Импульс кристалла

Вектор импульса, описывающий движение электронов в кристаллах ; сохраняется с точностью до дискретной симметрии Существует бесконечное количество синусоидальных колебаний, которые идеально подходят для набора дискретных осцилляторов, что делает невозможным однозначное определение k-вектора. Это отношение расстояний между осцилляторами к пространственной частоте Найквиста волн в решетке. См. Также Наложение § Синусоидальные функции дискретизации для получения дополнительной информации об эквивалентности k-векторов.

В физике твердого тела импульс кристалла или квазиимпульс - это импульс -подобный вектор , связанный с электронами в кристаллической решетке . Он определяется соответствующими волновыми векторами $k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}$этой решетки, согласно

$p\; кристаллу\; \hslash \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{crystal\}\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\}$

(где $\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$- это уменьшенная постоянная Планка ). Часто импульс кристалла сохраняется как механический импульс, что делает его полезным для физиков и материаловедов в качестве аналитического инструмента.

• 1 Истоки симметрии решетки
• 2 Физическое значение
  • 2.1 Связь со скоростью
  • 2.2 Реакция на электрические и магнитные поля
• 3 Применения
  • 3.1 Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением (ARPES)
• 4 Ссылки

Распространенный метод моделирования кристаллической структуры и поведения - это рассмотрение электронов как квантово-механических частиц, движущихся через фиксированный бесконечный периодический потенциал $V\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (x)\}$такой, что

$V\; (x\; +\; a)\; =\; V\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\})\; +\; \{\backslash \; mathbf\; \{a\}\})\; =\; V\; (\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}),\}$

где $a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$- произвольное вектор решетки. Такая модель разумна, потому что кристаллические ионы, которые образуют структуру решетки, обычно в десятки тысяч раз массивнее электронов, что позволяет безопасно заменить их структурой с фиксированным потенциалом, а макроскопические размеры кристалла обычно намного больше одного шага решетки, что делает краевые эффекты незначительными. Следствием этой функции потенциальной энергии является то, что можно сместить начальное положение электрона на любой вектор решетки $a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$без изменения какого-либо аспекта проблемы., тем самым определяя дискретную симметрию. Технически, бесконечный периодический потенциал означает, что оператор сдвига решетки $T\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (a)\}$коммутирует с гамильтонианом , предполагая простую кинетическую -потенциальная форма.

Из этих условий следует теорема Блоха, которая гласит:

$\psi \; n\; (x)\; =\; eik\; \cdot \; xunk\; (x),\; unk\; (x\; +\; a)\; =\; unk\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\; (\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\})\; =\; е\; ^\; \{я\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; cdot\; x\}\}\}\}\; u\_\; \{n\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\; \}\}\; (\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}),\; \backslash \; qquad\; u\_\; \{n\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\}\; (\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; +\; \{\backslash \; mathbf\; \{a\}\})\; =\; u\_\; \{n\; \{\backslash \; mathbf\; \{\; k\}\}\}\; (\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\})\}$,

или электрон в решетке, который можно смоделировать как волновую функцию одной частицы $\psi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}$, находит решения для своего стационарного состояния в виде плоской волны, умноженной на периодическую функцию $u\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}$. Теорема возникает как прямое следствие вышеупомянутого факта, что оператор переноса симметрии решетки коммутирует с гамильтонианом системы.

Одним из примечательных аспектов теоремы Блоха является то, что она прямо показывает, что стационарные решения могут быть отождествлены с волновой вектор $k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}$, что означает, что это квантовое число остается константой движения. Импульс кристалла условно определяется умножением этого волнового вектора на постоянную Планка:

$p\; кристалл\; =\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{crystal\}\}\; =\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}.\}$

Хотя это фактически идентично определению, которое можно было бы дать для обычного импульса (для Например, если рассматривать эффекты оператора трансляции как эффекты частицы в свободном пространстве), есть важные теоретические различия. Например, в то время как регулярный импульс полностью сохраняется, импульс кристалла сохраняется только с точностью до вектора решетки. Например, электрон можно описать не только волновым вектором $k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}$, но и любым другим волновым вектором $k\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{k\; \text{'}\}\}$такой, что

$k\; \prime \; =\; k\; +\; K,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{k\text{'}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{K\},\}$

где $K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\}$- произвольный вектор обратной решетки. Это является следствием того факта, что симметрия решетки дискретна, а не непрерывна, и, следовательно, связанный с ней закон сохранения не может быть выведен с использованием теоремы Нётер.

Фазовая модуляция состояние Блоха $\psi \; N\; (x)\; =\; eik\; \cdot \; xunk\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\; (\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\})\; =\; e\; ^\; \{i\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\; \}\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; cdot\; x\}\}\}\}\; u\_\; \{n\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\}\; (\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\})\}$то же самое, что и у свободной частицы с импульсом $\hslash \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\; k\}$, то есть $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$дает периодичность состояния, которая не такая же, как у решетки. Эта модуляция вносит вклад в кинетическую энергию частицы (тогда как модуляция полностью отвечает за кинетическую энергию свободной частицы).

В областях, где полоса приблизительно параболическая, импульс кристалла равен импульсу свободной частицы с импульсом $\hslash \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\; k\}$, если мы присвоим частица - эффективная масса, которая связана с кривизной параболы.

Отношение к скорости

A волнового пакета с дисперсией, из-за чего групповая скорость и фазовая скорость различны. Это изображение представляет собой одномерную реальную волну, но пакеты электронных волн представляют собой трехмерные сложные волны.

Импульс кристалла соответствует физически измеримой концепции скорости согласно

$vn\; (k)\; =\; 1\; \hslash \; \nabla \; k\; E\; n\; (k).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \_\; \{n\}\; (\{\backslash \; mathbf\; \{k\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; E\_\; \{n\}\; (\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}).\}$

Это та же формула, что и групповая скорость волны. Более конкретно, из-за принципа неопределенности Гейзенберга, электрон в кристалле не может иметь одновременно точно определенное k и точное положение в кристалле. Однако он может образовывать волновой пакет с центром в импульсе k (с небольшой неопределенностью) и с центром в определенной позиции (с небольшой неопределенностью). Положение центра этого волнового пакета изменяется по мере распространения волны, движущейся через кристалл со скоростью v, определяемой формулой выше. В реальном кристалле электрон движется таким образом - движется в определенном направлении с определенной скоростью - в течение короткого периода времени, прежде чем столкнуться с дефектом в кристалле, который заставляет его двигаться в другом случайном направлении. Эти столкновения, называемые рассеянием электронов, чаще всего вызваны кристаллографическими дефектами поверхности кристалла и случайными тепловыми колебаниями атомов в кристалле (фононы ).

Отклик к электрическим и магнитным полям

Импульс кристалла также играет основную роль в полуклассической модели динамики электрона, где он подчиняется уравнениям движения (в единицах cgs):

$vn\; (k)\; =\; 1\; \hslash \; \nabla \; К\; Е\; N\; (К),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \_\; \{N\}\; (\{\backslash \; mathbf\; \{k\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\; \}\}\; E\_\; \{n\}\; (\{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}),\}$

$p\; \dot{}\; crystal\; =\; -\; e\; (E\; -\; 1\; cv\; \times \; H)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\}\; \_\; \{\; \backslash \; text\; \{crystal\}\}\; =\; -\; e\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathbf\; \{E\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\}\; \backslash \; right)\}$

Здесь, возможно, наиболее сильна аналогия между импульсом кристалла и истинным импульсом, поскольку это как раз те уравнения, которым подчиняется электрон в свободном пространстве в отсутствие какой-либо кристаллической структуры. Импульс кристалла также получает шанс проявить себя в Эти типы расчетов, так как для расчета траектории движения электрона с использованием приведенных выше уравнений необходимо учитывать только внешние поля, в то время как попытка расчета из системы уравнений движения на основе истинного импульса потребует учета индивидуального кулоновского и силы Лоренца каждого отдельного иона решетки в дополнение к внешнему полю.

Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением (ARPES)

В фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением (ARPES), излучающая свет на образец кристалла приводит к выбросу электрона из кристалла. На протяжении всего взаимодействия можно объединить два понятия кристалла и истинного импульса и таким образом получить непосредственное знание зонной структуры кристалла. Другими словами, импульс кристалла электрона внутри кристалла становится его истинным импульсом после того, как он уходит, и истинный импульс может быть впоследствии выведен из уравнения

$p\; \parallel \; =\; 2\; m\; E\; kin\; sin\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2mE\; \_\; \{\backslash \; text\; \{kin\}\}\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}$

путем измерения угла и кинетической энергии, при которых электрон покидает кристалл, где $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- масса одного электрона. Поскольку симметрия кристалла в направлении, нормальном к поверхности кристалла, теряется на границе кристалла, импульс кристалла в этом направлении не сохраняется. Следовательно, единственные направления, в которых могут быть собраны полезные данные ARPES, - это направления, параллельные поверхности кристалла.