Формула Родригеса

редактировать

Формулу вращения в трехмерном пространстве см. В формуле вращения Родригеса.

В математике формула Родригеса (ранее называвшаяся формулой Айвори – Якоби) - это формула для полиномов Лежандра, независимо введенная Олиндой Родригес ( 1816 г.), сэром Джеймсом Айвори ( 1824 г.) и Карлом Густавом Якоби ( 1827 г.). Название «формула Родригеса» было введено Гейне в 1878 году после того, как Эрмит указал в 1865 году, что Родригес был первым, кто его открыл. Этот термин также используется для описания подобных формул для других ортогональных многочленов. Аски (2005) подробно описывает историю формулы Родригеса.

Заявление

Пусть - последовательность ортогональных многочленов, удовлетворяющая условию ортогональности ${\ Displaystyle \ {P_ {п} (х) \} _ {п = 0} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle \ {P_ {п} (х) \} _ {п = 0} ^ {\ infty}}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} P_ {m} (x) P_ {n} (x) w (x) dx = K_ {m, n} \ delta _ {m, n},}$ ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} P_ {m} (x) P_ {n} (x) w (x) dx = K_ {m, n} \ delta _ {m, n},}$

где, - подходящая весовая функция, - константы и - символ Кронекера. Если весовая функция удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению (называемому дифференциальным уравнением Пирсона), ${\ Displaystyle ш (х)}$ $ш (х)$ ${\ displaystyle K_ {m, n}}$ $К_ {м, п}$ ${\ displaystyle \ delta _ {m, n}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {m, n}}$ ${\ Displaystyle ш (х)}$ $ш (х)$

${\ displaystyle {\ frac {w '(x)} {w (x)}} = {\ frac {A (x)} {B (x)}},}$ ${\ displaystyle {\ frac {w '(x)} {w (x)}} = {\ frac {A (x)} {B (x)}},}$

где - многочлен степени не выше 1, а - многочлен степени не выше 2 и, далее, пределы ${\ Displaystyle А (х)}$ $А (х)$ ${\ Displaystyle В (х)}$ $В (х)$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow a} w (x) B (x) = 0, \ qquad \ lim _ {x \ rightarrow b} w (x) B (x) = 0,}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow a} w (x) B (x) = 0, \ qquad \ lim _ {x \ rightarrow b} w (x) B (x) = 0,}$

тогда можно показать, что удовлетворяет рекуррентному соотношению вида ${\ Displaystyle P_ {п} (х)}$ $P_n (х)$

${\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {c_ {n}} {w (x)}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ { n}}} \ left [B (x) ^ {n} w (x) \ right],}$ ${\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {c_ {n}} {w (x)}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ { n}}} \ left [B (x) ^ {n} w (x) \ right],}$

для некоторых констант. Это отношение называется формулой типа Родригеса или просто формулой Родригеса. ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$

Наиболее известные применения формул типа Родрига - формулы для полиномов Лежандра, Лагерра и Эрмита:

Родригес сформулировал свою формулу для полиномов Лежандра : ${\ displaystyle P_ {n}}$ $P_ {n}$

{\ displaystyle P_ {n} (x) = {1 \ over 2 ^ {n} n!} {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} \ left [(x ^ {2} -1) ^ {n} \ right].}

P_ {n} (x) = {1 \ over 2 ^ {n} n!} {D ^ {n} \ over dx ^ {n}} \ left [(x ^ {2} -1) ^ {n} \верно].

Полиномы Лагерра обычно обозначают L 0, L 1,..., а формулу Родрига можно записать как

{\ displaystyle L_ {n} (x) = {\ frac {e ^ {x}} {n!}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ left (e ^ { -x} x ^ {n} \ right) = {\ frac {1} {n!}} \ left ({\ frac {d} {dx}} - 1 \ right) ^ {n} x ^ {n},}

L_ {n} (x) = {\ frac {e ^ {x}} {n!}} {\ Frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ left (e ^ {- x} x ^ {n} \ right) = {\ frac {1} {n!}} \ left ({\ frac {d} {dx}} - 1 \ right) ^ {n} x ^ {n},

Формула Родригеса для полинома Эрмита может быть записана как

{\ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} e ^ {- x ^ {2}} = \ left (2x - {\ frac {d} {dx}} \ right) ^ {n} \ cdot 1}

H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} e ^ {- x ^ { 2}} = \ left (2x - {\ frac {d} {dx}} \ right) ^ {n} \ cdot 1

Подобные формулы верны для многих других последовательностей ортогональных функций, возникающих из уравнений Штурма-Лиувилля, и они также называются формулой Родригеса (или формулой типа Родригеса) для этого случая, особенно когда результирующая последовательность является полиномиальной.

Рекомендации

Аски, Ричард (2005), «Статья 1839 г. о перестановках: ее связь с формулой Родригеса и дальнейшее развитие», в Altmann, Simón L.; Ортис, Эдуардо Л. (ред.), Математика и социальные утопии во Франции: Олинда Родригес и его времена, История математики, 28, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 105–118, ISBN 978-0-8218-3860-0
Цвета слоновой кости, Джеймс (1824), «На рисунке Необходимого для поддержания равновесия однородной жидкости массы, которая вращается, при возникновении оси», Философские труды Королевского общества Лондона, The Royal Society, 114: 85-150, DOI : 10,1098 /rstl.1824.0008, JSTOR 107707
Якоби, CGJ (1827), «Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1-2 xz + z ²) ^1/2 entstehen»., Journal für умереть Reine унд Angewandte Mathematik (на немецком языке), 2: 223-226, DOI : 10,1515 / crll.1827.2.223, ISSN 0075-4102, S2CID 120291793
О'Коннор, Джон Дж. ; Робертсон, Эдмунд Ф., "Олинда Родригес", архив истории математики MacTutor, Университет Сент-Эндрюс
Родригес, Олинд (1816), «Аттракцион сфероидов», Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique, (Диссертация для факультета естественных наук Парижского университета), 3 (3): 361–385