Войти
В математике, интегральная геометрия - это теория мер на геометрическом пространстве, инвариантном относительно группа симметрии t шляпное пространство. В последнее время это значение было расширено и теперь включает в себя вид инвариантных (или эквивариантных ) преобразований из пространства функций в одном геометрическом пространстве в пространство функций в другом геометрическом пространстве. Такие преобразования часто принимают форму интегральных преобразований, таких как преобразование Радона и его обобщения.
Интегральная геометрия как таковая впервые возникла как попытка уточнить некоторые положения геометрической теории вероятностей. Ранние работы Луиса Сантало и Вильгельма Блашке были в этой связи. Это следует из классической теоремы Крофтона, выражающей длину плоскости кривой как математическое ожидание числа пересечений с случайная строка. Здесь слово «случайный» следует интерпретировать как подлежащее правильной симметрии.
Существует образец пространства линий, на котором действует аффинная группа плоскости. На этом пространстве ищется вероятностная мера , инвариантная относительно группы симметрии. Если, как в этом случае, мы сможем найти уникальную такую инвариантную меру, тогда это решит проблему точного формулирования того, что означает «случайная линия», и ожидания становятся интегралами по отношению к этой мере. (Обратите внимание, например, что фраза «случайный аккорд круга» может быть использована для построения некоторых парадоксов - например, парадокса Бертрана.)
Следовательно, мы можем сказать эта интегральная геометрия в этом смысле является применением теории вероятностей (аксиоматизированной Колмогоровым ) в контексте программы Эрлангена из Кляйна. По сути, содержание теории - это содержание инвариантных (гладких) мер на (предпочтительно компактных ) однородных пространствах групп Ли ; и вычисление интегралов дифференциальных форм.
Очень знаменитым случаем является проблема иглы Бюффона : бросьте иглу на пол, сделанный из досок, и вычислите вероятность того, что игла окажется на трещина. Обобщая, эта теория применяется к различным случайным процессам, связанным с геометрическими вопросами и вопросами инцидентности. См. стохастическая геометрия.
. Одна из наиболее интересных теорем в этой форме интегральной геометрии - это теорема Хадвигера в евклидовой обстановке. Впоследствии теоремы типа Хадвигера были установлены в различных условиях, особенно в эрмитовой геометрии, с использованием передовых инструментов из теории оценки.
. Более недавнее значение интегральной геометрии - это значение Сигурдура Хельгасона и Исраэль Гельфанд. Более конкретно он имеет дело с интегральными преобразованиями, смоделированными на преобразовании Радона. Здесь лежащая в основе геометрическая зависимость падения (точки, лежащие на линиях, в случае Крофтона) видна в более свободном свете, как место для интегрального преобразования, составленного как откат на график инцидентности и затем продвижение вперед.
