Войти
Простая спиновая сеть того типа, который используется в петлевой квантовой гравитации В физике спиновая сеть - это тип диаграммы, которая может использоваться для представления состояний и взаимодействий между частицами и области в квантовой механике. С точки зрения математики диаграммы - это краткий способ представления полилинейных функций и функций между представлениями из групп матриц. Схематическое обозначение часто упрощает вычисления, потому что простые схемы могут использоваться для представления сложных функций..
Роджеру Пенроузу приписывают изобретение спиновых сетей в 1971 году, хотя аналогичные схематические методы существовали и до его времени. Спиновые сети были применены к теории квантовой гравитации Карло Ровелли, Ли Смолином, Хорхе Пуллиным, Родольфо Гамбини. и другие.
Спиновые сети также могут использоваться для построения конкретного функционала в пространстве соединений, который инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований.
Спиновая сеть, как описано у Пенроуза (1971), представляет собой своего рода диаграмму, на которой каждый отрезок линии представляет мировую линию «единицы» (либо элементарной частицы или сложная система частиц). В каждой вершине соединяются три отрезка. Вершину можно интерпретировать как событие, в котором либо один блок разделяется на два, либо два блока сталкиваются и объединяются в один блок. Диаграммы, все отрезки которых соединены в вершинах, называются замкнутыми спиновыми сетями. Время можно рассматривать как идущее в одном направлении, например, снизу вверх на диаграмме, но для закрытых спиновых сетей направление времени не имеет отношения к вычислениям.
Каждый сегмент линии помечен целым числом, называемым числом вращения. Единица с номером вращения n называется n-единицей и имеет угловой момент nħ / 2, где ħ - это приведенная постоянная Планка. Для бозонов, таких как фотонов и глюонов, n - четное число. Для фермионов, таких как электронов и кварков, n нечетно.
Для любой замкнутой спиновой сети можно вычислить неотрицательное целое число, которое называется нормой спиновой сети. Нормы могут использоваться для вычисления вероятностей различных значений спина. Сеть с нулевой нормой имеет нулевую вероятность появления. Правила расчета норм и вероятностей выходят за рамки данной статьи. Однако они подразумевают, что для того, чтобы спиновая сеть имела ненулевую норму, в каждой вершине должны выполняться два требования. Предположим, что вершина объединяет три единицы со спиновыми номерами a, b и c. Затем эти требования сформулированы следующим образом:
Например, a = 3, b = 4, c = 6 невозможно, поскольку 3 + 4 + 6 = 13 нечетно, и a = 3, b = 4, c = 9 невозможно, так как 9>3 + 4. Однако a = 3, b = 4, c = 5 возможно, поскольку 3 + 4 + 5 = 12 четно, и треугольник неравенство выполняется. В некоторых соглашениях используются обозначения полуцелыми числами с условием, что сумма a + b + c должна быть целым числом.
Более формально, спиновая сеть - это (направленный) граф, ребра которого связаны с неприводимым представления компактной группы Ли и чьи вершины связаны с сплетниками смежных с ней представлений ребер.
Спиновую сеть, погруженную в коллектор, можно использовать для определения функционала в пространстве соединений на этом коллекторе. Вычисляет холономию соединения вдоль каждого звена (замкнутого пути) графа, определяет матрицы представления, соответствующие каждому звену, умножает все матрицы и сплетения вместе и сужает индексы заданным образом. Замечательной особенностью полученного функционала является то, что он инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований.
В петлевой квантовой гравитация (LQG), спиновая сеть представляет «квантовое состояние» гравитационного поля на 3-мерной гиперповерхности. Множество всех возможных спиновых сетей (или, точнее, «s-узлов » - то есть классов эквивалентности спиновых сетей при диффеоморфизмах ) счетно ; он составляет базис LQG Гильбертово пространство.
Одним из ключевых результатов петлевой квантовой гравитации является квантование площадей: оператор площади A двухмерного размерная поверхность Σ должна иметь дискретный спектр. Каждая спиновая сеть является собственным состоянием каждого такого оператора, а собственное значение площади равно
где сумма идет по всем пересечениям i кривой Σ со спиновой сетью. В этой формуле
- параметр Иммирци иСогласно этой формуле наименьшее возможное ненулевое собственное значение оператора площади соответствует звену, которое несет представление спина 1/2. Если предположить, что параметр Иммирзи имеет порядок 1, это дает минимально возможную измеряемую площадь ~ 10 см.
Формула для собственных значений площади становится несколько более сложной, если поверхности позволяют проходить через вершины, как в моделях аномальной диффузии. Кроме того, собственные значения оператора площади A ограничены.
Аналогичное квантование применяется к оператору громкости. Объем трехмерного подмногообразия, содержащего часть спиновой сети, определяется суммой вкладов от каждого узла внутри него. Можно подумать, что каждый узел в спиновой сети - это элементарный «квант объема», а каждое звено - «квант площади», окружающей этот объем.
Аналогичные построения могут быть сделаны для общих калибровочных теорий с компактной группой Ли G и формой связности. На самом деле это точная двойственность над решеткой. Однако для многообразия необходимы предположения, подобные инвариантности диффеоморфизма, чтобы сделать двойственность точной (размазывать петли Вильсона сложно). Позже он был обобщен на представления квантовых групп в 2-х и 3-х измерениях с использованием двойственности Таннака-Крейна.
и Сяо-Ган Вэнь также определили строковые сети с использованием тензорных категорий, которые являются объектами, очень похожими на спиновые сети. Однако точная связь со спин-сетями пока не ясна. Конденсация струны производит топологически упорядоченные состояния в конденсированных средах.
В математике спиновые сети использовались для изучения мотков модулей и разновидностей символов, которые соответствуют пробелам соединения.
 | На Викискладе есть материалы, относящиеся к Спиновым сетям. |
