Отношение дисперсии

Соотношение длины волны / волнового числа как функции частоты волны В призме дисперсия заставляет разные цвета преломляться под разными углами, разделяя белый свет на радугу цветов.

В физических науках и электротехнике, дисперсионные соотношения описывают влияние дисперсии на свойства волн в среде.. Дисперсионное соотношение связывает длину волны или волновое число волны с ее частотой. Зная дисперсионное соотношение, можно вычислить фазовую скорость и групповую скорость волн в среде как функцию частоты. Помимо зависимых от геометрии и материалов дисперсионных соотношений, общие соотношения Крамерса-Кронига описывают частотную зависимость распространения волн и затухания.

Дисперсия может быть вызванные либо геометрическими граничными условиями (волноводы, мелкая вода), либо взаимодействием волн с передающей средой. Элементарные частицы, рассматриваемые как волны материи, обладают нетривиальным соотношением дисперсии даже при отсутствии геометрических ограничений и других сред.

При наличии дисперсии скорость волны больше не определяется однозначно, что приводит к различию фазовой скорости и групповой скорости.

Содержание

• 1 Дисперсия
• 2 Плоские волны в вакууме
  • 2.1 Электромагнитные волны в вакууме
  • 2.2 Дисперсионные соотношения Де Бройля
• 3 Зависимость частоты от волнового числа
  • 3.1 Волны и оптика
  • 3.2 Глубоководные волны
  • 3.3 Волны на строке
  • 3.4 Твердотельное состояние
  • 3.5 Фононы
  • 3.6 Электронная оптика
• 4 История
• 5 См. также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Дисперсия

Дисперсия возникает, когда чистые плоские волны разных длин волн имеют разные скорости распространения, поэтому волновой пакет смешанных длин волн имеет тенденцию распространяться в пространстве. Скорость плоской волны, $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$, является функцией длины волны волны $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$:

$v\; =\; v\; (\lambda ).\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; v\; (\backslash \; lambda).\; \backslash ,\}$

Скорость волны, длина волны и частота f связаны тождеством

$v\; (\lambda )\; =\; \lambda \; f\; (\lambda ).\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (\backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash \; f\; (\backslash \; lambda).\; \backslash ,\}$

Функция $f\; (\lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; lambda)\}$выражает дисперсионное соотношение данной среды. Дисперсионные отношения чаще выражаются в терминах угловой частоты $\omega \; =\; 2\; \pi \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; 2\; \backslash \; pi\; f\}$и волнового числа <30.>$k\; =\; 2\; \pi \; /\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 2\; \backslash \; pi\; /\; \backslash \; lambda\}$. Переписывая указанное выше соотношение в этих переменных, получаем

$\omega \; (k)\; =\; v\; (k)\; \cdot \; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (k)\; =\; v\; (k)\; \backslash \; cdot\; k.\; \backslash ,\}$

где мы теперь рассматриваем f как функцию от k. Использование ω (k) для описания дисперсионного соотношения стало стандартом, потому что и фазовая скорость ω / k, и групповая скорость dω / dk имеют удобные представления через эту функцию.

Рассматриваемые плоские волны можно описать следующим образом:

$A\; (x,\; t)\; =\; A\; 0\; e\; 2\; \pi \; ix\; -\; vt\; \lambda \; =\; A\; 0\; ei\; (kx\; -\; \omega \; t),\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (\; x,\; t)\; =\; A\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; i\; \{\backslash \; frac\; \{x-vt\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\}\; =\; A\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{i\; (kx-\; \backslash \; omega\; t)\},\}$

, где

A - амплитуда волны,

A0= A (0,0),

x - позиция вдоль направления распространения волны, а

t - время, в которое волна описывается.

Плоские волны в вакууме

Плоские волны в вакууме - это простейший случай распространения волн: без геометрических ограничений, без взаимодействия с передающей средой.

Электромагнитные волны в вакууме

Для электромагнитных волн в вакууме угловая частота пропорциональна волновому числу:

$\omega \; =\; c\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; ck.\; \backslash ,\}$

Это соотношение линейной дисперсии. В этом случае фазовая скорость и групповая скорость одинаковы:

$v\; =\; \omega \; k\; =\; d\; \omega \; d\; k\; =\; c;\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\}\; \{k\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; omega\}\; \{dk\}\}\; =\; c;\}$

они задаются как c, скорость света в вакууме, постоянная, не зависящая от частоты.

Дисперсионные соотношения Де Бройля

График дисперсии кинетической энергии в зависимости от количества движения для многих объектов повседневной жизни

Полная энергия, импульс и масса частиц связаны через соотношение релятивистской дисперсии :

$E\; 2\; =\; (mc\; 2)\; 2\; +\; (pc)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; ^\; \{2\}\; =\; (mc\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; +\; (pc)\; ^\; \{2\},\}$

который в ультрарелятивистском пределе равен

$E\; =\; pc\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; pc\}$

, а в нерелятивистском пределе

$E\; =\; mc\; 2\; +\; p\; 2\; 2\; m,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; mc\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\},\}$

где $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- инвариантная масса. В нерелятивистском пределе $mc\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; mc\; ^\; \{2\}\}$является константой, а $p\; 2\; /\; (2\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{2\}\; /\; (\; 2m)\}$- знакомая кинетическая энергия, выраженная через импульс $p\; =\; mv\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; mv\}$.

Переход от ультрарелятивистского к нерелятивистскому поведению показывает вверх как изменение наклона от p к p, как показано на графике логарифмической дисперсии E от p.

Элементарные частицы, атомные ядра, атомы и даже молекулы в некоторых случаях ведут себя как волны материи. Согласно соотношениям де Бройля, их кинетическая энергия E может быть выражена как частота ω, а их импульс p как волновое число k, используя приведенное значение Постоянная Планка ħ:

$E\; =\; \hslash \; \omega ,\; p\; =\; \hslash \; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega,\; \backslash \; quad\; p\; =\; \backslash \; hbar\; k.\}$

Соответственно, угловая частота и волновое число связаны дисперсионным соотношением, которое в нерелятивистском пределе имеет вид

$\omega \; =\; \hslash \; k\; 2\; 2\; м.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; k\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}.\}$

Анимация: фазовая и групповая скорость электронов

Эта анимация изображает фазу де Бройля и групповые скорости (в медленное движение) трех свободных электронов, движущихся в поле шириной 0,4 ангстрёма. Импульс на единицу массы (собственная скорость) среднего электрона - это скорость света, так что его групповая скорость равна 0,707 c. Верхний электрон имеет вдвое больший импульс, а нижний - половину. Обратите внимание, что по мере увеличения импульса фазовая скорость уменьшается до c, тогда как групповая скорость увеличивается до c, пока волновой пакет и его фазовые максимумы не перемещаются вместе около скорости света, тогда как длина волны продолжает неограниченно уменьшаться. И поперечная, и продольная ширина когерентности (размеры пакетов) электронов с такой высокой энергией в лаборатории могут быть на порядки больше, чем показано здесь.

Частота в зависимости от волнового числа

Как упоминалось выше, когда основное внимание в среде уделяется преломлению, а не поглощению, то есть реальной части показателя преломления - это обычное дело называть функциональную зависимость угловой частоты от волнового числа дисперсионным соотношением. Для частиц это означает знание энергии как функции количества движения.

Волны и оптика

Название «дисперсионное соотношение» происходит от слова оптика. Можно сделать эффективную скорость света зависимой от длины волны, заставив свет проходить через материал, который имеет непостоянный показатель преломления , или используя свет в неоднородной среде, такой как волновод. В этом случае форма волны будет растягиваться во времени, так что узкий импульс станет расширенным импульсом, то есть рассредоточенным. В этих материалах $\partial \; \omega \; \partial \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; omega\}\; \{\backslash \; partial\; k\}\}\}$известен как групповая скорость и соответствует до скорости, с которой распространяется пик импульса, значение, отличное от фазовой скорости.

Глубокие водные волны

Частотная дисперсия поверхностных гравитационных волн на глубокой воде. ■ красный квадрат движется с фазовой скоростью, а зеленые ● точки - с групповой скоростью. В этом глубоководном случае фазовая скорость в два раза больше групповой скорости. Красный квадрат пересекает фигуру за время, за которое ● зеленая точка пересекает половину.

Соотношение дисперсии для глубоких волн на воде часто записывается как

$\omega \; =\; gk,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{gk\}\},\}$

где g - ускорение свободного падения. В этом отношении под глубокой водой обычно понимают тот случай, когда глубина воды больше половины длины волны. В этом случае фазовая скорость равна

$vp\; =\; \omega \; k\; =\; gk,\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\}\; \{k\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{k\}\}\; \},\}$

и групповая скорость равна

$vg\; =\; d\; \omega \; dk\; =\; 1\; 2\; vp.\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{g\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; omega\}\; \{dk\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; v\_\; \{p\}.\}$

Волны на струне

Двухчастотные биения недисперсионной поперечной волны. Поскольку волна не является дисперсионной, ● фазовая и ● групповая скорости равны.

Для идеальной струны дисперсионное соотношение может быть записано как

$\omega \; =\; k\; T\; \mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; k\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{T\}\; \{\backslash \; mu\}\}\},\}$

где T - сила натяжения в струне, а μ - масса струны на единицу длины. Что касается электромагнитных волн в вакууме, идеальные струны, таким образом, являются недиспергирующей средой, то есть фазовая и групповая скорости равны и независимы (в первом порядке) от частоты колебаний.

Для неидеальной струны, где учитывается жесткость, дисперсионное соотношение записывается как

$\omega \; 2\; =\; T\; \mu \; k\; 2\; +\; \alpha \; k\; 4,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{T\}\; \{\backslash \; mu\}\}\; k\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; alpha\; k\; ^\; \{4\},\}$

где $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$- константа, которая зависит на веревочке.

Твердое состояние

При изучении твердых тел первостепенное значение имеет изучение дисперсионного соотношения электронов. Периодичность кристаллов означает, что многие уровни энергии возможны для данного импульса и что некоторые энергии могут быть недоступны при любом импульсе. Набор всех возможных энергий и импульсов известен как зонная структура материала. Свойства зонной структуры определяют, является ли материал изолятором, полупроводником или проводником.

Фононами

Фононами являются звуковые волны в твердом теле. фотоны должны светить: это кванты, которые его переносят. Дисперсионное соотношение фононов также нетривиально и важно, поскольку оно напрямую связано с акустическими и тепловыми свойствами материала. Для большинства систем фононы можно разделить на два основных типа: те, чьи полосы становятся равными нулю в центре зоны Бриллюэна, называются акустическими фононами, поскольку они соответствуют классическому звуку в предел длинных волн. Остальные - оптические фононы, так как они могут возбуждаться электромагнитным излучением.

Электронная оптика

С электронами высокой энергии (например, 200 кэВ, 32 фДж) в просвечивающем электронном микроскопе энергетическая зависимость высшего порядка (HOLZ) Линии в схемах дифракции электронов (CBED) сходящегося луча позволяют, по сути, непосредственно отображать поперечные сечения трехмерной дисперсионной поверхности кристалла. Этот динамический эффект нашел применение в точном измерении параметров решетки, энергии пучка и, в последнее время, в электронной промышленности: деформации решетки.

История

Исаак Ньютон изучал преломление в призмах, но не смог распознать материальную зависимость дисперсионного соотношения, отвергнув работу другого исследователя, чьи измерения дисперсии призмы не совпадали с собственными измерениями Ньютона. 190>

Рассеивание волн на воде изучал Пьер-Симон Лаплас в 1776 году.

Универсальность соотношений Крамерса – Кронига (1926–27) стало очевидным в последующих работах о связи дисперсионного соотношения с причинностью в теории рассеяния всех типов волн и частиц.

См. также

• Эллипсометрия
• Ультракороткий импульс

Ссылки

Внешние ссылки

• Плакат по моделированию CBED, помогающий визуализировать поверхности рассеяния, от Андрея Чувилина и Уте Кайзера
• Калькулятор угловой частоты