3)\; (п\; -\; 1)\; (р\; +\; 1)\; (р\; +\; 3)\; 5!\; х\; 5\; -\; \cdots .\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; (x)\; =\; x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{(p-1)\; (p\; +\; 1)\}\; \{3!\}\}\; x\; ^\; \{3\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(p-3)\; (p-1)\; (p\; +\; 1)\; (p\; +\; 3)\}\; \{5!\}\}\; x\; ^\; \{5\}\; -\; \backslash \; cdots.\}$

Общее решение - любая линейная комбинация этих двух.

Когда p является неотрицательным целым числом, одна или другая из двух функций заканчивают свою серию после конечного числа членов: F завершается, если p четно, и G завершается, если p нечетно. В данном случае эта функция является многочленом степени p и пропорциональна многочлену Чебышева первого рода

$T\; p\; (x)\; =\; (-\; 1)\; p\; /\; 2\; F\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{p\}\; (x)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{p\; /\; 2\}\; \backslash \; F\; (x)\; \backslash ,\}$, если p четно

$T\; p\; (x)\; =\; (-\; 1)\; (п\; -\; 1)\; /\; 2\; п\; G\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; T\_\; \{р\}\; (х)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{(р-1)\; /\; 2\}\; \backslash \; р\; \backslash \; G\; (х)\; \backslash ,\}$, если p нечетное

Эта статья включает материал из уравнения Чебышева на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.