Связанный пучок

В математике теория пучков волокон со структурной группой $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$(топологическая группа ) позволяет операцию создания ассоциированного пакета, в котором типичное волокно набор меняется с $F\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\}\}$на $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$, которые оба являются топологические пространства с групповым действием $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$. Для пучка волокон F со структурной группой G функции перехода волокна (т. Е.) В перекрытии двух систем координат U α и U β задаются как G -значная функция g αβ на U α∩Uβ. Затем можно построить пучок волокон F 'как новый пучок волокон, имеющий те же функции перехода, но, возможно, другое волокно.

• 1 Пример
• 2 Конструкция
  • 2.1 Связанные пучки в целом
  • 2.2 Основной пучок, связанный с пучком волокон
  • 2.3 пучок волокон, связанный с основным пучком
• 3 Уменьшение структурной группы
  • 3.1 Примеры редукции
• 4 См. также
• 5 Ссылки
• 6 Книги

В простом случае используется лента Мёбиуса, для которого $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- это циклическая группа порядка 2, $Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{2\; \}\}$. В качестве $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$можно взять любое из: вещественное число, строка $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, интервал $[-\; 1,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [-1,\; \backslash \; 1]\}$, прямая действительная числовая линия без точки 0 или двухточечный набор $\{-\; 1,\; 1\}\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; \{-\; 1,\; \backslash \; 1\; \backslash \}\}$. Действие $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$на эти (неидентификационный элемент, действующий как $x\; \to \; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; -x\}$в каждом случае) интуитивно сравнимо. Можно сказать, что более формально в терминах склейки двух прямоугольников $[-\; 1,\; 1]\; \times \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; [-1,\; \backslash \; 1]\; \backslash \; times\; I\}$и $[-\; 1,\; 1]\; \times \; J\; \{\backslash \; displaystyle\; [-1,\; \backslash \; 1]\; \backslash \; times\; J\}$вместе: нам действительно нужны данные для идентификации $[-\; 1,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [-\; 1,\; \backslash \; 1]\}$к себе непосредственно на одном конце и с поворотом на другом конце. Эти данные могут быть записаны как функция исправления со значениями в G. Конструкция связанного пакета - это просто наблюдение, что эти данные работают так же хорошо для $\{-\; 1,\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{-\; 1,\; \backslash \; 1\; \backslash \}\}$как для $[-\; 1,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [-1,\; \backslash \; 1]\}$.

В целом достаточно объяснить переход от связки с волокном $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$, на котором действует $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, к ассоциированному основной пучок (а именно пучок, в котором волокно $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, которое считается действующим посредством трансляции на себя). Ибо тогда мы можем перейти от $F\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\}\}$к $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$через основной пакет. Подробная информация о данных для открытого покрытия дана для случая спуска.

Этот раздел организован следующим образом. Сначала мы вводим общую процедуру создания ассоциированного пучка с указанным волокном из данного пучка волокон. Затем это специализируется на случае, когда указанный слой является главным однородным пространством для левого действия группы на самом себе, что дает ассоциированное главное расслоение. Если дополнительно задано правильное действие на слое главного расслоения, мы опишем, как построить любое ассоциированное расслоение с помощью конструкции fiber product.

Связанные расслоения в целом

Пусть π: E → X - расслоение над топологическим пространством X со структурной группой G и типичным слоем F. По определению существует левое действие группы G (как группа преобразований ) на слое F. Предположим, кроме того, что это действие эффективно. Существует локальная тривиализация пучка E, состоящего из открытого покрытия UiX и набора карт волокон

φi: π (U i) → U i × F

такой, что отображения переходов задаются элементами G. Точнее, существуют непрерывные функции g ij : (U i ∩ U j) → G такое, что

ψij(u, f): = φ i o φ j (u, f) = (u, g ij (u) f) для каждого (u, f) ∈ (U i ∩ U j) × F.

Пусть теперь F ′ - заданное топологическое пространство, снабженное непрерывным левым действием группы G. Тогда расслоение, ассоциированное с E со слоем F ′, является расслоением E ′ с локальной тривиализацией подчиненный покрытию U i, функции перехода которого задаются выражением

ψ′ij(u, f ′) = (u, g ij (u) f ′) для (u, f ′) ∈ (U i ∩ U j) × F ′

где G-значные функции g ij (u) такие же, как полученное локальной тривиализацией исходного расслоения E.

Это определение, очевидно, учитывает коцикл c добавление к функциям перехода, поскольку в каждом случае они задаются одной и той же системой G-значных функций. (Используя другую локальную тривиализацию и переходя при необходимости к общему уточнению, преобразование g ij через ту же кограницу.) Следовательно, по теореме построения пучков волокон это дает слой расслоение E ′ со слоем F ′ согласно заявленному.

Главный пучок, связанный с пучком волокон

Как и раньше, предположим, что E - пучок волокон со структурной группой G. В частном случае, когда G имеет свободный и транзитивный левое действие на F ′, так что F ′ - главное однородное пространство для левого действия G на самом себе, то ассоциированное расслоение E ′ называется главным G-расслоением, ассоциированным с расслоением E. Если, кроме того, новый слой F 'отождествляется с G (так что F' наследует правое действие G, а также левое действие), тогда правое действие G на F индуцирует правое действие G на E '. При таком выборе отождествления E 'становится главным расслоением в обычном смысле. Обратите внимание, что, хотя не существует канонического способа указать правое действие на главном однородном пространстве для G, любые два таких действия приведут к основным расслоениям, которые имеют одно и то же базовое расслоение со структурной группой G (так как это происходит из левого действия группы G). G) и изоморфны как G-пространства в том смысле, что существует глобально определенная G-значная функция, связывающая их.

Таким образом, основное G-расслоение, оснащенное правильным действием, часто рассматривается как часть данных, определяющих расслоение волокон со структурной группой G, поскольку для расслоения волокон можно построить главное расслоение через связанная конструкция пучка. Затем, как в следующем разделе, можно пойти другим путем и получить любой пучок волокон, используя продукт волокна.

Расслоение волокон, ассоциированное с главным расслоением

Пусть π: P → X - главное G-расслоение и пусть ρ: G → Homeo (F) - непрерывное левое действие группы G на пространстве F (в гладкой категории у нас должно быть гладкое действие на гладком многообразии). Не умаляя общности, мы можем предпринять это действие, чтобы оно было эффективным.

Определите правое действие G на P × F с помощью

$(p,\; f)\; \cdot \; g\; =\; (p\; \cdot \; g,\; \rho \; (g\; -\; 1)\; f).\; \{\backslash \; displaystyle\; (p,\; f)\; \backslash \; cdot\; g\; =\; (p\; \backslash \; cdot\; g,\; \backslash \; rho\; (g\; ^\; \{-\; 1\})\; f)\; \backslash ,.\}$

Затем мы идентифицируем этим действием, чтобы получить пространство E = P × ρ F = (P × F) / G. Обозначим класс эквивалентности (p, f) через [p, f]. Отметим, что

$[p\; \cdot \; g,\; f]\; =\; [p,\; \rho \; (g)\; f]\; для\; всех\; g\; \in \; G.\; \{\backslash \; displaystyle\; [p\; \backslash \; cdot\; g,\; f]\; =\; [p,\; \backslash \; rho\; (g)\; f]\; \{\backslash \; t\_dv\; \{для\; всех\}\}\; g\; \backslash \; in\; G.\}$

Определите карту проекции π ρ : E → X на π ρ ([p, f]) = π (p). Обратите внимание, что это правильно определено.

Тогда π ρ : E → X - расслоение со слоем F и структурной группой G. Функции перехода задаются выражением ρ (t ij), где t ij - функции перехода основного пакета P.

Сопутствующей концепцией ассоциированных пакетов является сокращение структурной группы в $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$-bundle $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$. Мы спрашиваем, существует ли $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$-bundle $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$, такой, что связанный $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$-бандл - это $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, вплоть до изоморфизма. Более конкретно, это спрашивает, могут ли данные перехода для $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$последовательно записываться со значениями в $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$. Другими словами, мы просим идентифицировать изображение связанного отображения связки (которое на самом деле является функтором ).

Примеры сокращения

Примеры для векторных пучков включают: введение метрики, приводящей к сокращению структурной группы из общей линейной группы GL (n) в ортогональную группу O (n); и существование комплексной структуры на вещественном расслоении, приводящей к редукции структурной группы от действительной общей линейной группы GL (2n, R ) до комплексной общей линейной группы GL (n, C ).

Другим важным случаем является нахождение разложения векторного расслоения V ранга n как суммы Уитни (прямая сумма) подгрупп расслоений ранга k и nk, что приводит к уменьшению структурная группа от GL (n, R ) до GL (k, R ) × GL (nk, R ).

Можно также выразить условие для слоения, которое должно быть определено как сокращение касательного пучка до подгруппы блочных матриц - но здесь сокращение является только необходимое условие, при наличии условия интегрируемости, чтобы применима теорема Фробениуса.

• Spinor bundle

• Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-00548-6.
• Хусемоллер, Дейл (1994). Пучки волокна (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94087-8.
• Шарп Р. У. (1997). Дифференциальная геометрия: Обобщение Картана программы Эрлангена Клейна. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9.