Полиномиальная последовательность
В математике полиномы Эрмита являются классической ортогональная последовательность полиномов.
Многочлены установлены в:
- вероятности, например, ряд Эджворта ;
- в комбинаторике, в качестве примера следовать Аппеля, подчиняющейся умбральному исчислению ;
- в числовом анализом как квадратуре Гаусса ;
- в физике, где они вызывают собственные состояния квантового гармонического осциллятора ;
- в теории систем в связи с нелинейными операциями над гауссовым шумом.
- в теория случайных матриц в ансамблях Вигнера - Дайсона.
Многочлены Эрмита были выявлены Пьером-Симоном Лапласом в 1810 году, хотя и в трудно узнаваемой форме, и подробно изучены Пафнутым Чебышева в 1859 г. Работы Чебышева не получили должного внимания, и они были названы в кормовой части. ээ Чарльз Эрмит, который писал о многочленах в 1864 году, описывая их как новые. Следовательно, они не были новыми, хотя Эрмит был первым, кто определил многомерные полиномы в своих более поздних публикациях 1865 года.
Содержание
- 1 Определение
- 2 Свойства
- 2.1 Ортогональность
- 2.2 Полнота
- 2.3 Дифференциальное уравнение Эрмита
- 2.4 Соотношение рекуррентности
- 2.5 Явное выражение
- 2.6 Обратное явное выражение
- 2.7 Производящая функция
- 2.8 Ожидаемые значения
- 2.9 Асимптотическое расширение
- 2.10 Специальные значения
- 3 Отношения с другими функциями
- 3.1 Полиномы Лагерра
- 3.2 Связь с сливами гипергеометрическими функциями
- 4 Дифференциально-операторное представление
- 5 Контурно-интегральное представление
- 6 Обобщения
- 6.1 «Отрицательная дисперсия»
- 7 Приложения
- 7.1 Функции Эрмита
- 7.2 Рекурсивное отношение
- 7.3 Неравенство Крамера
- 7.4 Функции Эрмита как собственные функции преобразования Фурье
- 7.5 Распределения Вигнера функций Эрмита
- 7.6 Комбинаторная интерпретация коэффициентов
- 7.7 Отношение полноты
- 8 См. Также
- 9 Примечания
- 10 Ссылки
- 11 Внешние ссылки
Определение
Как и другие классические ортогональные полиномы, полиномы Эрмита могут быть определены из нескольких различных начальных точек. С самого начала отмечая, что обычно используются две различные стандартизации, один из удобных методов выглядит следующим образом:
- "вероятностные многочлены Эрмита" задаются как
- в то время как " полиномы Эрмита физиков "задаются как
Эти уравнения имеют формулу формулы Родригеса, а также могут быть записаны как,
Эти два определения не совсем идентичны; каждый является изменением масштаба другого:
Это следовать полиномов Эрмита дисперсии; см. материал о вариациях ниже.
Обозначения He и H используются в стандартных ссылках. Многочлены He n иногда обозначаются H n, особенно в теории вероятностей, что
- функция плотности вероятности для нормального распределения с ожидаемым значением 0 и стандартным отклонением 1.
Первые шесть вероятностных полиномов Эрмита He n (x)
- Первые одиннадцать вероятностных многочленов Эрмита:
Первые шесть (физиков) многочленов Эрмита H n (x)
- Первые одиннадцать физиков 'Многочлены Эрмита:
Свойства
Многочлен Эрмита n-го порядка - это многочлен степени n. Версия вероятностей He n имеет старший коэффициент 1, версия физиков H n - старший коэффициент 2.
Ортогональность
Hn(x) и He n (x) - многочлены n-й степени для n = 0, 1, 2, 3,.... Эти многочлены ортогональны относительно весовой функции (мера )
или
т.е. мы имеем
Кроме того,
или
где - дельта Кронекера.
Таким образом, вероятностные полиномы ортогональны по стандартной к нормальной функции плотности вероятности.
Полнота
Многочлены Эрмита (вероятностные или физики) образуют ортогональный базис гильбертова пространства функций, удовлетворяющих
, в котором внутреннее произведение дается интегралом
включая Гауссова весовая функция w (x), определенная в предыдущем разделе
Ортогональный базис для L(R, w (x) dx) является полной ортогональной системой. Для ортогональной системы полнота эквивалентна тому факту, что функция 0 единственная функция f ∈ L (R, w (x) dx), ортогональной всем функциям в системе.
Так как линейная оболочка многочленов Эрмита является пространством всех многочленов, нужно показать (в физическом случае), что если f удовлетворяет
для любого n ≥ 0, тогда f = 0.
Один из способов сделать это - понять, что целая функция
тождественно обращается в нуль. Тот факт, что F (it) = 0 для каждого действительного t, означает, что преобразование Фурье функции f (x) e равно 0, следовательно, f равно 0 почти всюду. Варианты приведенного выше доказательства применимости к другим весам с экспоненциальным убыванием.
В Эрмита также можно доказатьное тождество, подразумевает явное проявление полноту (см. Раздел отношение полноты ниже).
Эквивалентная формулировка того факта, что полиномы являются ортогональным базисом для L (R, w (x) dx), входят во введении функций Эрмита (см. Ниже) и утверждении, что функции Эрмита являются ортонормированным базисом для L (R ).
Дифференое уравнение Эрмита
Вероятностные полиномы Эрмита являются решениями дифференциального уравнения
где λ - постоянная. Налагая граничное решение, что u должен быть полиномиально ограничен на бесконечности, уравнение имеет только в том случае, если λ - неотрицательное целое число, решение однозначно дается формулой , где обозначает постоянный.
Переписываем дифференциальное уравнение в виде задачи на собственные значения
полиномы Эрмита могут понимать как собственные функции дифференциального оператора . Эта проблема собственных значений называется уравнением Эрмита, хотя этот термин также используется для совместного использования связанного уравнения
, решение которого однозначно дается в терминах полиномов Эрмита физиков в форме , где обозначает константа, после наложения граничного условия, что u должно быть полиномиально ограничена на бесконечности.
Общие решения вышеупомянутых дифференциальных уравнений второго порядка являются линейными комбинациями как полиномов Эрмита, так и вырожденных гипергеометрических функций первого рода. Например, для уравнений Эрмита физиков
общее решение принимает форму
где и - константы, - полиномы Эрмита (первого рода) физиков, и - функции Эрмита (второго рода) физиков. Последние функции компактно представлены как где - это сливные гипергеометрические функции первого рода. Обычные многочлены Эрмита также могут быть выражены через конфлюэнтные гипергеометрические функции, см. Ниже.
С более общими граничными условиями полиномы Эрмита могут быть обобщены для получения более общих аналитических функций для комплекснозначных λ. Также возможна явная формула полиномов Эрмита в терминах контурных интегралов (Courant Hilbert 1989).
Отношение рекуррентности
Последовательность вероятностных многочленов Эрмита также удовлетворяет рекуррентному действию
Индивидуальные коэффициенты связаны следующей рекурсивной формулой:
и 0,0 = 1, a 1,0 = 0, a 1, 1 = 1.
Для полиномов физиков, предполагая, что
имеем
Индивидуальные коэффициенты связаны следующей формулой рекурсии:
и 0,0 = 1, a 1,0 = 0, a 1,1 = 2.
Полиномы Эрмита составляют последовательность Аппеля, т. Е. Они представляют собой полиномиальную последовательность, удовлетворяющую тождеству
Эквивалентно, по расширяющему Тейлору,
Эти темные идентичности очевидны и включены в представление дифференциального оператора, подробно ниже,
Следовательно, для m-х производных выполняются следующие соотношения:
Отсюда следует, что многочлены Эрмита также удовлетворяют рекуррентному выражению
Эти последние соотношения вместе с начальными многочленами H 0 (x) и H 1 (x) начать на практике для быстрых вычислений многочленов.
Неравенства Турана равны
Кроме того, выполняется следующая теорема умножения :
Явное вы ражение ession
Полиномы Эрмита физиков могут быть явно записаны как
Эти два уравнения могут быть объединены в одно сС помощью функции пола :
Вероятные многочлены Эрмита У него есть аналогичные формулы, которые получены из них заменой степени 2x со степенью √2 x и умножением всей суммы на 2:
Обратное явное выражение
Обратное к вышеприведенным явным выражениям, то есть выражения для мономов в терминах вероятностных многочленов Эрмита He равны
Соответствующие выражения для полиномов Эрмита H физиков следуют непосредственно, правильно масштабируя это:
Производящая функция
Полиномы Эрмита задаются экспоненциальная производящая функция
Это равенство действительно для всех сложных значений значений x и t, и может быть получено записью разложения Тейлора в точке x всей функции z → e (в случае физиков). Можно также получить интегрирующую функцию (физиков), используя , чтобы записать полиномы Эрмита как
Используя это в сумме
можно вычислить оставшийся интеграл используя исчисление вычетов, и придем к желаемой производящей функции.
Ожидаемые значения
Если X - случайная величина с нормальным распределением со стандартным отклонением 1 и ожидаемым значением μ, то
Моменты стандартной нормыли (с нулевым ожидаемым значением) можно считать непосредственно из соотношения для четных индексов:
где (2n - 1) !! это двойной факториал. Обратите внимание, что приведенное выше выражение является частным случаем представления вероятностных многочленов Эрмита в виде моментов:
Асимптотическое разложение
Асимптотически при n → ∞ разложение
верно. Для некоторых случаев, демонстрирует широкий диапазон оценок, включает коэффициент амплитуды:
которое, используя приближение Стирлинга, можно также упростить в пределе до
Это расширение необходимо для разрешения волновой функции квантового гармонического осциллятора так, что он согласуется с классическим приближением в соответствии с соглашением .
Лучшее приближение, которое учитывает изменение частоты, дается выражением
Более точное приближение, которое учитывает неравномерный ин тервал между нулями у краев, использует замену
, с которой один имеет равномерное приближение
Аналогичные приближения справедливы для монотонных и переходные регионы. В частности, если
, то
, а для
с t комплексным и ограниченным приближением
где Ai - функция Эйри первого вида.
Особые значения
Полиномы Эрмита физиков, вычисленные при нулевом аргументе H n (0), называются числами Эрмита.
которые удовлетворяют действию рекурсии H n (0) = −2 (n - 1) H n - 2 (0).
С точки зрения вероятностных полиномов это переводится в
Отношения с другими функциями
Многочлены Лагерра
Многочлены Эрмита могут быть выражены как специальные случай многочленов Лагерра :
Связь с конфлюэнтными гипергеометрическими функциями
Полиномы Эрмита физиков могут быть выражены как частный случай функций пара цилиндра :
в правой полуплоскости, где U (a, b, z) - конфлюэнтная гипергеометрическая функция Трикоми. Аналогично
где 1F1(a, b; z) = M ( a, b; z) - вырожденная гипергеометрическая функция Куммера.
Дифференциально-операторное представление
Вероятностные многочлены Эрмита удовлетворяют тождеству
где D представляет дифференцирование по x, а экспонента интерпретируется расширением его как степенной серии. Когда этот ряд работает с многочленами, нет деликатных вопросов о сходимости этого ряда, благодаря всем членам, кроме конечного числа,ны нулю.
Условия использования для быстрых вычислений, которые можно использовать для быстрых вычислений, которые могут быть записаны явно, это представление дифференциального оператора дает начало конкретной формуле для коэффициентов H n этих многочленов.
формальным выражением для преобразования Вейерштрасса W e, мы видим, что является преобразованием Вейерштрасса (√2) He n (x / √2) равно Икс. Таким образом, по существу преобразование Вейерштрассаает серию полиномов Эрмита в соответствующий ряд Макена.
Существование некоторого формального степенного ряда g (D) с ненулевым постоянным коэффициентом, таким, что He n (x) = g (D) x, является еще одним утверждением, что эти многочлены образуют последовательность Аппеля. Они представляют собой последовательность Аппеля, они тем более являются последовательностью Шеффера.
Контурно-интегральным представлением
Из представленного выше представления производящей функции мы видим, что полиномы Эрмита имеют представление в терминах контурный интеграл, поскольку
с контуром, окружающим начало координат.
Обобщения
Полиномы Эрмита, определенные выше, ортогональны по отношению к стандартному нормальному распределению вероятностей, функция плотности которого равна
который имеет математическое ожидание 0 и дисперсию 1.
Масштабирование, аналогично можно говорить о обобщенных полиномах Эрмита
дисперсии α, где α - любое положительное число. Тогда они ортогональны по отношению к нормальному распределению вероятностей, функция плотности которого
Они задаются формулой
Теперь, если
тогда полиномиальная последовательность, n-й член которой равен
называется умбральная композиция двух полиномиальных последовательностей. Можно показать, что он удовлетворяет тождествам
и
последняя идентичность выражается в том, что это параметризованное семейство полиномиальных последовательностей известно как перекрестная последовательность. (См. Приведенный выше раздел о последовательностях Аппеля и о представлении дифференциального оператора, который приводит к его производному. Это тождество биномиального типа для α = β = 1/2, уже встречалось в приведенном выше разделе #Recursion Relations.)
«Отрицательная дисперсия»
Поскольку полиномиальные последовательности образуют группу под операцию составления тени можно обозначить как
последовательность, которая обратна той, что обозначена аналогично, но без знака минус, и, таким образом, говорит о полиномах Эрмита с отрицательной дисперсией. Для α>0 коэффициенты - это просто абсолютные значения соответствующих коэффициентов .
Они возникают как моменты нормального распределения вероятностей: n-й момент нормального распределения с ожидаемым значением μ и дисперсией σ равен
где X - случайная величина с указанным нормальным распределением. Частный случай тождества кросс-последовательностей говорит, что
Приложения
Функции Эрмита
Можно определить функции Эрмита (часто называемые функциями Эрмита-Гаусса) из полиномов физиков:
Таким образом,
эти функции содержат квадратный корень из весовой функции и они были надлежащим образом масштабированы, ортонормированы :
, и они образуют ортонормированный базис L (R ). Этот факт соответствует соответствующему утверждению для полиномов Эрмита (см. Выше).
Функции Эрмита связаны с функцией Уиттекера (Whittaker Watson 1996) D n (z):
и, следовательно, другим функциям параболического цилиндра.
Функции Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению
Это уравнение эквивалентно уравнению Шредингера для гармонического осциллятора в квантовой механике, поэтому эти функции являются собственными функциями.
Функции Эрмита: 0 (черный), 1 (красный), 2 (синий), 3 (желтый), 4 (зеленый) и 5 (пурпурный)
Функции Эрмита: 0 (черный), 2 (синий), 4 (зеленый), и 50 (пурпурный)
Соотношение рекурсии
Следуя рекурсивным соотношениям полиномов Эрмита, функции Эрмита подчиняются
и
Расширение первого отношения на произвольные m-е производные для любого положительного целого числа m приводит к
Эту формулу можно использовать в связи с рекуррентными соотношениями для He n и ψ n для вычисления любой производной от Hermite действует эффективно.
Неравенство Крамера
Для действительного x функции Эрмита удовлетворяют следующей оценке из-за Харальда Крамера и Джека Индрица:
Функции Эрмита как собственные функции преобразование Фурье
Функции Эрмита ψ n (x) представляют собой набор собственных функций непрерывного преобразования Фурье F. Чтобы в этом убедиться, возьмем физическую версию производящей функции и умножим на e. Это дает
Преобразование Фурье левой части задается формулой
Преобразование Фурье правой части задается как
Приравнивание аналогичные степени t в преобразованных версиях левой и правой частей окончательно дают
Функции Эрмита ψ n (x) являются ортонормированным базисом L (R ), который диагонализирует оператор преобразования Фурье.
Распределения Вигнера функций Эрмита
Функция распределения Вигнера функции Эрмита n-го порядка связан с полиномом Лагерра n-го порядка. Многочлены Лагерра равны
приводящие к осциллятору функций Лагерра
Для всех натуральных целых чисел n легко увидеть что
где распределение Вигнера функции x ∈ L (R, C) определяется как
Это фундаментальный результат для квантового гармонического осциллятора, открытого Хипом Греневольдом в 1946 году в его докторской диссертации. Это стандартная парадигма квантовой механики в фазовом пространстве..
Есть дальнейшие отношения между двумя семействами полиномов.
Комбинаторная интерпретация коэффициентов
В полиноме Эрмита He n (x) с дисперсией 1 абсолютное значение коэффициента при x является количеством (неупорядоченных) разбиение n-членного множества на k одиночных элементов и n - k / 2 (неупорядоченных) пар. Сумма абсолютных значений коэффициентов дает общее количество разбиений на одиночки и пары, так называемые телефонные номера
- 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496,... (последовательность A000085 в OEIS ).
Эта комбинаторная интерпретация может быть связана с полными экспоненциальными полиномами Белла как
, где x i = 0 для всех i>2.
Эти числа также могут быть выражены как специальное значение полиномов Эрмита:
Отношение полноты
Формула Кристоффеля – Дарбу для полиномов Эрмита имеет вид
Более того, следующее тождество полноты для указанных функций Эрмита выполняется в смысле распределений :
где δ - дельта-функция Дирака,, ψ n - функции Эрмита, а δ (x - y) представляет меру Лебега на линии y. = x в R, нормализованное так, чтобы его проекция на горизонтальную ось была обычной мерой Лебега.
Эта идентичность распределения следует Wiener (1958), взяв u → 1 в формуле Мелера, действительной, когда −1 < u < 1:
которое часто эквивалентно выражается как отделимое ядро,
Функция (x, y) → E (x, y; u) является двумерной Гауссова плотность вероятности на R, которая, когда u близко к 1, очень сконцентрирована вокруг линии y = x и сильно разбросана по этой линии. Отсюда следует, что
, когда f и g непрерывны и имеют компактные опоры.
Отсюда следует, что f может быть выражено в функциях Эрмита как сумма серии векторов в L (R ), а именно,
Чтобы доказать указанное выше равенство для E (x, y; u), преобразование Фурье для функций Гаусса используется повторно:
Полином Эрмита тогда представлен как
С этим представлением для H n (x) и H n (y) очевидно, что
, и это дает желаемое разрешение результата идентичности, снова используя преобразование Фурье гауссовских ядер с заменой
См. Также
Примечания
Ссылки
Внешние ссылки