Spinor bundle

редактировать

В дифференциальной геометрии с учетом спиновой структуры на $n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерном ориентируемом римановом многообразии $(M, g), {\ displaystyle (M, g), \, }$ $(M, g), \,$ каждый определяет спинорное расслоение как комплексное векторное расслоение $π S: S → M {\ displaystyle \ pi _ {\ mathbf {S }} \ двоеточие {\ mathbf {S}} \ to M \,}$ $\ pi _ {{{\ mathbf S}}} \ двоеточие {{\ mathbf S}} \ to M \,$ , связанный с соответствующим основным пучком $π P: P → M {\ displaystyle \ pi _ {\ mathbf {P}} \ Colon {\ mathbf {P}} \ to M \,}$ $\ pi _ { {{\ mathbf P}}} \ двоеточие {{\ mathbf P}} \ to M \,$ кадров вращения на $M {\ displ aystyle M}$ $M$ и спиновое представление его структурной группы $S pin (n) {\ displaystyle {\ mathrm {Spin}} (n) \,}$ ${{\ mathrm {Spin}}} (n) \,$ на пространстве спиноров $Δ n. {\ displaystyle \ Delta _ {n}. \,}$ $\ Delta _ {n}. \,$ .

Раздел спинорного пучка $S {\ displaystyle {\ mathbf {S}} \,}$ ${{\ mathbf S}} \,$ называется спинорным полем.

Содержание

1 Формальное определение
2 См. также
3 Примечания
4 Дополнительная литература

Формальное определение

Пусть $(P, FP) {\ displaystyle ({\ mathbf {P}}, F _ {\ mathbf {P}})}$ $({{\ mathbf P}}, F _ {{{\ mathbf P}}})$ будет спиновой структурой на Риманово многообразие $(M, g), {\ displaystyle (M, g), \,}$ $(M, g), \,$ то есть эквивариантное поднятие ориентированного ортонормированный пучок кадров $FSO (M) → M {\ displaystyle \ mathrm {F} _ {SO} (M) \ to M}$ $\ mathrm F_ {SO} (M) \ to M$ относительно двойного покрытия $ρ: S-контакт (n) → SO (n) {\ displaystyle \ rho \ двоеточие {\ mathrm {Spin}} (n) \ to {\ mathrm {SO}} (n)}$ ${\ displaystyle \ rho \ двоеточие { \ mathrm {Spin}} (n) \ to {\ mathrm {SO}} (n)}$ из специальная ортогональная группа спинорной группой .

спинорное расслоение $S {\ displaystyle {\ mathbf {S}} \,}$ ${{\ mathbf S}} \,$ определяется как комплексное векторное расслоение

S = P × κ Δ n {\ displaystyle {\ mathbf {S}} = {\ math bf {P}} \ times _ {\ kappa} \ Delta _ {n} \,}

{\ mathbf S} = {\ mathbf P} \ times _ {\ kappa} \ Delta_n \,

, связанный со структурой вращения $P {\ displaystyle {\ mathbf {P}}}$ ${{\ mathbf P}}$ через представление вращения $κ: S-контакт (n) → U (Δ n), {\ displaystyle \ kappa \ двоеточие {\ mathrm {Spin}} (n) \ к {\ mathrm {U}} (\ Delta _ {n}), \,}$ $\ kappa \ двоеточие {{\ mathrm {Spin}}} (n) \ to {{\ mathrm U}} (\ Delta _ { n}), \,$ где $U (W) {\ displaystyle {\ mathrm {U}} ({\ mathbf { W}}) \,}$ ${{\ mathrm U}} ({{\ mathbf W}}) \,$ обозначает группу из унитарных операторов, действующих в гильбертовом пространстве $W. {\ displaystyle {\ mathbf {W}}. \,}$ ${{\ mathbf W}}. \,$ Стоит отметить, что представление вращения $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ является верным и унитарное представление группы $S pin (n) {\ displaystyle {\ mathrm {Spin}} (n)}$ ${{\ mathrm {Spin }}} (n)$ .

См. также

Примечания

Дополнительная литература

Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08542-5.
Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2055-1