Аффинная связь

Конструкция, позволяющая дифференцировать касательные векторные поля многообразий Аффинная связь на сфере катит аффинную касательную плоскость от одной точки к еще один. При этом точка контакта очерчивает кривую на плоскости: развертка.

В Дифференциальная геометрия аффинное соединение представляет собой геометрический объект на гладкое многообразие, которое соединяет близлежащие касательные пространства, поэтому оно позволяет дифференцировать касательные векторные поля , как если бы они были функциями на многообразии с значения в фиксированном векторном пространстве . Понятие аффинной связности уходит корнями в геометрию XIX века и тензорное исчисление, но не было полностью развито до начала 1920-х годов Эли Картаном (как часть его общей теории связей ) и Германа Вейля (который использовал это понятие как часть своих основ для общей теории относительности ). Терминология принадлежит Картану и берет свое начало от идентификации касательных пространств в евклидовом пространстве Rпутем перевода: идея заключается в том, что выбор аффинной связности делает многообразие бесконечно малым, как евклидово пространство, не только гладко, но и гладко. как аффинное пространство.

На любом многообразии положительной размерности существует бесконечно много аффинных связностей. Если в дальнейшем многообразие наделено римановой метрикой, тогда существует естественный выбор аффинной связности, называемый связностью Леви-Чивиты. Выбор аффинной связи эквивалентен предписанию способа дифференцирования векторных полей, который удовлетворяет нескольким разумным свойствам (линейность и правило Лейбница ). Это дает возможное определение аффинной связи как ковариантной производной или (линейной) связи на касательном пучке. Выбор аффинной связи также эквивалентен понятию параллельного переноса, который является методом транспортировки касательных векторов по кривым. Это также определяет параллельный транспорт в пакете кадров . Бесконечно малый параллельный транспорт в пакете кадров дает другое описание аффинного соединения, либо как соединение Картана для аффинной группы, либо как основное соединение в кадре. связка.

Основными инвариантами аффинной связности являются его кручение и его кривизна. Кручение измеряет, насколько точно скобка Ли векторных полей может быть восстановлена ​​из аффинной связности. Аффинные связи также могут использоваться для определения (аффинных) геодезических на многообразии, обобщающих прямые линии евклидова пространства, хотя геометрия этих прямых линий может сильно отличаться от обычной евклидовой геометрии ; основные отличия заключаются в кривизне соединения.

• 1 Мотивация и история
  • 1.1 Мотивация из теории поверхностей
  • 1.2 Мотивация из тензорного исчисления
  • 1.3 Подходы
• 2 Формальное определение как дифференциальный оператор
  • 2.1 Элементарные свойства
• 3 Параллельный транспорт для аффинных соединений
• 4 Формальное определение в пакете фреймов
• 5 Аффинные соединения как соединения Картана
  • 5.1 Объяснения и историческая интуиция
  • 5.2 Аффинное пространство как геометрия плоской модели
    • 5.2. 1 Определение аффинного пространства
    • 5.2.2 Аффинные фреймы и плоская аффинная связность
  • 5.3 Общие аффинные геометрии: формальные определения
    • 5.3.1 Определение через абсолютный параллелизм
    • 5.3.2 Определение как главное аффинное соединение
    • 5.3.3 Связь с мотивацией
• 6 Дополнительные свойства
  • 6.1 Кривизна и скручивание
  • 6.2 Связь Леви-Чивита
  • 6.3 Геодезические
  • 6.4 Развитие
• 7 Новый взгляд на теорию поверхности
  • 7.1 Пример: единичная сфера в евклидовом пространстве
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
  • 10.1 Первичные исторические ссылки
  • 10.2 Вторичные ссылки

A гладкое многообразие - это математический объект, который локально выглядит как плавная деформация евклидова пространства R : например, гладкая кривая или поверхность локально выглядит как плавная деформация линии или плоскости. Гладкие функции и векторные поля могут быть определены на многообразиях так же, как они могут быть определены на евклидовом пространстве, а скалярные функции на многообразиях могут быть дифференцированы естественным образом. Однако дифференцирование векторных полей менее прямолинейно: это простой вопрос в евклидовом пространстве, потому что касательное пространство базируемых векторов в точке p может быть естественным образом идентифицировано (переводом) с касательным пространством в соседней точке q. На общем многообразии нет такого естественного отождествления между соседними касательными пространствами, поэтому касательные векторы в соседних точках нельзя сравнивать четко определенным образом. Для решения этой проблемы было введено понятие аффинной связности путем соединения близлежащих касательных пространств. Истоки этой идеи можно проследить до двух основных источников: теория поверхностей и тензорное исчисление.

Мотивация из теории поверхностей

Рассмотрим гладкую поверхность S в трехмерном пространстве. Евклидово пространство. Вблизи любой точки S может быть аппроксимировано его касательной плоскостью в этой точке, которая является аффинным подпространством евклидова пространства. Дифференциальные геометры в 19 веке интересовались концепцией развития, в которой одна поверхность катилась по другой без скольжения или скручивания. В частности, касательная плоскость к точке S может катиться по S: это должно быть легко представить, когда S является поверхностью, подобной 2-сфере, которая является гладкой границей выпуклой области. Когда касательная плоскость катится по S, точка контакта очерчивает кривую на S. И наоборот, если задана кривая на S, касательная плоскость может катиться по этой кривой. Это позволяет идентифицировать касательные плоскости в разных точках кривой: в частности, касательный вектор в касательном пространстве в одной точке кривой идентифицируется с уникальным касательным вектором в любой другой точке кривой. Эти отождествления всегда задаются аффинными преобразованиями из одной касательной плоскости в другую.

Это понятие параллельного переноса касательных векторов посредством аффинных преобразований вдоль кривой имеет характерную особенность: точка контакта касательной плоскости с поверхностью всегда перемещается вместе с кривой при параллельном переносе (т. Е. Как касательная плоскость катится по поверхности, точка контакта перемещается). Это общее состояние характерно для соединений Картана. В более современных подходах точка контакта рассматривается как начало координат в касательной плоскости (которая затем является векторным пространством), а движение начала координат корректируется смещением, так что параллельный перенос является линейным, а не аффинным.

Однако с точки зрения связности Картана аффинные подпространства евклидова пространства являются модельными поверхностями - они являются простейшими поверхностями в трехмерном евклидовом пространстве и однородны относительно аффинной группы плоскости - и каждая гладкая поверхность имеет уникальную модельную поверхность, касательную к ней в каждой точке. Эти модельные поверхности являются геометриями Клейна в смысле Феликса Кляйна программы Эрлангена. В более общем смысле, n-мерное аффинное пространство - это геометрия Клейна для аффинной группы Aff (n), стабилизатором точки является общая линейная группа GL (п). Тогда n-мерное аффинное многообразие - это многообразие, бесконечно похожее на n-мерное аффинное пространство.

Мотивация из тензорного исчисления

Исторически люди использовали ковариантную производную (или связь Леви-Чивиты, задаваемую метрикой) для описания скорости изменения вектора вдоль направления другого вектора. Здесь, на проколотом двумерном евклидовом пространстве, синее векторное поле X повсюду отправляет одну форму dr в 0,07. Красное векторное поле Y повсюду отправляет одну форму rdθ в 0,5r. Подтвержденная метрикой ds = dr + rdθ, связь Леви-Чивита ∇ Y X везде 0, что означает, что X не имеет изменений вдоль Y. Другими словами, X параллельный перенос вдоль каждый концентрический круг. ∇ X Y = Y / r везде, что повсюду отправляет rdθ равным 0,5, подразумевая, что Y имеет «постоянную» скорость изменения в радиальном направлении.

Вторая мотивация для аффинных связей исходит из понятия ковариантная производная векторных полей. До появления методов, не зависящих от координат, необходимо было работать с векторными полями, встраивая их соответствующие евклидовы векторы в атлас. Эти компоненты можно различать, но производные не изменяются управляемым образом при изменении координат. Поправочные термины были введены Элвином Бруно Кристоффелем (следуя идеям Бернхарда Римана ) в 1870-х годах, так что (исправленная) производная одного векторного поля вдоль другого преобразовывалась ковариантно при преобразовании координат - эти поправочные члены впоследствии стали известны как символы Кристоффеля.

Эта идея была развита в теории абсолютного дифференциального исчисления (теперь известной как тензорное исчисление ) Грегорио Риччи-Курбастро и его ученик Туллио Леви-Чивита между 1880 и началом 20-го века.

Тензорное исчисление действительно ожило с появлением в 1915 г. теории Альберта Эйнштейна общей теории относительности. Через несколько лет после этого Леви- Чивита формализовал уникальную связь, связанную с римановой метрикой, теперь известную как связь Леви-Чивита. Затем примерно в 1920 г. были изучены более общие аффинные связи Германом Вейлем, который разработал подробные математические основы общей теории относительности, и Эли Картаном, который установил связь с геометрическими идеями, исходящими от теория поверхности.

Подходы

Сложная история привела к развитию широко различающихся подходов и обобщений концепции аффинной связи.

Вероятно, наиболее популярным подходом является определение, основанное на ковариантных производных. С одной стороны, идеи Вейля были подхвачены физиками в форме калибровочной теории и калибровочных ковариантных производных. С другой стороны, понятие ковариантного дифференцирования было абстрагировано Жан-Луи Кошулем, который определил (линейные или кошульские) связи на векторных расслоениях. На этом языке аффинная связь - это просто ковариантная производная или (линейная) связь на касательном пучке.

. Однако этот подход не объясняет геометрию, лежащую в основе аффинной связей, ни как они получили свое имя. Термин действительно берет свое начало в идентификации касательных пространств в евклидовом пространстве путем перевода: это свойство означает, что евклидово n-пространство является аффинным пространством. (В качестве альтернативы евклидово пространство представляет собой главное однородное пространство или торсор в группе переводов, которая является подгруппой аффинной группы.) Как упоминалось во введении, существует несколько способов чтобы уточнить это: используется тот факт, что аффинное соединение определяет понятие параллельного переноса векторных полей вдоль кривой. Это также определяет параллельный транспорт в пакете кадров . Бесконечно малый параллельный перенос в связке кадров дает другое описание аффинной связи, либо как связь Картана для аффинной группы Aff (n), либо как главную связь GL (n) на связке кадров.

Пусть M - гладкое многообразие и пусть Γ (TM) - пространство векторных полей на M, то есть пространство гладких участков касательного пучка TM. Тогда аффинная связность на M - это билинейное отображение

$\Gamma \; (TM)\; \times \; \Gamma \; (TM)\; \to \; \Gamma \; (TM)\; (X,\; Y)\; \mapsto \; \nabla \; XY,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнены\}\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; mathrm\; \{T\}\; M)\; \backslash \; times\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; mathrm\; \{T\}\; M)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; mathrm\; \{T\}\; M)\; \backslash \backslash \; (X,\; Y)\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Y\; \backslash ,,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

такая, что для всех гладких функций f в C (M, R ) и всех векторных полей X, Y на M:

1. ∇fXY = f ∇ X Y, то есть ∇ является C (M, R ) -линейным по первой переменной;
2. ∇X(fY) = df (X) Y + f ∇ X Y, то есть ∇ удовлетворяет правилу Лейбница во второй переменной.

Элементарные свойства

• Из свойства 1 выше следует, что значение ∇ X Y в точке x ∈ M зависит только от значения X в x, а не от значения X на M - {x}. Из свойства 2 выше также следует, что значение ∇ X Y в точке x ∈ M зависит только от значения Y в окрестности x.
• Если ∇, ∇ являются аффинные связи, то значение в x из. XY - ∇. XY может быть записано Γ x(Xx, Y x), где

$\Gamma \; x:\; T\; x\; M\; \times \; T\; x\; M\; \to \; Т\; Икс\; М\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Гамма\; \_\; \{х\}:\; \backslash \; mathrm\; \{T\}\; \_\; \{x\}\; M\; \backslash \; times\; \backslash \; mathrm\; \{T\}\; \_\; \{x\}\; M\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{T\}\; \_\; \{x\}\; M\}$

является билинейным и гладко зависит от x (т. Е. Определяет гладкий гомоморфизм расслоения ). Наоборот, если ∇ - аффинная связность, а Γ - такой гладкий гомоморфизм билинейных расслоений (называемый формой связности на M), то ∇ + Γ является аффинной связностью.

• Если M - открытое подмножество R , то касательное расслоение к M является тривиальным расслоением M × R . В этой ситуации существует каноническая аффинная связность d на M: любое векторное поле Y задается гладкой функцией V от M до R ; тогда d X Y - векторное поле, соответствующее гладкой функции dV (X) = ∂ X Y от M до R . Следовательно, любую другую аффинную связность ∇ на M можно записать как ∇ = d + Γ, где Γ - форма связности на M.
• В более общем смысле, локальная тривиализация касательного расслоения - это изоморфизм связки между ограничением TM на открытое подмножество U из M и U × R . Ограничение аффинной связности ∇ на U может быть записано в виде d + Γ, где Γ - форма связности на U.

Параллельный перенос касательного вектора вдоль кривой в сфера.

Сравнение касательных векторов в разных точках на многообразии, как правило, не является четко определенным процессом. Аффинное соединение предоставляет один способ исправить это, используя понятие параллельный транспорт, и действительно, это может быть использовано для определения аффинного соединения.

Пусть M - многообразие с аффинной связностью ∇. Тогда векторное поле X называется параллельным , если ∇X = 0 в том смысле, что для любого векторного поля Y, Y X = 0. Интуитивно говоря, параллельные векторы имеют все их производные равны нулю и, следовательно, в некотором смысле постоянны. Оценивая параллельное векторное поле в двух точках x и y, получается идентификация между касательным вектором в x и одним в y. Такие касательные векторы называются параллельными переносами друг друга.

Ненулевые параллельные векторные поля, как правило, не существуют, потому что уравнение ∇X = 0 является уравнением в частных производных, которое переопределено : Условием интегрируемости для этого уравнения является обращение в нуль кривизны кривой ∇ (см. ниже). Однако, если это уравнение ограничено кривой от x до y, оно становится обыкновенным дифференциальным уравнением. Тогда существует единственное решение для любого начального значения X в точке x.

Точнее, если γ: I → M гладкая кривая, параметризованная интервалом [a, b] и ξ ∈ T x M, где x = γ (a), то векторное поле X вдоль γ (и, в частности, значение этого векторного поля при y = γ (b)) называется параллельным переносом ξ вдоль γ если

1. ∇γ ′ (t) X = 0, для всех t ∈ [a, b]
2. Xγ (a) = ξ.

Формально первое условие означает, что X параллельна по отношению к обратному соединению на обратном связке γ ∗ TM. Однако в локальной тривиализации это система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая имеет единственное решение для любого начального условия, заданного вторым условием (например, теорема Пикара – Линделёфа ).

Таким образом, параллельный перенос обеспечивает способ перемещения касательных векторов вдоль кривой с использованием аффинной связи, чтобы они «указывали в одном направлении» в интуитивном смысле, и это обеспечивает линейный изоморфизм между касательными пространствами на двух концах кривой. Полученный таким образом изоморфизм будет в общем случае зависеть от выбора кривой: если это не так, то параллельный перенос вдоль каждой кривой может использоваться для определения параллельных векторных полей на M, что может произойти только в том случае, если кривизна равна нулю..

Линейный изоморфизм определяется его действием на упорядоченной основе или фрейм . Следовательно, параллельная транспортировка также может быть охарактеризована как способ транспортировки элементов (касательной) связки кадров GL (M) по кривой. Другими словами, аффинная связность обеспечивает подъем любой кривой γ в M до кривой γ̃ в GL (M).

Аффинное соединение также может быть определено как главное соединение GL (n) ω в пакете кадров FM или GL (M) многообразия M. Более подробно, ω является гладким отображением касательного расслоения T (FM) расслоения реперов в пространство матриц размера n × n (которое является алгеброй Ли gl(n) из группы Ли GL (n) обратимых матриц размера n × n), удовлетворяющих двум свойствам:

1. ω является эквивариантным относительно действия GL ( n) на T (FM) и gl(n);
2. ω (X ξ) = ξ для любого ξ в gl ( n), где X ξ - векторное поле на FM, соответствующее ξ.

Такая связность ω сразу определяет ковариантную производную не только на касательном расслоении, но и на векторные пучки , связанные с любым групповым представлением GL (n), включая связки тензоров и тензорных плотностей. Наоборот, аффинная связность на касательном расслоении определяет аффинную связность на расслоении реперов, например, требуя, чтобы ω обращалась в нуль на касательных векторах к подъемам кривых в расслоение реперов, определенное параллельным переносом.

Комплект рамок также снабжен припоем θ: T (FM) → R , который является горизонтальным в том смысле, что он исчезает на вертикальных векторах, таких как значения точек векторных полей X ξ : действительно, θ определяется сначала путем проецирования касательного вектора (к FM в кадре f) на M, затем взяв компоненты этого касательного вектора на M относительно шкалы f. Обратите внимание, что θ также является GL (n) -эквивариантным (где GL (n) действует на R посредством матричного умножения).

Пара (θ, ω) определяет изоморфизм расслоения группы T (FM) с тривиальным расслоением FM × aff (n), где aff (n) - это декартово произведение из R и gl (n) (рассматриваемое как алгебра Ли аффинной группы, которая на самом деле является полупрямое изделие - см. Ниже).

Аффинные связи могут быть определены в общих рамках Картана. В современном подходе это тесно связано с определением аффинных связей на связке фреймов. Действительно, в одной формулировке связность Картана - это абсолютный параллелизм главного пучка, удовлетворяющий подходящим свойствам. С этой точки зрения aff (n) -значная однозначная форма (θ, ω): T (FM) → aff (n) на расслоении фреймов (аффинное многообразие ) является связностью Картана. Однако первоначальный подход Картана отличался от этого во многих отношениях:

• не существовало концепции связок кадров или основных связок;
• соединение рассматривалось с точки зрения параллельного транспорта между бесконечно близкими точками;
• этот параллельный перенос был аффинным, а не линейным;
• транспортируемые объекты были не касательными векторами в современном понимании, а элементами аффинного пространства с отмеченным точка, которую связь Картана в конечном итоге отождествляет с касательным пространством.

Объяснения и историческая интуиция

Только что поднятые вопросы легче всего объяснить в обратном порядке, исходя из мотивации, обеспечиваемой теорией поверхностей. В этой ситуации, хотя катящиеся по поверхности плоскости являются касательными плоскостями в наивном смысле, понятие касательного пространства на самом деле является бесконечно малым понятием, тогда как плоскости, как аффинные подпространства из R , являются бесконечными по протяженности. Однако все эти аффинные плоскости имеют отмеченную точку, точку контакта с поверхностью, и они касаются поверхности в этой точке. Таким образом, возникает путаница, потому что аффинное пространство с отмеченной точкой может быть отождествлено с касательным пространством в этой точке. Однако параллельный перенос, определяемый прокаткой, не фиксирует это начало: это аффинный, а не линейный; линейно-параллельный перенос можно восстановить, применив перенос.

Абстрагируя эту идею, аффинное многообразие должно быть n-мерным многообразием M с аффинным пространством A x размерности n, присоединенным к каждому x ∈ M в отмеченной точке a x ∈ A x вместе с методом транспортировки элементов этих аффинных пространств вдоль любой кривой C в M. Этот метод требуется, чтобы удовлетворять нескольким свойствам:

1. для любых двух точек x, y на C, параллельный перенос - это аффинное преобразование из A x в A y;
2. параллельный транспорт определен бесконечно малым образом в том смысле, что он дифференцируем в любой точке на C и зависит только от касательного вектора к C в этой точке;
3. производная параллельного переноса в x определяет линейный изоморфизм от T x M до T axAx.

Эти два последних пункта довольно сложно уточнить, поэтому аффинные связи чаще определяются бесконечно малыми. Чтобы обосновать это, достаточно рассмотреть, как аффинные системы отсчета преобразуются бесконечно малым образом относительно параллельного транспорта. (Отсюда и возник метод Картана перемещения шкалы.) Аффинная шкала в точке состоит из списка (p, e1,… en), где p ∈ A x и eiсоставляют основу T p(Ax). Тогда аффинная связность символически задается дифференциальной системой первого порядка

$(\ast )\; \{dp\; =\; \theta \; 1\; e\; 1\; +\; \cdots \; +\; \theta \; nendei\; =\; \omega \; i\; 1\; e\; 1\; +\; \cdots \; +\; \omega \; ineni\; =\; 1,\; 2,\; \dots ,\; П\; \{\backslash \; displaystyle\; (*)\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \{p\}\; =\; \backslash \; theta\; ^\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; theta\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; omega\; \_\; \{i\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{i\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\; \backslash \; quad\; i\; =\; 1,2,\; \backslash \; ldots,\; n\}$

определяется набором единиц -формирует (θ, ω. i). Геометрически аффинная система отсчета претерпевает перемещение по кривой γ от γ (t) к γ (t + δt), заданное (приблизительно или бесконечно малым) как

$p\; (\gamma \; (t\; +\; \delta \; t))\; -\; p\; (\gamma \; (t))\; =\; (\theta \; 1\; (\gamma \; \prime \; (t))\; e\; 1\; +\; \cdots \; +\; \theta \; n\; (\gamma \; \prime \; (t))\; en)\; \delta \; tei\; (\gamma \; (t\; +\; \delta \; t))\; -\; ei\; (\gamma \; (t))\; =\; (\omega \; i\; 1\; (\gamma \; \prime \; (t))\; e\; 1\; +\; \cdots \; +\; \omega \; in\; (\gamma \; \prime \; (t))\; en)\; \delta \; t.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнен\}\; п\; (\backslash \; гамма\; (т\; +\; \backslash \; дельта\; т))\; -\; р\; (\backslash \; гамма\; (т))\; =\; \backslash \; влево\; (\backslash \; тета\; ^\; \{1\}\; \backslash \; влево\; (\backslash \; гамма\; \text{'}(т)\; \backslash \; справа)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; theta\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; gamma\; \text{'}(t)\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathrm\; \{\backslash \; delta\; \}\; t\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; (\backslash \; gamma\; (t\; +\; \backslash \; delta\; t))\; -\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; (\backslash \; gamma\; (t))\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; \_\; \{i\; \}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; gamma\; \text{'}(t)\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{i\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; gamma\text{'}\; (t)\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; delta\; t\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Кроме того, аффинные пространства A x должны касаться M в неформальном смысле, что смещение a x вдоль γ может быть отождествлено (приблизительно или бесконечно малым) с касательным вектором γ ′ (t) к γ при x = γ (t) (который является бесконечно малым перемещением из х). Поскольку

$ax\; (\gamma \; (t\; +\; \delta \; t))\; -\; ax\; (\gamma \; (t))\; =\; \theta \; (\gamma \; \prime \; (t))\; \delta \; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{x\}\; (\backslash \; gamma\; (t\; +\; \backslash \; delta\; t))\; -a\_\; \{x\}\; (\backslash \; gamma\; (t))\; =\; \backslash \; theta\; \backslash \; left\; (\backslash \; gamma\; \text{'}(t)\; \backslash \; right)\; \backslash \; delta\; t\; \backslash ,,\}$

где θ определяется как θ (X) = θ ( X) e1+… + θ (X) en, эта идентификация задается θ, поэтому требуется, чтобы θ был линейным изоморфизмом в каждой точке.

Таким образом, касательное аффинное пространство A x интуитивно идентифицируется с бесконечно малой аффинной окрестностью x.

Современная точка зрения уточняет всю эту интуицию с помощью основных связок (основная идея состоит в том, чтобы заменить рамку или переменную рамку пространством всех рамок и функций в этом пространстве). Он также черпает вдохновение в программе Erlangen Феликса Кляйна, в которой геометрия определяется как однородное пространство. Аффинное пространство в этом смысле является геометрией и снабжено плоской связностью Картана. Таким образом, общее аффинное многообразие рассматривается как искривленная деформация плоской модельной геометрии аффинного пространства.

Аффинное пространство как геометрия плоской модели

Определение аффинного пространства

Неформально аффинное пространство - это векторное пространство без фиксированного выбора origin. Он описывает геометрию точек и свободных векторов в пространстве. Как следствие отсутствия начала координат, точки в аффинном пространстве не могут быть сложены вместе, так как это требует выбора начала координат, с помощью которого формируется закон параллелограмма для сложения векторов. Однако вектор v может быть добавлен к точке p, помещая начальную точку вектора в p, а затем перемещая p в конечную точку. Описанная таким образом операция p → p + v является трансляцией p вдоль v. С технической точки зрения аффинное n-пространство - это набор A , снабженный свободным транзитивным действием векторной группы R на нем посредством этой операции преобразования точек: A , таким образом, является главным однородным пространством для векторной группы R.

Общая линейная группа GL (n) представляет собой группу преобразований из R , которые сохраняют линейную структуру R в том смысле, что Т (av + bw) = aT (v) + bT (w). По аналогии, аффинная группа Aff (n) представляет собой группу преобразований A , сохраняющих аффинную структуру. Таким образом, φ ∈ Aff (n) должен сохранять переводы в том смысле, что

$\phi \; (p\; +\; v)\; =\; \phi \; (p)\; +\; T\; (v)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (p\; +\; v)\; =\; \backslash \; varphi\; (p)\; +\; T\; (v)\}$

где T - общее линейное преобразование. Отображение, переводящее φ ∈ Aff (n) в T ∈ GL (n), является гомоморфизмом групп . Его ядро ​​ - это группа переводов R . Таким образом, стабилизатор любой точки p в A может быть идентифицирован с GL (n) с помощью этой проекции: это реализует аффинную группу как полупрямое произведение GL (n) и R , а аффинное пространство - как однородное пространство Aff (n) / GL (n).

Аффинные фреймы и плоская аффинная связность

Аффинный фрейм для A состоит из точки p ∈ A и базиса (e1,… en) векторного пространства T p A = R . Общая линейная группа GL (n) свободно действует на множестве FA всех аффинных фреймов, фиксируя p и преобразовывая базис (e1,… en) обычным образом, а отображение π отправляя аффинный фрейм (p ; e1,… en) до p - карта частных. Таким образом, FA является главным GL (n) -расслоением над A. Действие GL (n) естественным образом продолжается до свободного транзитивного действия аффинной группы Aff (n) на FA, так что FA является Aff (n) - торсор, и выбор системы отсчета отождествляет FA → A с главным пучком Aff (n) → Aff (n) / GL (n).

В FA есть набор из n + 1 функций, определенных как

$\pi \; (p;\; e\; 1,\dots ,\; en)\; =\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (p;\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{\; 1\},\; \backslash \; dots,\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{n\})\; =\; p\}$

(как и раньше) и

$\epsilon \; i\; (p;\; e\; 1,\dots ,\; en)\; =\; ei.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\}\; (p;\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{n\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash ,.\}$

После выбора базовой точки для A, это все функции со значениями в R , поэтому можно взять их внешние производные, чтобы получить дифференциальные 1-формы со значениями в R . Поскольку функции ε i образуют основу для R в каждой точке FA, эти 1-формы должны быть выражены в виде сумм вида

$d\; \pi \; =\; \theta \; 1\; \epsilon \; 1\; +\; \cdots \; +\; \theta \; N\; \epsilon \; nd\; \epsilon \; я\; знак\; равно\; \omega \; я\; 1\; \epsilon \; 1\; +\; \cdots \; +\; \omega \; в\; \epsilon \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; pi\; =\; \backslash \; theta\; ^\; \{1\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\; 1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; theta\; ^\; \{n\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{n\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; omega\; \_\; \{i\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{i\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

для некоторой коллекции (θ, ω. j)1 ≤ i, j, k ≤ n вещественнозначных одноформ на Aff (n). Эта система одноформ на главном расслоении FA → A определяет аффинную связность на A.

Взяв внешнюю производную во второй раз и используя Тот факт, что d = 0, а также линейная независимость от ε i, получены следующие соотношения:

$d\; \theta \; j\; -\; \sum \; i\; \omega \; ij\; \wedge \; \theta \; i\; =\; 0\; d\; \omega \; ij\; -\; \sum \; К\; \omega \; kj\; \wedge \; \omega \; ik\; =\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; ^\; \{j\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\; j\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; theta\; ^\; \{i\}\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{i\}\; ^\; \{j\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{k\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; omega\; \_\; \{i\}\; ^\; \{k\}\; =\; 0\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это Уравнения Маурера – Картана для группы Ли Aff (n) (отождествляемой с FA выбором системы отсчета). Более того:

• система Пфаффа θ = 0 (для всех j) интегрируема, а ее интегральные многообразия являются слоями главного расслоения Aff ( n) → A.
• система Пфаффа ω. i= 0 (для всех i, j) также интегрируема, и ее интегральные многообразия определяют параллельный перенос в FA.

Таким образом, формы (ω. i) определяют плоское главное соединение на FA → A.

Для строгого сравнения с мотивацией нужно фактически определить параллельный транспорт в основном Aff (n) -бандле над A Это может быть выполнено посредством оттягивания назад FA с помощью гладкого отображения φ: R × A → A, определяемого трансляцией. Тогда составная φ ′ ∗ FA → FA → A является главным Aff (n) -расслоением над A, и формы (θ, ω. j) оттягивают назад, чтобы получить плоскую главную Aff (n) -связь на

Общие аффинные геометрии: формальные определения

Аффинное пространство, как и любая гладкая геометрия Клейна, представляет собой многообразие, снабженное плоской связностью Картана. Подробнее общие аффинные многообразия или аффинные геометрии легко получить, отказавшись от условия плоскостности, выраженного уравнениями Маурера-Картана. Есть несколько способов приблизиться к определению, и будут даны два. Оба определения облегчаются осознанием того, что 1-формы (θ, ω. j) в плоской модели подбираются вместе, чтобы дать 1-форму со значениями в алгебре Ли aff (n) аффинной группы Aff (n).

В этих определений, M - гладкое n-многообразие, а A = Aff (n) / GL (n) - аффинное пространство той же размерности.

Определение через абсолютный параллелизм

Пусть M - многообразие, а P - главное GL (n) -расслоение над M. Тогда аффинная связность - это 1-форма η на P со значениями в aff (n), удовлетворяющая следующим свойствам

1. η эквивариантна относительно действия GL (n) на P и aff(n);
2. η (X ξ) = ξ для всех ξ в алгебре Ли gl (n) всех матриц размера n × n;
3. η является линейным изоморфизмом каждого касательного пространства P с aff (n).

последнее условие означает, что η является абсолютным параллелизмом на P, т. е. отождествляет касательное расслоение P с тривиальным расслоением (в данном случае P × aff (п)). Пара (P, η) определяет структуру аффинной геометрии на M, превращая ее в аффинное многообразие .

Аффинная алгебра Ли aff (n) разбивает как полупрямое произведение R и gl (n), и поэтому η может быть записано как пара (θ, ω), где θ принимает значения в R и ω принимает значения в gl (n). Условия 1 и 2 эквивалентны тому, что ω является главной GL (n) -связью, а θ - горизонтальной эквивариантной 1-формой, которая индуцирует гомоморфизм расслоения от TM к ассоциированному пучку P × GL (n) R. Условие 3 равносильно тому, что этот гомоморфизм расслоения является изоморфизмом. (Однако это разложение является следствием довольно специальной структуры аффинной группы.) Поскольку P является расслоением фреймов для P × GL (n) R, отсюда следует, что θ обеспечивает изоморфизм расслоения между P и расслоением FM из M; это восстанавливает определение аффинной связности как главной GL (n) -связности на FM.

1-формы, возникающие в плоской модели, являются просто компонентами θ и ω.

Определение как основная аффинная связь

аффинная связь на M - это главное Aff (n) -расслоение Q над M вместе с основным GL (n) -подрасслоение P в Q и главная Aff (n) -связь α (1-форма на Q со значениями в aff (n)), которая удовлетворяет следующему (общему) условию Картана. Компонент R обратного преобразования α к P является горизонтальной эквивариантной 1-формой и, таким образом, определяет гомоморфизм расслоения от TM к P × GL (n) R: это должно быть изоморфизм.

Связь с мотивацией

Поскольку Aff (n) действует на A, существует связка с главным пакетом Q, связанная с A = Q × Aff (n) A, которое является расслоением над M, слой которого в точке x в M является аффинным пространством A x. Раздел a A (определяющий отмеченную точку a x в A x для каждого x ∈ M) определяет главную GL ( n) -подрасслоение P группы Q (как пучок стабилизаторов этих отмеченных точек) и наоборот. Основная связь α определяет связь Эресмана на этом пучке, отсюда и понятие параллельного переноса. Условие Картана гарантирует, что выделенный участок a всегда перемещается при параллельном транспортировании.

Кривизна и кручение

Кривизна и кручение являются основными инвариантами аффинной связности. Поскольку существует множество эквивалентных способов определения понятия аффинной связности, существует множество различных способов определения кривизны и кручения.

С точки зрения связи Картана кривизна - это неспособность аффинной связности η удовлетворять уравнению Маурера – Картана

$d\; \eta \; +\; 1\; 2\; [\eta \; \wedge \; \eta ]\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; eta\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; [\backslash \; eta\; \backslash \; wedge\; \backslash \; eta]\; =\; 0,\}$

где второй член в левой части - это произведение клина с помощью скобки Ли в aff (n) для сжатия значений. Разложив η на пару (θ, ω) и используя структуру алгебры Ли aff (n), эта левая часть может быть разложена в две формулы

$d\; \theta \; +\; \omega \; \wedge \; \theta \; и\; d\; \omega \; +\; \omega \; \wedge \; \omega ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; +\; \backslash \; omega\; \backslash \; wedge\; \backslash \; theta\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; omega\; +\; \backslash \; omega\; \backslash \; wedge\; \backslash \; omega\; \backslash ,,\}$

, где произведения клина оцениваются с использованием матричного умножения. Первое выражение называется кручением соединения, а второе также называется кривизной.

Эти выражения являются дифференциальными 2-формами на общей площади пачки кадров. Однако они горизонтальны и эквивариантны и, следовательно, определяют тензорные объекты. Их можно определить непосредственно из индуцированной ковариантной производной на TM следующим образом.

кручение задается формулой

$T\; \nabla \; (X,\; Y)\; =\; \nabla \; X\; Y\; -\; \nabla \; Y\; X\; -\; [X,\; Y].\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{\backslash \; nabla\}\; (X,\; Y)\; =\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Y-\; \backslash \; nabla\; \_\; \{Y\}\; X-\; [X,\; Y].\}$

Если кручение исчезает, соединение называется быть без кручения или симметричным.

Кривизна определяется формулой

$R\; X,\; Y\; \nabla \; Z\; =\; \nabla \; X\; \nabla \; Y\; Z\; -\; \nabla \; Y\; \nabla \; X\; Z\; -\; \nabla \; [X,\; Y]\; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{X,\; Y\}\; ^\; \{\backslash \; nabla\}\; Z\; =\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{Y\}\; Z-\; \backslash \; nabla\; \_\; \{Y\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Z-\; \backslash \; nabla\; \_\; \{[X,\; Y]\}\; Z.\}$

Обратите внимание, что [X, Y] - это скобка Ли векторных полей

$[X,\; Y]\; =\; (X\; j\; \partial \; j\; Y\; i\; -\; Y\; j\; \partial \; j\; X\; i)\; \partial \; я\; \{\backslash \; Displaystyle\; [X,\; Y]\; =\; \backslash \; влево\; (X\; ^\; \{j\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\; Y\; ^\; \{i\}\; -Y\; ^\; \{j\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\; X\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\}$

в нотации Эйнштейна. Это не зависит от выбора системы координат и

$\partial \; i\; =\; (\partial \; \partial \; \xi \; i)\; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; xi\; ^\; \{i\; \}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{p\}\; \backslash ,,\}$

касательный вектор в точке p i-й координатной кривой. ∂ i являются естественным базисом для касательного пространства в точке p, а X - соответствующими координатами векторного поля X = X ∂ i.

Когда и кривизна, и кручение равны нулю, связь определяет структура предлиевой алгебры на пространстве глобальных сечений касательного расслоения.

Связность Леви-Чивита

Если (M, g) является римановым многообразием, то существует единственная аффинная связность ∇ на M со следующими двумя свойствами:

• соединение без кручения, то есть T равно нулю, так что X Y - ∇ Y X = [X, Y];
• параллельно транспорт является изометрией, т. е. внутренние произведения (определенные с помощью g) между касательными векторами сохраняются.

Эта связь называется связью Леви-Чивиты.

Часто используется термин "симметричный" вместо без кручения для первого свойства. Второе условие означает, что соединение является метрической связью в том смысле, что риманова метрика g параллельна: ∇g = 0. Для связности без кручения условие эквивалентно к тождеству X g (Y, Z) = g (X Y, Z) + g (Y, ∇ X Z), «совместимость с метрикой». В локальных координатах компоненты формы называются символами Кристоффеля : из-за уникальности связи Леви-Чивита существует формула для этих компонентов в терминах компонентов g.

Геодезические

Поскольку прямые линии являются понятием аффинной геометрии, аффинные связи определяют обобщенное понятие (параметризованных) прямых на любом аффинном многообразии, называемое аффинными геодезическими. Абстрактно параметрическая кривая γ: I → M является прямой линией, если ее касательный вектор остается параллельным и равноправным сам себе при перемещении вдоль γ. С линейной точки зрения аффинная связность M различает аффинные геодезические следующим образом: гладкая кривая γ: I → M является аффинной геодезической , если γ̇ переносится параллельно вдоль γ, то есть

$\tau \; ts\; \gamma \; \dot{}\; (s)\; знак\; равно\; \gamma \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{t\}\; ^\; \{s\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\; \}$

где τ. t: T γsM → T γtM - параллельная транспортная карта, определяющая соединение.

В терминах бесконечно малой связи ∇ производная этого уравнения подразумевает, что

$\nabla \; \gamma \; \dot{}\; (t)\; \gamma \; \dot{}\; (t)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\; \}\; (t)\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\; =\; 0\}$

для всех t ∈ I.

И наоборот, любое решение этого дифференциального уравнения дает кривую, касательный вектор которой параллелен транспортируется по кривой. Для любого x ∈ M и любого X ∈ T x M существует единственная аффинная геодезическая γ: I → M, такая что γ (0) = x и γ̇ (0) = X, и где I - максимальное открытый интервал в R , содержащий 0, на котором определена геодезическая. Это следует из теоремы Пикара – Линделёфа и позволяет определить экспоненциальное отображение, связанное с аффинной связностью.

В частности, когда M является (псевдо -) римановым многообразием и ∇ является связностью Леви-Чивиты, тогда аффинные геодезические являются обычными геодезическими римановой геометрии и кривыми, минимизирующими локальное расстояние.

Определенные здесь геодезические иногда называют аффинно параметризованными , поскольку данная прямая в M определяет параметрическую кривую γ через линию вплоть до выбора аффинной репараметризации γ (t) → γ (at + b), где a и b - константы. Касательный вектор к аффинной геодезической параллелен и равен себе. Непараметризованная геодезическая или геодезическая, которая просто параллельна сама себе, но не обязательно равнозначна, должна только удовлетворять

$\nabla \; \gamma \; \dot{}\; \gamma \; \dot{}\; =\; k\; \gamma \; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{\; \backslash \; gamma\}\}\; =\; k\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\}$

для некоторой функции k, определенной вдоль γ. Непараметризованные геодезические часто изучаются с точки зрения проективных связей.

Развития

Аффинная связь определяет понятие развития кривых. Интуитивно, разработка улавливает идею о том, что если x t является кривой в M, то аффинное касательное пространство в x 0 может перемещаться вдоль кривой. При этом отмеченная точка контакта между касательным пространством и многообразием очерчивает кривую C t в этом аффинном пространстве: развитие x t.

Формально, пусть τ. t: T xtM → T x0M - линейная параллельная транспортная карта, связанная с аффинным соединением. Тогда развертка C t представляет собой кривую в T x0M, начинающуюся с 0 и параллельную касательной к x t для всего времени t:

$C\; \dot{}\; t\; знак\; равно\; \tau \; T\; 0\; Икс\; \dot{}\; T,\; С\; 0\; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{C\}\}\; \_\; \{t\}\; =\; \backslash \; tau\; \_\; \{t\}\; ^\; \{0\}\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{t\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; C\_\; \{0\}\; =\; 0.\}$

В частности, x t является геодезической тогда и только тогда, когда его развитие представляет собой аффинно параметризованную прямую в T x0M.

Если M - поверхность в R , легко увидеть, что M имеет естественную аффинную связность. С точки зрения линейной связи ковариантная производная векторного поля определяется путем дифференцирования векторного поля, рассматриваемого как отображение от M до R , а затем проецирования результата ортогонально обратно на касательные пространства М. Легко видеть, что эта аффинная связность не имеет кручения. Кроме того, это метрическая связь по отношению к римановой метрике на M, индуцированная скалярным произведением на R , следовательно, это связность Леви-Чивиты этой метрики.

Пример: единичная сфера в евклидовом пространстве

Пусть ⟨,⟩ - обычное скалярное произведение на R , и пусть S - единичная сфера. Касательное пространство к S в точке x естественно отождествляется с векторным подпространством R , состоящим из всех векторов, ортогональных x. Отсюда следует, что векторное поле Y на S можно рассматривать как отображение Y: S→ R, которое удовлетворяет

$⟨Y\; x,\; x⟩\; =\; 0,\; \forall \; x\; \in \; S\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; Y\_\; \{x\},\; x\; \backslash \; rangle\; =\; 0\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{2\}.\}$

Обозначим через dY дифференциал (матрицу Якоби) таких карта. Тогда имеем:

Лемма . Формула

$(\nabla \; ZY)\; x\; =\; d\; Y\; x\; (Z\; x)\; +\; ⟨Z\; x,\; Y\; x⟩\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{Z\}\; Y)\; \_\; \{x\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; Y\_\; \{x\}\; (Z\_\; \{x\})\; +\; \backslash \; langle\; Z\_\; \{x\},\; Y\_\; \{x\}\; \backslash \; rangle\; x\}$

определяет аффинное соединение на S с нулевым кручением.

Доказательство . Несложно доказать, что удовлетворяет тождеству Лейбница и является C (S ) линейным по первой переменной. Итак, все, что здесь нужно доказать, - это то, что приведенная выше карта действительно определяет касательное векторное поле. То есть нам нужно доказать, что для всех x из S

$⟨(\nabla \; Z\; Y)\; x,\; x⟩\; =\; 0.\; (Уравнение\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; bigl\; \backslash \; langle\}\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{Z\}\; Y)\; \_\; \{x\},\; х\; \{\backslash \; bigr\; \backslash \; rangle\}\; =\; 0\; \backslash ,.\; \backslash \; Qquad\; \{\backslash \; text\; \{(Уравнение\; 1)\}\}\}$

Рассмотрим отображение

$f:\; S\; 2\; \to \; R\; x\; \mapsto \; ⟨Y\; x,\; x⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f:\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \backslash \; x\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; langle\; Y\_\; \{x\},\; x\; \backslash \; rangle\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

Отображение f постоянно, поэтому его дифференциал равен нулю. В частности,

$d\; f\; x\; (Z\; x)\; =\; ⟨(d\; Y)\; x\; (Z\; x),\; x\; (\gamma \; \prime \; (t))⟩\; +\; ⟨Y\; x,\; Z\; x⟩\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; f\_\; \{x\}\; (Z\_\; \{x\})\; =\; \{\backslash \; bigl\; \backslash \; langle\}\; (\backslash \; mathrm\; \{d\}\; Y)\; \_\; \{x\}\; (Z\_\; \{x\}),\; x\; (\backslash \; gamma\; \text{'}(\; t))\; \{\backslash \; bigr\; \backslash \; rangle\}\; +\; \backslash \; langle\; Y\_\; \{x\},\; Z\_\; \{x\}\; \backslash \; rangle\; =\; 0\; \backslash ,.\}$

Уравнение 1 выше следует. QED

• Атлас (топология)
• Соединение (математика)
• Соединение (расслоенное многообразие)
• Соединение (аффинное расслоение)
• Дифференцируемое многообразие
• Дифференциальная геометрия
• Введение в математику общей теории относительности
• Связь Леви-Чивита
• Список формул в римановой геометрии
• Риманова геометрия

Основные исторические ссылки

• Кристоффель, Элвин Бруно (1869), «Uber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1869 (70): 46–70, doi : 10.1515 / crll.1869.70.46
• Леви-Чивита, Туллио (1917), "Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e consguente specificazione geometrya della curvatura Riemanniana ", Rend. Circ. Мат. Палермо, 42 : 173–205, doi : 10.1007 / bf03014898
• Картан, Эли (1923), "Sur les varétés à connected affine, et al. la théorie de la relativité généralisée (première partie) ", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 40 : 325–412, doi : 10.24033 / asens.751
• Картан, Эли (1924), «Sur les varétés à connected affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 41 : 1–25, doi : 10.24033 / asens.753
• Картан Эли (1986), О многообразиях с аффинной связью и общей теории относительности, Humanities Press

Трактовка Картана аффинных связей, мотивированная изучением теории относительности. Включает подробное обсуждение физики систем отсчета и того, как эта связь отражает физическое понятие переноса вдоль мировой линии.

• Картан, Эли (1926), «Пространства à connected affine, projective et conforme», Acta Math., 48 : 1–42, doi : 10.1007 / BF02629755

Более математически мотивированный отчет об аффинных связях.

• Картан, Эли (1951 г.), с приложениями Роберта Германа (ред.), Геометрия римановых пространств (перевод Джеймса Глейзбрука из Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann, 2-е изд.), Math Sci Press, Массачусетс (опубликовано в 1983 г.), ISBN 978-0-915692-34-7.

Аффинные связи с точки зрения римановой геометрии. В приложениях Роберта Германа обсуждается мотивация теории поверхностей, а также понятие аффинных связей в современном понимании Кошуля. Он развивает основные свойства дифференциального оператора и связывает их с классическими аффинными связностями в смысле Картана.

• Weyl, Hermann (1918), Raum, Zeit, Materie (5 изданий до 1922 г., с примечания Юргена Элерса (1980), переведенное 4-е издание «Пространство, время, материя» Генри Броза, 1922 (Метуэн, перепечатано Дувром в 1952 году) изд.), Springer, Berlin, ISBN 0-486 -60267-2

Вторичные ссылки

• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, тт. 1 2 (Новая редакция), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.

Это основная ссылка для технических деталей статьи. Том 1, глава III дает подробный отчет об аффинных связях с точки зрения основных расслоений на многообразии, параллельного переноса, развития, геодезических и связанных дифференциальных операторов. Глава VI тома 1 дает отчет об аффинных преобразованиях, кручении и общей теории аффинной геодезии. Том 2 дает ряд приложений аффинных связностей к однородным пространствам и комплексным многообразиям, а также к другим разнообразным темам.

• Lumiste, Ülo (2001a), «Аффинная связь», в Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1 -55608-010-4.
• Лумисте, Юло (2001b), «Соединения на многообразии», в Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4.

Две статьи Лумисте, дающие точные условия на параллельных транспортных картах, чтобы они определяли аффинные связи. Они также рассматривают кривизну, кручение и другие стандартные темы с классической точки зрения (неглавное расслоение).

• Шарп, Р.В. (1997), Дифференциальная геометрия: Обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 197>ISBN 0-387-94732-9.

Это заполняет некоторые исторические детали и предоставляет более удобный для читателя элементарный отчет о связях Картана в целом. Приложение А разъясняет взаимосвязь между принципиальной связью и точками зрения абсолютного параллелизма. Приложение B устраняет разрыв между классической «катящейся» моделью аффинных связей и современной, основанной на главных связках и дифференциальных операторах.