Представление вращения

редактировать

В математике представления вращения являются частными проективными представлениями ортогональных или специальных ортогональных групп в произвольной размерности и сигнатуре (т. е. включая неопределенные ортогональные группы ). Точнее, они являются представлениями спиновых групп , которые являются двойными покрытиями специальных ортогональных групп. Обычно их изучают над действительными или комплексными числами, но их можно определить и над другими полями .

Элементы спинового представления называются спинорами. Они играют важную роль в физическом описании фермионов, таких как электрон.

. Представления спина могут быть построены несколькими способами, но обычно конструкция включает (возможно, только неявно) выбор максимального изотропного подпространства в векторном представлении группы. Для вещественных чисел это обычно требует использования комплексного представления векторного представления. По этой причине удобно сначала определить представления спина над комплексными числами и получить действительные представления, введя реальные структуры.

Свойства представлений спина зависят тонким образом, от размерности и сигнатуры ортогональной группы. В частности, спиновые представления часто допускают инвариантные билинейные формы, которые можно использовать для встраивания спиновых групп в классические группы Ли. В малых размерностях эти вложения сюръективны и определяют особые изоморфизмы между спиновыми группами и более знакомыми группами Ли; это проясняет свойства спиноров в этих измерениях.

Содержание

1 Установка
2 Комплексные спиновые представления
- 2.1 Изотропные подпространства и корневые системы
- 2.2 Спиновые представления и их веса
- 2.3 Билинейные формы
- 2.4 Симметрия и тензор квадрат
3 Реальные представления
- 3.1 Описание и таблицы
4 Примечания
5 Ссылки

Установка

Пусть V будет конечномерным вещественным или комплексное векторное пространство с невырожденной квадратичной формой Q. (Действительные или комплексные) линейные отображения, сохраняющие Q, образуют ортогональную группу O (V, Q). Компонент идентичности группы называется специальной ортогональной группой SO (V, Q). (Для вещественного V с неопределенной квадратичной формой эта терминология не является стандартной: специальная ортогональная группа обычно определяется как подгруппа с двумя компонентами в этом случае.) До группового изоморфизма, SO (V, Q) имеет уникальное соединенное двойное покрытие, спин-группу Spin (V, Q). Таким образом, существует гомоморфизм группы h: Spin (V, Q) → SO (V, Q), в котором ядро имеет два элемента, обозначенных {1, −1}, где 1 - это идентификационный элемент. Таким образом, элементы группы g и −g группы Spin (V, Q) эквивалентны после гомоморфизма в SO (V, Q); то есть h (g) = h (−g) для любого g из Spin (V, Q).

Группы O (V, Q), SO (V, Q) и Spin (V, Q) все являются группами Ли, и для фиксированных (V, Q) они имеют та же алгебра Ли, so(V, Q). Если V вещественно, то V является вещественным векторным подпространством своей комплексификации VC= V ⊗ RC, и квадратичная форма Q естественным образом продолжается до квадратичной формы Q Cна V C. Это включает SO (V, Q) как подгруппу в SO (V C, Q C), и, следовательно, мы можем реализовать Spin (V, Q) как подгруппу в Spin (V C, Q C). Кроме того, so(VC, Q C) является комплексообразованием so (V, Q).

В сложном случае квадратичные формы определяются однозначно с точностью до изоморфизма размерностью n матрицы V. Конкретно, мы можем предположить V = C и

Q (z 1,…, zn) знак равно z 1 2 + z 2 2 + ⋯ + zn 2. {\ displaystyle Q (z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) = z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + \ cdots + z_ {n} ^ {2}.}

Q(z_{1},\ldots,z_{n})=z_ {1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}.

Соответствующие группы Ли обозначены O (n, C ), SO (n, C ), Spin (n, C ) и их группы Ли. алгебра как так (n, C ).

В реальном случае квадратичные формы определяются с точностью до изоморфизма парой неотрицательных целых чисел (p, q), где n = p + q - размерность V, а p - q - подпись. Конкретно, мы можем предположить V = R и

Q (x 1,…, xn) = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + xp 2 - (xp + 1 2 + ⋯ + xp + q 2). {\ displaystyle Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {p} ^ {2} - ( x_ {p + 1} ^ {2} + \ cdots + x_ {p + q} ^ {2}).}

{\ displaystyle Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ { p} ^ {2} - (x_ {p + 1} ^ {2} + \ cdots + x_ {p + q} ^ {2}).}

Соответствующие группы Ли и алгебра Ли обозначаются O (p, q), SO (p, q), Spin (p, q) и so (p, q). Мы пишем R вместо R, чтобы сделать подпись явной.

Представления спина в некотором смысле являются простейшими представлениями Spin (n, C ) и Spin (p, q), которые не происходят из представлений из SO (n, C ) и SO (p, q). Следовательно, спиновое представление - это вещественное или комплексное векторное пространство S вместе с гомоморфизмом групп ρ из Spin (n, C ) или Spin (p, q) в общую линейную группу GL (S) такая, что элемент −1 не входит в ядро ρ.

Если S является таким представлением, то, согласно соотношению между группами Ли и алгебрами Ли, оно индуцирует представление алгебры Ли, т. Е. гомоморфизм алгебр Ли от so (n, C) или so (p, q) до алгебры Ли gl (S) эндоморфизмов S с коммутаторной скобкой .

Спиновые представления могут быть проанализированы согласно следующей стратегии: если S - вещественное спиновое представление Spin (p, q), то его комплексификация является комплексным спиновым представлением Spin (p, q); как представление so (p, q), поэтому оно расширяется до комплексного представления so (n, C ). Действуя в обратном порядке, мы сначала строим представления сложных спинов для Spin (n, C ) и so (n, C ), а затем ограничиваем их сложным спином представления so (p, q) и Spin (p, q), а затем, наконец, проанализируйте возможные сокращения до реальных представлений спина.

Сложные спиновые представления

Пусть V = C со стандартной квадратичной формой Q, так что

s o (V, Q) = s o (n, C). {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (V, Q) = {\ mathfrak {so}} (n, \ mathbb {C}).}

{\mathfrak {so}}(V,Q)={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C}).

симметричная билинейная форма на V, связанном к Q через поляризация обозначается ⟨.,.⟩.

Изотропные подпространства и корневые системы

Стандартное построение спиновых представлений so (n, C ) начинается с выбора пары (W, W) максимальных вполне изотропных подпространств (относительно Q) в V с W ∩ W = 0. Сделаем такой выбор. Если n = 2m или n = 2m + 1, то W и W имеют размерность m. Если n = 2m, то V = W ⊕ W, а если n = 2m + 1, то V = W ⊕ U ⊕ W, где U - одномерное ортогональное дополнение к W ⊕ W. Билинейная форма ⟨.,. ⟩, Связанный с Q, индуцирует спаривание между W и W, которое должно быть невырожденным, потому что W и W являются полностью изотропными подпространствами, а Q невырожденным. Следовательно, W и W являются двойными векторными пространствами.

Более конкретно, пусть a 1,… a m является базисом для W. Тогда существует единственный базис α 1,... α m из W такое, что

⟨α i, aj⟩ = δ ij. {\ displaystyle \ langle \ alpha _ {i}, a_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}.}

\langle \alpha _{i},a_{j}\rangle =\delta _{ij}.

Если A - матрица размера m × m, то A индуцирует эндоморфизм W относительно этой матрицы. базис и транспонирование A индуцирует преобразование W с

⟨A w, w ∗⟩ = ⟨w, AT w ∗⟩ {\ displaystyle \ langle Aw, w ^ {*} \ rangle = \ langle w, A ^ {\ mathrm {T}} w ^ {*} \ rangle}

\langle Aw,w^{*}\rangle =\langle w,A^{\mathrm {T} }w^{*}\rangle

для всех w в W и w в W. Отсюда следует, что эндоморфизм ρ A V, равный A на W, −A на W и ноль на U (если n нечетное), перекос,

⟨ρ A u, v⟩ = - ⟨u, ρ A v⟩ {\ displaystyle \ langle \ rho _ {A} u, v \ rangle = - \ langle u, \ rho _ {A} v \ rangle}

\langle \rho _{A}u,v\rangle =-\langle u,\rho _{A}v\rangle

для всех u, v в V, и, следовательно (см. классическая группа ) элемент, поэтому (n, C ) ⊂ End (V).

Использование диагональных матриц в этой конструкции определяет подалгебру Картана hв, поэтому (n, C ): rank из, поэтому (n, C ) равно m, а диагональные матрицы n × n определяют m-мерную абелеву подалгебру.

Пусть ε 1,… ε m будет базисом h так, что для диагональной матрицы A, ε k(ρA) является k-м диагональным элементом A. Очевидно, что это основа для h . Поскольку билинейная форма идентифицирует so (n, C ) с $∧ 2 V {\ displaystyle \ wedge ^ {2} V}$ $\wedge ^{2}V$ , явно,

x ∧ y ↦ φ x ∧ y, φ x ∧ y (v) = 2 (⟨y, v⟩ x - ⟨x, v⟩ y), x ∧ y ∈ ∧ 2 V, x, y, v ∈ В, φ Икс ∧ Y ∈ так (N, С), {\ Displaystyle х \ клин у \ mapsto \ varphi _ {х \ клин у}, \ quad \ varphi _ {х \ клин у} (v) = 2 (\ langle y, v \ rangle x- \ langle x, v \ rangle y), \ quad x \ wedge y \ in \ wedge ^ {2} V, \ quad x, y, v \ in V, \ quad \ varphi _ {x \ wedge y} \ in {\ mathfrak {so}} (n, \ mathbb {C}),}

x\wedge y\mapsto \varphi _{x\wedge y},\quad \varphi _{x\wedge y}(v)=2(\langle y,v\rangle x-\langle x,v\rangle y),\quad x\wedge y\in \wedge ^{2}V,\quad x,y,v\in V,\quad \varphi _{x\wedge y}\in {\mathfrak {so}} (n,\mathbb {C}),

теперь легко построить корневую систему, связанную с ч . корневые пространства (одновременные собственные пространства для действия h ) охватываются следующими элементами:

ai ∧ aj, i ≠ j, {\ displaystyle a_ {i} \ клин a_ {j}, \; i \ neq j,}

a_{i}\wedge a_{j},\;i\neq j,

с корнем (одновременное собственное значение)

ε i + ε j {\ displaystyle \ varepsilon _ {i} + \ varepsilon _ {j}}

\ varepsilon _ {i} + \ varepsilon _ { j}

ai ∧ α j {\ displaystyle a_ {i} \ wedge \ alpha _ {j}}

a_{i}\wedge \alpha _{j}

(который находится в h, если i = к) с корнем

ε я - ε j {\ displaystyle \ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {j}}

\varepsilon _{i}-\varepsilon _{j}

α я ∧ α j, я ≠ j, {\ displaystyle \ alpha _ {i } \ wedge \ alpha _ {j}, \; i \ neq j,}

\alpha _{i}\wedge \alpha _{j},\;i\neq j,

с корнем

- ε i - ε j, {\ displaystyle - \ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {j},}

- \ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {j},

и, если n нечетное, а u является ненулевым элементом U,

ai ∧ u, {\ displaystyle a_ {i} \ wedge u,}

a_{i}\wedge u,

с корень

ε я {\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}

\ varepsilon _ {i}

α я ∧ u, {\ displaystyle \ alpha _ {i} \ wedge u,}

\alpha _{i}\wedge u,

с корнем

- е я. {\ displaystyle - \ varepsilon _ {i}.}

-\varepsilon _{i}.

Таким образом, по отношению к базису ε 1,… ε m корнями являются векторы в h, которые представляют собой перестановки

(± 1, ± 1, 0, 0,…, 0) {\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0,0, \ dots, 0)}

(\pm 1,\pm 1,0,0,\dots,0)

вместе с перестановками

(± 1, 0, 0,…, 0) {\ displaystyle (\ pm 1,0,0, \ dots, 0)}

(\pm 1,0,0,\dots,0)

, если n = 2m + 1 нечетно.

Система положительных корней задается формулами ε i + ε j (i ≠ j), ε i - ε j (i < j) and (for n odd) εi. Соответствующие простые корни равны

ε 1 - ε 2, ε 2 - ε 3,…, ε m - 1 - ε м, {ε м - 1 + ε mn = 2 м ε mn = 2 м + 1. {\ displaystyle \ varepsilon _ {1} - \ varepsilon _ {2}, \ varepsilon _ {2} - \ varepsilon _ {3}, \ ldots, \ varepsilon _ {m-1} - \ varepsilon _ {m}, \ left \ {{\ begin {matrix} \ varepsilon _ {m-1} + \ varepsilon _ {m} n = 2m \\\ varepsilon _ {m} n = 2m + 1. \ end {matrix}} \ right.}

\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2},\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3},\ldots,\varepsilon _{m-1}-\varepsilon _{m},\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{m-1}+\varepsilon _{m}n=2m\\\varepsilon _{m}n=2m+1.\end{matrix}}\right.

Положительные корни - это неотрицательные целочисленные линейные комбинации простых корней.

Spin представления и их веса

Одна конструкция спиновых представлений, поэтому (n, C ) использует внешнюю алгебру (s)

S = ∧ ∙ W {\ displaystyle S = \ wedge ^ {\ bullet} W}

S=\wedge ^{\bullet }W

и / или

S ′ = ∧ ∙ W ∗. {\ Displaystyle S '= \ wedge ^ { \ bullet} W ^ {*}.}

S'=\wedge ^{\bullet }W^{*}.

Существует действие V на S такое, что для любого элемента v = w + w в W ⊕ W и любого ψ в S действие дается выражением:

v ⋅ ​​ψ = 2 1 2 (w ∧ ψ + ι (w ∗) ψ), {\ displaystyle v \ cdot \ psi = 2 ^ {\ frac {1} {2}} (w \ wedge \ psi + \ iota (w ^ {*}) \ psi),}

v\cdot \psi =2^{\frac {1}{2}}(w\wedge \psi +\iota (w^{*})\psi),

где второй член представляет собой сжатие (внутреннее умножение ), определенное с использованием билинейной формы, которая объединяет W и W Это действие соблюдает отношения Клиффорда v = Q (v) 1 и, таким образом, индуцирует гомоморфизм из алгебры Клиффорда ClnCV в конец (S). Аналогичное действие может быть определено на S ′, так что и S, и S ′ являются модулями Клиффорда.

Алгебра Ли, поэтому (n, C ) изоморфна комплексифицированная алгебра Ли спин nв Cl nCчерез отображение, индуцированное накрытием Spin (n) → SO (n)

v ∧ w ↦ 1 4 [v, w]. {\ displaystyle v \ wedge w \ mapsto {\ tfrac {1} {4}} [v, w].}

v\wedge w\mapsto {\tfrac {1}{4}}[v,w].

Отсюда следует, что и S, и S 'являются представлениями, поэтому (n, С ). На самом деле они являются эквивалентными представлениями, поэтому мы сосредотачиваемся на S.

Явное описание показывает, что элементы α i ∧ a i Подалгебра Картана h действует на S следующим образом:

(α i ∧ ai) ⋅ ψ = 1 4 (2 1 2) 2 (ι (α i) (ai ∧ ψ) - ai ∧ (ι ( α i) ψ)) = 1 2 ψ - ai ∧ (ι (α i) ψ). {\ Displaystyle (\ альфа _ {я} \ клин а_ {я}) \ cdot \ psi = {\ tfrac {1} {4}} (2 ^ {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} (\ iota (\ alpha _ {i}) (a_ {i} \ wedge \ psi) -a_ {i} \ wedge (\ iota (\ alpha _ {i}) \ psi)) = {\ tfrac {1} {2}} \ psi -a_ {i} \ wedge (\ iota (\ alpha _ {i}) \ psi).}

(\alpha _{i}\wedge a_{i})\cdot \psi ={\tfrac {1}{4}}(2^{\tfrac {1}{2}})^{2}(\iota (\alpha _{i})(a_{i}\wedge \psi)-a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi))={\tfrac {1}{2}}\psi -a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi).

Базис для S задается элементами вида

ai 1 ∧ ai 2 ∧ ⋯ ∧ aik {\ displaystyle a_ {i_ {1}} \ wedge a_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge a_ {i_ {k}}}

a_ {i_ {1}} \ wedge a_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge a_ {i_ {k}}

для 0 ≤ k ≤ m и i 1<... < ik. Они явно охватывают весовые пространства для действия h : α i ∧ a i имеет собственное значение −1/2 на данном основании вектор, если i = i j для некоторого j, и имеет собственное значение 1/2 в противном случае.

Отсюда следует, что веса для S представляют собой все возможные комбинации

(± 1 2, ± 1 2,… ± 1 2) {\ displaystyle {\ bigl (} \ pm {\ tfrac {1} {2}}, \ pm {\ tfrac {1} {2}}, \ ldots \ pm {\ tfrac {1} {2}} {\ bigr)}}

{\bigl (}\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\ldots \pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr)}

и каждый весовое пространство одномерное. Элементы S называются спинорами Дирака.

Когда n четно, S не является неприводимым представлением : $S + = ∧ even W {\ displaystyle S _ {+} = \ wedge ^ {\ mathrm {even}} W}$ $S _ {+} = \ wedge ^ {\ mathrm {even}} W$ и $S - = ∧ odd W {\ displaystyle S _ {-} = \ wedge ^ {\ mathrm {odd}} W}$ $S_{-}=\wedge ^{\mathrm {odd} }W$ - инвариантные подпространства. Веса делятся на веса с четным числом знаков минус и веса с нечетным числом знаков минус. И S +, и S - являются неприводимыми представлениями размерности 2, элементы которых называются спинорами Вейля. Они также известны как представления хирального спина или представления полспина. По отношению к положительной корневой системе, приведенной выше, наивысшие веса для S + и S - равны

(1 2, 1 2,… 1 2, 1 2) {\ displaystyle {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}, \ ldots {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}} {\ bigr)}}

{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}}, {\tfrac {1}{2}}{\bigr)}

(1 2, 1 2,… 1 2, - 1 2) {\ displaystyle {\ bigl (} {\ tfrac { 1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}, \ ldots {\ tfrac {1} {2}}, - {\ tfrac {1} {2}} {\ bigr)}}

{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}{\bigr)}

соответственно. Действие Клиффорда отождествляет Cl nCс End (S), а четная подалгебра отождествляется с эндоморфизмами, сохраняющими S + и S -. Другой модуль Клиффорда S 'в этом случае изоморфен S.

Когда n нечетно, S является неприводимым представлением, поэтому (n, C ) размерности 2: действие Клиффорда единичного вектора u ∈ U равно задано

и ⋅ ψ = {ψ, если ψ ∈ ∧, четное W - ψ, если ψ ∈ ∧ нечетное W {\ Displaystyle u \ cdot \ psi = \ left \ {{\ begin {matrix} \ psi {\ hbox {if}} \ psi \ in \ wedge ^ {\ mathrm {even}} W \\ - \ psi {\ hbox {if}} \ psi \ in \ wedge ^ {\ mathrm {odd}} W \ end { matrix}} \ right.}

u\cdot \psi =\left\{{\begin{matrix}\psi {\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {even} }W\\-\psi {\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {odd} }W\end{matrix}}\right.

и поэтому элементы so (n, C ) в форме u∧w или u∧w не сохраняют четную и нечетную части внешней алгебры W. Старший вес S равен

(1 2, 1 2,… 1 2). {\ displaystyle {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}, \ ldots {\ tfrac {1} {2}} {\ bigr)}.}

{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1 }{2}}{\bigr)}.

Действие Клиффорда неверно на S: Cl nCможно отождествить с End (S) ⊕ End (S ′), где u действует с противоположным знаком на S ′. Точнее, эти два представления связаны инволюцией четности α алгебры Cl nC(также известной как главный автоморфизм), которая является тождеством на четной подалгебре, и минус тождество нечетной части Cl nC. Другими словами, существует линейный изоморфизм от S к S ′, который отождествляет действие A в Cl nCна S с действием α (A) на S ′.

Билинейная форма

, если λ - вес S, то есть −λ. Отсюда следует, что S изоморфна дуальному представлению S.

Когда n = 2m + 1 нечетно, изоморфизм B: S → S единственен с точностью до масштаба по лемме Шура, поскольку S неприводима, и он определяет невырожденную инвариантную билинейную форму β на S через

β (φ, ψ) = B (φ) (ψ). {\ displaystyle \ beta (\ varphi, \ psi) = B (\ varphi) (\ psi).}

\ beta (\ varphi, \ psi) = B (\ varphi) (\ psi).

Здесь инвариантность означает, что

β (ξ ⋅ φ, ψ) + β (φ, ξ ⋅ ψ) = 0 {\ displaystyle \ beta (\ xi \ cdot \ varphi, \ psi) + \ beta (\ varphi, \ xi \ cdot \ psi) = 0}

\beta (\xi \cdot \varphi,\psi)+\beta (\varphi,\xi \cdot \psi)=0

для всех ξ в, поэтому (n, C ) и φ, ψ в S - другими словами, действие ξ скошено относительно β. На самом деле, верно и другое: S является представлением противоположной алгебры Клиффорда, и поэтому, поскольку Cl nCимеет только два нетривиальных простых модуля S и S ', связанных соотношением инволюция четности α, существует антиавтоморфизм τ группы Cl nCтакой, что

β (A ⋅ φ, ψ) = β (φ, τ (A) ⋅ ψ) (1) { \ displaystyle \ quad \ beta (A \ cdot \ varphi, \ psi) = \ beta (\ varphi, \ tau (A) \ cdot \ psi) \ qquad (1)}

\ quad \ beta (A \ cdot \ варп привет, \ psi) = \ beta (\ varphi, \ tau (A) \ cdot \ psi) \ qquad (1)

для любого A в Cl nC. Фактически τ - это реверсия (антиавтоморфизм, индуцированный тождеством на V) для четного m и сопряжение (антиавтоморфизм, индуцированный минусом тождества на V) для нечетного m. Эти два антиавтоморфизма связаны инволюцией четности α, которая является автоморфизмом, индуцированным минус единицей на V. Оба удовлетворяют τ (ξ) = −ξ для ξ в, поэтому (n, C ).

Когда n = 2m, ситуация более чувствительно зависит от четности m. При четном m вес λ имеет четное число знаков минус тогда и только тогда, когда −λ имеет; отсюда следует, что существуют отдельные изоморфизмы B ± : S ± → S ± каждого полусинового представления с его двойником, каждый из которых определяется однозначно с точностью до масштаба. Их можно объединить в изоморфизм B: S → S. Для нечетного m λ является весом S + тогда и только тогда, когда −λ является весом S - ; таким образом, существует изоморфизм от S + к S -, снова уникальный до масштаба, и его транспонирование обеспечивает изоморфизм от S - на S +. Они снова могут быть объединены в изоморфизм B: S → S.

Как для четных, так и для нечетных m свобода выбора B может быть ограничена общим масштабом, настаивая на том, что билинейная форма β соответствует к B удовлетворяет (1), где τ - фиксированный антиавтоморфизм (либо реверсия, либо сопряжение).

Симметрия и тензорный квадрат

Свойства симметрии β: S ⊗ S → C могут быть определены с помощью алгебр Клиффорда или теории представлений. Фактически можно сказать гораздо больше: тензорный квадрат S ⊗ S должен разлагаться в прямую сумму k-форм на V для различных k, потому что все его веса - это элементы из h, компоненты которых принадлежат {- 1,0,1}. Теперь эквивариантные линейные отображения S ⊗ S → ∧V биективно соответствуют инвариантным отображениям ∧V ⊗ S ⊗ S → C, и ненулевые такие отображения могут быть построены путем включения ∧V в Алгебра Клиффорда. Кроме того, если β (φ, ψ) = ε β (ψ, φ) и τ имеет знак ε k на ∧V, то

β (A ⋅ φ, ψ) = ε ε k β ( A ⋅ ψ, φ) {\ displaystyle \ beta (A \ cdot \ varphi, \ psi) = \ varepsilon \ varepsilon _ {k} \ beta (A \ cdot \ psi, \ varphi)}

\ beta (A \ cdot \ varphi, \ psi) = \ varepsilon \ varepsilon _ {k} \ beta (A \ cdot \ psi, \ varphi)

для A в ∧ В.

Если n = 2m + 1 нечетно, то из леммы Шура следует, что

S ⊗ S ≅ ⨁ j = 0 m ∧ 2 j V ∗ {\ displaystyle S \ otimes S \ cong \ bigoplus _ {j = 0} ^ {m} \ wedge ^ {2j} V ^ {*}}

S\otimes S\cong \bigoplus _{j=0}^{m}\wedge ^{2j}V^{*}

(обе стороны имеют размерность 2, а представления справа неэквивалентны). Поскольку симметрии регулируются инволюцией τ, которая является либо сопряжением, либо реверсией, симметрия компонента ∧V чередуется с j. Элементарная комбинаторика дает

∑ j = 0 m (- 1) j dim ∧ 2 j C 2 m + 1 = (- 1) 1 2 m (m + 1) 2 m = (- 1) 1 2 m (m + 1) (тусклый ⁡ S 2 S - тусклый ∧ 2 S) {\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {m} (- 1) ^ {j} \ dim \ wedge ^ {2j} \ mathbb {C } ^ {2m + 1} = (- 1) ^ {{\ frac {1} {2}} m (m + 1)} 2 ^ {m} = (- 1) ^ {{\ frac {1} { 2}} m (m + 1)} (\ dim \ mathrm {S} ^ {2} S- \ dim \ wedge ^ {2} S)}

\sum _{j=0}^{m}(-1)^{j}\dim \wedge ^{2j}\mathbb {C} ^{2m+1}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}2^{m}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}(\dim \mathrm {S} ^{2}S-\dim \wedge ^{2}S)

и знак определяет, какие представления встречаются в SS, а какие - в ∧S. В частности,

β (ϕ, ψ) = (- 1) 1 2 m (m + 1) β (ψ, ϕ), {\ displaystyle \ beta (\ phi, \ psi) = (- 1) ^ { {\ frac {1} {2}} m (m + 1)} \ beta (\ psi, \ phi),}

\ beta (\ phi, \ psi) = (- 1) ^ {{\ frac {1} {2}} m ( m + 1)} \ beta (\ psi, \ phi),

β (v ⋅ ϕ, ψ) = (- 1) м (- 1) 1 2 м (м + 1) β (v ⋅ ψ, ϕ) = (- 1) м β (ϕ, v ⋅ ψ) {\ Displaystyle \ бета (v \ cdot \ phi, \ psi) = (- 1) ^ {m} (- 1) ^ {{\ frac {1} {2}} m (m + 1)} \ beta (v \ cdot \ psi, \ phi) = (- 1) ^ {m} \ beta (\ phi, v \ cdot \ psi)}

\beta (v\cdot \phi,\psi)=(-1)^{m}(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (v\cdot \psi,\phi)=(-1)^{m}\beta (\phi,v\cdot \psi)

для v ∈ V (который изоморфен ∧V), подтверждая, что τ - обращение для четного m и сопряжение для нечетного m.

Если n = 2m четное, тогда анализ более сложен, но в результате получается более точное разложение: SS ±, ∧S ± и S + ⊗ S - каждая может быть разложена как прямая сумма k-форм (где для k = m происходит дальнейшее разложение на самодуальные и антисамодуальные m-формы).

Основным результатом является реализация so (n, C ) как подалгебры классической алгебры Ли на S, в зависимости от n по модулю 8, согласно следующая таблица:

n mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Спинорная алгебра	$so (S +) ⊕ so (S -) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (S _ {+}) \ oplus {\ mathfrak {так}} (S _ {-})}$ ${\ mathfrak {so}} (S _ {+}) \ oplus {\ mathfrak {so}} (S _ {-})$	$так (S) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (S)}$ ${\ mathfrak {so}} (S)$	$gl (S ±) {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (S _ {\ pm})}$ ${\ mathfrak {gl}} (S _ {\ pm})$	$sp (S) {\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} (S)}$ ${\mathfrak {sp}}(S)$	$sp (S +) ⊕ sp (S -) {\ displaystyle {\ mathfrak { sp}} (S _ {+}) \ oplus {\ mathfrak {sp}} (S _ {-})}$ ${\mathfrak {sp}}(S_{+})\oplus {\mathfrak {sp}}(S_{-})$	$sp (S) {\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} (S)}$ ${\mathfrak {sp}}(S)$	$gl (S ±) {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (S _ {\ pm})}$ ${\ mathfrak {gl}} (S _ {\ pm})$	$так (S) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (S)}$ ${\ mathfrak {so}} (S)$

для n ≤ 6, эти вложения являются изоморфизмами (на sl, а не на gl для n = 6):

so (2, C) ≅ gl (1, C) (= C) { \ Displaystyle {\ mathfrak {so}} (2, \ mathbb {C}) \ cong {\ mathfrak {gl}} (1, \ mathbb {C}) \ qquad (= \ mathbb {C})}

{\mathfrak {so}}(2,\mathbb {C})\cong {\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C})\ qquad (=\mathbb {C})

так (3, C) ≅ sp (2, C) (= sl (2, C)) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3, \ mathbb {C}) \ cong {\ mathfrak {sp} } (2, \ mathbb {C}) \ qquad (= {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C}))}

{\mathfrak {so}}(3,\mathbb {C})\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C})\qquad (={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}))

поэтому (4, C) ≅ sp (2, C) ⊕ sp (2, С) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (4, \ mathbb {C}) \ cong {\ mathfrak {sp}} (2, \ mathbb {C}) \ oplus {\ mathfrak {sp} } (2, \ mathbb {C})}

{\mathfrak {so}}(4,\mathbb {C})\cong {\mathfrak {sp}}(2,\ mathbb {C})\oplus {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C})

так (5, C) ≅ sp (4, C) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (5, \ mathbb {C}) \ cong {\ mathfrak {sp}} (4, \ mathbb {C})}

{\mathfrak {so}}(5,\mathbb {C})\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {C})

так что (6, C) ≅ sl (4, C). {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (6, \ mathbb {C}) \ cong {\ mathfrak {sl}} (4, \ mathbb {C}).}

{\mathfrak {so}}(6,\mathbb {C})\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {C}).

Реальные представления

Комплексные спиновые представления so (n, C ) дают действительные представления S для so (p, q), ограничивая действие действительными подалгебрами. Однако существуют дополнительные структуры «реальности», которые инвариантны относительно действия реальных алгебр Ли. Они бывают трех типов.

Существует инвариантное комплексное антилинейное отображение r: S → S с r = id S. Множество неподвижных точек r тогда является вещественным векторным подпространством S Rпространства S с S R⊗ C= S. Это называется вещественной структурой .
Существует инвариантное комплексное антилинейное отображение j: S → S с j = −id S. Отсюда следует, что тройка i, j и k: = ij превращает S в кватернионное векторное пространство S H. Это называется кватернионной структурой .
Существует инвариантное комплексное антилинейное отображение b: S → S, которое является обратимым. Это определяет псевдогермитову билинейную форму на S и называется эрмитовой структурой .

Тип структуры, инвариантной относительно, поэтому (p, q) зависит только от сигнатуры p - q по модулю 8, и приведено в следующей таблице.

p − q mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Структура	R+ R	R	C	H	H+ H	H	C	R

Здесь R, Cи H обозначают реальную, эрмитову и кватернионную структуру соответственно, а R+ Rи H+ Hуказывают, что полувращение оба представления допускают действительные или кватернионные структуры соответственно.

Описание и таблицы

Чтобы завершить описание реального представления, мы должны описать, как эти структуры взаимодействуют с инвариантными билинейными формами. Поскольку n = p + q ≅ p - q mod 2, возможны два случая: размерность и сигнатура четные, а размерность и сигнатура нечетные.

Нечетный случай проще, существует только одно комплексное спиновое представление S, и эрмитовы структуры не встречаются. За исключением тривиального случая n = 1, S всегда четномерно, скажем, dim S = 2N. Реальные формы so (2N, C ): so (K, L) с K + L = 2N и so ( N, H ), в то время как действительными формами sp (2N, C ) являются sp (2N, R ) и sp (K, L) с K + L = N. Наличие действия Клиффорда V на S вынуждает K = L в обоих случаях, если pq = 0, и в этом случае KL = 0, который обозначается просто so (2N) или sp (N). Следовательно, представления нечетных спинов можно суммировать в следующей таблице.

	n по модулю 8	1, 7	3, 5
pq по модулю 8		so(2N, C)	sp(2N, C)
1, 7	R	so(N, N) или, поэтому (2N)	sp(2N, R)
3, 5	H	so(N, H)	sp(N / 2, N / 2) или sp (N)

(†) N четно для n>3, а для n = 3 это sp (1).

Четно-размерное случай аналогичен. Для n>2 комплексные полусиновые представления четномерны. Мы должны дополнительно иметь дело с эрмитовыми структурами и действительными формами sl (2N, C ), которые являются sl (2N, R ), su (K, L) с K + L = 2N и sl (N, H ). Результирующие представления четного спина резюмируются следующим образом.

	n mod 8	0	2, 6	4
pq mod 8		so(2N, C)+so( 2N, C)	sl(2N, C)	sp(2N, C)+sp(2N, C)
0	R+R	so(N, N) + ), поэтому (N, N)	sl(2N, R)	sp(2N, R)+sp(2N, R)
2, 6	C	so(2N, C)	su(N, N)	sp(2N, C)
4	H+H	so(N, H)+so(N, H)	sl) (N, H)	sp(N / 2, N / 2) + sp (N / 2, N / 2)

(*) Для pq = 0 вместо этого мы имеем, поэтому (2N) +, поэтому (2N)

(†) N четно для n>4 и для pq = 0 (что включает n = 4 с N = 1), вместо этого мы имеем sp (N) + sp (N)

Низкоразмерные изоморфизмы в сложном случае имеют следующие реальные формы.

Евклидова подпись	Подпись Минковского	Другие подписи
$so (2) ≅ u (1) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (2) \ cong {\ mathfrak {u}} (1)}$ ${\mathfrak {so}}(2)\cong {\mathfrak {u}}(1)$	$так (1, 1) ≅ R {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (1,1) \ cong \ mathbb {R}}$ ${\mathfrak {so}}(1,1)\cong \mathbb {R}$
$так (3) ≅ sp (1) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3) \ cong {\ mathfrak {sp}} (1)}$ ${\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {sp}}(1)$	$so (2, 1) ≅ sl (2, R) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (2,1) \ cong {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {R})}$ ${\mathfrak {so}}(2,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R})$
$так (4) ≅ sp (1) ⊕ sp (1) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (4) \ cong {\ mathfrak {sp}} (1) \ oplus {\ mathfrak {sp}} (1)}$ ${\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {sp}}(1)\oplus {\mathfrak {sp} }(1)$	$so (3, 1) ≅ sl (2, C) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3,1) \ cong {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$ ${\mathfrak {so}}(3,1)\cong {\mathfrak {sl}} (2,\mathbb {C})$	$так (2, 2) ≅ sl (2, R) ⊕ sl (2, R) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (2,2) \ cong {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {R}) \ oplus {\ mathfrak {sl} } (2, \ mathbb {R})}$ ${\mathfrak {so}}(2,2)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R})\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R})$
$так (5) ≅ sp (2) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (5) \ cong {\ mathfrak {sp}} (2)}$ ${\mathfrak {so}}(5)\cong {\mathfrak {sp}}(2)$	$так (4, 1) ≅ sp (1, 1) {\ displaystyle {\ mathfrak {s о}} (4,1) \ cong {\ mathfrak {sp}} (1,1)}$ ${\mathfrak {so}}(4,1)\cong {\mathfrak {s p}}(1,1)$	$так (3, 2) ≅ sp (4, R) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} ( 3,2) \ cong {\ mathfrak {sp}} (4, \ mathbb {R})}$ ${\mathfrak {so}}(3,2)\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R})$
$так (6) ≅ су (4) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (6) \ cong {\ mathfrak {su}} (4)}$ ${\mathfrak {so}}(6)\cong {\mathfrak {su}}(4)$	$так (5, 1) ≅ sl (2, H) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (5,1) \ cong {\ mathfrak {sl} } (2, \ mathbb {H})}$ ${\mathfrak {so}}(5,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {H})$	$так (4, 2) ≅ су (2, 2) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (4,2) \ cong {\ mathfrak {su} } (2,2)}$ ${\mathfrak {so}}(4,2)\cong {\mathfrak {su}}(2,2)$	$так (3, 3) ≅ sl (4, R) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3,3) \ cong {\ mathfrak {sl}} (4, \ mathbb {R})}$ ${\mathfrak {so}}(3,3)\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R})$

В этой таблице отсутствуют только особые изоморфизмы вещественных алгебр Ли: $so ∗ (3, H) ≅ su (3, 1) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} ^ {*} (3, \ mathbb {H}) \ cong {\ mathfrak {su}} (3,1)}$ ${\mathfrak {so}}^{*}(3,\mathbb {H})\cong {\mathfrak {su}}(3,1)$ и $so ∗ (4, H) ≅ so (6, 2). {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} ^ {*} (4, \ mathbb {H}) \ cong {\ mathfrak {so}} (6,2).}$ ${\mathfrak {so}}^{*}(4,\mathbb {H})\cong {\mathfrak {so}}(6,2).$

Примечания

Ссылки

Брауэр, Ричард ; Вейл, Герман (1935), «Спиноры в n измерениях», Американский журнал математики, Американский журнал математики, Vol. 57, № 2, 57 (2): 425–449, doi : 10.2307 / 2371218, JSTOR 2371218.
Картан, Эли (1966), Теория спиноров, Пэрис, Герман (перепечатано в 1981 г., Dover Publications), ISBN 978-0-486-64070-9.
Chevalley, Claude (1954), Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда, Columbia University Press (перепечатано в 1996 г., Springer), ISBN 978-3-540-57063-9.
Делинь, Пьер (1999), «Заметки о спинорах», в П. Делинье; П. Этингоф; Д. С. Фрид; Л. С. Джеффри; Д. Каждан; Дж. У. Морган; Д. Р. Моррисон; Э. Виттен (ред.), Квантовые поля и струны: курс для математиков, Провиденс: Американское математическое общество, стр. 99–135. См. Также веб-сайт программы для получения предварительной версии.
Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991), Теория представлений. Первый курс, Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике, 129, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97495-4, MR 1153249.
Харви, Ф. Риз (1990), Spinors and Calibrations, Academic Press, ISBN 978-0-12-329650 -4.
Лоусон, Х. Блейн ; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry, Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0.
Weyl, Hermann (1946), Классические группы: их инварианты и представления (2-е изд.), Princeton University Press (перепечатано в 1997 г.), ISBN 978-0-691-05756-9.