Эффект Шубникова – де Хааса

Колебание в проводимости материала, возникающее при низких температуры в присутствии очень сильных магнитных полей, эффект Шубникова – де Гааза (SdH ) является макроскопическим проявлением присущих квантово-механическая природа материи. Он часто используется для определения эффективной массы носителей заряда (электронов и электронных дырок ), что позволяет исследователям различать население большинства и меньшинства носителей. Эффект назван в честь Вандера Йоханнеса де Хааса и Льва Шубникова.

• 1 Физический процесс
• 2 Теория
• 3 Приложения
• 4 Связанный физический процесс
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

При достаточно низких температурах и сильных магнитных полях свободные электроны в зоне проводимости металла, полуметалла или узкая запрещенная зона полупроводник будут вести себя как простые гармонические генераторы. При изменении напряженности магнитного поля период колебаний простых гармонических осцилляторов изменяется пропорционально. Результирующий энергетический спектр состоит из уровней Ландау, разделенных циклотронной энергией. Эти уровни Ландау дополнительно разделены энергией Зеемана. На каждом уровне Ландау циклотронная и зеемановская энергии и число электронных состояний (eB / h) линейно возрастают с увеличением магнитного поля. Таким образом, с увеличением магнитного поля уровни Ландау переходят в более высокую энергию. Когда каждый энергетический уровень проходит через энергию Ферми, он уменьшается, так как электроны становятся свободными, чтобы течь как ток. Это вызывает периодические колебания транспортных и термодинамических свойств материала, создавая измеримые колебания проводимости материала. Поскольку переход через «край» Ферми охватывает небольшой диапазон энергий, форма волны является квадратной, а не синусоидальной, причем форма становится все более квадратной при понижении температуры.

Рассмотрим двумерный квантовый газ электронов, заключенных в образец с заданной шириной и краями. При наличии плотности магнитного потока B собственные значения энергии этой системы описываются уровнями Ландау. Как показано на рис. 1, эти уровни равноудалены по вертикальной оси. Каждый энергетический уровень внутри образца практически плоский (см. Рис. 1). На краях образца работа выхода изгибает уровни вверх.

Рис. 1: Краевые каналы образца с двумерным электронным газом.

На рис. 1 показана энергия Ферми EF, расположенная между двумя уровнями Ландау. Электроны становятся мобильными, когда их уровни энергии пересекают энергию Ферми EF. При энергии Ферми EFмежду двумя уровнями Ландау рассеяние электронов будет происходить только на краях образца, где уровни изогнуты. Соответствующие электронные состояния обычно называют краевыми каналами.

Подход Ландауэра-Бюттикера используется для описания переноса электронов в этом конкретном образце. Подход Ландауэра-Бюттикера позволяет рассчитать полезные токи I m, протекающие между несколькими контактами 1 ≤ m ≤ n. В упрощенной форме чистый ток I m контакта m с химическим потенциалом µmимеет вид

$I\; m\; =\; 2\; e\; \cdot \; ih\; (мкм\; -\; l\; \ne \; m\; T\; ml\; \mu \; l),\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{m\}\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{e\; \backslash \; cdot\; i\}\; \{h\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mu\; \_\; \{m\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{l\; \backslash \; neq\; m\}\; T\_\; \{ml\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{l\}\; \backslash \; right),\; \backslash ,\}$

(1)

где e обозначает заряд электрона, h обозначает постоянную Планка, а i обозначает число краевых каналов. Матрица T ml обозначает вероятность передачи отрицательно заряженной частицы (то есть электрона) от контакта l ≠ m к другому контакту m. Чистый ток I m в соотношении (1) состоит из токов к контакту m и тока, передаваемого от контакта m ко всем другим контактам l ≠ m. Этот ток равен напряжению μm/ eконтакта m, умноженному на холловскую проводимость, равную 2 e / hна граничный канал.

Рис. 2: Расположение контактов для измерения колебаний SdH.

На рис. 2 показан образец с четырьмя контактами. Чтобы пропустить ток через образец, между контактами 1 и 4 прикладывается напряжение. Напряжение измеряется между контактами 2 и 3. Предположим, электроны покидают 1-й контакт, затем передаются от контакта 1 к контакту 2, а затем от контакта. 2 к контакту 3, затем от контакта 3 к контакту 4 и, наконец, от контакта 4 обратно к контакту 1. Отрицательный заряд (т.е. электрон), передаваемый от контакта 1 к контакту 2, приведет к возникновению тока от контакта 2 к контакту 1. Электрон, передаваемый от контакта 2 к контакту 3, приведет к возникновению тока от контакта 3 к контакту 2 и т. Д. Предположим также, что никакие электроны не передаются по каким-либо дальнейшим путям. Вероятности передачи идеальных контактов тогда считываются

$T\; 21\; =\; T\; 32\; =\; T\; 43\; =\; T\; 14\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{21\}\; =\; T\_\; \{32\}\; =\; T\_\; \{43\}\; =\; T\_\; \{14\}\; =\; 1,\}$

и

$T\; ml\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{ml\}\; =\; 0\}$

в противном случае. С этими вероятностями токи I 1... I 4 через четыре контакта и их химические потенциалы µ1... µ 4, уравнение (1) можно переписать

$(I\; 1\; I\; 2\; I\; 3\; I\; 4)\; =\; 2\; e\; \cdot \; ih\; (1\; 0\; 0\; -\; 1\; -\; 1\; 1\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 1\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 1)\; (\mu \; 1\; \mu \; 2\; \mu \; 3\; \mu \; 4).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; I\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; I\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; I\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; I\_\; \{4\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2e\; \backslash \; cdot\; i\}\; \{h\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 0\; 0\; -1\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; -1\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; -1\; 1\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\; \}\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; mu\; \_\; \{3\}\; \backslash \backslash \backslash \; mu\; \_\; \{4\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right).\}$

Напряжение измеряется между контакты 2 и 3. В идеале измерение напряжения не должно включать протекание тока через счетчик, поэтому I 2 = I 3 = 0. Отсюда следует, что

$I\; 3\; =\; 0\; знак\; равно\; 2\; е\; \cdot \; ih\; (-\; \mu \; 2\; +\; \mu \; 3),\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{3\}\; =\; 0\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2e\; \backslash \; cdot\; i\}\; \{h\}\}\; \backslash \; left\; (-\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{3\}\; \backslash \; right),\}$

$\mu \; 2\; =\; \mu \; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{3\}.\}$

Другими словами, химические потенциалы µ2и µ 3 и их соответствующие напряжения µ2/eи µ3/eодинаковы. Вследствие отсутствия падения напряжения между контактами 2 и 3 ток I 1 испытывает нулевое удельное сопротивление R SdH между контактами 2 и 3

$RS\; d\; H\; =\; \mu \; 2\; -\; \mu \; 3\; е\; \cdot \; I\; 1\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{SdH\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{3\}\}\; \{e\; \backslash \; cdot\; I\_\; \{1\}\}\; \}\; =\; 0.\}$

Результат нулевого сопротивления между контактами 2 и 3 является следствием подвижности электронов только в краевых каналах образца. Ситуация была бы иной, если бы уровень Ландау приблизился к энергии Ферми EF. Любые электроны на этом уровне станут мобильными, когда их энергия приблизится к энергии Ферми EF. Следовательно, разброс привел бы к R SdH>0. Другими словами, вышеупомянутый подход дает нулевое удельное сопротивление всякий раз, когда уровни Ландау расположены так, что энергия Ферми EFнаходится между двумя уровнями.

Осцилляции Шубникова-де Гааза можно использовать для определения двумерной электронной плотности образца. Для данного магнитного потока $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$максимальное количество D электронов со спином S = 1/2 на уровень Ландау равно

$D\; =\; (\; 2\; S\; +\; 1)\; Ф\; Ф\; 0\; =\; 2\; Ф\; Ф\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \backslash \; left\; (2S\; +\; 1\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Phi\}\; \{\backslash \; Phi\; \_\; \{0\}\}\}\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Phi\}\; \{\backslash \; Phi\; \_\; \{0\}\}\}.\; \backslash ,\}$

(2)

После вставки выражений для кванта потока Φ0= h / eи для отношения магнитного потока Φ = B ∙ A(2) читается как

$D\; =\; 2\; e\; \cdot \; B\; \cdot \; A\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{e\; \backslash \; cdot\; B\; \backslash \; cdot\; A\}\; \{h\}\}\}$

Пусть N обозначает максимальное число состояний на единицу площади, поэтому D = N ∙ Aи

$N\; =\; 2\; e\; \cdot \; B\; h.\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{e\; \backslash \; cdot\; B\}\; \{h\}\}.\}$

Теперь пусть каждый уровень Ландау соответствует краевому каналу из приведенного выше примера. Для заданного количества i краевых каналов, каждый из которых заполнен N электронами на единицу площади, общее количество n электронов на единицу площади будет выглядеть как

$n\; =\; i\; \cdot \; N\; =\; 2\; \cdot \; i\; \cdot \; e\; \cdot \; B\; h.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; i\; \backslash \; cdot\; N\; =\; 2\; \backslash \; cdot\; i\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{e\; \backslash \; cdot\; B\}\; \{h\}\}.\}$

Общее количество n электронов на единицу площади обычно называют электроном плотность образца. Электроны не исчезают из образца в неизвестность, поэтому плотность электронов n постоянна. Отсюда следует, что

$В\; я\; =\; N\; \cdot \; час\; 2\; \cdot \; е\; \cdot \; я,\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; cdot\; h\}\; \{2\; \backslash \; cdot\; e\; \backslash \; cdot\; i\}\},\}$

$1\; В\; я\; знак\; равно\; 2\; \cdot \; е\; \cdot \; в\; \cdot \; час,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{B\_\; \{i\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; cdot\; e\; \backslash \; cdot\; i\}\; \{n\; \backslash \; cdot\; h\}\},\}$

$\Delta \; (1\; B)\; =\; 1\; B\; i\; +\; 1\; -\; 1\; B\; i\; =\; 2\; \cdot \; en\; \cdot \; h.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{B\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{B\_\; \{i\; +\; 1\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{B\_\; \{i\}\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; cdot\; e\}\; \{n\; \backslash \; cdot\; h\}\}.\; \backslash ,\}$

(3)

Рис. 3. Обратные плотности магнитного потока 1 / B i по сравнению с Шубниковым -Минимумы де Хааса, наблюдаемые в сильно легированном Bi2Se3.

. Для данного образца все факторы, включая электронную плотность n в правой части соотношения (3), постоянны. При построении графика индекса i краевого канала в зависимости от величины, обратной его плотности магнитного потока 1 / B i, получается прямая линия с наклоном 2 ∙ e / (n ∙ h). Поскольку известен заряд электрона e, а также постоянная Планка h, из этого графика можно вывести электронную плотность n образца. Осцилляции Шубникова-де Гааза наблюдаются в сильно легированном Bi2Se3. На фиг.3 показана обратная плотность магнитного потока 1 / B i от 10-го до 14-го минимумов образца Bi2Se3. Наклон 0,00618 / T, полученный из линейной аппроксимации, дает плотность электронов n

$n\; =\; 2\; e\; 0,00618\; /\; T\; h\; \approx \; 7,82\; \cdot \; 10\; 14\; /\; м\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; cdot\; e\}\; \{0,00618\; /\; \backslash \; mathrm\; \{T\}\; \backslash \; cdot\; h\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 7,82\; \backslash \; cdot\; 10\; ^\; \{14\}\; /\; \backslash \; mathrm\; \{m\}\; ^\; \{2\}.\}$

Осцилляции Шубникова-де Гааза могут быть использованы для отображения поверхности Ферми электронов в образце путем определения периодов колебаний для различных направлений приложенного поля.

Эффект связан с эффектом де Хааса – ван Альфена, которым называются соответствующие колебания намагниченности. Характерной чертой каждого эффекта является периодическая форма волны, отображаемая как функция обратного магнитного поля. «частота » колебаний магнитосопротивления указывает области экстремальных орбит вокруг поверхности Ферми. Площадь поверхности Ферми выражается в теслах.

• Schubnikow, L.; де Хаас, W.J. (1930). «Magnetische Widerstandsvergrösserung в Einkristallen von Wismut bei tiefen Temperaturen» [Увеличение магнитного сопротивления в монокристаллах висмута при низких температурах] (PDF). Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук (на немецком языке). 33 : 130–133.
• Шубников, Л.; де Хаас, W.J. (1930). "Neue Erscheinungen bei der Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Wasserstoff (I)" [Новые явления в изменении сопротивления кристаллов висмута в магнитном поле при температуре жидкого водорода (I) ] (PDF). Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук. 33 : 363–378.
• Schubnikow, L.; де Хаас, W.J. (1930). "Neue Erscheinungen bei der Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Wasserstoff (II)" (PDF). Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук. 33 : 418–432.
• Schubnikow, L.; де Хаас, W.J. (1930). "Die Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Stickstoff" [Изменение сопротивления кристаллов висмута в магнитном поле при температуре жидкого азота] (PDF). Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук. 33 : 433–439.

• В статье используется текст из эффекта Шубникова на Lang.gov, который является общественным достоянием, как работа правительственного агентства США.
• Поведение материала в сильных магнитных полях