Войти
Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под Конформной картой f (внизу). В математике голоморфная функция - это комплекснозначная функция одного или нескольких комплексных переменные, то есть в каждой точке его области, комплексно дифференцируемые в окрестности точки. Существование комплексной производной в окрестности является очень сильным условием, поскольку оно означает, что любая голоморфная функция на самом деле бесконечно дифференцируема и локально равна своему собственному ряду Тейлора (аналитическому). Голоморфные функции являются центральными объектами изучения в комплексном анализе.
. Хотя термин аналитическая функция часто используется взаимозаменяемо с «голоморфной функцией», слово «аналитический» определяется в более широком смысле: обозначают любую функцию (действительную, комплексную или более общего типа), которая может быть записана как сходящийся степенной ряд в окрестности каждой точки в ее области. Тот факт, что все голоморфные функции являются комплексными аналитическими функциями, и наоборот, является основной теоремой комплексного анализа..
Голоморфные функции также иногда называют регулярными функциями. Голоморфная функция, область определения которой - вся комплексная плоскость, называется целой функцией. Фраза «голоморфный в точке z 0 » означает не просто дифференцируемый в точке z 0, но дифференцируемый везде в некоторой окрестности z 0 на комплексной плоскости.
Функция 
не является комплексно-дифференцируемым в нуле, потому что, как показано выше, значение 
изменяется в зависимости от направления приближения к нулю. Вдоль вещественной оси f равно функции g (z) = z, а предел равен 1, а вдоль мнимой оси f равен h (z) = −z, а предел равен −1. Другие направления приводят к другим ограничениям. Учитывая комплексную функцию f от одной комплексной переменной, производная функции f в точке z 0 в ее области определения определяется как предел
Это то же самое, что и определение производной для реальных функций, за исключением того, что все величины являются комплексными. В частности, предел берется, поскольку комплексное число z приближается к z 0 и должно иметь одинаковое значение для любой последовательности комплексных значений для z, которые приближаются к z 0 на комплексной плоскости.. Если предел существует, мы говорим, что f комплексно-дифференцируемо в точке z 0. Эта концепция комплексной дифференцируемости имеет несколько общих свойств с реальной дифференцируемостью : она линейна и подчиняется правилу произведения, правилу частных и правило цепи.
Если f является комплексно дифференцируемым в каждой точке z 0 открытого множества U, мы говорим, что f голоморфна на U . Мы говорим, что f голоморфна в точке z 0, если f комплексно дифференцируема в некоторой окрестности z 0. Мы говорим, что f голоморфна на некотором закрытом множестве A, если она голоморфна на открытом множестве, содержащем A. В качестве патологического не примера функция, заданная формулой f (z) = | z | комплексно дифференцируемо ровно в одной точке (z 0 = 0), и по этой причине он не голоморфен в 0, потому что нет открытого множества вокруг 0, на котором f является комплексно дифференцируемым.
Связь между реальной дифференцируемостью и комплексной дифференцируемостью заключается в следующем. Если комплексная функция f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) голоморфна, то u и v имеют первые частные производные по x и y и удовлетворяют условию Коши– Уравнения Римана :
или, что то же самое, производная Виртингера функции f относительно комплексно-сопряженного числа z равна нулю:
что означает, что, грубо говоря, f функционально не зависит от комплексного сопряжения z.
Если непрерывность не указана, обратное не обязательно верно. Простое обратное утверждение состоит в том, что если u и v имеют непрерывные первые частные производные и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f голоморфна. Более удовлетворительное обратное утверждение, которое гораздо труднее доказать, - это теорема Лумана – Меншоффа : если f непрерывно, u и v имеют первые частные производные (но не обязательно непрерывны), и они удовлетворяют условию Коши– Уравнения Римана, тогда f голоморфно.
Слово «голоморфный» было введено двумя учениками Коши, Брио ( 1817–1882) и Букет (1819–1895) и происходит от греческого ὅλος (holos), что означает «весь», и μορφή (morphē), что означает «форма» или «внешний вид».
Сегодня термин «голоморфная функция» иногда предпочитается термину «аналитическая функция». Важным результатом комплексного анализа является то, что каждая голоморфная функция является комплексно-аналитической, факт, который явно не следует из определений. Однако термин «аналитический» также широко используется.
Поскольку сложное дифференцирование является линейным и подчиняется правилам произведения, частного и цепочки; суммы, произведения и композиции голоморфных функций голоморфны, а частное двух голоморфных функций голоморфно везде, где знаменатель не равен нулю.
Если отождествить C с R, то голоморфные функции совпадают с теми функциями двух действительных переменных с непрерывными первыми производными, которые решают уравнения Коши – Римана, набор из двух уравнений в частных производных.
Каждая голоморфная функция может быть разделенными на действительную и мнимую части, и каждая из них является решением уравнения Лапласа на R . Другими словами, если мы выразим голоморфную функцию f (z) как u (x, y) + iv (x, y), то и u, и v являются гармоническими функциями, где v - гармонической сопряженное к u.
Интегральная теорема Коши означает, что контурный интеграл каждой голоморфной функции вдоль петли равен нулю:
Здесь γ - спрямляемый путь в односвязном открытое подмножество U комплексной плоскости C, начальная точка которого равна его конечной точке, а f: U → C является голоморфной функцией.
Интегральная формула Коши утверждает, что каждая функция, голоморфная внутри диска, полностью определяется своими значениями на границе диска. Более того: предположим, что U - открытое подмножество C, f: U → C - голоморфная функция и замкнутый круг D = {z: | z - z 0 | ≤ r} полностью содержится в U. Пусть γ - круг, образующий границу области D. Тогда для каждого a в внутренней области D:
где берется контурный интеграл против часовой стрелки.
Производная f ′ (a) может быть записана как контурный интеграл с использованием Формула дифференцирования Коши :
для любой простой петли, положительно наматывающей один раз вокруг a, и
для бесконечно малых положительных циклов γ вокруг a.
В регионах, где первая производная не равна нулю, голоморфные функции конформны в том смысле, что они сохраняют углы и форму (но не размер) маленьких фигур.
Всякая голоморфная функция аналитична. То есть голоморфная функция f имеет производные любого порядка в каждой точке a в своей области определения и совпадает со своим собственным рядом Тейлора в a в окрестности a. Фактически, f совпадает со своим рядом Тейлора в точке a в любом круге с центром в этой точке и лежащем в области определения функции.
С алгебраической точки зрения набор голоморфных функций на открытом множестве - это коммутативное кольцо и комплексное векторное пространство. Кроме того, набор голоморфных функций в открытом множестве U является областью целостности тогда и только тогда, когда открытое множество U связано. Фактически, это локально выпуклое топологическое векторное пространство, где полунормы являются супремой на компактных подмножествах.
. С геометрической точки зрения, функция f голоморфна в точке z 0 тогда и только тогда, когда ее внешняя производная df в окрестности U точки z 0 равна f ′ (z) dz для некоторой непрерывной функции f ′. Это следует из
, что df 'также пропорционально dz, из чего следует, что производная f' голоморфна, а значит, f бесконечно дифференцируема. Аналогично, тот факт, что d (f dz) = f ′ dz ∧ dz = 0, означает, что любая функция f, голоморфная в односвязной области U, также интегрируема на U. (Для пути γ из z 0 до z, целиком лежащего в U, определим
;в свете теоремы Жордана и обобщенной теоремы Стокса, F γ (z) не зависит от конкретного выбора путь γ, и, таким образом, F (z) является хорошо определенной функцией на U, имеющей F (z 0) = F 0 и dF = f dz.)
Все полиномиальные функции от z с комплексными коэффициентами голоморфны на C, как и синус, косинус и экспоненциальная функция . (Фактически, тригонометрические функции тесно связаны с экспоненциальной функцией и могут быть определены с помощью формулы Эйлера ). Основная ветвь функции комплексного логарифма голоморфна на множестве C∖ {z ∈ R : z ≤ 0}. Функция квадратный корень может быть определена как
и поэтому голоморфен везде, где находится логарифм log (z). Функция 1 / z голоморфна на {z: z ≠ 0}.
Как следствие уравнений Коши – Римана, вещественнозначная голоморфная функция должна быть постоянной. Следовательно, абсолютное значение z, аргумент z, действительная часть z и мнимая часть z не являются голоморфными. Другой типичный пример непрерывной функции, которая не является голоморфной, - это комплексно сопряженная функция z, образованная комплексным сопряжением.
Определение голоморфной функции напрямую обобщается на несколько комплексных переменных. Пусть D обозначает открытое подмножество C, и пусть f: D → C . Функция f аналитическая в точке p в D, если существует открытая окрестность точки p, в которой f равно сходящемуся степенному ряду от n комплексных переменных. Определите f как голоморфный, если он аналитичен в каждой точке своей области. Лемма Осгуда показывает (используя многомерную интегральную формулу Коши), что для непрерывной функции f это эквивалентно тому, что f голоморфна по каждой переменной отдельно (что означает, что если какие-либо координаты n - 1 фиксированы, то ограничение f является голоморфной функцией оставшейся координаты). Гораздо более глубокая теорема Хартогса доказывает, что гипотеза непрерывности не нужна: f голоморфна тогда и только тогда, когда она голоморфна по каждой переменной в отдельности.
В более общем смысле, функция нескольких комплексных переменных, которая интегрируема с квадратом по каждому компактному подмножеству области, является аналитической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию Коши – Римана уравнения в смысле распределений.
Функции нескольких сложных переменных в некоторых основных отношениях сложнее, чем функции одной сложной переменной. Например, область сходимости степенного ряда не обязательно является открытым шаром; эти области являются доменами Рейнхардта, простейшим примером которых является полидиск. Однако они также имеют некоторые фундаментальные ограничения. В отличие от функций одной комплексной переменной, возможные области, в которых есть голоморфные функции, которые не могут быть расширены на более крупные области, сильно ограничены. Такое множество называется областью голоморфности.
A комплексной дифференциальной (p, 0) -формы α голоморфно тогда и только тогда, когда его антиголоморфная производная Дольбо равна нулю, 
Понятие голоморфной функции может быть расширено на бесконечномерные пространства функционального анализа. Например, Фреше или производная Гато может использоваться для определения понятия голоморфной функции в банаховом пространстве над полем комплексных чисел.
