Потенциал Морзе

редактировать

Вычислительная физика

Механика Электромагнетизм Термодинамика Моделирование
Потенциалы Потенциал Морзе / Дальнего действия Потенциал Леннарда-Джонса Потенциал Юкавы Потенциал Морзе
Динамика жидкостей Конечная разница Конечный объем Конечный элемент Граничный элемент Решетка Больцмана Решатель Римана Динамика диссипативных частиц Гидродинамика сглаженных частиц Модели турбулентности
Методы Монте-Карло Интеграция Выборка Гиббса Алгоритм Метрополиса
Частица N-тело Частица в клетке Молекулярная динамика
Ученые Годунов Улам фон Нейман Галеркин Лоренц Уилсон Ольха Рихтмайер
v т е

Потенциал Морзе, названный в честь физика Филипп М. Морс, является удобным межатомным модель взаимодействия для потенциальной энергии в виде двухатомной молекулы. Это лучшее приближение для колебательной структуры молекулы, чем квантовый гармонический осциллятор, поскольку он явно включает эффекты разрыва связи, такие как существование несвязанных состояний. Он также учитывает ангармонизм реальных связей и ненулевую вероятность перехода для обертоновых и комбинированных полос. Потенциал Морзе также можно использовать для моделирования других взаимодействий, таких как взаимодействие между атомом и поверхностью. Из-за своей простоты (всего три подгоночных параметра) он не используется в современной спектроскопии. Однако его математическая форма вдохновила на создание потенциала MLR ( Морзе / дальнего действия ), который является наиболее популярной функцией потенциальной энергии, используемой для подбора спектроскопических данных.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Функция потенциальной энергии
2 Колебательные состояния и энергии
3 Морзе / дальний потенциал
4 См. Также
5 ссылки

Функция потенциальной энергии

Потенциал Морзе (синий) и гармонический потенциал генератора (зеленый). В отличие от уровней энергии потенциала гармонического осциллятора, которые равномерно разделены ω, расстояние между уровнями потенциала Морзе уменьшается по мере приближения энергии к энергии диссоциации. Энергия диссоциации D e больше, чем истинная энергия, необходимая для диссоциации D 0, из-за нулевой энергии самого нижнего ( v = 0) колебательного уровня.

Функция потенциальной энергии Морзе имеет вид

{\ Displaystyle V '(г) = D_ {е} (1-е ^ {- а (г-г_ {е})}) ^ {2}}

{\ Displaystyle V '(г) = D_ {е} (1-е ^ {- а (г-г_ {е})}) ^ {2}}

Вот расстояние между атомами, это расстояние равновесной связи, это глубина ямы (определенная относительно диссоциированных атомов) и контролирует «ширину» потенциала (чем меньше, тем больше яма). Энергия диссоциации связи может быть рассчитана путем вычитания энергии нулевой точки из глубины ямы. Постоянная силы (жесткость) облигаций может быть найдено с помощью разложения Тейлора по всему ко второй производной от функции потенциальной энергии, из которого он может быть показан, что параметр, является ${\ displaystyle r}$ $р$ ${\ displaystyle r_ {e}}$ $г_ {е}$ ${\ displaystyle D_ {e}}$ $D_ {e}$ ${\ displaystyle a}$ $а$ ${\ displaystyle a}$ $а$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ $E_ {0}$ ${\ Displaystyle V '(г)}$ ${\ Displaystyle V '(г)}$ ${\ displaystyle r = r_ {e}}$ $г = г_ {е}$ ${\ displaystyle a}$ $а$

{\ displaystyle a = {\ sqrt {k_ {e} / 2D_ {e}}},}

a = {\ sqrt {k_ {e} / 2D_ {e}}},

где - силовая постоянная в минимуме скважины. ${\ displaystyle k_ {e}}$ $k_ {e}$

Поскольку ноль потенциальной энергии является произвольным, уравнение для потенциала Морзе можно переписать любым количеством способов, добавляя или вычитая постоянное значение. Когда он используется для моделирования взаимодействия атома с поверхностью, нулевую энергию можно переопределить так, чтобы потенциал Морзе стал

{\ displaystyle V (r) = V '(r) -D_ {e} = D_ {e} (1-e ^ {- a (r-r_ {e})}) ^ {2} -D_ {e} }

{\ displaystyle V (r) = V '(r) -D_ {e} = D_ {e} (1-e ^ {- a (r-r_ {e})}) ^ {2} -D_ {e} }

который обычно записывается как

{\ displaystyle V (r) = D_ {e} (e ^ {- 2a (r-r_ {e})} - 2e ^ {- a (r-r_ {e})})}

V (r) = D_ {e} (e ^ {- 2a (r-r_ {e})} - 2e ^ {- a (r-r_ {e})})

где теперь координата, перпендикулярная поверхности. Эта форма стремится к нулю при бесконечном и равна в минимуме, то есть. Он ясно показывает, что потенциал Морзе представляет собой комбинацию краткосрочного члена отталкивания (первый) и дальнодействующего члена притяжения (второй), аналогично потенциалу Леннарда-Джонса. ${\ displaystyle r}$ $р$ ${\ displaystyle r}$ $р$ ${\ displaystyle -D_ {e}}$ $-D_ {e}$ ${\ displaystyle r = r_ {e}}$ $г = г_ {е}$

Колебательные состояния и энергии

Кривые потенциалов гармонического осциллятора (серый) и Морзе (черный) показаны вместе с их собственными функциями (соответственно зеленый и синий для гармонического осциллятора и Морзе) для одних и тех же колебательных уровней для азота.

Подобно квантовому гармоническому осциллятору, энергии и собственные состояния потенциала Морзе могут быть найдены с помощью операторных методов. Один из подходов включает применение метода факторизации к гамильтониану.

Для записи стационарных состояний на потенциал Морзе, то есть решения и из следующего уравнения Шредингера : ${\ Displaystyle \ Пси _ {п} (г)}$ ${\ Displaystyle \ Пси _ {п} (г)}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial r ^ {2}}} + V (r) \ right) \ Psi _ {n} (r) = E_ {n} \ Psi _ {n} (r),}

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial r ^ {2}}} + V (r) \ right) \ Psi _ {n} (r) = E_ {n} \ Psi _ {n} (r),}

удобно ввести новые переменные:

{\ Displaystyle х = ар {\ текст {; }} x_ {e} = ar_ {e} {\ text {; }} \ lambda = {\ frac {\ sqrt {2mD_ {e}}} {a \ hbar}} {\ text {; }} \ varepsilon _ {n} = {\ frac {2m} {a ^ {2} \ hbar ^ {2}}} E_ {n}.}

{\ Displaystyle х = ар {\ текст {; }} x_ {e} = ar_ {e} {\ text {; }} \ lambda = {\ frac {\ sqrt {2mD_ {e}}} {a \ hbar}} {\ text {; }} \ varepsilon _ {n} = {\ frac {2m} {a ^ {2} \ hbar ^ {2}}} E_ {n}.}

Тогда уравнение Шредингера принимает простой вид:

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + V (x) \ right) \ Psi _ {n} (x) = \ varepsilon _ { n} \ Psi _ {n} (x),}

\ left (- {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + V (x) \ right) \ Psi _ {n} (x) = \ varepsilon _ {n} \ Psi _ {n} (x),

{\ displaystyle V (x) = \ lambda ^ {2} \ left (e ^ {- 2 \ left (x-x_ {e} \ right)} - ​​2e ^ {- \ left (x-x_ {e} \) верно-верно).}

V (x) = \ lambda ^ {2} \ left (e ^ {- 2 \ left (x-x_ {e} \ right)} - ​​2e ^ {- \ left (x-x_ {e} \ right)} \Правильно).

Его собственные значения и собственные состояния могут быть записаны как:

{\ displaystyle \ varepsilon _ {n} = - \ left (\ lambda -n - {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2},}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {n} = - \ left (\ lambda -n - {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2},}

куда

{\ displaystyle n = 0,1, \ ldots, \ left [\ lambda - {\ frac {1} {2}} \ right],}

{\ displaystyle n = 0,1, \ ldots, \ left [\ lambda - {\ frac {1} {2}} \ right],}

где [x] обозначает наибольшее целое число, меньшее x.

{\ displaystyle \ Psi _ {n} (z) = N_ {n} z ^ {\ lambda -n - {\ frac {1} {2}}} e ^ {- {\ frac {1} {2}} z} L_ {n} ^ {(2 \ lambda -2n-1)} (z),}

\ Psi _ {n} (z) = N_ {n} z ^ {\ lambda -n - {\ frac {1} {2}}} e ^ {- {\ frac {1} {2}} z} L_ {п} ^ {(2 \ лямбда -2n-1)} (г),

где и - обобщенный многочлен Лагерра : ${\ Displaystyle г = 2 \ лямбда е ^ {- \ влево (х-х_ {е} \ вправо)} {\ текст {; }} N_ {n} = \ left [{\ frac {n! \ Left (2 \ lambda -2n-1 \ right)} {\ Gamma (2 \ lambda -n)}} \ right] ^ {\ frac { 1} {2}}}$ $z = 2 \ lambda e ^ {- \ left (x-x_ {e} \ right)} {\ text {; }} N_ {n} = \ left [{\ frac {n! \ Left (2 \ lambda -2n-1 \ right)} {\ Gamma (2 \ lambda -n)}} \ right] ^ {\ frac { 1} {2}}$ ${\ Displaystyle L_ {п} ^ {(\ альфа)} (г)}$ $L_ {п} ^ {(\ альфа)} (г)$

{\ displaystyle L_ {n} ^ {(\ alpha)} (z) = {\ frac {z ^ {- \ alpha} e ^ {z}} {n!}} {\ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} \ left (z ^ {n + \ alpha} e ^ {- z} \ right) = {\ frac {\ Gamma (\ alpha + n + 1) / \ Gamma (\ alpha +1)} {n!}} \, _ {1} F_ {1} (- n, \ alpha + 1, z),}

{\ displaystyle L_ {n} ^ {(\ alpha)} (z) = {\ frac {z ^ {- \ alpha} e ^ {z}} {n!}} {\ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} \ left (z ^ {n + \ alpha} e ^ {- z} \ right) = {\ frac {\ Gamma (\ alpha + n + 1) / \ Gamma (\ alpha +1)} {n!}} \, _ {1} F_ {1} (- n, \ alpha + 1, z),}

Также существует следующее аналитическое выражение для матричных элементов координатного оператора:

{\ displaystyle \ left \ langle \ Psi _ {m} | x | \ Psi _ {n} \ right \ rangle = {\ frac {2 (-1) ^ {m-n + 1}} {(mn) ( 2N-nm)}} {\ sqrt {\ frac {(Nn) (Nm) \ Gamma (2N-m + 1) m!} {\ Gamma (2N-n + 1) n!}}}.}.}

\ left \ langle \ Psi _ {m} | x | \ Psi _ {n} \ right \ rangle = {\ frac {2 (-1) ^ {m-n + 1}} {(mn) (2N-нм)}} {\ sqrt {\ frac {(Nn) (Nm) \ Gamma (2N-m + 1) m!} {\ Gamma (2N-n + 1) n!}}}.

что действительно для и. Собственные энергии в начальных переменных имеют вид: ${\ displaystyle mgt; n}$ $тgt; п$ ${\ Displaystyle N = \ лямбда -1/2}$ ${\ Displaystyle N = \ лямбда -1/2}$

{\ displaystyle E_ {n} = h \ nu _ {0} (n + 1/2) - {\ frac {\ left [h \ nu _ {0} (n + 1/2) \ right] ^ {2 }} {4D_ {e}}}}

{\ displaystyle E_ {n} = h \ nu _ {0} (n + 1/2) - {\ frac {\ left [h \ nu _ {0} (n + 1/2) \ right] ^ {2 }} {4D_ {e}}}}

где - колебательное квантовое число и имеет единицы частоты. Последний математически связан с массой частицы, и константами Морса через ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle \ nu _ {0}}$ $\ nu _ {0}$ ${\ displaystyle m}$ $м$

{\ displaystyle \ nu _ {0} = {\ frac {a} {2 \ pi}} {\ sqrt {2D_ {e} / m}}.}

\ nu _ {0} = {\ frac {a} {2 \ pi}} {\ sqrt {2D_ {e} / m}}.

В то время как энергетический интервал между колебательными уровнями в квантовом гармоническом осцилляторе постоянен при, энергия между соседними уровнями уменьшается с увеличением в осцилляторе Морзе. Математически интервал между уровнями Морзе равен ${\ displaystyle h \ nu _ {0}}$ $ч \ ню _ {0}$ ${\ displaystyle v}$ $v$

{\ displaystyle E_ {n + 1} -E_ {n} = h \ nu _ {0} - (n + 1) (h \ nu _ {0}) ^ {2} / 2D_ {e}. \,}

{\ displaystyle E_ {n + 1} -E_ {n} = h \ nu _ {0} - (n + 1) (h \ nu _ {0}) ^ {2} / 2D_ {e}. \,}

Эта тенденция соответствует ангармонизму реальных молекул. Однако это уравнение не работает выше некоторого значения, где вычисляется как нулевое или отрицательное. Конкретно, ${\ displaystyle n_ {m}}$ $н_ {м}$ ${\ displaystyle E (n_ {m} +1) -E (n_ {m})}$ ${\ displaystyle E (n_ {m} +1) -E (n_ {m})}$

{\ displaystyle n_ {m} = {\ frac {2D_ {e} -h \ nu _ {0}} {h \ nu _ {0}}}}

{\ displaystyle n_ {m} = {\ frac {2D_ {e} -h \ nu _ {0}} {h \ nu _ {0}}}}

целая часть.

Этот сбой происходит из-за конечного числа связанных уровней в потенциале Морса и некоторого максимума, который остается связанным. Для энергий, указанных выше, разрешены все возможные уровни энергии, и уравнение для больше не действует. ${\ displaystyle n_ {m}}$ $н_ {м}$ ${\ displaystyle n_ {m}}$ $н_ {м}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$

Ниже, является хорошим приближением для истинной колебательной структуры в невращающихся двухатомных молекулах. Фактически, реальные молекулярные спектры в целом соответствуют виду ¹ ${\ displaystyle n_ {m}}$ $н_ {м}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$

{\ displaystyle E_ {n} / hc = \ omega _ {e} (n + 1/2) - \ omega _ {e} \ chi _ {e} (n + 1/2) ^ {2} \,}

{\ displaystyle E_ {n} / hc = \ omega _ {e} (n + 1/2) - \ omega _ {e} \ chi _ {e} (n + 1/2) ^ {2} \,}

в котором константы и могут быть напрямую связаны с параметрами для потенциала Морзе. ${\ displaystyle \ omega _ {e}}$ $\ omega _ {e}$ ${\ displaystyle \ omega _ {e} \ chi _ {e}}$ $\ omega _ {e} \ chi _ {e}$

Как ясно из анализа размерностей, по историческим причинам последнее уравнение использует спектроскопические обозначения, которые представляют подчиняющееся волновое число, а не угловую частоту, заданную формулой. ${\ displaystyle \ omega _ {e}}$ $\ omega _ {e}$ ${\ displaystyle E = hc \ omega}$ $E = hc \ omega$ ${\ displaystyle E = \ hbar \ omega}$ $E = \ hbar \ omega$

Морзе / дальний потенциал

Основная статья: Морзе / дальний потенциал

Расширением потенциала Морзе, которое сделало форму Морзе полезной для современной спектроскопии (высокого разрешения), является потенциал MLR ( Morse / Long-range ). Потенциал MLR используется в качестве стандарта для представления спектроскопических и / или вириальных данных двухатомных молекул кривой потенциальной энергии. Он использовался на N 2, Ca 2, KLi, MgH, нескольких электронных состояниях Li 2, Cs 2, Sr 2, ArXe, LiCa, LiNa, Br 2, Mg 2, HF, HCl, HBr, HI, MgD, Be 2, BeH и NaH. Для многоатомных молекул используются более сложные версии.

Смотрите также

использованная литература

¹ Справочник по химии и физике CRC, Эд Дэвид Р. Лид, 87-е изд., Раздел 9, СПЕКТРОСКОПИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ ДИАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ, стр. 9–82
Морс, PM (1929). «Двухатомные молекулы согласно волновой механике. II. Колебательные уровни». Phys. Ред. 34. С. 57–64. Bibcode : 1929PhRv... 34... 57М. DOI : 10.1103 / PhysRev.34.57.
Гирифалько, Луизиана; Вейзер, Г.В. (1959). «Применение потенциальной функции Морзе к кубическим металлам». Phys. Ред. 114 (3). п. 687. Bibcode : 1959PhRv..114..687G. DOI : 10.1103 / PhysRev.114.687.
Шор, Брюс В. (1973). «Сравнение матричных методов, примененных к радиальному уравнению собственных значений Шредингера: потенциал Морса». J. Chem. Phys. 59 (12). п. 6450. Полномочный код : 1973JChPh..59.6450S. DOI : 10.1063 / 1.1680025.
Киз, Роберт В. (1975). «Связывающие и разрыхляющие потенциалы в полупроводниках IV группы». Phys. Rev. Lett. 34 (21). С. 1334–1337. Bibcode : 1975PhRvL..34.1334K. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.34.1334.
Линкольн, RC; Киловад, км; Гейт, ПБ (1967). «Оценка потенциала Морзе упругих постоянных второго и третьего порядка некоторых кубических металлов». Phys. Ред. 157 (3). С. 463–466. Bibcode : 1967PhRv..157..463L. DOI : 10.1103 / PhysRev.157.463.
Донг, Ши-Хай; Lemus, R.; Франк, А. (2001). «Лестничные операторы для потенциала Морзе». Int. J. Quantum Chem. 86 (5). С. 433–439. DOI : 10.1002 / qua.10038.
Чжоу, Яоци; Карплюс, Мартин; Болл, Кейт Д.; Бери, Р. Стивен (2002). «Критерий флуктуации расстояния для плавления: сравнение моделей с квадратными ямами и потенциала Морзе для кластеров и гомополимеров». J. Chem. Phys. 116 (5). С. 2323–2329. DOI : 10.1063 / 1.1426419.
И.Г. Каплан, Справочник по молекулярной физике и квантовой химии, Wiley, 2003, стр. 207.