Войти
В математике, особенно в теории колец, простые модули над кольцом R - это (левые или правые) модули над R, которые ненулевые и не имеют ненулевых собственных подмодулей . Эквивалентно, модуль M является простым тогда и только тогда, когда каждый циклический подмодуль, порожденный ненулевым элементом M, равен M. Простые модули образуют строительные блоки для модулей конечных длина, и они аналогичны простым группам в теории групп.
В этой статье предполагается, что все модули являются правыми унитальными модулями над кольцо R.
Z -модулей такие же, как и абелевы группы, поэтому простой Z -модуль является абелевой группой, не имеющей ненулевых собственных подгрупп. Это циклические группы простого порядка.
Если I является правым идеалом R, то I прост как правый модуль, если и только если I - минимальный ненулевой правый идеал: если M - ненулевой собственный подмодуль I, то он также является правым идеалом, поэтому I не является минимальным. Наоборот, если I не минимален, то существует ненулевой правый идеал J, должным образом содержащийся в I. J - правый подмодуль I, поэтому I не простой.
Если I - правый идеал R, то фактор-модуль R / I прост тогда и только тогда, когда I - максимальный правый идеал: если M - ненулевой собственный подмодуль R / I, то прообраз M при фактор-отображении R → R / I является правым идеалом, который не равен R и который собственно содержит I. Следовательно, I не является максимальным. И наоборот, если I не является максимальным, то существует правый идеал J, правильно содержащий I. Факторное отображение R / I → R / J имеет ненулевое ядро , которое не равно R / I, и поэтому R / I не простой.
Каждый простой R-модуль изоморфен частному R / m, где m - максимальный правый идеал модуля R. Согласно вышеприведенному абзацу, любое частное R / m - простой модуль. Наоборот, предположим, что M - простой R-модуль. Тогда для любого ненулевого элемента x из M циклический подмодуль xR должен быть равен M. Зафиксируем такой x. Утверждение, что xR = M эквивалентно сюръективности гомоморфизма R → M, который переводит r в xr. Ядро этого гомоморфизма является правым идеалом I кольца R, и стандартная теорема утверждает, что M изоморфен R / I. По приведенному выше абзацу мы находим, что I - максимальный правый идеал. Следовательно, M изоморфно факторпространству R по максимальному правому идеалу.
Если k - это поле , а G - группа, то групповое представление группы G является левым модулем над групповое кольцо k [G] (подробности см. на главной странице об этой взаимосвязи ). Простые k [G] модули также известны как неприводимые представления. Основная цель теории представлений - понять неприводимые представления групп.
Простые модули - это в точности модули длины 1; это переформулировка определения.
Каждый простой модуль неразложим, но обратное, как правило, неверно.
Каждый простой модуль является циклическим, то есть генерируется одним элементом.
Не каждый модуль имеет простой подмодуль; рассмотрим, например, Z -модуль Z в свете первого примера выше.
Пусть M и N (левые или правые) модули над одним и тем же кольцом, и пусть f: M → N - гомоморфизм модулей. Если M простой, то f является либо нулевым гомоморфизмом, либо инъективным, потому что ядро f является подмодулем в M. Если N простое, то f является либо нулевым гомоморфизмом, либо сюръективным, поскольку image модуля f является подмодулем модуля N. Если M = N, то f является эндоморфизмом модуля M, а если M простой, то из двух предыдущих утверждений следует, что f является либо нулевым гомоморфизмом или изоморфизм. Следовательно, кольцо эндоморфизмов любого простого модуля является телом. Этот результат известен как лемма Шура.
Обратное утверждение леммы Шура в общем случае неверно. Например, Z -модуль Q не простой, но его кольцо эндоморфизмов изоморфно полю Q.
Если M - модуль, который имеет ненулевой собственный подмодуль N, тогда существует короткая точная последовательность
Обычный подход к доказательству факта о M состоит в том, чтобы показать, что этот факт верен для центрального члена короткой точной последовательности, когда он верен для левого и правого членов, а затем доказать факт для N и M / N. Если N имеет ненулевой собственный подмодуль, то этот процесс можно повторить. Это дает цепочку подмодулей
Чтобы доказать этот факт таким образом, нужны условия на эту последовательность и на модули M i/Mi + 1. Одно особенно полезное условие состоит в том, что длина последовательности конечна и каждый фактор-модуль M i/Mi + 1 является простым. В этом случае последовательность называется композиционным рядом для M. Чтобы доказать утверждение индуктивно с использованием композиционных рядов, утверждение сначала доказывается для простых модулей, которые образуют базовый случай индукции, а затем доказано, что утверждение остается верным при расширении модуля простым модулем. Например, лемма Фиттинга показывает, что кольцо эндоморфизмов конечной длины неразложимого модуля является локальным кольцом, так что сильное Крулля-Шмидта теорема верна, и категория модулей конечной длины является категорией Крулля-Шмидта.
Теорема Джордана-Гёльдера и теорема Шрайера об уточнении описывают взаимосвязь между все композиционные серии одного модуля. Группа Гротендика игнорирует порядок в композиционном ряду и рассматривает каждый модуль конечной длины как формальную сумму простых модулей. Для полупростых колец это не потеря, поскольку каждый модуль является полупростым модулем и, следовательно, прямой суммой простых модулей. Теория обычных символов обеспечивает лучший арифметический контроль и использует простые модули C G для понимания структуры конечных групп G. Теория модульного представления использует символы Брауэра для просмотра модулей как формальных сумм простых модулей, но также интересуется тем, как эти простые модули объединяются в композиционные серии. Это формализуется путем изучения функтора Ext и описания категории модулей различными способами, включая колчаны (узлы которых являются простыми модулями, а ребра - композиционными рядами неполупростых модулей длины 2) и теория Ауслендера – Рейтена, где ассоциированный граф имеет вершину для каждого неразложимого модуля.
Важным достижением в теории простых модулей была теорема Джекобсона о плотности. Теорема плотности Джекобсона гласит:
В частности, любое примитивное кольцо можно рассматривать как (то есть изоморфное) кольцо D-линейных операторов в некотором D-пространстве.
Следствием теоремы плотности Джекобсона является теорема Веддерберна; а именно, что любое правое артиново простое кольцо изоморфно полному кольцу матриц размером n × n над телом для некоторого n. Это также можно установить как следствие теоремы Артина – Веддерберна.
