Форма кривизны

редактировать

В дифференциальной геометрии форма кривизны описывает кривизну соединения в основном связке. Его можно рассматривать как альтернативу или обобщение тензора кривизны в римановой геометрии.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Форма кривизны в векторном расслоении
2 Bianchi тождества
3 Примечания
4 Ссылки
5 См. также

Определение

Пусть G будет группой Ли с алгеброй Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , а P → B - основной G-пучок. Пусть ω будет соединением Эресмана на P (которое представляет собой $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ -valued одноразовая на П).

Тогда форма кривизны - это $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ -значная 2-форма на P, определенная как

Ω = d ω + 1 2 [ω ∧ ω]. {\ displaystyle \ Omega = d \ omega + {1 \ over 2} [\ omega \ wedge \ omega].}

{\ displaystyle \ Omega = d \ omega + {1 \ over 2} [\ omega \ wedge \ omega].}

Здесь $d {\ displaystyle d}$ $d$ означает внешняя производная и $[⋅ ∧ ⋅] {\ displaystyle [\ cdot \ wedge \ cdot]}$ $[\ cdot \ wedge \ cdot]$ определяется в статье «алгебраозначная форма Ли ». Другими словами,

Ω (X, Y) = d ω (X, Y) + [ω (X), ω (Y)] {\ displaystyle \, \ Omega (X, Y) = d \ omega ( X, Y) + [\ omega (X), \ omega (Y)]}

{\ displaystyle \, \ Omega (X, Y) = d \ omega (X, Y) + [\ omega (X), \ omega (Y)]}

где X, Y - касательные векторы к P.

Существует также другое выражение для Ω: if X, Y горизонтальные векторные поля на P, то

σ Ω (X, Y) = - ω ([X, Y]) = - [X, Y] + h [X, Y] {\ displaystyle \ sigma \ Omega ( X, Y) = - \ omega ([X, Y]) = - [X, Y] + h [X, Y]}

{\ displaystyle \ sigma \ Omega (X, Y) = - \ omega ([X, Y]) = - [X, Y] + h [X, Y]}

где hZ означает горизонтальную составляющую Z, справа мы идентифицировали вертикальный вектор поле и элемент алгебры Ли, его порождающий (фундаментальное векторное поле ), и $σ ∈ {1, 2} {\ displaystyle \ sigma \ in \ {1,2 \}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ in \ {1,2 \}}$ - коэффициент, обратный нормировочному коэффициенту, используемому по соглашению в формуле для внешней производной.

. Соединение считается плоским, если его кривизна равна нулю: Ω = 0. Эквивалентно, a соединение является плоским, если структурная группа может быть сведена к той же базовой группе, но с дискретной топологией. См. Также: плоское векторное расслоение.

Форма кривизны в векторном расслоении

Если E → B - векторное расслоение, то можно также думать о ω как о матрице 1-форм и вышеупомянутом формула становится структурным уравнением Э. Картана:

Ω = d ω + ω ∧ ω, {\ displaystyle \, \ Omega = d \ omega + \ omega \ wedge \ omega,}

\, \ Омега = д \ омега + \ омега \ клин \ омега,

где $∧ {\ displaystyle \ wedge}$ $\ wedge$ - это продукт клина. Точнее, если $ω ji {\ displaystyle \ omega _ {\ j} ^ {i}}$ $\ omega _ {{\ j}} ^ {i}$ и $Ω ji {\ displaystyle \ Omega _ {\ j} ^ {i} }$ $\ Omega _ {{\ j}} ^ {i}$ обозначают компоненты ω и Ω соответственно (так что каждый $ω ji {\ displaystyle \ omega _ {\ j} ^ {i}}$ $\ omega _ {{\ j}} ^ {i}$ является обычной 1-формой и каждый $Ω ji {\ displaystyle \ Omega _ {\ j} ^ {i}}$ $\ Omega _ {{\ j}} ^ {i}$ является обычной 2-формой), тогда

Ω ji = d ω ji + ∑ k ω ki ∧ ω jk. {\ displaystyle \ Omega _ {\ j} ^ {i} = d \ omega _ {\ j} ^ {i} + \ sum _ {k} \ omega _ {\ k} ^ {i} \ клин \ omega _ {\ j} ^ {k}.}

\ Omega _ {{\ j}} ^ {i} = d \ omega _ {{\ j} } ^ {i} + \ sum _ {k} \ omega _ {{\ k}} ^ {i} \ wedge \ omega _ {{\ j}} ^ {k}.

Например, для касательного расслоения к риманову многообразию структурная группа - это O (n), а Ω - 2 -форма со значениями в алгебре Ли O (n), то есть антисимметричными матрицами. В этом случае форма Ω является альтернативным описанием тензора кривизны , т.е.

R (X, Y) = Ω (X, Y), {\ displaystyle \, R (X, Y) = \ Omega (X, Y),}

\, R (X, Y) = \ Omega (X, Y),

с использованием стандартных обозначений для тензора римановой кривизны.

тождества Бианки

Если $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ является канонической векторнозначной 1-формой на связке фреймов, кручение $Θ {\ displaystyle \ Theta}$ $\ Theta$ формы соединения $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ является векторным 2-форма, определяемая структурным уравнением