Рациональные функции Чебышева

График рациональных функций Чебышева для n = 0, 1, 2, 3, 4 для 0,01 ≤ x ≤ 100, log

В математике, рациональные функции Чебышева представляют собой последовательность функций, которые одновременно рациональны и ортогональны. Они названы в честь Пафнутия Чебышева. Рациональная функция Чебышева степени n определяется как:

$R\; n\; (x)\; =\; def\; T\; n\; (x\; -\; 1\; x\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\}\; (x)\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\; \}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; T\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x-1\}\; \{x\; +\; 1\}\}\; \backslash \; right)\}$

где T n (x) - это Многочлен Чебышева первого рода.

• 1 Свойства
  • 1.1 Рекурсия
  • 1.2 Дифференциальные уравнения
  • 1.3 Ортогональность
  • 1.4 Расширение произвольной функции
• 2 Частные значения
• 3 Частичное дробное разложение
• 4 Ссылки

Многие свойства могут быть получены из свойств многочленов Чебышева первого рода. Другие свойства уникальны для самих функций.

Рекурсия

$R\; n\; +\; 1\; (x)\; =\; 2\; x\; -\; 1\; x\; +\; 1\; R\; n\; (x)\; -\; R\; n\; -\; 1\; (x)\; для\; n\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\; +\; 1\; \}\; (x)\; =\; 2\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{x-1\}\; \{x\; +\; 1\}\}\; R\_\; \{n\}\; (x)\; -R\_\; \{n-1\}\; (x)\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; n\; \backslash \; geq\; 1\}$

Дифференциальные уравнения

$(x\; +\; 1)\; 2\; R\; n\; (x)\; =\; 1\; n\; +\; 1\; ddx\; R\; n\; +\; 1\; (x)\; -\; 1\; n\; -\; 1\; ddx\; R\; n\; -\; 1\; (x)\; для\; n\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\; R\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\}\; R\_\; \{n\; +\; 1\}\; (x)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n-1\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\}\; R\_\; \{n-1\}\; (x)\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; n\; \backslash \; geq\; 2\}$

$(x\; +\; 1)\; 2\; xd\; 2\; dx\; 2\; R\; n\; (x)\; +\; (3\; x\; +\; 1)\; (x\; +\; 1)\; 2\; ddx\; R\; п\; (Икс)\; +\; N\; 2\; р\; N\; (Икс)\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; (х\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\; х\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; R\_\; \{n\}\; (x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(3x\; +\; 1)\; (x\; +\; 1)\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\}\; R\_\; \{n\}\; (x)\; +\; n\; ^\; \{2\}\; R\_\; \{n\}\; (x)\; =\; 0\}$

Ортогональность

График абсолютного значения рациональной функции Чебышева седьмого порядка (n = 7) для 0,01 ≤ x ≤ 100. Обратите внимание, что имеется n нулей, расположенных симметрично относительно x = 1, и если x 0 является нулем, то 1 / x 0 тоже ноль. Максимальное значение между нулями равно единице. Эти свойства сохраняются для всех заказов.

Определение:

$\omega \; (x)\; =\; def\; 1\; (x\; +\; 1)\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (x)\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(x\; +\; 1)\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\}\}\}$

Ортогональность рациональных функций Чебышева может быть записана:

$\int \; 0\; \infty \; R\; m\; (x)\; R\; N\; (Икс)\; \omega \; (Икс)\; dx\; знак\; равно\; \pi \; cn\; 2\; \delta \; нм\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; R\_\; \{m\}\; (x)\; \backslash ,\; R\_\; \{n\}\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; omega\; (\; x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; c\_\; \{n\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{nm\}\}$

где c n = 2 для n = 0 и c n = 1 для n ≥ 1; δ нм - это функция Кронекера.

Разложение произвольной функции

Для произвольной функции f (x) ∈ L. ωсоотношение ортогональности может использоваться для разложения f (x):

$f\; (x)\; Знак\; равно\; \sum \; N\; =\; 0\; \infty \; F\; N\; R\; N\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; F\_\; \{n\}\; R\_\; \{n\}\; (x)\}$

где

$F\; n\; =\; 2\; cn\; \pi \; \int \; 0\; \infty \; f\; (x)\; R\; n\; (x)\; \omega \; (x)\; dx.\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\_\; \{п\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{2\}\; \{c\_\; \{n\}\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (x)\; R\_\; \{n\}\; (x)\; \backslash \; omega\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x.\}$

$R\; 0\; (x)\; =\; 1\; R\; 1\; (x)\; =\; x\; -\; 1\; x\; +\; 1\; R\; 2\; (x)\; =\; x\; 2\; -\; 6\; x\; +\; 1\; (x\; +\; 1)\; 2\; R\; 3\; (x)\; =\; x\; 3-15\; x\; 2\; +\; 15\; x\; -\; 1\; (x\; +\; 1)\; 3\; R\; 4\; (x)\; =\; x\; 4\; -\; 28\; x\; 3\; +\; 70\; x\; 2\; -\; 28\; x\; +\; 1\; (Икс\; +\; 1)\; 4\; р\; N\; (Икс)\; знак\; равно\; (Икс\; +\; 1)\; -\; N\; \sum \; м\; знак\; равно\; 0\; N\; (-\; 1)\; м\; (2\; N\; 2\; м)\; XN\; -\; м\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; R\_\; \{0\; \}\; (x)\; =\; 1\; \backslash \backslash \; R\_\; \{1\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x-1\}\; \{x\; +\; 1\}\}\; \backslash \backslash \; R\_\; \{2\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{\; 2\}\; -6x\; +\; 1\}\; \{(x\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; R\_\; \{3\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{3\}\; -15x\; ^\; \{2\}\; +\; 15x-1\}\; \{(x\; +\; 1)\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \backslash \; R\_\; \{4\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{4\}\; -28x\; ^\; \{3\}\; +\; 70x\; ^\; \{2\}\; -28x\; +\; 1\}\; \{\; (x\; +\; 1)\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \backslash \; R\_\; \{n\}\; (x)\; =\; (x\; +\; 1)\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; (-\; 1)\; ^\; \{\; m\}\; \{\backslash \; binom\; \{2n\}\; \{2m\}\}\; x\; ^\; \{nm\}\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\}$

$R\; n\; (x)\; =\; \sum \; m\; =\; 0\; n\; (m!)\; 2\; (\; 2\; м)!\; (N\; +\; m\; -\; 1\; м)\; (нм)\; (-\; 4)\; m\; (x\; +\; 1)\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{(\; м!)\; ^\; \{2\}\}\; \{(2м)!\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; m-1\}\; \{m\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{m\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-4)\; ^\; \{m\; \}\}\; \{(x\; +\; 1)\; ^\; \{m\}\}\}\}$

• Гуо, Бен-Ю; Шен, Цзе; Ван, Чжун-Цин (2002). «Рациональные спектральные и псевдоспектральные методы Чебышева на полубесконечном интервале» (PDF). Int. J. Numer. Meth. Engng. 53 : 65–84. CiteSeerX 10.1.1.121.6069. doi : 10.1002 / nme.392. Проверено 25 июля 2006 г.