Войти
В теоретической физике, теории твисторной была предложена Роджер Пенроуз в 1967 году в качестве возможного пути к квантовой гравитации и превратились в отрасль теоретической и математической физики. Пенроуз предположил, что твисторное пространство должно быть основной ареной для физики, из которой должно возникнуть само пространство-время. Это приводит к мощному набору математических инструментов, которые имеют приложения к дифференциальной и интегральной геометрии, нелинейным дифференциальным уравнениям и теории представлений, а также в физике к общей теории относительности и квантовой теории поля, в частности к амплитудам рассеяния.
Математически проективное твисторное пространство - это 3-мерное комплексное многообразие, комплексное проективное 3-пространство. Он имеет физическую интерпретацию пространства безмассовых частиц со спином. Это проективизация из 4-мерного комплексного векторного пространства, не-проективного твисторное пространства с эрмитовой формой из сигнатуры (2,2) и голоморфной формы объема. Это может быть наиболее естественно понимать как пространство хиральных ( вейлевские ) спиноров для конформной группы в пространстве Минковского ; это фундаментальное представление о спиновой группе конформной группы. Это определение может быть расширено до любых измерений, за исключением того, что помимо четырех размерности проективное твисторное пространство определяется как пространство проективных чистых спиноров для конформной группы.
В своей первоначальной форме твисторная теория кодирует физические поля в пространстве Минковского в сложные аналитические объекты в твисторном пространстве с помощью преобразования Пенроуза. Это особенно естественно для безмассовых полей произвольного спина. В первую очередь они получаются с помощью формул контурного интеграла в терминах свободных голоморфных функций на областях в твисторном пространстве. Голоморфные твисторные функции, которые порождают решения безмассовых уравнений поля, более правильно понимать как чешские представители классов аналитических когомологий на областях в. Эти соответствия были распространены на некоторые нелинейные поля, включая самодуальную гравитацию в конструкции нелинейного гравитона Пенроуза и самодуальные поля Янга – Миллса в конструкции Уорда ; первое приводит к деформации лежащей в основе сложной структуры областей в, а второе - к некоторым голоморфным векторным расслоениям над областями в. Эти конструкции нашли широкое применение, в том числе в теории интегрируемых систем.
Условие самодуальности является основным ограничением для включения полной нелинейности физических теорий, хотя этого достаточно для монополей и инстантонов Янга – Миллса – Хиггса (см. Конструкцию ADHM ). Первой попыткой преодолеть это ограничение было введение Ambitwistors Эдвардом Виттеном и Isenberg, Yasskin amp; Green. Пространство амбитвистора - это пространство комплексифицированных световых лучей или безмассовых частиц, и его можно рассматривать как комплексообразующий или котангенсный пучок исходного описания твистора. Они применимы к общим полям, но уравнения поля уже не так просто выражаются.
Твисториальные формулы для взаимодействий за пределами самодуального сектора впервые возникли из теории твисторных струн Виттена. Это квантовая теория голоморфных отображений римановой поверхности в твисторное пространство. Он привел к появлению удивительно компактных формул RSV (Ройбана, Спрадлина и Воловича) для трехуровневых S-матриц теорий Янга – Миллса, но его гравитационные степени свободы породили версию конформной супергравитации, ограничивающую ее применимость; конформная гравитация - нефизическая теория, содержащая призраков, но ее взаимодействия сочетаются с теорией Янга – Миллса в петлевых амплитудах, рассчитанных с помощью теории твисторных струн.
Несмотря на свои недостатки, теория твисторных струн привела к быстрому развитию исследований амплитуд рассеяния. Одним из них был так называемый формализм MHV, вольно основанный на разъединенных струнах, но получивший более фундаментальную основу в терминах твисторного действия для полной теории Янга – Миллса в твисторном пространстве. Еще одним ключевым событием стало введение рекурсии BCFW. Это имеет естественную формулировку в твисторном пространстве, что, в свою очередь, привело к замечательным формулировкам амплитуд рассеяния в терминах интегральных формул Грассмана и многогранников. Эти идеи недавно эволюционировали в положительный грассманиан и амплитуэдр.
Твисторная теория струн была расширена сначала путем обобщения формулы амплитуды RSV Янга – Миллса, а затем путем открытия лежащей в основе теории струн. Расширение гравитации было дано Качазо и Скиннером и сформулировано как теория твисторных струн для максимальной супергравитации Дэвидом Скиннером. Аналогичные формулы затем были найдены во всех измерениях Качазо, Хе и Юанем для теории Янга – Миллса и гравитации, а затем и для множества других теорий. Затем они были поняты Мейсоном и Скиннером как теории струн в пространстве амбитисторов в общей структуре, которая включает исходную крутящую струну и расширяется, чтобы дать ряд новых моделей и формул. Как теории струн, они имеют те же критические размеры, что и обычная теория струн; например, суперсимметричные версии типа II критичны в десяти измерениях и эквивалентны полной теории поля сверхгравитации типа II в десяти измерениях (это отличается от традиционных теорий струн, которые также имеют дополнительную бесконечную иерархию массивных состояний с более высоким спином, которые обеспечивают ультрафиолетовое завершение ). Они расширяются, чтобы дать формулы для амплитуд петель и могут быть определены на изогнутом фоне.
Обозначим пространство Минковского с помощью, с координатами и лоренцевского метрической подписи. Ввести двухкомпонентные спинорные индексы и установить
Непроективное твисторное пространство - это четырехмерное комплексное векторное пространство с координатами, обозначенными где и - два постоянных спинора Вейля. Эрмитова форма может быть выражена путем определения комплексного сопряжения от к двойственному с помощью, так что эрмитова форма может быть выражена как
Это вместе с голоморфной формой объема инвариантно относительно группы SU (2,2), четверного покрытия конформной группы C (1,3) компактифицированного пространства-времени Минковского.
Точки в пространстве Минковского связаны с подпространствами твисторного пространства соотношением инцидентности
Отношение инцидентности сохраняется при полном масштабировании твистора, поэтому обычно работают в проективном твисторном пространстве, которое изоморфно как комплексное многообразие. Точка, таким образом, определяет линию в параметризуется твисторным проще всего понимаются в пространстве-время для комплексных значений координат, где она определяет совершенно пустые двухплоскостную, которое автодуальное. Возьмем за реальную, тогда если она равна нулю, то лежит на луче света, тогда как если не обращается в нуль, решений нет, и тогда она действительно соответствует безмассовой частице со спином, не локализованным в реальном пространстве-времени.
Супертвисторы - это суперсимметричное расширение твисторов, введенное Аланом Фербером в 1978 году. Непроективное твисторное пространство расширено фермионными координатами, где - количество суперсимметрий, так что твистор теперь задается с помощью антикоммутирования. Суперконформная группа естественным образом действует на этом пространстве, и суперсимметричная версия преобразования Пенроуза переводит классы когомологий на супертвисторном пространстве в безмассовые суперсимметричные мультиплеты на суперпространстве Минковского. Корпус обеспечивает цель для исходной строки твисторного Пенроуза и дело в том, что для супергравитации обобщения Скиннера.
Гиперкэлеровы многообразия размерности также допускают твисторное соответствие с твисторным пространством комплексной размерности.
Конструкция нелинейного гравитона кодирует только антисамодуальные, т. Е. Левые поля. Первым шагом к проблеме модификации твисторного пространства для кодирования общего гравитационного поля является кодирование правых полей. В бесконечно малой степени они закодированы в твисторных функциях или классах когомологий однородности −6. Задача использования таких твисторных функций полностью нелинейным способом для получения правостороннего нелинейного гравитона была названа ( гравитационной) проблемой гугли (слово « гугли » - это термин, используемый в игре в крикет для обозначения мяч подается с правой спиральностью с использованием кажущегося действия, которое обычно вызывает левую спиральность). Самое последнее предложение в этом направлении Пенроуза в 2015 году было основано на некоммутативной геометрии твисторного пространства и названо дворцовой твисторной теорией. Теория названа в честь Букингемского дворца, где Майкл Атья предложил Пенроузу использовать тип « некоммутативной алгебры », важный компонент теории (лежащая в основе твисторная структура в дворцовой твисторной теории была смоделирована не на твисторном пространстве, а на пространстве твисторов). некоммутативная голоморфная твисторная квантовая алгебра ).
