Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением

редактировать

Экспериментальный метод определения распределения электронов в твердых телах

ARPES спектр в двумерное электронное состояние, локализованное на поверхности (111) меди. Энергия свободного электрона имеет зависимость от импульса, p / 2m, где m = 0,46 me. Цветовая шкала отображает количество электронов на канал кинетической энергии и угла эмиссии. Когда используются фотоны с 21,22 эВ, уровень Ферми отображается при 16,64 эВ. T = 300 К.

Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением (ARPES ) - мощный метод, используемый в физике конденсированного состояния для исследования структуры электронов в материале, обычно в кристаллическом твердом веществе. Этот метод лучше всего подходит для одно- или двухмерных материалов. Он основан на фотоэлектрическом эффекте , в котором входящий фотон достаточной частоты выталкивает электрон с поверхности материала. Путем прямого измерения распределений кинетической энергии и импульса испускаемых фотоэлектронов, этот метод можно использовать для отображения электронной зонной структуры, получения информации об элементах и отображение поверхностей Ферми. ARPES использовался физиками для исследования высокотемпературных сверхпроводников и материалов, демонстрирующих волны плотности заряда.

. Основные компоненты системы ARPES - это источник для доставки высокочастотного монохроматического пучка фотонов., держатель образца, соединенный с манипулятором, используемым для позиционирования материала и манипулирования им, и электронный спектрометр. Оборудование находится в среде сверхвысокого вакуума (UHV), которая защищает образец и предотвращает рассеивание эмитированных электронов. После диспергирования электроны направляются в детектор микроканальной пластины, который связан с камерой. Дисперсия энергии осуществляется для узкого диапазона энергий около энергии прохождения, что позволяет электронам достигать детектора.

Некоторые системы ARPES имеют рядом с детектором трубку для извлечения электронов, которая измеряет спиновую поляризацию электронов. Системы, использующие щели, могут создавать угловые карты только в одном направлении. Для двумерных карт образец вращается или электроны манипулируют.

Содержание

1 Аппаратура
2 Теория
- 2.1 Принцип
- 2.2 Отображение поверхности Ферми
- 2.3 Преобразование угла излучения в импульс
- 2.4 Теоретический вывод зависимости интенсивности
- 2.5 Правила выбора
- 2.6 Многотельные эффекты
3 Использование
4 Внешние ссылки
5 Ссылки

Приборы

Типичная лабораторная установка эксперимента ARPES: Гелий разряд лампа в качестве источника ультрафиолетового света, держатель образца, который присоединяется к вакуумному манипулятору, и полусферический анализатор энергии электронов.

Типичный прибор для фотоэмиссии с угловым разрешением состоит из источника света, держатель образца, прикрепленный к манипулятору , и электронный спектрометр . Все они являются частью системы сверхвысокого вакуума, которая обеспечивает необходимую защиту от адсорбатов на поверхности образца и исключает рассеяние электронов на их пути к анализатору.

Источник света доставляет монохроматический, обычно поляризованный, сфокусированный, высокоинтенсивный пучок фотонов на образец (~ 10 фотонов / с при нескольких мэВ разброс энергии). К источникам света относятся компактные газоразрядные УФ-лампы и источники радиочастотной плазмы (10–40 эВ), ультрафиолетовые лазеры (5 – 11 эВ) на вводные устройства синхротрона, которые оптимизированы для различных частей электромагнитного спектра (от 10 эВ в ультрафиолете до 1000 эВ рентгеновских лучей).

Держатель образцов вмещает образцы кристаллических материалов, электронные свойства которых должны быть исследованы, и облегчает их введение в вакуум, расщепление для обнажения чистых поверхностей, точное манипулирование в качестве удлинителя манипулятора (для перемещений по трем осям и вращения для регулировки полярности, азимута и углов наклона образца), точное измерение и контроль температуры, охлаждение до температур до 1 кельвин с помощью криогенные сжиженные газы, криохладители и холодильники разбавления, нагрев резистивными нагревателями до нескольких сотен ° C или бомбардировкой электронным пучком с тыльной стороны для температуры до 2000 ° C и фокусировка светового луча и калибровка.

Траектории электронов в спектрометре ARPES, показанные в плоскости угловой дисперсии. Прибор показывает определенную степень фокусировки на одном и том же канале обнаружения электронов, покидающих кристалл под тем же углом, но исходящих из двух отдельных пятен на образце. Здесь смоделированное расстояние составляет 0,5 мм.

Электронный спектрометр рассеивает в двух пространственных направлениях электроны, достигающие его входа, относительно их кинетической энергии и угла их эмиссии при выходе из образца. В наиболее часто используемом типе, полусферическом анализаторе энергии электронов, электроны сначала проходят через электростатическую линзу, которая улавливает электроны, испускаемые из собственного маленького фокусного пятна образец (удобно расположенный примерно в 40 мм от входа в линзу) увеличивает угловой разброс электронного факела и подает его в узкую входную щель элемента рассеивания энергии с заданной энергией.

Угловой и энергетический разрешающий электронный спектрометр для ARPES

Дисперсия энергии выполняется для узкого диапазона энергий вокруг так называемой энергии прохождения в направлении, перпендикулярном щели, обычно 25 мм в длину и>0,1 мм в ширину. Угловая дисперсия цилиндрической линзы сохраняется только вдоль щели и в зависимости от модели линзы и желаемого углового разрешения может составлять ± 3 °, ± 7 ° или ± 15 °. В полушариях анализатора энергии поддерживается постоянное напряжение , так что по центральной траектории следуют электроны, кинетическая энергия которых равна установленной энергии прохождения; те, у кого энергия выше или ниже, оказываются ближе к внешнему или внутреннему полушарию на другом конце анализатора. Здесь устанавливается электронный детектор, обычно в виде 40-миллиметровой микроканальной пластины в паре с флуоресцентным экраном. События обнаружения электронов записываются с помощью внешней камеры и подсчитываются в сотнях тысяч отдельных угловых каналов в зависимости от кинетической энергии. Некоторые приборы дополнительно оснащены трубкой для извлечения электронов на одной стороне детектора, чтобы можно было измерять электроны. спиновая поляризация.

Современные анализаторы способны определять углы эмиссии электронов до почти 0,1 °. Энергетическое разрешение зависит от энергии прохода и ширины щели, поэтому оператор выбирает между измерениями со сверхвысоким разрешением и низкой интенсивностью (<1 meV at 1 eV pass energy) or poorer energy resolutions of 10 or more meV at higher pass energies and with wider slits resulting in higher signal intensity. The instrument's resolution shows up as artificial broadening of the spectral features: a энергия Ферми обрезание шире, чем ожидалось, исходя из температуры образца, и теоретическая спектральная функция электрона свернутый с функцией разрешения прибора как по энергии, так и по импульсу / углу.

Иногда вместо полусферических анализаторов используются анализаторы времени пролета. Однако они требуют импульсные источники фотонов и наиболее распространены в лазерных лабораториях ARPES.

Слева : угол анализатора - карта энергии I 0 (α, E k) вокруг вертикального излучения. Справа : Угол анализатора - карты энергии I θ (α, E k) под несколькими полярными углами от вертикального излучения

Слева : карта постоянной энергии около EF в угле анализатора - единицы полярного угла (полярное движение перпендикулярно щели анализатора). Право : карта постоянной энергии около EF в единицах импульса кристалла ( преобразовано из угла анализатора в карту полярного угла)

Теория

Принцип

Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением является мощным усовершенствованием обычной фотоэмиссионной спектроскопии. Фотоны с частотой $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ имеют энергию $E {\ displaystyle E}$ $E$ , определяемую уравнением:

E = h ν {\ displaystyle E = h \ nu}

E=h\nu

где $h {\ displaystyle h}$ $h$ - постоянная Планка.

Фотон используется для стимуляции переход электрона из занятого электронного состояния твердого тела в незанятое. Если энергия фотона больше, чем энергия связи $EB {\ displaystyle E_ {B}}$ $E_{B}$ электрона, электрон в конечном итоге испускается с характерной кинетической энергией $E k {\ displaystyle E_ {k}}$ $E_{k}$ и угол $ϑ {\ displaystyle \ vartheta}$ $\vartheta$ относительно нормали поверхности . Кинетическая энергия определяется выражением:

E k = h ν - E B {\ displaystyle E_ {k} = h \ nu -E_ {B}}

E_{k}=h\nu -E_{B}

На основе этих результатов можно построить карты интенсивности электронного излучения. Карты представляют собственное распределение электронов в твердом теле. и выражаются в виде $EB {\ displaystyle E_ {B}}$ $E_{B}$ , а волна Блоха описывается волновым вектором $k {\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\mathbf {k}$ , который связан с импульсом кристалла и групповой скоростью электронов. При этом волновой вектор Блоха связан с измеренным импульсом электрона $p {\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ , где величина импульса $| p |, {\ displaystyle | \ mathbf {p} |,}$ $|\mathbf {p} |,$ задается уравнением:

| p | = 2 m e E k {\ displaystyle | \ mathbf {p} | = {\ sqrt {2m_ {e} E_ {k}}}}

|\mathbf {p} |={\sqrt {2m_{e}E_{k}}}

Сохраняется только компонент, параллельный поверхности. Составляющая волнового вектора, параллельная направлению кристаллической решетки $k | | {\ displaystyle \ mathbf {k} _ {||}}$ ${\ mathbf {k}} _ {{ ||}}$ относится к параллельной составляющей импульса, а $ℏ {\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ , приведенная постоянная Планка выражением:

k | | = 1 ℏ p | | {\ displaystyle \ mathbf {k} _ {||} = {\ tfrac {1} {\ hbar}} \ mathbf {p} _ {||}}

\mathbf {k} _{||}={\tfrac { 1}{\hbar }}\mathbf {p} _{||}

Этот компонент известен, и его величина определяется как :

| k | | | Знак равно 1 ℏ 2 мне E k грех ⁡ ϑ {\ displaystyle | \ mathbf {k} _ {||} | = {\ tfrac {1} {\ hbar}} {\ sqrt {2m_ {e} E_ {k}} } \ sin \ vartheta}

|\mathbf {k} _{||}|={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{e}E_{k}} }\sin \vartheta

Благодаря этому и своей ярко выраженной чувствительности поверхности, ARPES лучше всего подходит для полной характеристики зонной структуры в упорядоченных низкоразмерных системах, таких как двумерные материалы, ультратонкие пленки и нанопроволоки. Когда он используется для трехмерных материалов, перпендикулярная составляющая волнового вектора $k ⊥ {\ displaystyle k _ {\ perp}}$ $k_{\perp }$ обычно аппроксимируется с допущением о параболическом, конечное состояние типа свободных электронов с энергией дна $- V 0 {\ displaystyle -V_ {0}}$ ${\ displaystyl е -V_ {0}}$ . Это дает:

k ⊥ = 1 ℏ 2 me (E k cos 2 ϑ + V 0) {\ displaystyle k _ {\ perp} = {\ tfrac {1} {\ hbar}} {\ sqrt {2m_ {e } (E_ {k} \ cos ^ {2} \! \ Vartheta + V_ {0})}}}

k_{\perp }={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{e}(E_{k}\cos ^{2}\!\vartheta +V_{0})}}

Отображение поверхности Ферми

Электронные анализаторы, которым нужна щель для предотвращения смешения импульса и энергетические каналы способны снимать угловые карты только в одном направлении. Чтобы получить карты по энергии и двумерному импульсному пространству, либо образец поворачивается в правильном направлении, так что щель принимает электроны под соседними углами излучения, либо электронный шлейф направляется внутрь электростатической линзы с фиксированным образцом. Ширина щели будет определять размер шага углового сканирования: если щель длиной 30 мм обслуживается шлейфом 30 °, это будет в более узком (например, 0,5 мм) направлении среднего сигнала щели более 0,5 мм на 30 мм. ° / 30 мм, то есть диапазон 0,5 °, что будет максимальным разрешением сканирования в этом другом направлении. Более грубые шаги приведут к отсутствию данных, а более мелкие - к перекрытиям. Карты энергия-угол-угол могут быть дополнительно обработаны для получения карт энергии-k x-kyи нарезаны таким образом, чтобы отображать поверхности с постоянной энергией в зонной структуре и, что наиболее важно, карту поверхности Ферми, когда резка около уровня Ферми.

Преобразование угла испускания в импульс

Геометрия эксперимента ARPES. В этом положении, = 0 ° τ = 0 °, анализатор принимает электроны, испускаемые вертикально с поверхности и α≤8 ° вокруг.

Спектрометр ARPES измеряет угловую дисперсию в срезе α вдоль его щели. Современные анализаторы регистрируют эти углы одновременно в своей системе отсчета, обычно в диапазоне ± 15 °. Чтобы отобразить полосовую структуру в двумерном импульсном пространстве, образец поворачивают, сохраняя при этом световое пятно на поверхности. Наиболее распространенный выбор - изменить полярный угол ϑ вокруг оси, параллельной щели, и отрегулировать наклон τ или азимут φ, чтобы излучение может быть достигнута конкретная область зоны Бриллюэна. Измеренные электроны имеют эти компоненты импульса в системе отсчета анализатора $P = [0, P sin ⁡ α, P cos ⁡ α] {\ displaystyle \ mathbf {P} = [0, P \ sin \ alpha, P \ cos \ alpha]}$ $\mathbf {P} =[0,P\sin \alpha,P\cos \alpha ]$ , где $P = 2 me E k {\ displaystyle P = {\ sqrt {2m_ {e} E_ {k}}}}$ $P={\sqrt {2m_{e}E_{k}}}$ . Опорный кадр образца вращается вокруг оси Y на ϑ ( $P {\ displaystyle \ mathbf {P}}$ $\mathbf {P}$ там есть компоненты $R y (ϑ) P {\ displaystyle R_ {y} (\ vartheta) \, \ mathbf {P}}$ ${\ displaystyle R_ {y} (\ vartheta) \, \ mathbf {P}}$ ), затем наклоняется вокруг x на τ, в результате получается $p = R x (τ) R y (ϑ) P {\ displaystyle \ mathbf {p} = R_ {x} (\ tau) R_ {y} (\ vartheta) \, \ mathbf {P}}$ $\mathbf {p} =R_{x}(\tau)R_{y}(\vartheta)\,\mathbf {P}$ . Здесь $ось R (угол) {\ displaystyle R _ {\ textrm {axis}} ({\ textrm {angle}})}$ $R_{\textrm {axis}}({\textrm {angle}})$ - соответствующие матрицы поворота. Таким образом, компоненты импульса кристалла электрона, известные из ARPES в этой геометрии отображения, равны

kx = 1 ℏ px = 1 ℏ 2 me E k cos ⁡ α sin ⁡ ϑ {\ displaystyle k_ {x} = {\ tfrac {1 } {\ hbar}} p_ {x} = {\ tfrac {1} {\ hbar}} {\ sqrt {2m_ {e} E_ {k}}} \, \ cos \ alpha \ sin \ vartheta}

{\ displaystyle k_ {x} = {\ tfrac {1} {\ hbar}} p_ {x} = {\ tfrac {1} {\ hbar}} {\ sqrt {2m_ {e} E_ {k}}} \, \ cos \ alpha \ sin \ vartheta}

ky знак равно 1 ℏ py = 1 ℏ 2 меня E К (± грех ⁡ α соз ⁡ τ + соз ⁡ α грех ⁡ τ соз ⁡ ϑ) {\ displaystyle k_ {y} = {\ tfrac {1} {\ hbar}} p_ {y} = {\ tfrac {1} {\ hbar}} {\ sqrt {2m_ {e} E_ {k}}} \, (\ pm \ sin \ alpha \ cos \ tau + \ cos \ alpha \ sin \ tau \ cos \ vartheta)}

k_{y}={\tfrac {1}{ \hbar }}p_{y}={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{e}E_{k}}}\,(\pm \sin \alpha \cos \tau +\cos \alpha \sin \tau \cos \vartheta)

выберите знак в

ϑ = 0 {\ displaystyle \ vartheta = 0}

\vartheta =0

в зависимости от того,

ky {\ displaystyle k_ {y}}

k_{y}

пропорционально

грех ⁡ (α + τ) {\ displaystyle \ sin (\ alpha + \ tau)}

\sin(\alpha +\tau)

или

sin ⁡ (α - τ) {\ displaystyle \ sin (\ alpha - \ tau)}

{\ displaystyle \ sin (\ альфа - \ тау)}

Если известны оси высокой симметрии образца и их необходимо выровнять, поправку по азимуту φ можно применить путем поворота вокруг z, $p = R z ( φ) р Икс (τ) р Y (ϑ) п {\ displaystyle \ mathbf {p} = R_ {z} ( \ varphi) R_ {x} (\ tau) R_ {y} (\ vartheta) \, \ mathbf {P}}$ $\mathbf {p} =R_{z}(\varphi)R_{x}(\tau)R_{y}(\vartheta)\,\mathbf {P}$ или путем поворота карты I (E, k x, k y) вокруг начала координат в двумерных плоскостях импульса.

Анализ электронов, испускаемых под полярным углом ϑ и α≤8 ° вокруг.
Полярный угол ϑ, наклон τ и α≤8 °.
Полярный угол ϑ, наклон τ и α≤8 °. Азимут установлен на φ.

Теоретический вывод зависимости интенсивности

Теория фотоэмиссии - это теория прямых оптических переходов между состояниями $| я⟩ {\ displaystyle | я \ rangle}$ $|i\rangle$ и $| е⟩ {\ displaystyle | f \ rangle}$ $|f\rangle$ N-электронной системы. Световое возбуждение вводится как векторный магнитный потенциал $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\mathbf {A}$ посредством минимальной замены $p ↦ p + e A {\ displaystyle \ mathbf {p} \ mapsto \ mathbf {p} + e \ mathbf {A}}$ $\mathbf {p} \mapsto \mathbf {p} +e\mathbf {A}$ в кинетической части квантово-механического гамильтониана для электроны в кристалле. Часть возмущения гамильтониана оказывается следующей:

H ′ = e 2 m (A ⋅ p + p ⋅ A) + e 2 2 m | А | 2 {\ displaystyle H '= {\ frac {e} {2m}} (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {p} + \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {A}) + {\ frac {e ^ {2}} {2m}} | \ mathbf {A} | ^ {2}}

H'={\frac {e}{2m}}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} +\mathbf {p} \cdot \mathbf {A})+{\frac {e^{2}}{2m}}|\mathbf {A} |^{2}

В этой трактовке не учитывается связь спина электрона с электромагнитным полем. Скалярный потенциал $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ устанавливается на ноль либо путем наложения шкалы Вейля $ϕ = 0 {\ displaystyle \ phi = 0}$ $\phi =0$ или работая в кулоновской шкале $∇ ⋅ A = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0}$ в котором $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ становится пренебрежимо малым вдали от источников. В любом случае, коммутатор $[A, p] = i ℏ ∇ ⋅ A {\ displaystyle \ left [\ mathbf {A}, \ mathbf {p} \ right] = i \ hbar \, \ nabla \ cdot \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ left [\ mathbf {A}, \ mathbf {p} \ right] = i \ hbar \, \ nabla \ cdot \ mathbf {A}}$ принимается равным нулю. В частности, в шкале Вейля $∇ ⋅ A ≈ 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ приблизительно 0}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ приблизительно 0}$ , поскольку период $A {\ displaystyle \ mathbf {A }}$ $\mathbf {A}$ для ультрафиолетового света примерно на два порядка больше, чем период волновой функции электрона. В обоих датчиках предполагается, что у электронов на поверхности было мало времени, чтобы отреагировать на поступающее возмущение и ничего не добавить ни к одному из двух потенциалов. Для большинства практических применений квадратичным $| А | 2 {\ displaystyle | A | ^ {2}}$ ${\ displaystyle | A | ^ {2}}$ термин. Следовательно, $H '= em A ⋅ p {\ displaystyle H' = {\ frac {e} {m}} \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {p}}$ $H'={\frac {e}{m}}\mathbf {A} \cdot \mathbf {p}$ .

Вероятность перехода рассчитывается в зависящая от времени теория возмущений и задается золотым правилом Ферми :

Γ i → f = 2 π ℏ | ⟨F | H ′ | я⟩ | 2 δ (E f - E i - h ν) ∝ | ⟨F | A ⋅ p | я⟩ | 2 δ (Е е - Е я - час ν) {\ displaystyle \ Gamma _ {я \ к f} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | H '| i \ rangle | ^ {2} \ delta (E_ {f} -E_ {i} -h \ nu) \ propto | \ langle f | \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {p} | i \ rangle | ^ {2} \, \ delta (E_ {f} -E_ {i} -h \ nu)}

\Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle f|H'|i\rangle |^{2}\delta (E_{f}-E_{i}-h\nu)\propto |\langle f|\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} |i\rangle |^{2}\,\delta (E_{f}-E_{i}-h\nu)

Дельта-распределение выше говорит, что энергия сохраняется, когда фотон с энергией $h ν {\ displaystyle h \ nu}$ $h \ nu$ поглощается $E f = E i + h ν {\ displaystyle E_ {f} = E_ {i} + h \ nu}$ $E_{f}=E_{i}+h\nu$ .

Если электрическое поле электромагнитной волны записывается как $E (r, t) = E 0 sin ⁡ (k ⋅ r - ω t) {\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {E_ {0}} \ sin (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)}$ $\ mathbf {E} (\mathbf {r},t)=\mathbf {E_{0}} \sin(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)$ , где $ω = 2 π ν {\ displaystyle \ omega = 2 \ pi \ nu}$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi \ nu}$ , векторный потенциал сохраняет свою поляризацию и равен $A (r, t) = 1 ω E 0 cos ⁡ (k ⋅ r - ω t) {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ tfrac {1} {\ omega}} \ mathbf {E_ {0}} \ cos (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ tfrac {1} {\ omega}} \ mathbf {E_ {0}} \ cos (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)}$ . Тогда вероятность перехода выражается в электрическом поле как

Γ i → f ∝ | ⟨F | 1 ν E 0 ⋅ p | я⟩ | 2 δ (Е е - Е я - час ν) {\ Displaystyle \ Gamma _ {я \ к f} \ propto | \ langle f | {\ tfrac {1} {\ nu}} \ mathbf {E_ {0}} \ cdot \ mathbf {p} | i \ rangle | ^ {2} \, \ delta (E_ {f} -E_ {i} -h \ nu)}

\Gamma _{i\to f}\propto |\langle f|{\tfrac {1}{\nu }}\mathbf {E_{0}} \cdot \mathbf {p} |i\rangle |^{2}\,\delta (E_{f}-E_{i}-h\nu)

В внезапном приближении, которая предполагает, что электрон мгновенно удаляется из системы N электронов, конечное и начальное состояния системы принимаются как должным образом антисимметризованные продукты одночастичных состояний фотоэлектрона $| к я⟩ {\ displaystyle | k_ {i} \ rangle}$ $|k_{i}\rangle$ , $| kf⟩ {\ displaystyle | k_ {f} \ rangle}$ ${\ displaystyle | k_ {f} \ rangle}$ и состояния, представляющие оставшиеся электронные системы N-1.

Фотоэмиссионный ток электронов с энергией $E f = E k {\ displaystyle E_ {f} = E_ {k}}$ $E_{f}=E_{k}$ и импульс $p = ℏ k {\ displaystyle \ mathbf {p} = \ hbar \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ hbar \ mathbf {k}}$ затем выражается как произведение

$| ⟨K f | E 0 ⋅ p | k i⟩ | 2 = M fi {\ displaystyle | \ langle k_ {f} | \ mathbf {E_ {0}} \ cdot \ mathbf {p} | k_ {i} \ rangle | ^ {2} = M_ {fi}}$ $|\langle k_{f}|\mathbf {E_{0}} \cdot \mathbf {p} |k_{i}\rangle |^{2}=M_{fi}$ , известные как дипольные правила отбора для оптических переходов, и
$A (k, E) {\ displaystyle A (\ mathbf {k}, E)}$ $A(\mathbf {k},E)$ , одноэлектронный спектральная функция удаления, известная из теории многих тел физики конденсированного состояния

, суммированная по всем разрешенным начальным и конечным состояниям, приводящим к наблюдаемым энергиям и импульсам. Здесь E измеряется относительно уровня Ферми EFи E k относительно вакуума, поэтому $E k = E + h ν - W {\ displaystyle E_ {k} = E + h \ nu -W}$ $E_{k}=E+h\nu -W$ где $W {\ displaystyle W}$ $W$ , работа выхода, представляет собой разность энергий между двумя референтами уровни, зависящие от материала, ориентации поверхности и состояния поверхности. Поскольку разрешенными начальными состояниями являются только те, которые заняты, сигнал фотоэмиссии будет отражать функцию распределения Ферми-Дирака $f (E) = 1 1 + e (E - EF) / k BT { \ displaystyle f (E) = {\ frac {1} {1 + e ^ {(E-E_ {F}) / k_ {B} T}}}}$ $f(E)={\frac {1}{1+e^{(E-E_{F})/k_{B}T}}}$ в виде температуры- зависимое сигмовидное -образное падение интенсивности в районе E F. В случае двумерной однозонной электронной системы соотношение интенсивностей дополнительно сводится к $I (E k, k | |) = IM (k | |, E 0, ν) f (E) A ( к | |, E) {\ Displaystyle I (E_ {k}, \ mathbf {k_ {||}}) = I_ {M} (\ mathbf {k_ {||}}, \ mathbf {E_ {0}}, \ nu) \, f (E) \, A (\ mathbf {k_ {||}}, E)}$ $I(E_{k},\mathbf {k_{||}})=I_{M}(\mathbf {k_{||}},\mathbf {E_{0}},\nu)\,f(E)\,A(\mathbf {k_{||}},E)$ .

Правила выбора

Электронные состояния в кристаллах организованы по энергии полосы, с которыми связаны дисперсии энергетических зон $E (k) {\ displaystyle E (k)}$ $E(k)$ , которые являются энергиями собственными значениями для делокализованных электронов согласно теореме Блоха. Из коэффициента плоской волны $exp ⁡ (ik ⋅ r) {\ displaystyle \ exp (i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r})}$ $\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r})$ в Блоховское разложение волновых функций, оно следует за единственными разрешенными переходами, когда никакие другие частицы не участвуют, находятся между состояниями, чьи импульсы кристаллов отличаются на векторы обратной решетки $G {\ displaystyle \ mathbf {G} }$ $\ mathbf {G}$ , то есть состояния, которые находятся в схеме сокращенной зоны одно над другим (отсюда и название прямые оптические переходы).

Другой набор правил выбора исходит из $M fi {\ displaystyle M_ {fi}}$ $M_{fi}$ (или $IM {\ displaystyle I_ {M}}$ $I_{M}$ ), когда поляризация фотона содержится в $A {\ displaystyle \ mathbf {A }}$ $\mathbf {A}$ (или $E 0 {\ displaystyle \ mathbf {E_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E_ {0}}}$ ) и симметрии начального и конечного одноэлектронных состояний Блоха $| к я⟩ {\ displaystyle | k_ {i} \ rangle}$ $|k_{i}\rangle$ и $| k е⟩ {\ displaystyle | k_ {f} \ rangle}$ ${\ displaystyle | k_ {f} \ rangle}$ принимаются во внимание. Они могут привести к подавлению сигнала фотоэмиссии в определенных частях обратного пространства или могут сказать об особом атомно-орбитальном происхождении начального и конечного состояний.

Эффекты многих тел

ARPES спектр перенормированной π-зоны легированного электронами графена ; p-поляризованный свет 40 эВ, Т = 80 К. Пунктирная линия - голая полоса. Изгиб при -0,2 эВ обусловлен фононами графена.

. Одноэлектронная спектральная функция, которая непосредственно измеряется в ARPES, отображает вероятность того, что состояние системы из N электронов, из которой был мгновенно удален один электрон, является любым. основных состояний системы N − 1 частиц:

A (k, E) = ∑ m | ⟨(N - 1) - e i g e n s t a t e m | (N) - e i g e n s t a t e w i t h k r e m o v e d⟩ | 2 δ (E - E m N - 1 + EN) {\ displaystyle A (\ mathbf {k}, E) = \ sum _ {m} \ left | \, \ left \ langle {\ begin {matrix} (N -1) \ mathrm {{\ t_dv {-}} eigenstate} \\ m \ end {matrix}} \, \, | \, \, {\ begin {matrix} (N) \ mathrm {{\ t_dv {- }} eigenstate} \\\ mathrm {с \,} \ mathbf {k} \ mathrm {\, удалено} \ end {matrix}} \ right \ rangle \, \ right | ^ {2} \, \ delta (E -E_ {m} ^ {N-1} + E ^ {N})}

A(\mathbf {k},E)=\sum _{m}\left|\,\left\langle {\begin{matrix}(N-1)\mathrm {{\t_dv{-}}eigenstate} \\m\end{matrix}}\,\,|\,\,{\begin{matrix}(N)\mathrm {{\t_dv{-}}eigenstate} \\\mathrm {with\,} \mathbf {k} \mathrm {\,removed} \end{matrix}}\right\rangle \,\right|^{2}\,\delta (E-E_{m}^{N-1}+E^{N})

Если бы электроны были независимы друг от друга, N-электронное состояние с состоянием $| ki⟩ {\ displaystyle | k_ {i} \ rangle}$ $|k_{i}\rangle$ будет в точности собственным состоянием системы частиц N − 1, а спектральная функция станет бесконечно точной дельта-функция энергии и импульса удаленной частицы; он будет отслеживать $E o (k) {\ displaystyle E_ {o} (\ mathbf {k})}$ ${\ displaystyle E_ {o} (\ mathbf {k})}$ дисперсию независимых частиц в пространстве энергии-импульса. В случае увеличения электронных корреляций спектральная функция расширяется и начинает проявлять более богатые характеристики, которые отражают взаимодействия в лежащей в основе системе многих тел. Они обычно описываются сложной поправкой к дисперсии энергии отдельной частицы, которая называется квазичастицей собственной энергией, $Σ (k, E) = Σ ′ (k, E) + я Σ ″ (к, E) {\ textstyle \ Sigma (\ mathbf {k}, E) = \ Sigma '(\ mathbf {k}, E) + я \ Sigma' '(\ mathbf {k}, E)}$ ${\textstyle \Sigma (\mathbf {k},E)=\Sigma '(\mathbf {k},E)+i\Sigma ''(\mathbf {k},E)}$ . Он содержит полную информацию о перенормировке электронной дисперсии из-за взаимодействий и времени жизни дырки, созданной возбуждением. Оба могут быть определены экспериментально из анализа спектров ARPES высокого разрешения при некоторых разумных предположениях. А именно, можно предположить, что часть спектра $M fi {\ displaystyle M_ {fi}}$ $M_{fi}$ почти постоянна вдоль направлений высокой симметрии в импульсном пространстве, и что единственная переменная часть происходит от спектральная функция, которая в терминах $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ , где два компонента $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ обычно считаются Зависит только от $E {\ displaystyle E}$ $E$ , читается как

A (k, E) = - 1 π Σ ″ (E) [E - E o (k) - Σ ′ ( E)] 2 + [Σ ″ (E)] 2 {\ displaystyle A (\ mathbf {k}, E) = - {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {\ Sigma '' (E) } {\ left [E-E_ {o} (\ mathbf {k}) - \ Sigma '(E) \ right] ^ {2} + \ left [\ Sigma' '(E) \ right] ^ {2} }}}

A(\mathbf {k},E)=-{\frac {1}{\pi }}{\frac {\Sigma ''(E)}{\left[E-E_{o}(\mathbf {k})-\Sigma '(E)\right]^{2}+\left[\Sigma ''(E)\right]^{2}}}

Постоянные энергетические разрезы спектральной функции приблизительно равны лоренцианам, ширина которых на половине максимума определяется мнимой частью собственной энергии, а их отклонение от голого диапазон задается его действительной частью.

Эта функция известна в ARPES как сканирование по выбранному ди в импульсном пространстве и представляет собой двумерную карту вида $A (k, E) {\ displaystyle A (k, E)}$ ${\ displaystyle A (k, E)}$ . При резке с постоянной энергией $E m {\ displaystyle E_ {m}}$ $E_{ m}$ , лоренцево -подобная кривая в $k {\ displaystyle k}$ $k$ получается, чье перенормированное положение пика $km {\ displaystyle k_ {m}}$ $k_{m}$ задается как $Σ ′ (E m) {\ displaystyle \ Sigma '(E_ {m})}$ $\Sigma '(E_{m})$ , ширина которого на половине максимального значения $w {\ displaystyle w}$ $w$ определяется как $Σ ″ (E m) {\ displaystyle \ Sigma '' (E_ {m})}$ $\Sigma ''(E_{m})$ следующим образом:

$Σ ′ (E m) = E m - E o (km) {\ displaystyle \ Sigma '(E_ {m}) = E_ {m} -E_ {o} (k_ {m})}$ $\Sigma '(E_{m})=E_{m}-E_{o}(k_{m})$
$Σ ″ (E m) = 1 2 [E o (км + 1 2 w) - E o (км - 1 2 w)] {\ displaystyle \ Sigma '' (E_ {m}) = {\ frac {1} {2}} \ left [E_ {o} (k_ {m} + {\ textstyle {\ frac {1} {2}}} w) -E_ {o} (k_ {m} - {\ textstyle {\ frac {1} {2}}} w) \ right]}$ $\Sigma ''(E_{m})={\frac {1}{2}}\left[E_{o}(k_{m}+{\textstyle {\frac {1}{2}}}w)-E_{o}(k_{m}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}w)\right]$

Единственное, что остается неизвестным в анализе, - это голая полоса $E o (k) {\ displaystyle E_ {o} (k)}$ $E_{o}(k)$ . Голую полосу можно найти самосогласованным способом, обеспечив соблюдение отношения Крамерса-Кронига между двумя компонентами комплексной функции $Σ (E) {\ displaystyle \ Sigma (E)}$ $\Sigma (E)$ , полученный из двух предыдущих уравнений. Алгоритм выглядит следующим образом: начните с анзаца пустой полосы, вычислите $Σ ″ (E) {\ displaystyle \ Sigma '' (E)}$ $\Sigma ''(E)$ по ур. (2), преобразуйте его в $Σ ′ (E) {\ displaystyle \ Sigma '(E)}$ $\Sigma '(E)$ , используя соотношение Крамерса-Кронига, затем используйте эту функцию для вычисления дисперсия голой полосы на дискретном наборе точек $км {\ displaystyle k_ {m}}$ $k_{m}$ по ур. (1), и передать алгоритму его аппроксимацию подходящей кривой в качестве новой голой полосы анзаца; сходимость обычно достигается за несколько быстрых итераций.

По полученной собственной энергии можно судить о силе и форме электрон-электронных корреляций, электрон- фонон (в более общем смысле, электрон- бозон ), энергии активных фононов и время жизни квазичастиц .

В простых случаях сглаживания зон вблизи уровня Ферми из-за взаимодействия с дебаевскими фононами масса полосы увеличивается на (1 + λ), а коэффициент электрон-фононной связи λ может быть определен из линейной зависимости ширины пиков от температуры.

Используется

ARPES использовался для отображения структуры занятых зон многих металлов и полупроводников, состояний, появляющихся в проецируемых запрещенных зонах на их поверхностях, состояний квантовой ямы, которые возникают в системах с уменьшенным размерность, материалы толщиной в один атом, такие как графен дихалькогениды переходных металлов, и множество ароматизаторов топологических материалов. териалы. Он также использовался для картирования лежащей в основе зонной структуры, щелей и динамики квазичастиц в сильно коррелированных материалах, таких как высокотемпературные сверхпроводники и материалах, демонстрирующих волны зарядовой плотности.

Когда электронная динамика в необходимо изучить связанные состояния чуть выше уровня Ферми, используется двухфотонное возбуждение в установках «накачка-зонд» (2PPE ). Там первый фотон с достаточно низкой энергией используется для возбуждения электронов в незанятые зоны, которые все еще ниже энергии, необходимой для фотоэмиссии (то есть между уровнями Ферми и вакуумом). Второй фотон используется для выталкивания этих электронов из твердого тела, чтобы их можно было измерить с помощью ARPES. Точно синхронизируя второй фотон, обычно с помощью умножения частоты низкоэнергетического импульсного лазера и задержки между импульсами путем изменения их оптических путей, время жизни электронов может быть определено на шкала ниже пикосекунды.

Внешние ссылки

Введение в ARPES на канале Diamond Light Source i05