Математическая группа, образованная из автоморфизмов объекта
В математике, группа автоморфизмов объекта X - это группа, состоящая из автоморфизмов объекта X. Например, если X является конечномерным векторное пространство, то группа автоморфизмов X - это общая линейная группа X, группа обратимых линейных преобразований из X в себя.
Особенно в геометрическом контексте группа автоморфизмов также называется группой симметрии. Подгруппа группы автоморфизмов называется группой преобразований (особенно в старой литературе).
Содержание
- 1 Примеры
- 2 В теории категорий
- 3 Функтор группы автоморфизмов
- 4 См. Также
- 5 Ссылки
- 6 Внешние ссылки
Примеры
- Группа автоморфизмов множества X является в точности симметрической группой группы X.
- A гомоморфизм группы группе автоморфизмов множества X составляет действие группы на X: действительно, каждое левое действие G на множестве X определяет , и, наоборот, каждый гомоморфизм определяет действие по .
- Пусть два конечных набора одинаковой мощности и набор всех биений . Тогда , которая является симметричной группой (см. Выше), действует на слева свободно и транзитивно ; то есть - это торсор для (см. # В теории категорий).
- Группа автоморфизмов конечной циклической группы порядка n изоморфна с изоморфизмом, заданным формулой . В частности, является абелевой группой.
- Учитывая расширение поля , его группа автоморфизмов - это группа, состоящая из полевых автоморфизмов L, фиксирующих K: она более известна как группа Галуа группы .
- Группа автоморфизмов проективного n-мерного пространства над полем k является проективная линейная группа
- Группа автоморфизмов конечномерной вещественной алгебры Ли имеет структуру (действительной) группы Ли (фактически, это даже линейная алгебраическая группа : см. Ниже). Если G группа Ли с алгеброй Ли , то группа автоморфизмов группы G имеет структуру группы Ли, индуцированной из группы Ли на автоморфизме группа .
- Пусть P будет конечно порожденным проективным модулем над кольцом R. Затем существует вложение , уникальные до внутренних автоморфизмов.
В теории категорий
группы автоморфизмов очень естественно появляются в теории категорий.
Если X является объект в категории, то группа автоморфизмов X - это группа, состоящая из всех обратимых морфизмов из X в себя. Это группа единиц из моноида эндоморфизма X. (Для некоторых примеров см. PROP.)
If - объекты в некоторой категории, тогда набор из всех левый -торсор. На практике это означает, что другой выбор базовой точки однозначно отличается на элемент из , или что каждый выбор базовой точки в точности является выбором тривиализации торсора.
Если и являются объектами в категориях и , а если - это функтор отображение до , тогда индуцирует групповой гомоморфизм , поскольку он отображает обратимые морфизмы обратимым морфизмам.
В частности, если G представляет собой группу, рассматриваемую как категория с одним объектом * или, в более общем смысле, если G является группоидом, то каждый функтор , C категория, называется действием или представлением G на объекте или объекты . Затем эти объекты называются -объектами (поскольку они действуют с помощью ); ср. -объект. Если является категорией модулей, например категорией конечномерных векторных пространств, то -объекты также являются называется -модулями.
Функтор группы автоморфизмов
Пусть - конечномерное векторное пространство над полем k, снабженное некоторой алгебраической структурой ( то есть M - конечномерная алгебра над k). Это может быть, например, ассоциативная алгебра или алгебра Ли.
. Теперь рассмотрим k- линейные отображения , которые сохраняют алгебраическую структуру: они образуют векторное подпространство из . Группа единиц является группой автоморфизмов . Когда выбран базис на M, - это пространство квадратных матриц и - это нулевой набор некоторых полиномиальных уравнений, и обратимость снова описывается полиномами. Следовательно, является линейной алгебраической группой над k.
Теперь базовые расширения, примененные к вышеприведенному обсуждению, определяют функтор: а именно, для каждого коммутативного кольца R над k рассмотрим R-линейные отображения с сохранением алгебраической структуры: обозначьте его . Тогда группа единиц кольца матрицы над R является группой автоморфизмов и - это групповой функтор : функтор из категории коммутативных колец над k в категория групп. Более того, она представлена схемой (поскольку группы автоморфизмов определяются полиномами): эта схема называется схемой группы автоморфизмов и обозначается .
Однако в общем случае функтор группы автоморфизмов не может быть представлен схемой.
См. Также
Ссылки
- Dummit, David S.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-43334-7.
- Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую K-теорию. Летопись математических исследований. 72 . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 9780691081014. MR 0349811. Zbl 0237.18005.
- Уотерхаус, Уильям К. (2012) [1979]. Введение в схемы аффинных групп. Тексты для выпускников по математике. 66 . Springer Verlag. ISBN 9781461262176.
Внешние ссылки