Энергия Ферми

энергия Ферми - это концепция в квантовой механике, обычно относящаяся к разнице энергий между наивысшим и самым низким занятыми одночастичными состояниями в квантовой системе невзаимодействующие фермионы при абсолютном нуле температуре. В ферми-газе считается, что самое низкое заполненное состояние имеет нулевую кинетическую энергию, тогда как в металле нижнее заполненное состояние обычно означает нижнюю часть зоны проводимости.

Термин «энергия Ферми» часто используется для обозначения другого, но тесно связанного с ним понятия, уровня Ферми (также называемого электрохимическим потенциалом ). Есть несколько ключевых различий между уровнем Ферми и энергией Ферми, по крайней мере, в том виде, в каком они используются в этой статье:

• Энергия Ферми определяется только при абсолютном нуле, в то время как уровень Ферми определяется для любой температуры.
• Энергия Ферми - это разность энергий (обычно соответствующая кинетической энергии ), тогда как уровень Ферми - это уровень полной энергии, включающий кинетическую энергию и потенциальную энергию.
• Энергия Ферми может быть определен только для невзаимодействующих фермионов (где потенциальная энергия или край зоны является статической, хорошо определенной величиной), тогда как уровень Ферми остается хорошо определенным даже в сложных взаимодействующих системах при термодинамическом равновесии.

Поскольку уровень Ферми в металле при абсолютном нуле является энергией наивысшего занятого одночастичного состояния, то энергия Ферми в металле представляет собой разность энергий между уровнем Ферми и низшим незанятым одночастичным состоянием при нулевой температуре..

Содержание

• 1 Контекст
• 2 Формула и типичные значения
  • 2.1 Металлы
  • 2.2 Белые карлики
  • 2.3 Ядро
• 3 Связанные величины
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература

Контекст

В квантовой механике группа частиц, известная как фермионы (например, электроны, протоны и нейтроны ) подчиняются принципу исключения Паули. Это означает, что два фермиона не могут занимать одно и то же квантовое состояние. Поскольку идеализированный невзаимодействующий ферми-газ можно анализировать в терминах одночастичных стационарных состояний, мы можем, таким образом, сказать, что два фермиона не могут находиться в одном и том же стационарном состоянии. Эти стационарные состояния обычно различаются по энергии. Чтобы найти основное состояние всей системы, мы начинаем с пустой системы и добавляем частицы по одной, последовательно заполняя незанятые стационарные состояния с наименьшей энергией. Когда все частицы помещены внутрь, энергия Ферми является кинетической энергией самого высокого занятого состояния.

Как следствие, даже если мы извлекли всю возможную энергию из ферми-газа, охладив его до температуры, близкой к абсолютному нулю, фермионы все равно перемещаются с высокой скоростью. Самые быстрые из них движутся со скоростью, соответствующей кинетической энергии, равной энергии Ферми. Эта скорость известна как скорость Ферми . Только когда температура превышает соответствующую температуру Ферми, электроны начинают двигаться значительно быстрее, чем при абсолютном нуле.

Энергия Ферми - важное понятие в физике твердого тела металлов и сверхпроводников. Это также очень важная величина в физике квантовых жидкостей, таких как низкотемпературный гелий (как нормальный, так и сверхтекучий He), и очень важна для ядерной физики и к пониманию устойчивости белых карликов против гравитационного коллапса.

Формула и типичные значения

Энергия Ферми для невзаимодействующего ансамбля идентичных фермионы со спином ½ в трехмерной (не релятивистской ) системе задаются выражением

$EF\; =\; \hslash \; 2\; 2\; m\; 0\; (3\; \pi \; 2\; NV)\; 2\; /\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; N\}\; \{V\; \}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2/3\},\}$

где N - количество частиц, m 0 масса покоя каждого фермиона, V - объем и $\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$уменьшенная постоянная Планка.

Металлы

В рамках модели свободных электронов электроны в металле можно рассматривать как ферми-газ. Числовая плотность $N\; /\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; /\; V\}$электронов проводимости в металлах находится в диапазоне приблизительно от 10 до 10 электронов / м, что также является типичной плотностью атомов в обычном твердом веществе. Эта числовая плотность дает энергию Ферми порядка от 2 до 10 электронвольт.

Белые карлики

Звезды, известные как белые карлики, имеют массу, сравнимую с массой нашего Солнца, но имеют примерно одну сотую его радиуса. Высокая плотность означает, что электроны больше не связаны с отдельными ядрами и вместо этого образуют вырожденный электронный газ. Их энергия Ферми составляет около 0,3 МэВ.

Ядро

Другой типичный пример - это нуклон в ядре атома. Радиус ядра допускает отклонения, поэтому типичное значение энергии Ферми обычно дается как 38 МэВ.

Связанные величины

Используя это определение выше для Ферми энергии могут быть полезны различные связанные величины.

Температура Ферми определяется как

$TF\; =\; EF\; k\; B,\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\; \}\}\; \{k\; \_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\}\},\}$

где $k\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\}$- постоянная Больцмана и $EF\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\}$энергия Ферми. Температуру Ферми можно рассматривать как температуру, при которой тепловые эффекты сравнимы с квантовыми эффектами, связанными со статистикой Ферми. Температура Ферми для металла на пару порядков выше комнатной.

Другие величины, определенные в этом контексте: импульс Ферми

$p\; F\; =\; 2\; m\; 0\; EF\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2m\_\; \{0\}\; E\_\; \{\; \backslash \; text\; \{F\}\}\}\}\}$

и Скорость Ферми

$v\; F\; =\; p\; F\; m\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\}\; \{m\_\; \{0\}\}\}.\}$

Эти величины являются соответственно импульсом и групповая скорость фермиона на поверхности Ферми.

Импульс Ферми также можно описать как

$p\; F\; =\; \hslash \; k\; F,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{\; \backslash \; text\; \{F\}\}\; =\; \backslash \; hbar\; k\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\},\}$

где $k\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\}$, называемый волновой вектор Ферми - это радиус сферы Ферми.

Эти величины могут быть плохо определены в тех случаях, когда поверхность Ферми не является сферической.

См. Также

• Статистика Ферми – Дирака : распределение электронов по стационарным состояниям для невзаимодействующих фермионов при ненулевой температуре.
• Уровень Ферми
• Квазиуровень Ферми

Примечания

1. ^Использование термина «энергия Ферми» как синонима уровня Ферми (он же электрохимический потенциал ) широко распространено в физике полупроводников. Например: Электроника (основы и приложения) Д. Чаттопадхая, Физика полупроводников и приложения Балкански и Уоллис.

Ссылки

Дополнительная литература

• Kroemer, Herbert; Киттель, Чарльз (1980). Теплофизика (2-е изд.). Компания W.H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1088-2.