Конформная гравитация

редактировать

Теории гравитации, которые инвариантны относительно преобразований Вейля

Конформная гравитация - это теории гравитации, которые инвариантны относительно конформных преобразований в Риманова геометрия смысл; точнее, они инвариантны относительно преобразований Вейля $gab → Ω 2 (x) gab {\ displaystyle g_ {ab} \ rightarrow \ Omega ^ {2} (x) g_ {ab}}$ $g _ {{ab}} \ rightarrow \ Omega ^ {2} (x) g_ {{ab}}$ где $gab {\ displaystyle g_ {ab}}$ $g_{ab}$ - это метрический тензор и $Ω (x) {\ displaystyle \ Omega (x) }$ $\ Omega (x)$ - функция на пространстве-времени.

Содержание

1 Теории в квадрате Вейля
2 Теории с четырьмя производными
3 Конформная унификация Стандартной модели
4 См. также
5 Ссылки
6 Дополнительная литература

Теории в квадрате Вейля

Простейшая теория в этой категории имеет квадрат тензора Вейля как лагранжиан

S = ∫ d 4 x - g C abcd C abcd, {\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int \ mathrm {d} ^ {4} x {\ sqrt {-g}} C_ {abcd } C ^ {abcd},}

{\ mathcal {S}} = \ int {\ mathrm {d}} ^ {4} x {\ sqrt {-g}} C _ {{abcd}} C ^ {{abcd}},

где $C abcd {\ displaystyle C_ {abcd}}$ $C _ {{abcd }}$ - тензор Вейля. Это должно контрастировать с обычным действием Эйнштейна – Гильберта, где лагранжиан - это просто скаляр Риччи. Уравнение движения при изменении метрики называется уравнением Баха,

2 ∇ a ∇ d C abcd + C abcd R ad = 0, {\ displaystyle 2 \, \ nabla _ {a} \, \ nabla _ { d} {{C ^ {a}} _ {bc}} ^ {d} + {{C ^ {a}} _ {bc}} ^ {d} R_ {ad} = 0,}

{\ displaystyle 2 \, \ nabla _ {a} \, \ nabla _ {d} {{C ^ {a}} _ {bc}} ^ {d} + {{C ^ {a}} _ {bc}} ^ {d} R_ {ad} = 0,}

где $R ab {\ displaystyle R_ {ab}}$ $R_ {ab}$ - тензор Риччи. Конформно плоские метрики являются решениями этого уравнения.

Поскольку эти теории приводят к уравнениям четвертого порядка для флуктуаций вокруг фиксированного фона, они не являются явно унитарными. Поэтому обычно считалось, что их нельзя последовательно квантовать. Сейчас это оспаривается.

Теории с четырьмя производными

Конформная гравитация является примером теории с четырьмя производными . Это означает, что каждый член волнового уравнения может содержать до 4 производных. Есть плюсы и минусы у теорий 4-производных. Плюсы в том, что квантованная версия теории более конвергентна и перенормируема. Минусы в том, что могут быть проблемы с причинно-следственной связью. Более простой пример волнового уравнения с 4 производными - это скалярное волновое уравнение с 4 производными:

◻ 2 ⁡ Φ = 0 {\ displaystyle \ operatorname {\ Box} ^ {2} \ Phi = 0}

{\ displaystyle \ operatorname {\ Box} ^ {2} \ Phi = 0}

решение для этого в центральном силовом поле:

Φ (r) = 1-2 mr + ar + br 2 {\ displaystyle \ Phi (r) = 1 - {\ frac {2m} {r}} + ar + br ^ {2}}

\ Phi (r) = 1 - {\ frac {2m} {r}} + ar + br ^ {2}

Первые два члена такие же, как в уравнении нормальной волны. Поскольку это уравнение является более простым приближением конформной гравитации, m соответствует массе центрального источника. Последние два члена являются уникальными для волновых уравнений с 4 производными. Было предложено присвоить им небольшие значения для учета постоянной галактического ускорения (также известной как темная материя ) и константы темной энергии. Решение, эквивалентное решению Шварцшильда в общей теории относительности для сферического источника для конформной гравитации, имеет метрику:

φ (r) = g 00 = (1 - 6 bc) 1 2 - 2 br + cr + d 3 р 2 {\ displaystyle \ varphi (r) = g ^ {00} = (1-6bc) ^ {\ frac {1} {2}} - {\ frac {2b} {r}} + cr + {\ frac {d} {3}} r ^ {2}}

{\ displaystyle \ varphi (r) = g ^ {00} = (1- 6bc) ^ {\ frac {1} {2}} - {\ frac {2b} {r}} + cr + {\ frac {d} {3}} r ^ {2}}

, чтобы показать разницу между общей теорией относительности. 6bc очень маленький, поэтому его можно игнорировать. Проблема в том, что теперь c - это полная масса-энергия источника, b - это интеграл плотности, умноженный на квадрат расстояния до источника. Так что это совершенно другой потенциал общей теории относительности, а не просто небольшая модификация.

Основной проблемой теорий конформной гравитации, как и любой теории с высшими производными, является типичное присутствие призраков, которые указывают на нестабильность квантовой версии теории, хотя может быть решением проблемы с призраками.

Альтернативный подход состоит в том, чтобы рассматривать гравитационную постоянную как скалярное поле с нарушенной симметрией, и в этом случае вы должны рассмотреть небольшую поправку к ньютоновской гравитации, подобную этой (где мы рассматриваем $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ как небольшая поправка:

◻ ⁡ Φ + ε 2 ◻ 2 ⁡ Φ = 0 {\ displaystyle \ operatorname {\ Box} \ Phi + \ varepsilon ^ {2} \ operatorname {\ Box} ^ {2} \ Phi = 0}

{\ displaystyle \ operatorname {\ Box} \ Phi + \ varepsilon ^ {2} \ имя оператора {\ Box} ^ {2} \ Phi = 0}

, в этом случае общее решение такое же, как и в случае Ньютона, за исключением того, что может быть дополнительный член:

Φ = 1-2 господин (1 + α грех ⁡ (р ε + β)) {\ displaystyle \ Phi = 1 - {\ frac {2m} {r}} \ left (1+ \ alpha \ sin \ left ({\ frac {r}) {\ varepsilon}} + \ beta \ right) \ right)}

{\ displaystyle \ Phi = 1 - {\ frac {2m} {r}} \ left (1+ \ alpha \ sin \ left ( {\ frac {r} {\ varepsilon}} + \ beta \ right) \ right)}

где есть дополнительный компонент, изменяющий sin усоидально над космосом. Длина волны этого изменения может быть довольно большой, например, атомной шириной. Таким образом, в этой модели, похоже, существует несколько стабильных потенциалов вокруг силы тяжести.

Конформное объединение со Стандартной моделью

Добавляя подходящий гравитационный член к действию стандартной модели в искривленном пространстве-времени, теория развивает локальную конформную (вейлевскую) инвариантность. Конформный датчик фиксируется путем выбора эталонной шкалы масс на основе константы гравитационного взаимодействия. Этот подход генерирует массы для векторных бозонов и полей материи аналогично механизму Хиггса без традиционного спонтанного нарушения симметрии.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

ES Фрадкин, А.А. Цейтлин (1985). «Конформная супергравитация». Phys. Отчет 119 (4–5): 233–362. Bibcode : 1985PhR... 119..233F. doi : 10.1016 / 0370-1573 (85) 90138-3.
Фальсификация конформной гравитации Мангейма в ЦЕРН
опровержение Мангеймом вышеупомянутого в arXiv.