Бабочка Хофштадтера

Рендеринг бабочки Хофштадтера

В физике конденсированных сред, бабочка хофштадтера представляет собой график спектральных свойств невзаимодействующих двумерных электронов в перпендикулярном магнитном поле в решетке. Фрактальная, самоподобная природа спектра была обнаружена в 1976 году доктором философии. работа Дугласа Хофштадтера и является одним из первых примеров современной визуализации научных данных. Название отражает тот факт, что, как писал Хофштадтер, «большие промежутки [на графике] образуют очень поразительный узор, чем-то напоминающий бабочку».

Бабочка Хофштадтера играет важную роль в теории целочисленного квантового эффекта Холла и теории топологических квантовых чисел.

• 1 История
  • 1.1 Подтверждение
• 2 Теоретическая модель
  • 2.1 Решения уравнения Харпера и метод Ванье
  • 2.2 Фазовая диаграмма, проводимость и топология
• 3 ссылки

Первое математическое описание электронов на двумерной решетке, на которые действует перпендикулярное однородное магнитное поле, было изучено Рудольфом Пайерлсом и его учеником Р.Г. Харпером в 1950-х годах.

Хофштадтер впервые описал структуру в 1976 году в статье о энергетических уровнях от блоховских электронов в перпендикулярном магнитном поле. Он дает графическое представление спектра уравнения Харпера на разных частотах. Один ключевой аспект математической структуры этого спектра - расщепление энергетических зон для определенного значения магнитного поля по одному измерению (энергии) - ранее мимоходом упоминал советский физик Марк Азбель в 1964 году (в статье цитируется Хофштадтером), но Хофштадтер значительно расширил эту работу, построив график всех значений магнитного поля против всех значений энергии, создав двумерный график, который впервые выявил уникальные рекурсивные геометрические свойства спектра.

Его статья, написанная в то время, когда Хофштадтер учился в Университете Орегона, оказала влияние на направление дальнейших исследований. Он предсказал на теоретических основаниях, что допустимые значения уровней энергии электрона в двумерной квадратной решетке в зависимости от магнитного поля, приложенного перпендикулярно к системе, образуют то, что теперь известно как фрактальное множество. То есть распределение уровней энергии для мелкомасштабных изменений приложенного магнитного поля рекурсивно повторяет паттерны, наблюдаемые в крупномасштабной структуре. «Gplot», как Хофштадтер назвал фигуру, был описан как рекурсивная структура в его статье 1976 года в Physical Review B, написанной до того, как новое слово Бенуа Мандельброта «фрактал» было введено в английский текст. Хофштадтер также обсуждает эту фигуру в своей книге 1979 года « Гедель, Эшер, Бах». Строение стало широко известно как «бабочка Хофштадтера».

Дэвид Дж. Таулесс и его команда обнаружили, что крылья бабочки характеризуются целыми числами Черна, которые позволяют вычислить проводимость Холла в модели Хофштадтера.

Подтверждение

Моделирование электронов с помощью сверхпроводящих кубитов приводит к бабочке Хофштадтера.

В 1997 году бабочка Хофштадтера была воспроизведена в экспериментах с микроволновым волноводом, оснащенным набором рассеивателей. Сходство математического описания микроволнового волновода с рассеивателями и волн Блоха в магнитном поле позволило воспроизвести «бабочку» Хофштадтера для периодических последовательностей рассеивателей.

В 2001 году Кристиан Альбрехт, Клаус фон Клитцинг и его коллеги реализовали экспериментальную установку для тестирования Thouless et al. предсказания о бабочке Хофштадтера с двумерным электронным газом в потенциале супрешетки.

В 2013 году три отдельные группы исследователей независимо друг от друга сообщили о свидетельствах наличия спектра бабочки Хофштадтера в графеновых устройствах, изготовленных на подложках из гексагонального нитрида бора. В этом случае спектр бабочки является результатом взаимодействия между приложенным магнитным полем и крупномасштабным муаровым рисунком, который возникает, когда решетка графена ориентирована с почти нулевым рассогласованием по углу по отношению к нитриду бора.

В сентябре 2017 года группа Джона Мартиниса в Google в сотрудничестве с группой Ангелакиса в CQT Singapore опубликовала результаты моделирования 2D-электронов в перпендикулярном магнитном поле с использованием взаимодействующих фотонов в 9 сверхпроводящих кубитах. Как и ожидалось, симуляция восстановила бабочку Хофштадтера.

Баттерфляй Хофштадтера - это графическое решение уравнения Харпера, в котором соотношение энергии изображено как функция от магнитного потока.${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle 2 \ pi \ alpha}$

В своей оригинальной статье Хофштадтер рассматривает следующий вывод: заряженная квантовая частица в двумерной квадратной решетке с шагом решетки описывается периодическим уравнением Шредингера в перпендикулярном статическом однородном магнитном поле, ограниченном одной полосой Блоха. Для двумерной квадратной решетки закон дисперсии энергии сильной связи имеет вид ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle W (\ mathbf {k}) = E_ {0} (\ cos k_ {x} a + \ cos k_ {y} a) = {\ frac {E_ {0}} {2}} (e ^ { ik_ {x} a} + e ^ {- ik_ {x} a} + e ^ {ik_ {y} a} + e ^ {- ik_ {y} a})}$,

где - функция энергии, - импульс кристалла, - эмпирический параметр. Магнитное поле, где магнитный векторный потенциал можно принимать, в расчет с помощью подстановки пайерлсовской, заменяя кристаллический импульс с каноническим импульсом, где находится частица оператор импульса и является зарядом частицы ( для электрона, является элементарным заряд ). Для удобства выбираем калибр. ${\ Displaystyle W (\ mathbf {k})}$${\ Displaystyle \ mathbf {k} = (k_ {x}, k_ {y})}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ набла \ раз \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ hbar \ mathbf {k} \ to \ mathbf {p} -q \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} = (p_ {x}, p_ {y})}$ ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q = -e}$${\ displaystyle e}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} = (0, Bx, 0)}$

Используя это является оператор сдвига, так что, где и находится частицы в двумерной волновой функции. В качестве эффективного гамильтониана можно получить следующее не зависящее от времени уравнение Шредингера: ${\ displaystyle e ^ {ip_ {j} a}}$ ${\ displaystyle e ^ {ip_ {j} a} \ psi (x, y) = \ psi (x + a, y)}$${\ displaystyle j = x, y, z}$${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ psi (x, y)}$ ${\ Displaystyle W (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A})}$

${\ Displaystyle E \ psi (x, y) = {\ frac {E_ {0}} {2}} \ left [\ psi (x + a, y) + \ psi (xa, y) + \ psi (x, y + a) e ^ {- iqBxa / \ hbar} + \ psi (x, ya) e ^ {+ iqBxa / \ hbar} \ right].}$

Учитывая, что частица может перемещаться только между точками решетки, запишем, где - целые числа. Хофштадтер составляет следующий анзац :, где зависит от энергии, чтобы получить уравнение Харпера (также известное как оператор почти Матье для): ${\ displaystyle x = na, y = ma}$${\ displaystyle n, m}$ ${\ Displaystyle \ фунт / кв. дюйм (х, у) = г_ {п} е ^ {я \ ню м}}$${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle \ lambda = 1}$

${\ displaystyle g_ {n + 1} + g_ {n-1} +2 \ cos (2 \ pi n \ alpha - \ nu) g_ {n} = \ epsilon g_ {n},}$

где и, пропорциональна магнитному потоку, проходящему через ячейку решетки, а - квант магнитного потока. Коэффициент магнитного потока также может быть выражен через магнитную длину, так что. ${\ displaystyle \ epsilon = 2E / E_ {0}}$${\ Displaystyle \ альфа = \ фи (В) / \ фи _ {0}}$${\ displaystyle \ phi (B) = Ba ^ {2}}$${\ displaystyle \ phi _ {0} = 2 \ pi \ hbar / q}$ ${\ displaystyle \ alpha}$${\ textstyle l _ {\ rm {m}} = {\ sqrt {\ hbar / eB}}}$${\ textstyle \ альфа = (2 \ пи) ^ {- 1} (а / л _ {\ rm {m}}) ^ {2}}$

Бабочка Хофштадтера - это результирующий график зависимости от коэффициента магнитного потока, где - множество всех возможных решений уравнения Харпера. ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ epsilon _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ epsilon}$

Решения уравнения Харпера и метод Ванье

Фазовая диаграмма бабочки Хофштадтера при нулевой температуре. Горизонтальная ось указывает плотность электронов, начиная с отсутствия электронов слева. Вертикальная ось показывает силу магнитного потока, начиная с нуля внизу, картина периодически повторяется для более высоких полей. Цвета представляют собой числа Черна промежутков в спектре, также известные как целые числа TKNN (Thouless, Kohmoto, Nightingale и Nijs). Голубовато-холодные цвета обозначают отрицательные числа Черна, теплые красные цвета обозначают положительные числа Черна, белый - ноль.

Из-за свойств функции косинуса шаблон является периодическим с периодом 1 (он повторяется для каждого квантового потока на элементарную ячейку). График в диапазоне от 0 до 1 имеет симметрию отражения в линиях и. Обратите внимание, что обязательно ограничено от -4 до 4. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ textstyle \ alpha = {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle \ epsilon = 0}$${\ displaystyle \ epsilon}$

Уравнение Харпера обладает тем особенным свойством, что решения зависят от рациональности. Применяя периодичность, можно показать, что если ( рациональное число ), где и - различные простые числа, то есть ровно энергетические зоны. При больших значениях энергетические зоны сходятся в тонкие энергетические зоны, соответствующие уровням Ландау. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ альфа = P / Q}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle Q \ gg P}$

Грегори Ванье показал, что, учитывая плотность состояний, можно получить диофантово уравнение, описывающее систему, как

${\ displaystyle {\ frac {n} {n_ {0}}} = S + T \ alpha}$

куда

${\ Displaystyle п = \ int _ {- 4} ^ {\ epsilon _ {\ rm {F}}} \ rho (\ epsilon) \ mathrm {d} \ epsilon \ ;; \; n_ {0} = \ int _ {- 4} ^ {4} \ rho (\ epsilon) \ mathrm {d} \ epsilon}$

где и - целые числа, а - плотность состояний при заданном. Здесь подсчитывается количество состояний с точностью до энергии Ферми, и соответствует уровням полностью заполненной зоны (от до). Это уравнение характеризует все решения уравнения Харпера. Что наиболее важно, можно вывести, что когда - иррациональное число, существует бесконечно много решений для. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ rho (\ epsilon)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n_ {0}}$${\ displaystyle \ epsilon = -4}$${\ displaystyle \ epsilon = 4}$${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ alpha}}$

Объединение всего образует самоподобный фрактал, разрывающий рациональные и иррациональные значения. Этот разрыв является нефизическим, и непрерывность восстанавливается для конечной неопределенности в решетках конечного размера или для них. Масштаб, в котором бабочка может быть разрешена в реальном эксперименте, зависит от конкретных условий системы. ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle B}$

Фазовая диаграмма, проводимость и топология

Фазовая диаграмма электронов в двумерной квадратной решетке, в зависимости от перпендикулярного магнитного поля, химического потенциала и температуры, имеет бесконечное число фаз. Таулесс и его коллеги показали, что каждая фаза характеризуется интегральной проводимостью Холла, где допустимы все целые значения. Эти целые числа известны как числа Черна.