Хиральность (физика)

A Явление хиральности не идентично его зеркальному отображению (см. Статью по математической хиральности ). спин частицы может использоваться для определения направленности, или спиральности, для этой частицы, которая в случае безмассовой частицы является то же, что и хиральность. Преобразование симметрии между ними называется преобразованием четности. Инвариантность относительно преобразования четности с помощью фермиона Дирака называется киральной симметрией .

• 1 Хиральность и спиральность
• 2 Киральные теории
• 3 Киральная симметрия
  • 3.1 Пример: u- и d-кварки в КХД
  • 3.2 Другие разновидности
  • 3.3 Применение в физике элементарных частиц
• 4 См. также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Спиральность частицы положительна («правая»), если направление ее спина совпадает с направлением ее движения. Он отрицательный («левосторонний»), если направления вращения и движения противоположны. Таким образом, стандартные часы, вектор вращения которых определяется вращением стрелок, имеют левостороннюю спиральность, если их бросить циферблатом вперед.

Математически спиральность - это знак проекции вектора spin на momentum вектор : «left »Отрицательно,« право »положительно.

хиральность частицы более абстрактна: она определяется тем, преобразуется ли частица в правое или левое представление из группы Пуанкаре.

Для безмассовых частиц - фотонов, глюонов и (гипотетических) гравитонов - хиральность такая же, как спиральность ; данная безмассовая частица, кажется, вращается в одном и том же направлении вдоль своей оси движения, независимо от точки зрения наблюдателя.

Для массивных частиц, таких как электроны, кварки и нейтрино, следует различать хиральность и спиральность: в случае этих частиц, наблюдатель может перейти в систему отсчета, движущуюся быстрее, чем вращающаяся частица, и в этом случае будет казаться, что частица движется назад, и ее спиральность (которую можно рассматривать как «очевидную хиральность ») будет обратным.

Безмассовая частица движется со скоростью скорости света, поэтому ни один реальный наблюдатель (который всегда должен двигаться со скоростью менее скорости света ) не может быть в какой-либо ссылке. кадр, на котором частица, кажется, меняет свое относительное направление вращения, а это означает, что все реальные наблюдатели видят одну и ту же спиральность. Из-за этого на направление вращения безмассовых частиц не влияет изменение точки обзора (буст Лоренца ) в направлении движения частицы, а знак проекции (спиральность) фиксируется для все системы отсчета: спиральность безмассовых частиц является релятивистским инвариантом (величина, значение которой одинаково во всех инерциальных системах отсчета), который всегда соответствует киральности безмассовых частиц.

Открытие осцилляции нейтрино подразумевает , что нейтрино имеют массу, поэтому фотон является единственной известной безмассовой частицей. Глюоны также должны быть безмассовыми, хотя предположение о том, что они есть, не было окончательно проверено. Следовательно, это единственные две частицы, известные в настоящее время, для которых спиральность может быть идентичной хиральности, и только фотон был подтвержден измерениями. Все другие наблюдаемые частицы имеют массу и, следовательно, могут иметь разную спиральность в разных системах отсчета.

Физики элементарных частиц наблюдали или предполагали только левые фермионы и правые -ручные антифермионы, участвующие в заряженном слабом взаимодействии. Даже в случае электрически нейтрального слабого взаимодействия, которое может взаимодействовать как с левыми, так и с правыми киральными фермионами, в большинстве случаев два левых фермиона взаимодействуют сильнее, чем правые или противоположные фермионы, подразумевая, что Вселенная предпочитает левую киральность. Такое предпочтение одной хиральности по сравнению с другой нарушает симметрию, которая сохраняется для всех других сил природы.

Хиральность для фермиона Дирака ψ определяется через оператор γ, который имеет собственные значения ± 1. Таким образом, любое поле Дирака может быть спроецировано в его левую или правую составляющую, действуя с операторами проекции ½ (1 - γ) или ½ (1 + γ) на ψ.

Связь заряженного слабого взаимодействия с фермионами пропорциональна первому оператору проекции, который отвечает за нарушение симметрии четности этого взаимодействия.

Распространенный источник путаницы связан с объединением оператора γ, киральности с оператором спиральности. Поскольку спиральность массивных частиц зависит от системы координат, может показаться, что одна и та же частица будет взаимодействовать со слабой силой в соответствии с одной системой отсчета, но не другой. Разрешение этого парадокса состоит в том, что оператор киральности эквивалентен спиральности только для безмассовых полей, для которых спиральность не зависит от системы отсчета. Напротив, для массивных частиц хиральность - это не то же самое, что спиральность, поэтому нет кадровой зависимости слабого взаимодействия: частица, которая связывается со слабым взаимодействием в одном кадре, делает это в каждом кадре.

Теория, несимметричная относительно киральности, называется киральной теорией, а нехиральная (т.е. симметричная по четности) теория иногда называется векторной теорией. Многие части Стандартной модели физики не являются киральными, что прослеживается до устранения аномалий в киральных теориях. Квантовая хромодинамика является примером векторной теории, поскольку обе киральности всех кварков появляются в теории и одинаково связаны с глюонами.

Электрослабая теория, разработанная в середине 20 века, является примером киральной теории. Первоначально предполагалось, что нейтрино безмассовые, и предполагалось только существование левых нейтрино (вместе с их дополнительными правыми антинейтрино). После наблюдения осцилляций нейтрино, из которых следует, что нейтрино массивны (как и все другие фермионы ), были пересмотрены теории электрослабого взаимодействия теперь включают как правые, так и левые нейтрино. Однако это все еще киральная теория, поскольку она не соблюдает симметрию четности.

Точная природа нейтрино все еще не определена, поэтому предложенные теории электрослабого взаимодействия несколько отличаются, но большинство из них учитывают хиральность нейтрино. так же, как это было сделано для всех других фермионов.

Векторные калибровочные теории с безмассовыми фермионными полями Дирака ψ демонстрируют киральную симметрию, т. Е. независимое вращение левого и правого компонентов не имеет никакого значения для теории. Мы можем записать это как действие вращения на поля:

$\psi \; L\; \to \; ei\; \theta \; L\; \psi \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{L\}\; \backslash \; rightarrow\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\; \_\; \{L\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{\; L\}\}$и $\psi \; R\; \to \; \psi \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{R\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; psi\; \_\; \{R\}\}$

или

$\psi \; L\; \to \; \psi \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{L\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; psi\; \_\; \{L\}\}$и $\psi \; R\; \to \; ei\; \theta \; R\; \psi \; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{R\}\; \backslash \; rightarrow\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\; \_\; \{R\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{R\}.\}$

С N ароматами вместо этого у нас есть унитарные вращения: U (N) L × U (N) R.

В более общем смысле мы записываем правостороннее и левостороннее состояния в виде проекционного оператора, действующего на спинор. Операторы правой и левой проекции:

$PR\; =\; 1\; +\; \gamma \; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{R\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1+\; \backslash \; gamma\; ^\; \{5\}\}\; \{2\}\}\}$

и

$PL\; =\; 1\; -\; \gamma \; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{L\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; gamma\; ^\; \{5\}\}\; \{2\}\}\}$

Массивные фермионы не обладают киральной симметрией, поскольку массовый член в лагранжиане , m — ψψ, явно нарушает киральную симметрию.

Спонтанное нарушение киральной симметрии также может происходить в некоторых теориях, как это наиболее заметно в квантовой хромодинамике.

Преобразование киральной симметрии можно разделить на компонент, который обрабатывает левую и правую стороны. -ручные части одинаково, известные как векторная симметрия, и компонент, который фактически обрабатывает их по-разному, известный как осевая симметрия . (см. Текущая алгебра.) Модель скалярного поля, кодирующая киральную симметрию, и ее нарушение - это киральная модель.

. Наиболее распространенное применение выражается как равное обращение по часовой стрелке и вращение против часовой стрелки от фиксированной системы отсчета.

Общий принцип часто называют хиральной симметрией . Правило абсолютно справедливо в классической механике Ньютона и Эйнштейна, но результаты квантово-механических экспериментов показывают различие в поведении левокиральных и правых киральных субатомных частиц.

Пример: u и d-кварки в КХД

Рассмотрим квантовую хромодинамику (КХД) с двумя безмассовыми кварками u и d (массивные фермионы не обладают киральной симметрией). Лагранжиан имеет вид

$L\; =\; u\; ¯\; i\; ⧸\; D\; u\; +\; d\; ¯\; i\; ⧸\; D\; d\; +\; L\; g\; l\; u\; o\; n\; s.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; =\; \{\backslash \; overline\; \{u\}\}\; \backslash ,\; я\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; not\}\; D\; \backslash ,\; u\; +\; \{\backslash \; overline\; \{d\}\}\; \backslash ,\; я\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; not\}\; D\; \backslash ,\; d\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{gluons\}\}\; ~.\}$

В терминах левосторонних и правосторонних спиноров это читается как

$L\; =\; u\; ¯\; L\; i\; ⧸\; D\; u\; L\; +\; u\; ¯\; R\; i\; ⧸\; D\; u\; R\; +\; d\; ¯\; L\; i\; ⧸\; D\; d\; L\; +\; d\; ¯\; R\; i\; ⧸\; D\; d\; R\; +\; L\; глюонов.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; =\; \{\backslash \; overline\; \{u\}\}\; \_\; \{L\}\; \backslash ,\; я\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; not\}\; D\; \backslash ,\; u\_\; \{L\}\; +\; \{\backslash \; overline\; \{u\}\}\; \_\; \{R\}\; \backslash ,\; я\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; not\}\; D\; \backslash ,\; u\_\; \{R\}\; +\; \{\backslash \; overline\; \{d\}\}\; \_\; \{L\}\; \backslash ,\; я\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; not\}\; D\; \backslash ,\; d\_\; \{L\}\; +\; \{\backslash \; overline\; \{d\; \}\}\; \_\; \{R\}\; \backslash ,\; i\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; not\}\; D\; \backslash ,\; d\_\; \{R\}\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{gluons\}\}\; ~.\}$

(Здесь i - мнимая единица и $⧸\; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; not\}\; D\}$оператор Дирака.)

Определение

$q\; =\; [ud\; ],\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; u\; \backslash \backslash \; d\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

его можно записать как

$L\; =\; q\; ¯\; L\; i\; ⧸\; D\; q\; L\; +\; q\; ¯\; R\; i\; ⧸\; D\; q\; R\; +\; L\; глюонов.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; =\; \{\backslash \; overline\; \{q\}\}\; \_\; \{L\}\; \backslash ,\; я\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; not\}\; D\; \backslash ,\; q\_\; \{L\}\; +\; \{\backslash \; overline\; \{q\}\}\; \_\; \{R\}\; \backslash ,\; i\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; not\}\; D\; \backslash ,\; q\_\; \{R\}\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{gluons\}\}\; ~.\}$

Лагранжиан не меняется при повороте на q L любой унитарной матрицей L 2 × 2, а q R любой унитарной матрицей 2 × 2 R.

Эта симметрия лагранжиана называется киральной симметрией аромата и обозначается как U (2) L × U (2) R. Он разлагается на

$S\; U\; (2)\; L\; \times \; S\; U\; (2)\; R\; \times \; U\; (1)\; V\; \times \; U\; (1)\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; SU\; (2)\; \_\; \{L\}\; \backslash \; times\; SU\; (2)\; \_\; \{R\}\; \backslash \; times\; U\; (1)\; \_\; \{V\}\; \backslash \; times\; U\; (1)\; \_\; \{A\}\; ~.\}$

Синглетный вектор симметрия, U (1) V, действует как

$q\; L\; \to \; ei\; \theta \; q\; L\; q\; R\; \to \; ei\; \theta \; q\; R,\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{L\}\; \backslash \; rightarrow\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\}\; q\_\; \{L\}\; \backslash \; qquad\; q\_\; \{R\}\; \backslash \; rightarrow\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\}\; q\_\; \{R\}\; ~,\}$

и соответствует сохранению барионного числа.

Синглетная аксиальная группа U (1) A действует как

$q\; L\; \to \; ei\; \theta \; q\; L\; q\; R\; \to \; e\; -\; i\; \theta \; q\; R,\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{L\}\; \backslash \; rightarrow\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\}\; q\_\; \{L\}\; \backslash \; qquad\; q\_\; \{R\}\; \backslash \; rightarrow\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; theta\}\; q\_\; \{R\}\; ~,\}$

и не соответствует сохраняемой величине, потому что она явно нарушается квантовой аномалией.

Оставшаяся киральная симметрия SU (2) L × SU (2) R оказывается спонтанно нарушенной на кварковый конденсат $⟨q\; ¯\; R\; aq\; L\; b⟩\; =\; v\; \delta \; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; bar\; \{q\}\}\; \_\; \{R\}\; ^\; \{a\}\; q\_\; \{L\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; rangle\; =\; v\; \backslash \; delta\; ^\; \{ab\}\}$, образованный непертурбативным действием глюонов КХД, в диагональную векторную подгруппу SU (2) V известна как изоспин. бозоны Голдстоуна, соответствующие трем сломанным генераторам, - это три пиона. Как следствие, эффективная теория связанных состояний КХД, таких как барионы, теперь должна включать в себя массовые члены для них, якобы запрещенные из-за ненарушенной киральной симметрии. Таким образом, это нарушение киральной симметрии индуцирует основную массу адронов, например, для нуклонов - фактически, основную массу всей видимой материи.

В реальном мире из-за отличных от нуля масс кварков SU (2) L × SU (2) R является лишь приблизительной симметрией для начала, и, следовательно, пионы не безмассовые, но имеют небольшие массы: они псевдоголдстоуновские бозоны.

Больше ароматов

Для более "легких" разновидностей кварков N ароматизаторов в общем случае соответствующие киральные симметрии имеют вид U (N) L × U (N) R, разлагающийся на

$SU\; (N)\; L\; \times \; SU\; (N)\; R\; \times \; U\; (1)\; V\; \times \; U\; (1)\; A,\; \{\backslash \; displaystyle\; SU\; (N)\; \_\; \{L\}\; \backslash \; times\; SU\; (N)\; \_\; \{R\}\; \backslash \; times\; U\; (1)\; \_\; \{V\}\; \backslash \; times\; U\; (1)\; \_\; \{A\}\; ~,\}$

и демонстрирует очень аналогичный паттерн нарушения киральной симметрии.

Чаще всего берется N = 3, кварки u, d и s считаются легкими (Восьмеричный путь (физика) ), поэтому примерно безмассовые для симметрии иметь смысл для низшего порядка, в то время как три других кварка достаточно тяжелы, чтобы для практических целей была видна остаточная киральная симметрия.

Приложение в физике элементарных частиц

В теоретической физике модель электрослабого взаимодействия максимально нарушает четность. Все его фермионы являются киральными фермионами Вейля, что означает, что заряженные слабые калибровочные бозоны W и W взаимодействуют только с левыми кварками и лептонами.

Некоторые теоретики сочли это нежелательным и поэтому предположили GUT расширение слабого взаимодействия, которое имеет новые высокоэнергетические W 'и Z' бозоны, которые действительно соединяются с правыми кварками и лептонами:

$SU\; (2)\; W\; \times \; U\; (1)\; YZ\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; SU\; (2)\; \_\; \{W\}\; \backslash \; times\; U\; (1)\; \_\; \{\; Y\}\; \backslash ,\}\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{2\}\}\}\}\; от$

до

$SU\; (2)\; L\; \times \; SU\; (2)\; R\; \times \; U\; (1)\; B\; -\; LZ\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; SU\; (2)\; \_\; \{L\}\; \backslash \; times\; SU\; (2)\; \_\; \{R\}\; \backslash \; times\; U\; (1)\; \_\; \{BL\}\; \backslash ,\}\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{2\}\; \}\}.\; \backslash ,\}$

Здесь SU (2) L (произносится как «SU (2) слева») не что иное, как SU (2) W сверху, а B-L - это барионное число минус лептонное число. Формула электрического заряда в этой модели задается следующим образом:

$Q\; =\; I\; 3\; L\; +\; I\; 3\; R\; +\; B\; -\; L\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; I\_\; \{3L\}\; +\; I\_\; \{3R\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{BL\}\; \{2\}\}\; \backslash ,;\}$

где $I\; 3\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; I\_\; \{3L\}\; \backslash ,\; \}$и $I\; 3\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; I\_\; \{3R\}\; \backslash ,\}$- значения левого и правого слабого изоспина полей в теория.

Существует также хромодинамический SU (3) C. Идея заключалась в том, чтобы восстановить четность путем введения лево-правой симметрии . Это расширение группы из $Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{2\}\}$(симметрия влево-вправо) на

$SU\; (3)\; C\; \times \; SU\; (2)\; L\; \times \; SU\; (2)\; R\; \times \; U\; (1)\; B\; -\; LZ\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{SU\; (3)\; \_\; \{C\}\; \backslash \; times\; SU\; (2)\; \_\; \{L\}\; \backslash \; times\; SU\; (2)\; \_\; \{R\}\; \backslash \; times\; U\; (1)\; \_\; \{BL\}\}\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{6\}\}\}\}$

в полупрямое произведение

$SU\; (3)\; C\; \times \; SU\; (2)\; L\; \times \; SU\; (2)\; R\; \times \; U\; (1)\; B\; -\; LZ\; 6\; ⋊\; Z\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; SU\; (3)\; \_\; \{C\}\; \backslash \; times\; SU\; (2)\; \_\; \{L\}\; \backslash \; times\; SU\; (2)\; \_\; \{R\}\; \backslash \; times\; U\; (1)\; \_\; \{BL\}\; \backslash ,\}\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{6\}\}\}\; \backslash \; rtimes\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{2\}.\; \backslash ,\}$

Он имеет два связанных компонента, где $Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{2\}\}$действует как автоморфизм, который является композицией инволютивного внешнего автоморфизма группы SU (3) C с перестановкой левой и правой копий SU (2) с перестановкой U (1) B-L. Мохапатра и Сеньянович (1975) показали, что лево-правая симметрия может быть спонтанно нарушена, давая киральную теорию низких энергий., которая является Стандартной моделью Глэшоу, Вайнберга и Салама, а также связывает малые наблюдаемые массы нейтрино с нарушением лево-правой симметрии через механизм качелей.

В этом случае киральные кварки

$(3,\; 2,\; 1)\; +\; 1\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; (3,2,1)\; \_\; \{+\; \{1\; \backslash \; over\; 3\}\}\}$

и

$(3\; ¯,\; 1,\; 2)\; -\; 1\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; bar\; \{3\}\},\; 1,2\; \backslash \; right)\; \_\; \{-\; \{1\; \backslash \; over\; 3\}\}\}$

объединяются в неприводимое представление (« Irp »)

$(3,\; 2,\; 1)\; +\; 1\; 3\; \oplus \; (3\; ¯,\; 1,\; 2)\; -\; 1\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; (3,2,1)\; \_\; \{+\; \{1\; \backslash \; over\; 3\}\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; bar\; \{3\}\},\; 1,2\; \backslash \; right)\; \_\; \{-\; \{1\; \backslash \; over\; 3\}\}.\; \backslash ,\}$

лептоны также объединены в неприводимое представление

$(1,\; 2,\; 1)\; -\; 1\; \oplus \; (1,\; 1,\; 2)\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; (1,2,1)\; \_\; \{-\; 1\}\; \backslash \; oplus\; (1,1,2)\; \_\; \{+\; 1\}.\; \backslash ,\}$

бозоны Хиггса, необходимые для реализации взлома симметрии влево-вправо до Стандартной модели

$(1,\; 3,\; 1)\; 2\; \oplus \; (1,\; 1,\; 3)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; (1,3,1)\; \_\; \{2\}\; \backslash \; oplus\; (1,1,3)\; \_\; \{2\}.\; \backslash ,\}$

Это дает три стерильных нейтрино, которые идеально согласованы с текущими данными осцилляции нейтрино. В рамках механизма качелей стерильные нейтрино становятся сверхтяжелыми, не влияя на физику при низких энергиях.

Поскольку симметрия слева и справа спонтанно нарушается, модели слева и справа предсказывают доменные стенки. Идея лево-правой симметрии впервые появилась в модели Пати – Салама (1974) и в моделях Мохапатра – Пати (1975).

• Теория электрослабого взаимодействия
• Хиральность ( химия)
• Хиральность (математика)
• Нарушение киральной симметрии
• Наружность
• Спиноры и Поля Дирака
• Сигма-модель
• Киральная модель

• Вальтер Грейнер и Берндт Мюллер (2000). Калибровочная теория слабых взаимодействий. Springer. ISBN 3-540-67672-4. CS1 maint: использует параметр авторов (ссылка )
• Гордон Л. Кейн (1987). Современная физика элементарных частиц. Perseus Books. ISBN 0-201-11749-5.
• Кондепуди, Дилип К.; Хегстром, Роджер А. (январь 1990 г.). "Ручная работа Вселенной". Scientific American. 262 (1): 108–115. doi : 10.1038 / scientificamerican0190-108.
• Винтерс, Джеффри (ноябрь 1995 г.). «В поисках Right Hand ". Discover. Проверено 12 сентября 2015 г.

• Чтобы увидеть сводку различий и сходств между хиральностью и спиральностью (описанными здесь и другими) в виде диаграммы, можно перейти на Педагогические пособия по квантовой теории поля и щелкните ссылку внизу страницы, озаглавленную «Резюме хиральности и спиральности». Чтобы увидеть подробное обсуждение этих двух с примерами, которые также показывают, как хиральность и спиральность приближаются к тому же самому, что и скорость приближается к скорости света, щелкните ссылку " Хиральность и спиральность в глубине "на той же странице.
• История науки: нарушение четности
• Спиральность, хиральность, масса и Хиггс (блог Quantum Diaries)
• Таблица хиральности и спиральности (Роберт Д. Клаубер)