Вращение фитиля

редактировать

В физике, вращение Вика, названное в честь итальянского физика Джан Карло Вика, представляет собой метод поиска решения математической задачи в Минковски. space из решения связанной проблемы в евклидовом пространстве с помощью преобразования, которое заменяет переменную с мнимым числом на переменную с действительным числом. Это преобразование также используется для поиска решений задач квантовой механики и других областей.

Содержание

1 Обзор
2 Статистическая и квантовая механика
3 Статика и динамика
4 Как тепловые / квантовые, так и статические / динамические
5 Дополнительные сведения
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Обзор

Вращение фитиля мотивировано наблюдением, что метрика Минковского в натуральных единицах (с метрической подписью ( -1, +1, +1, +1) соглашение)

ds 2 = - (dt 2) + dx 2 + dy 2 + dz 2 {\ displaystyle ds ^ {2} = - \ left (dt ^ { 2} \ right) + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}

{\ displaystyle ds ^ {2} = - \ left (dt ^ {2} \ right) + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}

и четырехмерная евклидова метрика

ds 2 = d τ 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 {\ displaystyle ds ^ {2} = d \ tau ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}

ds ^ {2} = d \ tau ^ {2 } + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}

эквивалентны, если разрешить координату t принимать на мнимых значениях. Метрика Минковского становится евклидовой, когда t ограничивается мнимой осью, и наоборот. Если взять задачу, выраженную в пространстве Минковского с координатами x, y, z, t, и подставить t = −iτ, то иногда возникает проблема в реальных евклидовых координатах x, y, z, τ, которую легче решить. Это решение может тогда, при обратной подстановке, дать решение исходной проблемы.

Статистическая и квантовая механика

Вращение Вика соединяет статистическую механику с квантовой механикой путем замены обратной температуры $1 / (k BT) {\ displaystyle 1 / (k _ {\ text {B}} T)}$ ${\ displaystyle 1 / (k _ {\ text {B}} T)}$ с мнимым временем $it / ℏ {\ displaystyle it / \ hbar }$ $it / \ hbar$ . Рассмотрим большой набор гармонических осцилляторов при температуре T. Относительная вероятность обнаружения любого заданного осциллятора с энергией E равна $exp ⁡ (- E / k BT) {\ displaystyle \ exp (-E / k _ {\ text {B}} T)}$ ${\ displaystyle \ exp (-E / k _ {\ text {B}} T)}$ , где k B - постоянная Больцмана. Среднее значение наблюдаемого Q с точностью до нормирующей константы

∑ j Q je - E jk BT, {\ displaystyle \ sum _ {j} Q_ {j} e ^ {- {\ frac {E_ { j}} {k _ {\ text {B}} T}}},}

{\ displaystyle \ sum _ {j} Q_ {j} e ^ {- {\ frac {E_ {j}} {k _ {\ text {B}} T}}},}

где j пробегает все состояния, $Q j {\ displaystyle Q_ {j}}$ $Q_ {j}$ - это значение Q в состоянии j, а $E j {\ displaystyle E_ {j}}$ $E_ {j}$ - энергия состояния j. Теперь рассмотрим единственный квантовый гармонический осциллятор в суперпозиции базисных состояний, эволюционирующий в течение времени t под гамильтонианом H. Относительное изменение фазы базисного состояния с энергией E составляет $exp ⁡ (- E it / ℏ), {\ displaystyle \ exp (-Eit / \ hbar),}$ $\ exp (-Eit / \ hbar),$ где $ℏ {\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ is уменьшенная постоянная Планка. амплитуда вероятности того, что однородная (равновзвешенная) суперпозиция состояний

| ψ⟩ = ∑ j | j⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {j} | j \ rangle}

| \ psi \ rangle = \ sum _ {j} | j \ rangle

превращается в произвольную суперпозицию

| Q⟩ = ∑ j Q j | j⟩ {\ displaystyle | Q \ rangle = \ sum _ {j} Q_ {j} | j \ rangle}

| Q \ rangle = \ sum _ {j} Q_ {j} | j \ rangle

с точностью до нормирующей константы

⟨Q | e - i H t ℏ | ψ⟩ = ∑ j Q j e - E j i t ℏ ⟨j | j⟩ знак равно ∑ j Q j e - E j i t ℏ. {\ displaystyle \ left \ langle Q \ left | e ^ {- {\ frac {iHt} {\ hbar}}} \ right | \ psi \ right \ rangle = \ sum _ {j} Q_ {j} e ^ { - {\ frac {E_ {j} it} {\ hbar}}} \ langle j | j \ rangle = \ sum _ {j} Q_ {j} e ^ {- {\ frac {E_ {j} it} { \ hbar}}}.}

{\ displaystyle \ left \ langle Q \ left | e ^ {- {\ frac {iHt} {\ hbar}}} \ right | \ psi \ right \ rangle = \ sum _ {j} Q_ {j} e ^ {- {\ frac {E_ {j} it} {\ hbar}}} \ langle j | j \ rangle = \ sum _ {j} Q_ {j} e ^ {- {\ frac {E_ {j} it } {\ hbar}}}.}

Статика и динамика

Вращение фитиля связывает задачи статики в n измерениях с проблемами динамики в n - 1 измерениях, меняя одно измерение пространства на одно измерение времени. Простой пример, когда n = 2, - это подвесная пружина с фиксированными концами в гравитационном поле. Форма пружины - это кривая y (x). Пружина находится в равновесии, когда энергия, связанная с этой кривой, находится в критической точке (экстремуме); эта критическая точка обычно является минимумом, поэтому эту идею обычно называют «принципом наименьшей энергии». Для вычисления энергии мы интегрируем пространственную плотность энергии по пространству,

E = ∫ x [k (dy (x) dx) 2 + V (y (x))] dx, {\ displaystyle E = \ int _ { x} \ left [k \ left ({\ frac {dy (x)} {dx}} \ right) ^ {2} + V (y (x)) \ right] dx,}

E = \ int _ {x} \ left [k \ left ({\ frac {dy (x)} {dx}} \ right) ^ {2} + V (y (x)) \ right] dx,

где k - постоянная пружины и V (y (x)) - гравитационный потенциал.

Соответствующая проблема динамики - это проблема брошенного вверх камня. Путь, по которому следует камень, является экстремальным для действия действия ; как и раньше, этот экстремум обычно является минимумом, поэтому это называется «принципом наименьшего действия ». Действие - это интеграл времени от лагранжиана,

S = ∫ t [m (dy (t) dt) 2 - V (y (t))] dt {\ displaystyle S = \ int _ {t} \ left [m \ left ({\ frac {dy (t)} {dt}} \ right) ^ {2} -V (y (t)) \ right] dt}

S = \ int _ {t} \ left [m \ left ({\ frac {dy (t)} {dt}} \ right) ^ {2} -V (y (t)) \ right] dt

Получаем решение задачи динамики (с точностью до i) из задачи статики вращением Вика, заменив y (x) на y (it) и жесткость пружины k на массу породы m:

i S = ∫ t [m ( dy (it) dt) 2 + V (y (it))] dt знак равно i ∫ t [m (dy (it) dit) 2 - V (y (it))] d (it) {\ displaystyle iS = \ int _ {t} \ left [m \ left ({\ frac {dy (it)} {dt}} \ right) ^ {2} + V (y (it)) \ right] dt = i \ int _ { t} \ left [m \ left ({\ frac {dy (it)} {dit}} \ right) ^ {2} -V (y (it)) \ right] d (it)}

{\ displaystyle iS = \ int _ {t} \ left [m \ left ({\ frac {dy (it)} {dt}} \ right) ^ {2} + V (y (it)) \ right] dt = i \ int _ {t} \ left [m \ left ( {\ frac {dy (it)} {dit}} \ right) ^ {2} -V (y (it)) \ right] d (it)}

Оба тепловых / квантовая и статическая / динамическая

В совокупности два предыдущих примера показывают, как формулировка интеграла по путям квантовой механики связана со статистической механикой. Согласно статистической механике, форма каждой пружины в сборе при температуре T будет отклоняться от формы с наименьшей энергией из-за тепловых флуктуаций; вероятность найти пружину заданной формы экспоненциально уменьшается с разницей в энергии от формы с наименьшей энергией. Точно так же квантовая частица, движущаяся в потенциале, может быть описана суперпозицией траекторий, каждый из которых имеет фазу exp (iS): тепловые вариации формы по всей совокупности превратились в квантовую неопределенность на пути квантовой частицы.

Дополнительные сведения

уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности также связаны вращением Вика. Однако есть небольшая разница. Статистическая механика n-точечные функции удовлетворяют положительности, тогда как теории квантового поля с вращением Вика удовлетворяют положительности отражения.

вращение Вика называется вращением, потому что, когда мы представляем комплексные числа в виде плоскости, умножение комплексное число по i эквивалентно вращению вектора , представляющего это число, на угол π / 2 вокруг начала координат.

Вращение фитиля также связывает QFT на конечном температура β, обратная статистической механической модели над «трубкой» R × S, при этом мнимая временная координата τ является периодической с периодом β.

Однако обратите внимание, что вращение Вика нельзя рассматривать как вращение в комплексном векторном пространстве, которое оснащено стандартной нормой и метрикой, индуцированной внутренним произведением, как в этом случае вращение отменяется и не имеет никакого эффекта.

См. Также

Ссылки

Wick, G.C. (1954). «Свойства волновых функций Бете-Солпитера». Physical Review. 96(4): 1124–1134. Bibcode : 1954PhRv... 96.1124W. doi : 10.1103 / PhysRev.96.1124.

Внешние ссылки

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с: вращением фитиля

Пружиной в воображаемом времени - рабочий лист по механике Лагранжа, иллюстрирующий, как замена длины мнимым временем превращает параболу висящей пружины в перевернутую параболу брошенной частицы
Евклидова гравитация - краткое примечание Рэя Стрейтера о Программа «Евклидова гравитация».