Модуль Клиффорд

В математике, а Клиффо Модуль rd - это представление алгебры Клиффорда. В общем случае алгебра Клиффорда C является центральной простой алгеброй над некоторым расширением поля L поля K, над которым определена квадратичная форма Q, определяющая C.

абстрактная теория модулей Клиффорда была основана в статье М. Ф. Атия, Р. Ботт и Арнольд С. Шапиро. Фундаментальный результат о модулях Клиффорда состоит в том, что класс эквивалентности Морита алгебры Клиффорда (класс эквивалентности категории модулей Клиффорда над ней) зависит только от сигнатуры p - q (mod 8). Это алгебраическая форма периодичности Ботта.

• 1 Матричные представления действительных алгебр Клиффорда
• 2 Вещественная алгебра Клиффорда R3,1
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Нам нужно будет изучить антикоммутирующие матрицы (AB = −BA), потому что в алгебрах Клиффорда ортогональные векторы антикоммутируют

$A\; \cdot \; B\; =\; 1\; 2\; (\; AB\; +\; BA)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; cdot\; B\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (AB\; +\; BA)\; =\; 0.\}$

Для вещественной алгебры Клиффорда $R\; p,\; q\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{p,\; q\}\}$, нам нужно p + q взаимно антикоммутирующих матриц, из которых p имеет +1 в квадрате, а q имеет -1 в квадрате.

$\gamma \; a\; 2\; =\; +\; 1,\; если\; 1\; \le \; a\; \le \; p,\; \gamma \; a\; 2\; =\; -\; 1,\; если\; p\; +\; 1\; \le \; a\; \le \; p\; +\; q,\; \gamma \; a\; \gamma \; b\; =\; -\; \gamma \; b\; \gamma \; a,\; если\; a\; \ne \; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{a\}\; ^\; \{2\}\; =\; +\; 1\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; 1\; \backslash \; leq\; a\; \backslash \; leq\; p\; \backslash \backslash \backslash \; gamma\; \_\; \{a\}\; ^\; \{2\}\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; p\; +\; 1\; \backslash \; leq\; a\; \backslash \; leq\; p\; +\; q\; \backslash \backslash \backslash \; gamma\; \_\; \{a\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{b\}\; =\; -\; \backslash \; gamma\; \_\; \{b\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{a\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; a\; \backslash \; neq\; b.\; \backslash \; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

Такой базис гамма-матриц не уникален. Всегда можно получить другой набор гамма-матриц, удовлетворяющих той же алгебре Клиффорда, с помощью преобразования подобия.

$\gamma \; a\; \prime \; =\; S\; \gamma \; a\; S\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{a\; \text{'}\}\; =\; S\; \backslash \; gamma\; \_\; \{a\}\; S\; ^\; \{-\; 1\},\}$

где S - неособое число матрица. Множества γ a ′ и γ a принадлежат одному классу эквивалентности.