Тригонометрический полином

редактировать

В подполях математика полей числовой анализ и математического анализа, тригонометрический полином представляет собой конечную линейную комбинацию функций sin (nx) и cos (nx), где n принимает значения одно или несколько натуральных чисел. Коэффициенты могут быть приняты как действительные числа для действительных функций. Для комплексных коэффициентов нет разницы между такой функцией и конечным рядом Фурье.

Тригонометрические полиномы широко используются, например, в тригонометрической интерполяции, применяемой к интерполяция из периодических функций. Они также используются в дискретном преобразовании Фурье.

Термин тригонометрический полином для действительного значения можно рассматривать как использование аналогии : функций sin (nx) и cos (nx) аналогичны мономиальному базису для многочленов. В сложном случае тригонометрические полиномы натянуты на положительную и отрицательную степени e.

Формальное определение

Любая функция T вида

T (x) = a 0 + ∑ n = 1 N an cos ⁡ (nx) + i ∑ n = 1 N bn грех ⁡ (nx) (x ∈ R) {\ displaystyle T (x) = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} \ cos (nx) + i \ sum _ { n = 1} ^ {N} b_ {n} \ sin (nx) \ qquad (x \ in \ mathbb {R})}

{\ displaystyle T (x) = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} \ cos (nx) + i \ sum _ {n = 1 } ^ {N} b_ {n} \ sin (nx) \ qquad (x \ in \ mathbb {R})}

с $an, bn ∈ C {\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ in \ mathbb {C}}$ для $0 ≤ n ≤ N {\ displaystyle 0 \ leq n \ leq N}$ $0 \ leq n \ leq N$ , называется a комплексный тригонометрический полином степени N (Рудин 1987, стр. 88). Используя формулу Эйлера, многочлен можно переписать как

T (x) = ∑ n = - N N c n e i n x (x ∈ R). {\ displaystyle T (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} c_ {n} e ^ {inx} \ qquad (x \ in \ mathbb {R}).}

{\ displaystyle T (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} c_ {n} e ^ {inx} \ qquad (x \ in \ mathbb {R}).}

Аналогично, позволяя $an, bn ∈ R, 0 ≤ n ≤ N {\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ in \ mathbb {R}, \ quad 0 \ leq n \ leq N}$ ${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ in \ mathbb {R}, \ quad 0 \ leq n \ leq N}$ и $a N ≠ 0 {\ displaystyle a_ {N} \ neq 0}$ ${\ displaystyle a_ {N} \ neq 0}$ или $b N ≠ 0 {\ displaystyle b_ {N} \ neq 0}$ ${\ displaystyle b_ {N} \ neq 0}$ , тогда

t (x) = a 0 + ∑ n = 1 N an cos ⁡ (nx) + ∑ n = 1 N bn sin ⁡ (nx) (x ∈ R) {\ displaystyle t (x) = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} \ cos (nx) + \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ sin (nx) \ qquad ( x \ in \ mathbb {R})}

{\ displaystyle t (x) = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N } a_ {n} \ cos (nx) + \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ sin (nx) \ qquad (x \ in \ mathbb {R})}

называется вещественным тригонометрическим полиномом степени N (Powell 1981, стр. 150).

Свойства

Тригонометрический полином можно рассматривать как периодическую функцию на вещественной прямой с периодом, кратным 2π, или как функция на единичной окружности .

. Основной результат состоит в том, что тригонометрические полиномы плотны в пространстве непрерывных функций на единичной окружности с единая норма (Рудин 1987, Thm 4.25); это частный случай теоремы Стоуна – Вейерштрасса. Более конкретно, для любой непрерывной функции f и любого ε>0 существует тригонометрический полином T такой, что | f (z) - T (z) | < ε for all z. Теорема Фейера утверждает, что средние арифметические частичные суммы ряда Фурье функции f равномерно сходятся к f при условии, что f непрерывна на окружности, что дает явный способ найти аппроксимирующий тригонометрический полином T.

Тригонометрический полином степени N имеет максимум 2N корней в любом интервале [a, a + 2π) с a в R, если только это не нулевая функция (Пауэлл 1981, стр. 150).

Ссылки

Пауэлл, Майкл Дж. Д. (1981), Теория и методы приближения, Cambridge University Press, ISBN 978-0- 521-29514-7
Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157.