Instanton

редактировать

Instanton (или псевдочастица ) - это понятие, встречающееся в теории и математическая физика. Инстантон - это классическое решение уравнения движения с конечным, ненулевым действием либо в квантовой механике, либо в квантовая теория поля. Точнее, это решение уравнения движения классической теории в евклидовом поля-времени.

. В таких квантовых теориях можно рассматривать как критические точки действия действия. Критическими точками воздействия могут быть локальные максимумы воздействия, локальные минимумы или седловые точки. Инстантоны важны в квантовой теории поля, потому что:

они появляются в интеграле по путям как ведущие квантовые поправки к классическому поведению системы, и
их можно использовать дляизучения поведения туннелирования в различных системах, таких как теория Янга - Миллса.

. Относящиеся к динамике, семейства инстантонов позволяют взаимно связывать инстантоны, то есть критические точки уравнение движения. В физике инстантоны особенно важны, потому что конденсация инстантонов (индуцированных шумом антиинстантонов) считается объяснением индуцированной шумом хаотической фазы, известной как самоорганизованной критичности.

Содержание

1Математика
2 Кван механика
- 2.1 Мотивация использования инстантонов
- 2.2 WKB-приближение
- 2.3 Интерпретация интегралов по траекториям через инстантоны
- 2.4 Явная формула для двухъямного потенциала
- 2.5 Результаты
- 2.6 Периодические инстантоны
- 2.7 Инстантоны в теории скорости реакции
- 2.8 Формула обратной двухъямной
3 Квантовая теория поля
4 Теория Янга - Миллса
5 Различное количество измерений
6 4d суперсимметричные калибровочные теории
7 См. Также
8 Ссылки и примечания
9 Внешние ссылки

Математика

Математически инстантон Янга - Миллса является самодуальным или анти -самодвойственной связностью в главном расслоении над четырехмерным римановым множеством, которое играет роль Роль физического пространства в в неабелевской калибровочной теории. Инстантоны - это топологически нетривиальные решения формулы Янга - Миллса, которыеабсолютно минимизируют функционал энергии в пределах своего топологического типа. Первые такие решения были обнаружены в случае четырехмерного евклидова пространства, компактифицированного в четырехмерную сферу, и оказались локализованными в пространстве-времени, что привело к названию псевдочастица и инстантон.

Инстантоны Янга - Миллса были явно построены во многих случаях с помощью твисторной теории, которая связывает их с алгебраическими векторнымирасслоениями на алгебраических поверхностях и с помощью конструкции ADHM, или гиперкэлерова редукции (см. гиперкэлерово многообразие ), сложной процедуры линейной алгебры. В новаторской работе Саймона Дональдсона, который он позже был награжден Филдса, использовалось пространство модулей инстантонов над заданным четырехмерным дифференцируемым разнообразием как новый инвариант класса, который зависит от его дифференцируемойструктуры, и применил его к построению гомеоморфных, но не диффеоморфных четырехмерных множеств. Многие методы, разработанные при изучении инстантонов, также были применены к монополям. Это связано с тем, что магнитные монополи создают как решения размерной редукции формулы Янга - Миллса.

Квантовая механика

Инстантон можно использовать для расчета вероятности перехода для квантово-механической частицы, туннелирующей через потенциальныйбарьер. Одним из примеров системы с инстантонным эффектом является часть в двухъямном потенциале. В отличие от классической энергии, существует отличная от нулевой потенциальной энергии, превышение ее собственной.

Мотивация рассмотрения инстантонов

Рассмотрим квантовую механику движения одиночной частицы внутри двухъямного дополнительного $V (x) = 1 4 (x 2 - 1) 2. {\ displaystyle V (x) = {1 \ over 4} (x ^ {2} -1) ^ {2}.}$ ${\ displaystyle V (x) = {1 \ более 4} (x ^ {2} -1) ^ {2}.}$ Потенциальная энергияпринимает минимальное значение при $x = ± 1 {\ displaystyle x = \ pm 1}$ $x = \ pm 1$ , и они называются классическими минимумами, потому что частица стремится находиться в одном из них в классической механике. В классической механике есть два состояния с самой низкой энергией.

В квантовой механике мы решаем уравнение Шредингера

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 ψ + V (x) ψ (x) = E ψ (x), {\ displaystyle - {\ hbar ^ {2} \ over 2m} {\ partial ^ {2} \ over \ partial x ^ {2}} \ psi + V (x) \psi (x) = E \ psi (x),}

{\ displaystyle - {\ hbar ^ {2} \ over 2m} {\ partial ^ {2} \ над \ part ial x ^ {2}} \ psi + V (x) \ psi (x) = E \ psi (x),}

для идентификации собственных состояний энергии. Если мы сделаем это, мы найдем только уникальное состояние с наименьшей энергией вместо двух состояний. Волновая функция основного состояния локализуется в обоих классических минимумах $x = ± 1 {\ displaystyle x = \ pm 1}$ $x = \ pm 1$ вместо одного из них из-за квантовой интерференции или квантового туннелирования.

Инстантоны - это инструмент, позволяющий понять, почему это происходит в рамкахполуклассического приближения формуки интеграла по путям в евклидовом времени. Сначала мы увидим это, используя приближение ВКБ, которое вычисляет саму функцию функции, и перейдем к введению инстантонов, используя формулировку интеграла по путям.

WKB-приближение

Один из способов вычислить эту вероятность - использовать полуклассическое WKB-приближение, которое требует значений $ℏ {\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ быть маленьким. не зависящее от времениуравнение Шредингера для частиц имеет вид

d 2 ψ d x 2 = 2 м (V (x) - E) ℏ 2 ψ. {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} = {\ frac {2m (V (x) -E)} {\ hbar ^ {2}}} \ psi. }

{\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} = {\ frac {2m (V (x) -E)} {\ hbar ^ {2} }} \ psi.

Если бы потенциал был постоянным, решением бы плоская волна с точностью до коэффициентов измерения,

ψ = exp ⁡ (- ikx) {\ displaystyle \ psi = \ exp (- \ mathrm {i} kx) \, }

\ psi = \ exp (- \ mathrm {i} kx) \,

k = 2 м (E - V) ℏ. {\ displaystyle k = {\ frac {\ sqrt {2m (EV)}} {\ hbar}}.}

k = {\frac {\ sqrt {2m (EV)}} {\ hbar}}.

Это означает, что если энергиячастиц меньше, чем потенциальная энергия, мы получаем экспоненциально убывающую функцию. Соответствующая амплитуда туннелирования пропорциональна

e - 1 ℏ ∫ ab 2 m (V (x) - E) dx, {\ displaystyle e ^ {- {\ frac {1} {\ hbar}} \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {2m (V (x) -E)}} \, dx},}

e ^ {- {\ frac {1} {\ hbar}} \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {2m (V (x) - E)}} \, dx},

где a и b - начало и конец траектории туннелирования.

Интерпретация интегралов по путям с помощью инстантонов

В качестве альтернативы использования интегралов по путям позволяетинтерпретировать инстантоны, и такой же результат можно получить с помощью этого подхода. В формулировке интеграла по путям амплитуда перехода может быть выражена как

K (a, b; t) = ⟨x = a | e - i H t ℏ | х = б⟩ знак равно ∫ д [х (т)] е я S [х (т)] ℏ. {\ Displaystyle К (a, b; t) = \ langle x = a | e ^ {- {\ frac {i \ mathbb {H} t} {\ hbar}}} | x = b \ rangle = \ int d [x (t)] e ^ {\ frac {iS [x (t)]} {\ hbar}}.}

K ( a,b; t) = \ langle x = a | e ^ {- {\ frac {i \ mathbb {H} t} {\ hbar}}} | x = b \ rangle = \ int d [x (t)] e ^ {\ frac {iS [x (t)]} {\ hbar}}.

Следуя процедура вращения Вика ( аналитическое продолжение) вевклидово пространство-время ( $it → τ {\ displaystyle it \ rightarrow \ tau}$ $it \ rightarrow \ tau$ ), получаем

KE (a, b; τ) = ⟨x = a | e - H τ ℏ | Икс знак равно á⟩ знак равно ∫ d [Икс (τ)] е - SE [Икс (τ)] ℏ, {\ Displaystyle K_ {E} (a, b; \ tau) = \ langle x = a | e ^ {- {\ frac {\ mathbb {H} \ tau} {\ hbar}}} | x = b \ rangle = \ int d [x (\ tau)] e ^ {- {\ frac {S_ {E} [x (\ tau)]} {\ hbar}}},}

K_ {E} (a, b; \ tau) = \ langle х = а | e ^ {- {\ frac {\ mathbb {H} \ tau} {\hbar}}} | x = b \ rangle = \ int d [x (\ tau)] e ^ {- {\ frac {S_ {E} [x (\ tau)]} {\ hbar}}},

евклидовым составом

SE = ∫ τ a τ b (1 2 m (dxd τ) 2 + V (x)) d τ. {\ displaystyle S_ {E} = \int _ {\ tau _ {a}} ^ {\ tau _ {b}} \ left ({\ frac {1} {2}} m \ left ({\ frac {dx } {d \ tau}} \ right) ^ {2} + V (x) \ right) d \ tau.}

S_ {E} = \ int _ {\ tau _ {a}} ^ {\ tau _ {b}} \ left ({\ frac {1} {2}} m\ left ({\ frac {dx } {d \ tau}} \ right) ^ {2} + V (x) \ right) d \ tau.

Потенциальная энергия меняет знак $V (x) → - V (x) {\ displaystyle V (x) \ rightarrow -V (x)}$ $V ( x) \ rightarrow -V (х)$ при вращении по фитилю и минимумы преобразуются в максимумы, таким образом $V (x) {\ displaystyle V (x)}$ $V (x)$ показывает два «холма» максимальной энергии.

Теперь рассмотрим локальный минимум евклидова действия $SE {\ displ ayst yle S_ {E}}$ ${\ displaystyle S_ {E}}$ с двухъямным потенциалом $V (x) = 1 4 (x 2 - 1) 2 {\ displaystyle V (x) = {1 \ over 4} (x ^ {2} -1) ^ {2}}$ ${\ displaystyle V (x) = {1 \более 4} (x ^ {2} -1) ^ {2}}$ , и мы устанавливаем $m = 1 {\ displaystyle m = 1 }$ $m = 1$ просто для простоты вычислений. Мы хотим, как связаны два класса самых низких энергетических состояний $x = ± 1 {\ displaystyle x = \ pm 1}$ ${\ displaystyle x = \ pm 1}$ , давайте установим $a = - 1 {\ displaystyle a = -1 }$ $a = -1$ и $b = 1 {\ displaystyle b = 1}$ $b=1$ . Для $a = - 1{\displaystyle a = -1}$ $a = -1$ и $b = 1 {\ displaystyle b = 1}$ ${\ displaystyle б = 1}$ мы можем переписать евклидово действие как

SE = ∫ τ a τ bd τ 1 2 (dxd τ - 2 V (x)) 2 + 2 ∫ τ a τ bd τ dxd τ V (x) {\ displaystyle S_ {E} = \ int _ {\ tau _ {a}} ^ {\ tau _ {b}} d \ tau {1 \ over 2} \ left ({dx \ over d \ tau} - {\ sqrt {2V (x)}} \ right) ^ { 2} + {\ sqrt {2}} \ int _ {\ tau _ {a}} ^ {\ tau _ {b}} d \ tau {dx \ over d \ tau} {\ sqrt {V (x)} }}

{\ displaystyle S_ {E} = \ int _ {\ tau _ {a}} ^ {\ тау _ {b}} д \ тау {1 \ over 2} \ left ({dx \ over d \ tau} - {\ sqrt {2V (x)}} \ right) ^ {2} + {\sqrt {2}} \ int _ {\ tau _ {a}} ^ {\ tau _ {b}} d \ tau { dx \ над d \ tau} {\ sqrt {V (x)}}}

= τ a τ bd τ 1 2 (dxd τ - 2 V (x)) 2 + ∫ - 1 1dx1 2 (1 - x 2). {\ displaystyle \ quad = \ int _ {\ tau _ {a}} ^ {\ tau _ {b}} d \ tau {1 \ over 2} \ left ({dx \ over d \ tau} - {\ sqrt {2V (x)}} \ right) ^ {2} + \ int _ {- 1} ^ {1} dx {1 \ over {\ sqrt {2}}} (1-x ^ {2}).}

{\ displaystyle \ quad = \ int _ {\ tau _ {a}} ^ {\ tau _ {b}} d \ tau {1 \ over 2} \ left ({dx \ over d \ tau} - {\ sqrt {2V (x)}} \ right) ^ {2} + \ int _ {- 1} ^ {1} dx {1 \ over {\ sqrt {2}}} (1-x ^ {2 }).}

≥ 2 2 3. {\ Displaystyle \ quad \ geq {2 {\ sqrt {2}} \ over 3}.}

{\ displaystyle \ quad \ geq {2 {\ sqrt {2}} \ более 3}.}

Вышеупомянутое неравенство насыщается решением $dxd τ = 2 V (x) {\ displaystyle {dx \ over d \ tau} = {\ sqrt {2V (x)}}}$ ${\ displaystyle {dx \ over d \ tau} = {\ sqrt {2V (x)}}}$ с условием $x (τ a) = - 1 {\ displaystyle x (\ tau _ {a}) =-1}$ ${ \ Displaystyle х (\ тау _ {а}) = -1}$ и $x (τ b) = 1 {\ displaystyle x (\ tau _ {b}) = 1}$ ${\ displaystyle x (\ tau _ {b}) = 1}$ . Такие решения существуют, и решение принимает простую форму, когда $τ a = - ∞ {\ displaystyle \ tau _ {a} = - \ infty}$ ${\ displaystyle \ t au _ {a} = - \ infty}$ и $τ b = ∞ {\ displaystyle \ tau _ {b} = \ infty}$ ${\ displaystyle \ tau _ {b} = \ infty}$ . Явная формула для инстантонного решения имеет вид

x (τ) = tanh ⁡ (1 2 (τ - τ 0)). {\ displaystyle x (\ tau) = \ tanh \ left ({1 \ over {\ sqrt {2}}} (\ tau - \ tau _ {0}) \ right).}

{\ displaystyle x (\ tau) = \ tanh \ left ({1 \ over {\ sqrt {2}}} (\ tau - \ tau _ {0}) \ right). }

Здесь $τ 0 {\displayst yle \ tau _ {0}}$ $\ tau _ {0}$ - произвольная константа. Это решение перескакивает из одного классического вакуума $x = - 1 {\ displaystyle x = -1}$ $x = -1$ в другой классический вакуум $x = 1 {\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ мгновенно около $τ = τ 0 {\ displaystyle \ tau = \ tau _ {0}}$ $\ tau = \ tau_0$ , он называется инстантоном.

Явная формула для двухъямного дополнительного

Явная формула для собственных энергий уравнения Шредингера с двухъямнымпотенциалом была дана Мюллер-Кирстен с выводом по формуле как методы условийущений (плюс граничные), к уравнению Шредингера, так и явный вывод из интеграла по путям (и ВКБ). Результат следующий. Определение параметров уравнения Шредингера и особенности уравнениями

d 2 y (z) dz 2 + [E - V (z)] y (z) = 0, {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y (z) } {dz ^ {2}}} + [EV (z)] y (z) = 0,}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y (z)} {dz ^ {2}}} + [EV (z)] y (z) = 0,}

V (z) = - 1 4 z 2 h 4 + 1 2 с 2 z 4, с 2>0, час 4>0, {\ displaystyle V (z) = - {\ frac {1} {4}}z ^ {2} h ^ {4} +{\ frac {1} {2} } c ^ {2} z ^ {4}, \; \; \; c ^ {2}>0, \; h ^ {4}>0,}

V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;\;c^{2}>0, \; h ^ {4}>0,

собственные значения для $q 0 = 1, 3, 5,... {\ displaystyle q_ {0} = 1,3,5,...}$ ${\ displaystyle q_ {0} = 1,3,5,...}$ найдены для быть:

E ± (q 0, h 2) = - h 8 2 5 c 2 + 1 2 q 0 h 2 - c 2 (3 q 0 2 + 1) 2 h 4 - 2 c 4 q 0 8 час 10 ( 17 q 0 2 + 19) +О (1 час 16) {\displaystyle E _ {\ pm} (q_ {0}, h ^ {2}) = - {\ frac {h ^ {8}} {2 ^ {5} c ^ {2}}} + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} q_ {0} h ^ {2} - {\ frac {c ^ {2} (3q_ {0} ^ {2} +1)} {2h ^ {4}}} - {\ frac {{\ sqrt {2}} c ^ {4} q_ {0}} {8h ^ {10}}} (17q_ {0} ^ {2} +19) + O ({\ frac {1} {h ^ {16}}})}

{\ displaystyle E _ {\ pm} (q_ {0}, h ^ {2})= - {\ frac {h ^ {8}} {2 ^ {5} c ^ {2}} } + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} q_ {0} h ^ {2} - {\ frac {c ^ {2} (3q_ {0} ^ {2} +1)} {2h ^ {4}}} - {\ frac {{\ sqrt {2}} c ^ {4} q_ {0}} {8h ^ {10}}} (17q_ {0} ^ {2} +19) + O ({\ гидроразрыва {1} {ч ^ {16}}})}

∓ 2 q 0 + 1 h 2 (h 6/2 c 2) q 0/2 π 2 q 0/4 [(q 0 - 1) / 2]! д - ч 6/6 2 в 2. {\ displaystyle \ mp {\ frac {2 ^ {q_ {0} +1} h ^ {2 } (h ^ {6} / 2c ^ {2}) ^ {q_ {0} / 2}} {{\ sqrt {\ pi}} 2 ^ {q_{0} / 4} [(q_ {0}- 1) / 2]!}} E ^ {- h ^ {6} / 6 {\ sqrt {2}} c ^ {2}}.}

{\ displaystyle \ mp {\ frac {2 ^ {q_ {0} +1 } h ^ {2} (h ^ {6} / 2c ^ {2}) ^ {q_ {0} / 2}} {{\ sqrt {\ pi}} 2 ^ {q_ {0} / 4} [( q_ {0} -1) / 2]!}} e ^ {- h ^ {6} / 6 {\ sqrt {2}} c ^ {2}}.}

Очевидно, что эти собстве нные значения асимптотически ( $h 2 → ∞ {\ displaystyle h ^ {2} \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle h ^ {2} \ rightarrow \ infty}$ ) вырождены, как и ожидалось, в результате гармонической части возможности.

Результаты

Результаты, полученные с помощью математически четко определенного евклидова интеграла по путям, могут быть повернуты назад по Вику и дать те же физические результаты, которыебыли бы получены приВходящий запрос (внутренний расходящийся) интегралковского по путям. Как видно из этого примера, вычисление вероятности перехода через туннель через классически запрещенную область ( $V (x) {\ displaystyle V (x)}$ $V (x)$ ) с помощью интеграла по траекториям Минковского соответствует вычисление вероятности перехода в потенциальный стоящий с ног на голову на другой холм туннель через классически разрешенную область (с потенциалом -V (X)) в евклидовом интеграле по путям ( наглядно говоря - вевклидовой евклидовой картине - этот переход соответствует частице, катящейся с холма двойного холма. В этом примере два «вакуума» (т. Е. Основные состояния) двухъямного возможности превращаются в холмы в евклидовой версии.

Таким образом, инстантонное полевое решение (евклидовой, т. Е. С мнимым временем) (1 + 1) -мерной теории поля - первое квантованное квантово-механическое описание - позволяет интерпретировать как эффект туннелирования между двумявакуумами (основныесостояния - требуют периодических инстантонов) физического (1-мерное пространство + реальное время) системы Минковского. В случае двухъямного возможности записывается

V (ϕ) = m 4 2 g 2 (1 - g 2 ϕ 2 m 2) 2 {\ displaystyle V (\ phi) = {\ frac {m ^ {4}} {2g ^ {2}}} \ left (1 - {\ frac {g ^ {2} \ phi ^ {2}} {m ^ {2}}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle V (\ phi) = {\ frac {m ^ {4}} {2g ^ {2}}} \ left (1 - {\гидроразрыв {g ^ {2} \ phi ^ {2}} {m ^ {2}}} \ right) ^ {2}}

инстантон, то есть решение

d 2 ϕ d τ 2 знак равно V '(ϕ), {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ phi} {d \ tau ^ {2}}} = V' (\ phi),}

{\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi),

(то есть сэнергией $E cl = 0 {\ displaystyle E_ {cl} = 0}$ ${\ displaystyle E_ {cl} = 0}$ ), равно

ϕ c (τ) = мг tanh ⁡ [м (τ - τ 0)], {\ displaystyle \ phi _ {c} (\ tau) = {\ frac {m} {g}} \ tanh \ left [m (\ tau - \ tau _ {0}) \ right],}

{\ displaystyle \ phi _ {c} (\ tau) = {\ frac {m} {g}} \ tanh \ left [m (\ tau - \ tau _ {0}) \ р ight],}

где $τ = it {\ displaystyle \ tau = it}$ ${ \ displaystyle \ тау = оно}$ - евклидово время.

Обратите внимание, что наивная теория возмущений вокруг одного из двух вакуумов (из описания Минковского) не реализует этот непертурбативный туннельный эффект, резко изменивкартину вакуумнойструктуры этой механической квантово-системы. Фактически наивная теория возмущений должна быть дополнена граничными условиями, которые включают непертурбативный эффект, как показано из приведенной выше явной формулы и аналогичных расчетов для других потенциалов, таких как потенциал косинуса (см. функция Матье ) или периодические потенциалы (см.., например, функция Ламе и сфероидальная волновая функция ) независимо от того, используется лиуравнение Шредингера илиинтеграл по путям.

Следовательно, пертурбативный подход не может полностью описать вакуумную структуру физической системы. Это может иметь важные последствия, например, в теории «аксионов», где нетривиальные эффекты вакуума КХД (например, инстантоны) явно портят симметрию Печчеи - Куинна и преобразуют безмассовые бозоны Намбу - Голдстоуна в массивные псевдо-намбу - Голдстоуны.

Периодические инстантоны

В однойтеории поля или квантовоймеханике один определяется как «инстантон» конфигурация поля, которая принимает решение классического (ньютоновского) уравнения движения с евклидовым временем и конечным евклидовым движением. В рамках теории солитонов известно соответствующее решение как кинк. Ввиду их аналогии с поведением классических частиц такие конфигурации или решения, а также другие, все вместе известны как или псевдоклассические конфигурации. Решение «инстантон» (кинк)сопровождается другими,известными как «антиинстантон» (антикинк), а инстантон и антиинстантон различаются «топологическими зарядами» +1 и -1. соответственно, но имеют такое же евклидово действие.

«Периодические инстантоны» - это обобщение инстантонов. В явном виде они выражаются в терминах эллиптических функций Якоби, которые являются периодическими функциями (фактически обобщенными тригонометрическими функциями). В пределе бесконечного периода эти периодические инстантоны- часто известные как«отскоки», «пузыри» и т.п. - сводятся к инстантонам.

Сильность этих псевдоклассических конфигураций путем эксперимента эксперимента расширения лагранжиана, определяющего теорию вокруг конфигурации псевдочастиц, исследования малых флуктуаций вокруг нее. Для всех версий потенциалов четвертой степени (двухъямных, перевернутых двухъямных) и периодических (Матье) потенциалов эти уравнения оказались уравнениями Ламе, см. Собственные значения этих способов вычислитьскорость распада путемвычислений интеграла по путям.

Инстантоны в теории скорости

В контексте теории скорости реакции инстантоны используются для расчета скорости туннелирования элементов в химических реакциях. Развитие реакции можно описать как движение псевдочастицы по высокоразмерной поверхности потенциальной энергии (PES). Константа тепловой скорости $k {\ displaystyle k}$ $k$ затем может быть связано с мнимой частью свободной энергии $F {\ displ aystyle F}$ $F$ посредством

$К (β) знак равно - 2 ℏ Им F знак равно 2 β ℏ Im ln (Z К) ≈ 2 ℏ β Им Z К Re Z К, Re Z К ≫ Им Z К {\ Displaystyle к (\ бета) = - {\ гидроразрыв { 2} {\ hbar}} {\ text {Im}} \ mathrm {F} = {\ frac {2} {\ beta \ hbar}} {\ text {Im}} \ {\ text {ln}} (Z_ {k}) \ приблизительно {\ frac {2} {\ hbar \ beta}} {\ frac {{\ text {Im}} Z_ {k}} {{\ text {Re}} Z_ {k}}}, \ \ {\ text {Re}} Z_ {k} \ gg {\ text {Im}} Z_ {k}}$ ${\ displaystyle k (\ beta) = - {\ frac {2 } {\ hbar}} {\ text {Im}} \ mathrm {F} = {\ frac {2} {\ beta \ hbar}} {\ text {Im}}\ {\ text {ln}} (Z_ { k}) \ приблизительно {\ frac {2} {\ hbar \ beta}} {\ frac {{\ text {Im}} Z_ {k}} {{\ text {Re}} Z_ {k}}}, \ \ {\ text {Re}} Z_ {k} \ gg {\ text {Im}} Z_ {k}}$

, где $Z k {\ displaystyle Z_ {k}}$ $Z_ {k}$ - каноническоеразбиение, которое вычисляется путем взятия следа оператора Больцмана в позиционном представлении.

$Z k = Tr (e - β H ^) = ∫ d x ⟨x | е - β H ^ | Икс⟩ {\ Displaystyle Z_ {k} = {\ text {Tr}} (e ^ {- \ beta {\ hat {H}}}) = \ int d \ mathbf {x} \ left \ langle \ mathbf {x } \ left | e ^ {- \ beta {\ hat {H}}} \ right | \ mathbf {x} \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle Z_ {k} = {\ text {Tr}} (e ^ {- \ beta {\ hat {H}}}) = \ int d \ mathbf {x} \ left \ l angle \ mathbf {x} \ left | e ^ {- \ b eta {\ hat {H}}} \ right | \ mathbf {x} \ right \ rangle}$

Использование вращения фитиля и определение евклидова времени с помощью $ℏ β = 1 / (kb T) {\ displaystyle \ hbar \ beta =1 / (k_ {b} T)}$ ${\ displaystyle \ hbar \ beta = 1 / (k_ {b} T)}$ можно получить представление интеграла по путям для статистической суммы во взвешенных координатах

Z k = ∮ D Икс (τ) е - SE [Икс (τ)] / ℏ, SE = ∫ 0 β ℏ (Икс ˙ 2 2 + В (Икс (τ))) d τ {\ Displaystyle Z_ {k} = \ oint {\ mathcal {D}} \ mathbf {x} (\ tau) e ^ {- S_ {E} [\ mathbf {x} (\ tau)] / \ hbar}, \ \ \ S_ {E} = \ int _ {0} ^ {\ beta \ hbar} \ left ({\ frac {\ dot {\ mathbf { x}}} {2}} ^ {2} + V (\ mathbf {x} (\ tau) затем \ справа) d \ tau}

{\ displaystyle Z_ {k}= \ oint {\ mathcal {D}} \ mathbf {x} (\ tau) e ^ {- S_ {E} [\ mathbf {x} (\ tau)] / \ hbar }, \ \ \ S_ {E} = \ int _ {0} ^ {\ beta \ hbar} \ left ({\ гидрор азрыв {\точка {\ mathbf {x}}} {2}} ^ {2} + V (\ mathbf {x} (\ tau)) \ right) d \ tau}

Интеграл попутям аппроксимирующиминтегрированием наискорейшего спуска, которое учитывает только вклады от классических решений Это дает выражение константы скорости во взвешенных координатах

$k (β) = 2 β ℏ (det [- ∂ 2 ∂ τ 2 + V ″ (x RS (τ))] det [- ∂ 2 ∂ τ 2 + V ″ (x Inst (τ))]) 1 2 exp ⁡ (- SE [x inst (τ) + S Е [Икс RS (τ)] ℏ) {\ Displaystyle к (\ бета) = {\ гидроразрыва {2} {\ бета \ hbar}} \ left ({\ frac {{\ text {det}} \ left [- {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ tau ^ {2}}} + \ mathbf {V}'' (x _ {\ text {RS}} (\ t au)) \ right]} { {\ text {det}} \ left [- {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ tau ^ {2}}} + \ mathbf {V} '' (x _ {\ text {Inst} } (\ tau)) \ right]}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} {\ exp \ left ({\ frac {-S_ {E} [x _ {\ text {inst}} (\ tau) + S_ {E} [x _ {\ text {RS}} (\ tau)]} {\ hbar}} \ right)}}$ $k(\beta)={\frac {2}{\beta \hbar }}\left({\frac {{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{RS}}(\tau))\right]}{{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{Inst}}(\tau))\right]}}\right)^{\frac {1}{2}}{\exp \left({\frac {-S_{E}[x_{\text{inst}}(\tau)+S_{E}[x_{\text{RS}}(\tau)]}{\hbar }}\right)}$

где $x Inst {\ displaystyle \ mathbf { x} _ {\ text {Inst}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {\ text {Inst}}}$ - периодический инстантон, а $x RS {\ displaystyle \ mathbf {x} _ {\ text {RS}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {\ text {RS}}}$ - тривиальное решениепсевдочастицы в состоянии покоя, которая представляет конфигурацию состояния реагента.

Формула перевернутой двухъямной ячейки

Что касается двухъямного потенциала, можно получить собственные значения для перевернутого двухъямного потенциала. Однако в этом случае собственные значения комплексные. Определение параметров уравнениями

d 2 ydz 2 + [E - V (z)] y (z) = 0, V (z) = 1 4 h 4 z 2 - 1 2 c 2 z 4, {\ displaystyle {\ гидроразрыв {d ^ {2} y} {dz^ {2}}} + [EV (z)] y (z) =0, \; \; \; V (z) = {\ frac {1} {4}} h ^ {4} z ^ {2} - {\ frac {1} {2}} c ^ {2} z ^ {4},}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dz ^ {2}}} + [EV (z)] y (z) = 0, \; \; \; V (z) = {\ frac {1} {4}}h ^ {4} z ^ {2} - {\ гидроразрыв {1} {2}} c ^ {2} z ^ {4},}

собственные значения, основы Мюллер-Кирстен, следующие: для $q 0 = 1, 3, 5,..., {\ displaystyle q_ {0} = 1,3,5,...,}$ ${ \ displaystyle q_ {0} = 1,3,5,...,}$

E = 1 2 q 0 час 2-3 c 2 4 час 4 (q 0 2 + 1) - q 0 c 4 h 10 (4 q 0 2 + 29) + O (1 h 16) ± i 2 q 0 h 2 (h 6/2 c 2) q 0/2 (2 π) 1/2 [(q 0 - 1) / 2]! д - ч 6/6 в 2. {\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} q_ {0} h ^ {2} - {\ frac {3c ^ {2}} {4h ^ {4}}} (q_ {0} ^ {2} +1) - {\frac {q_ {0} c ^ {4}} {h ^ {10}}} (4q_ {0} ^ {2} +29) + O ({\ frac {1} {h ^ {16}}}) \ pm i {\ frac {2 ^ {q_ {0}} h ^ {2} (h ^ {6} / 2c ^ {2}) ^ {q_ {0} / 2}} {(2 \ pi) ^ {1/2} [(q_ {0} -1) / 2]!}} E ^ {- h ^ {6} / 6c ^ { 2}}.}

{\ displaystyle E = {\ frac {1} { 2}} q_ {0} h ^ {2} - {\ frac {3c ^ {2}} {4h ^ {4}}} (q_ {0} ^ {2} +1) - {\ frac {q_ { 0} c ^ {4}} {h ^ {10}}} (4q_{0} ^ {2} +29) + O ({\ frac {1} {h ^ {16}}}) \ pm i { \ frac {2 ^ {q_ {0}} h ^ {2} (h ^ {6} / 2c ^ {2}) ^ {q_ {0} / 2}} {(2 \ pi) ^ {1/2 } [(q_ {0} -1) / 2]!}} E ^ {- h ^ {6} / 6c ^{2}}.}

мнимая часть этого выражения согласуется с хорошо известным результатом Бендера и Ву. В их обозначениях $ℏ = 1, q 0 = 2 K + 1, h 6/2 c 2 = ϵ. {\ displaystyle \ hbar = 1, q_ {0} = 2K + 1, h ^ {6} / 2c ^ {2} = \ epsilon.}$ ${\ displaystyle \ hbar = 1, q_ {0} = 2K + 1, h ^ {6} / 2c ^ {2 } = \epsilon. }$

Квантоваятеория поля

Гиперсфера $S 3 {\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ {3}$
Гиперсфера Стереографическая проекция Параллели (красные), меридианы (синие) и гипермеридианы (зеленые).

В процессе Квантовая теория поля (КТП), изучение вакуумной теории может привлечь внимание к инстантонам. Как показывает двухъямная квантово-механическая система, наивный вакуум не может быть истинным вакуумом теории поля. Более того, истинный вакуум теории поля может быть «перекрытием»нескольких топологическинеэквивалентных секторов, так называемого «топологического вакуума ».

Хорошо понятный и наглядный пример инстантона и его интерпретации можно найти в контексте КТП с неабелевой калибровочной группой, теорией Янга - Миллса. По теории Янга - Миллса эти невивалентные сектора могут быть классифицированы третьей гомотопической группой из SU (2) (групповое разнообразие которой является 3 -сфера $S 3 {\ displaystyle S^ {3}}$ $S ^ {3}$ ). Определенный топологический вакуум («сектор» истинного вакуума) помечается неизменным преобразованием, индексом Понтрягина. Третья гомотопическая группа в $S 3 {\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ {3}$ оказалась набором целых чисел,

π 3 {\ displaystyle \ pi _ { 3}}

\ pi _ {3}

(S 3) = {\ displaystyle (S ^ {3}) =}

(S ^ {3}) =

Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} \,}

\ mathbb {Z} \,

существует бесконечно много топологически неэквивалентных вакуумов,обозначенных автор $|N⟩ {\ displaystyle | N \ rangle}$ $| N \ rangle$ , где $N {\ displaystyle N}$ $N$ - соответствующий им индекс Понтрягина. Инстантон - это конфигурация поля, удовлетворяющая классическим уравнениям движения в евклидовом пространстве-времени, что интерпретируется как эффект туннелирования между этими различными топологическими вакуумами. Он снова помечен целым числом, его индексом Понтрягина, $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ . Можно представить инстантон с индексом $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ для количественной оценки туннелирования между топологическими вакуумами $| N⟩ {\ displaystyle | N \ rangle}$ $| N \ rangle$ и $| N + Q⟩ {\ Displaystyle | N + Q \ rangle}$ $| N + Q \ rangle$ . Если Q = 1, конфигурация названа BPST Instanton в честь ее первооткрывателей Александра Белавина, Александра Полякова, Альберта С. Шварца и. Истинный вакуум теории обозначен тэтой «угол» и представляет собой перекрытие топологическихсекторов:

| θ⟩ = ∑ N = - ∞ N= + ∞ e i θ N | N⟩. {\ displaystyle | \ theta \ rangle = \ sum _ {N = - \ infty} ^ {N = + \ infty} e ^ {i \ theta N} | N \ rangle.}

| \ theta \ rangle = \ sum _ {N = - \ infty} ^ {N = + \ infty} e ^ {i \ thet a N} | N \ rangle.

Джерард 'т Хофт впервые выполнил теоретико-полевые вычисления эффектов инстантона BPST в теории, связанной с фермионами в [1]. Он показал, что нулевые моды уравнения Дирака на инстантонном фоне приводят к непертурбативному мультифермионному взаимодействию в низкоэнергетическом эффективном действии.

Теория Янга – Миллса

Классическое действие Янга – Миллса на главном расслоении со структурной группой G, основанием M, связностью A и кривизна (тензор поля Янга – Миллса) F составляет

SYM = ∫ M | F | 2 dvol M, {\ displaystyle S_ {YM} = \ int _ {M} \ left | F \ right | ^ {2} d \ mathrm {vol} _ {M},}

S_ {YM} = \ int _ {M} \ left | F \ right | ^{2} d \ mathrm {vol} _ {M},

где $dvol M {\ displaystyle d \ mathrm {vol} _ {M}}$ $d \ mathrm {vol} _ {M}$ - это объемная форма на $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Есливнутренний продукт на $g {\ displayst yle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , алгебра Ли из $G {\ displaystyle G}$ $G$ , в котором $F {\ displaystyle F}$ $F$ принимает значения, задается формой уничтожения на $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , тогда это может быть обозначено как $∫ MT r (F ∧ ∗ F) {\ displaystyle \ int _ {M} \ mathrm {Tr} (F \ wedge * F)}$ $\ int _ {M} \ mathrm {Tr} (F \ wedge * F)$ , поскольку

F ∧ ∗ F = ⟨F, F⟩ dvol M. {\ displaystyle F \ wedge * F =\ langle F, F \ rangle d \ mathrm {vol} _{M}.}

F \ клин * F = \ langle F, F \ rangle d \ mathrm {vol} _ {M}.

Например, в случае группы датчиков U (1), F будет тензором электромагнитного поля . Из принципа стационарного действия следуют уравнения Янга – Миллса. Это

d F = 0, d ∗ F = 0. {\ displaystyle \ mathrm {d} F = 0, \ quad \ mathrm {d} {* F} = 0.}

\ mathrm {d} F = 0, \ quad \ mathrm {d} {* F} = 0.

Первый из них является тождеством, потому что dF = dA = 0, но второе - это уравнение в частных производных второго порядка для соединения A,и, если вектор тока Минковского необращается в нуль, нуль на правой стороне. второго уравнения заменяется на $J {\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf {J}$ . Но обратите внимание, насколько похожи эти уравнения; они отличаются звездой Ходжа. Таким образом, решение более простого (нелинейного) уравнения первого порядка

∗ F = ± F {\ displaystyle {* F} = \ pm F \,}

{* F} = \pm F \,

автоматически также является решением уравнения Янга – Миллса.. Это упрощение происходит на 4 многообразиях: $s = 1 {\ displaystyle s = 1}$ $s = 1$ так, что $∗ 2 = + 1 {\ displaystyle * ^ {2} = + 1}$ ${\ displaystyle * ^ {2} = + 1}$ на 2-х формах. Такие решения обычно существуют, хотя их точный характер зависит от размерности и топологии базового пространства M, главного расслоения P и калибровочной группы G.

В неабелевых теориях Янга – Миллса $DF = 0 {\ displaystyle DF = 0}$ $DF = 0$ и $D ∗ F = 0 {\ displaystyle D * F = 0}$ $D * F = 0$ , где D - внешняя ковариантная производная. Крометого, тождество Бианки

DF = d F+ A ∧ F - F ∧ A = d (d A + A ∧ A) + A ∧ (d A + A ∧ A) - (d A + A ∧ A) ∧ A знак равно 0 {\ Displaystyle DF = dF + A \ клин FF \ клин A = d (dA + A \ клин A) + A \ клин (dA + A \ клин A) - (dA + A \ клин A) \ wedge A = 0}

DF = dF + A \ клин FF \ клин A = d (dA + A \ клин A) + A \ клин (dA + A \ клин A) - (dA + A \ клин A) \ клин A = 0

выполняется.

В квантовой теории поля инстантон - это топологически нетривиальная конфигурация поля в четырехмерном евклидовом пространстве (рассматриваемом как Вращение фитиля изпространства-времени Минковского ).В частности, это относится к калибровочному полю Янга – Миллса A, которое приближается к чистому датчику на пространственной бесконечности. Это означает, что напряженность поля

F = d A + A ∧ A {\ displaystyle \ mathbf {F} = d \ mathbf {A} + \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = d \ mathbf {A} + \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A}}

исчезает при бесконечность. Название инстантон происходит от того факта, что эти поля локализованы в пространстве и (евклидовом)времени - другими словами, в определенныймомент.

Случай инстантонов в двумерном пространстве может быть легче визуализировать, поскольку он допускает простейший случай калибровочной группы , а именно U (1), то есть абелева группа. В этом случае поле A можно представить как просто векторное поле . Инстантон - это конфигурация, в которой, например, стрелки указывают в сторону от центральной точки (т.е. состояние «ежа»). В евклидовом четырех измерениях, $R 4 {\ displaystyle\ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ абелевы инстантоны невозможны.

Конфигурация поля инстантона сильно отличается от конфигурации поля вакуума. Из-за этого инстантоны нельзя изучать с помощью диаграмм Фейнмана, которые включают только пертурбативные эффекты . Инстантоны принципиально непертурбативны.

Энергия Янга – Миллса определяется как

1 2 ∫ R 4 Tr ⁡ [∗ F ∧ F] {\ displaystyle {\ frac {1} {2}}\ int _ {\ mathbb {R} ^ {4}} \ operatorname {Tr} [*\ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F}]}

{\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {4}} \ operatorname {Tr} [* \ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F}]

, где ∗ - двойственный элемент Ходжа. Если мы настаиваем на том, что решения уравнений Янга – Миллса имеют конечную энергию, то кривизна решения на бесконечности (принимаемая как предел ) должна быть быть нулевым. Это означает, что инвариант Черна – Саймонса может быть определен на границе 3-мерного пространства. Это эквивалентно, согласно теоремеСтокса, взятию интеграла

∫ R 4 Tr ⁡[F ∧ F]. {\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {4}} \ operatorname {Tr} [\ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F}].}

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {4}} \ operatorname {Tr} [\ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F}].}

Это гомотопический инвариант, и он сообщает нам к какому гомотопическому классу принадлежит инстантон.

Поскольку интеграл неотрицательного подынтегрального выражения всегда неотрицателен,

0 ≤ 1 2 ∫ R 4 Tr ⁡ [(∗ F + e - i θ F) ∧ (F + ei θ ∗ F)] = ∫ R 4 Tr ⁡ [∗ F ∧ F + cos ⁡ θ F ∧ F] {\ displayst yle 0 \ leq {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^{4}} \ operatorname {Tr} [(* \ mathbf {F} + e ^ {- i \ theta} \ mathbf {F}) \ wedge (\ mathbf {F} + e ^ {i \ theta} * \ mathbf {F})] = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {4}} \ operatorname {Tr} [* \ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F} + \ cos \ theta \ mathbf {F } \ wedge \ mathbf {F}]}

{\ displaystyle 0 \ leq {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathbb {R } ^ {4}} \ operatorname {Tr} [(* \ mathbf {F} + e ^ {- i \ theta} \ mathbf {F}) \ wedge (\ mathbf {F} + e ^ {i \ theta} * \ mathbf {F})] = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {4}} \operatorname {Tr} [* \ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F} + \ cos \ theta \ mathbf { F} \ wedge \ mathbf {F}]}

для всех действительных θ. Таким образом, это означает

1 2 ∫ R 4 Tr ⁡ [∗ F ∧ F] ≥ 1 2 | R 4 Tr ⁡ [F ∧ F] |. {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathbb{R} ^ {4}} \ operatorname {Tr} [* \ mathbf {F} \ wedge \mathbf {F}] \ geq { \ frac {1} {2}} \ left | \ int _ {\ mathbb {R} ^ {4}} \ operatorname {Tr} [\ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F}] \ right |.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {4}} \ operatorname {Tr} [* \ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F}] \ geq {\ frac {1} {2}} \ left | \ int _ {\ mathbb {R} ^ {4}} \ operatorname {Tr} [\ mathbf {F} \ wedge \ mathbf{F}] \ right |.}

Если эта граница насыщена, то решением является состояние BPS. Для таких состояний либо ∗ F = F, либо ∗ F = - F в зависимости от знака гомотопического инварианта.

Instanton-эффекты важны для понимания образования конденсатов в вакууме квантовой хромодинамики (КХД)и для объяснения массы так называемой «эта-примитивнойчастицы», голдстоуновского бозона, который приобрел массу из-за аномалии осевого тока КХД. Note that there is sometimes also a corresponding soliton in a theory with one additional space dimension. Recent research on instantons links them to topics such as D-branes and Black holes and, of course, the vacuum structure of QCD. For example, in oriented string theories, a Dp brane is agauge theory instanton in the world volume (p + 5)-dim нормальная U (N) калибровочная теория на стопке N D (p + 4) -бран.

Различное число измерений

Инстантоны играют центральную роль в непертурбативной динамике калибровочных теорий. Тип физического возбуждения, который дает инстантон, зависит от количества измерений пространства-времени, но, что удивительно, формализм для работы с этими инстантонами относительно не зависит от размерности.

В 4-мерных калибровочныхтеориях, как описано в предыдущем разделе, инстантоны представляют собой калибровочные пучки с нетривиальным четырехформным классом характеристик. Если калибровочная симметрия - это унитарная группа или специальная унитарная группа, то этот характеристический класс является вторым классом Черна, который исчезает в случае калибровочной группы U (1). Если калибровочная симметрия является ортогональной группой, то этот класс является первым классом Понтрягина.

В трехмерных калибровочных теориях с полями Хиггса, монополями Хофта – Полякова играть в ролл, instantons describe tunneling, which is invisible in perturbation theory.

4d supersymmetric gauge theories

Supersymmetric gauge theories often obey nonrenormalization theorems, which restrict the kinds of quantum corrections which are allowed. Many of these theorems only apply to corrections calculable in pert теория возмущений и, следовательно, инстантоны, которые не видны в теории возмущений, обеспечивают единственные поправки к этим величинам.

Теоретико-полевые методы инстантонных вычислений в суперсимметричных теориях интенсивно изучались в 1980-х годах многими авторами. Поскольку суперсимметрия гарантирует исключение фермионных и бозонных ненулевых мод в инстантонном фоне, задействованное 'т Хоофт вычисление инстантонной седловой точки сводится к интегрированию по zero modes.

In N = 1 supersymmetric gauge theories instantons can modify the superpotential, sometimes lifting all of thevacua. In 1984, Ian Affleck, Michael Dine и Натан Зайберг вычислили инстантонные поправки к суперпотенциалу в своей статье Нарушение динамической суперсимметрии в суперсимметричной КХД. Точнее, они смогли выполнить расчет только тогда, когда теория содержит на один аромат хиральной материи меньше, чемколичество цветов в специальной унитарной калибровочной группе, потому что при наличии меньшего количества ароматов непрерывная неабелевакалибровка симметрия приводит к инфракрасному расхождению, и в случае большего количества ароматов вклад равен нулю. Для этого особого выбора киральной материи могут быть выбраны вакуумные средние значения скалярных полей материи, чтобы полностью нарушить калибровочную симметрию при слабой связи, что позволяет продолжить надежный полуклассический расчетседловой точки. Затем, рассматривая возмущения, вызванные различными массовыми членами, они смогли вычислить суперпотенциал в присутствиипроизвольного числа цветов и ароматов, справедливый даже тогда, когда теория больше не является слабосвязанной.

В N = 2 суперсимметричных калибровочных теориях суперпотенциал не получает квантовых поправок. Однако поправка к метрике пространства модулей вакуума из инстантонов была рассчитана в ряде работ. Во-первых, поправка на одининстантон была рассчитана Натаном Зайбергом в Суперсимметрии и непертурбативных бета-функциях. Полный набор поправок для SU ( 2) теории Янга – Миллса был рассчитан Натаном Зайбергом и Эдвардом Виттеном в статье «Электромагнитная дуальность, монопольная конденсация и удержание в N = 2 суперсимметричной теории Янга – Миллса, "в процессе создания предмета, который сегодня известен как теория Зайберга - Виттена. Они распространили своивычисления на калибровочные теории SU (2) фундаментальной материей в Монополях, двойственности и Нарушение киральной симметрии в N = 2суперсимметричной КХД. Эти результаты были позже распространены на различные калибровочной группы и материи, и прямой калибровочной теории также был получен в большинстве случаев. Для калибровки теорий с калибровочной группой U (N) Геометрия Зайберга-Виттена была выведена из калибровочной теории с использованием в 2003 г. Никиты Некрасова иАндрея Окункова независимо Хираку Накадзима и.

В N = 4 суперсимметричных калибровочных теориях инстантоны невызывают квантовым поправкам для метрики в пространстве модулей вакуума.

См. Также

Ссылки и примечания

Примечания

Цитаты

Общие

Инстантоны в калибровочных теориях, сборник статей по инстантонам, под редакцией Михаила А. Шифмана, doi : 10.1142 / 2281
Солитоны и инстантоны, Р. Раджараман (Амстердам: Северная Голландия, 1987), ISBN 0-444-87047-4
Использование инстантонов, Сидни Коулман в Proc. Int. Школа субъядерной физики (Эриче, 1977); и в особенности симметрии стр. 265, Сидней Коулман, Cambridge University Press,1985, ISBN 0-521-31827-0 ; и в инстантонах в калибровочных теориях
Солитоны, инстантоны и твисторы. М. Дунайски, OxfordUniversity Press. ISBN 978-0-19-857063-9.
Геометрия четырехмерных разнообразий, С.К. Дональдсон, П. Kronheimer, Oxford University Press, 1990, ISBN 0-19-853553-8.

Внешние ссылки

Словарное определение инстантон в Wiktionary