спинор Дирака

редактировать

Комплексный четырехкомпонентный спинор

В квантовой теории поля, Дирак спинор - это биспинор в решении плоской волны

ψ = ω p → e - ipx {\ displaystyle \ psi = \ omega _ {\ vec {p }} \; e ^ {- ipx} \;}

\ psi = \ omega _ {\ vec {p}} \; e ^ {- ipx} \;

свободного уравнения Дирака,

(i ℏ γ μ ∂ μ - mc) ψ = 0 ⇒ (i γ μ ∂ μ - m) ψ знак равно 0 {\ Displaystyle \ влево (я \ HBAR \ гамма ^ {\ му} \ partial _ {\ mu} -mc \ right) \ psi = 0 \; \ Rightarrow \ left (я \ гамма ^ {\ му} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi = 0 \;}

{\ displaystyle \ left (я \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -mc \ right) \ psi = 0 \; \ Rightarrow \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi = 0 \;}

где (в единицах $c = ℏ = 1 {\ displaystyle c \, = \, \ hbar \, = \, 1}$ ${\ displaystyle c \, = \, \ hbar \, = \, 1}$ )

ψ {\ displaystyle \ psi}

\ psi

- это релятивистское спин-1/2 поле,

ω p → { \ displaystyle \ omega _ {\ vec {p}}}

{\ displaystyle \ omega _ {\ vec {p}}}

- спинор Дирака , связанный с плоской волной с волновым вектором

p → {\ displaystyle {\ vec {p}}}

{\ vec {p} }

px ≡ p μ x μ ≡ E t - p → ⋅ x → {\ displaystyle px \; \ Equiv \; p _ {\ mu} x ^ {\ mu} \; \ Equiv \; Et - {\ vec {p}} \ cdot {\ v ec {x}}}

{\ displaystyle px \; \ Equiv \; p _ {\ mu} x ^ {\ mu} \; \ Equiv \; Et - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {x}} }

p μ = {± m 2 + p → 2, p →} {\ displaystyle p ^ {\ mu} \; = \; \ left \ {\ pm {\ sqrt {m ^ {2} + {\ vec {p}} ^ {2}}}, \, {\ vec {p}} \ right \}}

{\ displaystyle p ^ {\ mu } \; = \; \ left \ {\ pm {\ sqrt {m ^ {2} + {\ vec {p}} ^ {2}}}, \, {\ vec {p}} \ right \}}

- четырехволновой вектор плоской волны, где

p → {\ displaystyle {\ vec {p}}}

{\ vec {p} }

произвольно,

x μ {\ displaystyle x ^ {\ mu}}

x ^ \ mu

четыре -координаты в данной инерциальной системе отсчета.

Спинор Дирака для решения с положительной частотой может быть записан как

ω p → = [ϕ σ → ⋅ p → E p → + м ϕ], {\ Displaystyle \ omega _ {\ vec {p}} = {\ begin {bmatrix} \ phi \\ {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E _ {\ vec {p}} + m}} \ phi \ end {bmatrix}} \ ;,}

{\ displaystyle \ omega _ {\ vec {p}} = { \ begin {bmatrix} \ phi \\ {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E _ {\ vec {p}} + m}} \ phi \ end {bmatrix }} \ ;,}

где

ϕ {\ displaystyle \ phi}

\ phi

- произвольное двухзначное спинор,

σ → {\ displaystyle {\ vec {\ sigma}}}

\ vec { \ sigma}

- это вектор Паули,

E p → {\ displaystyle E _ {\ vec {p}}}

{\ displaystyle E _ {\ vec {p}}}

- положительный квадратный корень

E p → = + m 2 + p → 2 {\ displaystyle E _ {\ vec {p}} \; = \; + {\ sqrt {m ^ {2 } + {\ vec {p}} ^ {2}}}}

{\ displaystyle E _ {\ vec {p}} \; = \; + {\ sqrt {m ^ {2} + {\ vec {p}} ^ {2}}}}

Содержание

1 Вывод из уравнения Дирака n
- 1.1 Результаты
2 Детали
- 2.1 Двухспиноры
- 2.2 Матрицы Паули
3 Четырехспиноры
- 3.1 Для частиц
- 3.2 Для античастиц
4 Полнота соотношения
5 Спиноры Дирака и алгебра Дирака
- 5.1 Условные обозначения
- 5.2 Построение спинора Дирака с заданным направлением спина и зарядом
6 См. также
7 Ссылки

Вывод из уравнения Дирака

Уравнение Дирака имеет вид

(- i α → ⋅ ∇ → + β m) ψ = i ∂ ψ ∂ t {\ displaystyle \ left (-i {\ vec {\ alpha}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} + \ beta m \ right) \ psi = i {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} \,}

\ left (-i {\ vec {\ alpha}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} + \ beta m \ right) \ psi = i {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} \,

Чтобы получить форму четырех -спинор $ω {\ displaystyle \ scriptstyle \ omega}$ $\ scriptstyle \ omega$ мы должны сначала отметить значение матриц α и β:

α → = [0 σ → σ → 0] β = [I 0 0 - I] {\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {0} {\ vec {\ sigma}} \\ {\ vec {\ sigma}} \ mathbf {0} \ end {bmatrix}} \ quad \ quad \ beta = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {I} \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} - \ mathbf { I} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {0} {\ vec {\ sigma}} \ \ {\ vec {\ sigma}} \ mathbf {0} \ end {bmatrix}} \ quad \ quad \ beta = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {I} \ mathbf {0} \\\ mathbf { 0} - \ mathbf {I} \ end {bmatrix}}}

Эти две матрицы 4 × 4 связаны с гамма-матрицами Дирака. Обратите внимание, что 0 и I здесь представляют собой матрицы 2 × 2.

Следующий шаг - поиск решений вида

ψ = ω e - ip ⋅ x = ω e - i (E t - p → ⋅ x →) {\ displaystyle \ psi = \ omega e ^ {- ip \ cdot x} = \ omega e ^ {- i (Et - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {x}})}}

{ \ displaystyle \ psi = \ omega e ^ {- ip \ cdot x} = \ omega e ^ {- i (Et - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {x}})}}

, в то же время разделяя ω на два двухспинора:

ω = [ϕ χ] {\ displaystyle \ omega = {\ begin {bmatrix} \ phi \\\ chi \ end {bmatrix}} \,}

{\ displaystyle \ omega = {\ begin {bmatrix} \ phi \\\ chi \ end {bmatrix}} \,}

Результаты

Использование всей приведенной выше информации для включения в уравнение Дирака приводит к

E [ϕ χ] = [m I σ → ⋅ p → σ → ⋅ p → - m I] [ϕ χ] {\ displaystyle E {\ begin {bmatrix} \ phi \\\ chi \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} m \ mathbf {I} {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} \ \ {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} - m \ mathbf {I} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ phi \\\ chi \ end {bmatrix}} }

{\ displaystyle E {\ begin {bmatrix} \ phi \\\ chi \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} m \ mathbf { I} {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} \\ {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} - m \ mathbf {I} \ end { bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ phi \\\ chi \ end {bmatrix}}}

Это матричное уравнение на самом деле представляет собой два связанных уравнения:

(E - m) ϕ = (σ → ⋅ p →) χ (E + m) χ = (σ → ⋅ p →) ϕ {\ displaystyle { \ begin {align} \ left (Em \ right) \ phi = \ left ({\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} \ right) \ chi \\\ left (E + m \ справа) \ chi = \ left ({\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} \ right) \ phi \ end {align}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ left (Em \ right) \ phi = \ left ({\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec { p}} \ right) \ chi \\\ left (E + m \ right) \ chi = \ left ({\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} \ right) \ phi \ end {выровнено}}}

Решите второе уравнение для $χ {\ displaystyle \ scriptstyle \ chi \,}$ $\ scriptstyle \ chi \,$ , и получается

ω = [ϕ σ → ⋅ p → E + m ϕ] {\ displaystyle \ omega = {\ begin {bmatrix} \ phi \\ {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E + m}} \ phi \ end {bmatrix}} \,}

{\ displaystyle \ omega = {\ begin {bmatrix} \ phi \\ {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E + m}} \ phi \ end {bmatrix}} \,}

Обратите внимание, что это решение должно иметь $E = + p 2 + m 2 {\ displaystyle E = + {\ sqrt {p ^ {2} + m ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle E = + {\ sqrt {p ^ {2} + m ^ {2 }}}}$ , чтобы решение было действительным в кадре, где частица имеет $p → = 0 → {\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ vec {0}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ vec {0}}}$ .

Вывод знака энергии в этом случае

Мы рассматриваем потенциально проблемный член $σ → ⋅ p → E + m ϕ {\ displaystyle {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E + m}} \ phi}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E + m}} \ phi}$ .

Если $E = + p 2 + m 2 {\ displaystyle E = + {\ sqrt {p ^ {2} + m ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle E = + {\ sqrt {p ^ {2} + m ^ {2 }}}}$ , очевидно, $σ → ⋅ p → E + m → 0 {\ displaystyle {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E + m}} \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E + m}} \ rightarrow 0}$ как $p → → 0 → {\ Displaystyle {\ vec {p}} \ rightarro w {\ vec {0}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} \ rightarr ow {\ vec {0}}}$ .
С другой стороны, пусть $E = - p 2 + m 2 {\ displaystyle E = - {\ sqrt {p ^ {2} + m ^ {2} }}}$ ${\ displaystyle E = - {\ sqrt {p ^ {2} + m ^ {2}}}}$ , $p → = pn ^ {\ displaystyle {\ vec {p}} = p {\ hat {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} = p {\ hat {n}}}$ с $n ^ {\ displaystyle {\ hat { n}}}$ ${\ hat {n}}$ единичный вектор, и пусть $p → 0 {\ displaystyle p \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle p \ rightarrow 0}$ .

E = - m 1 + p 2 m 2 → - m (1 + 1 2 п 2 м 2) {\ displaystyle E = -m {\ sqrt {1 + {\ frac {p ^ {2}} {m ^ {2}}}}} \ rightarrow -m (1 + {\ frac { 1} {2}} {\ frac {p ^ {2}} {m ^ {2}}})}

{\ displaystyle E = -m {\ sqrt {1 + {\ frac {p ^ {2}} {m ^ {2) }}}}} \ rightarrow -m (1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {p ^ {2}} {m ^ {2}}})}

σ → ⋅ p → E + m → p σ → ⋅ n ^ - m - p 2 2 м + м ∝ 1 п → ∞ {\ displaystyle {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E + m}} \ rightarrow p {\ frac {{\ vec { \ sigma}} \ cdot {\ hat {n}}} {- m - {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + m}} \ propto {\ frac {1} {p}} \ rightarrow \ infty}

{\ displaystyle {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E + m}} \ rightarrow p {\ frac {{\ vec {\ sigma} } \ cdot {\ hat {n}}} {- m - {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + m} } \ propto {\ frac {1} {p}} \ rightarrow \ infty}

Следовательно, отрицательное решение явно следует опустить, и $E = + p 2 + m 2 {\ displaystyle E = + {\ sqrt {p ^ {2} + m ^ {2}} }}$ ${\ displaystyle E = + {\ sqrt {p ^ {2} + m ^ {2 }}}}$ .

В качестве альтернативы, решите 1-е уравнение для $ϕ {\ displaystyle \ phi \,}$ $\ phi \,$ , и вы найдете

ω = [- σ → ⋅ p → - E + m χ χ] {\ Displaystyle \ omega = {\ begin {bmatrix} - {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {- E + m}} \ chi \\\ chi \ end {bmatrix}} \,}

{\ displaystyle \ omega = {\ begin {bmatrix} - {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {- E + m}} \ chi \\\ chi \ end {bmatrix}} \,}

В этом случае необходимо обеспечить выполнение этого $E = - p 2 + m 2 {\ displaystyle E = - {\ sqrt {p ^ {2} + m ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle E = - {\ sqrt {p ^ {2} + m ^ {2}}}}$ для этого решения, чтобы быть действительным в кадре, где частица имеет $p → = 0 → {\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ vec {0}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ vec {0}}}$ . Это можно показать аналогично предыдущему случаю.

Это решение полезно для демонстрации связи между античастицей и частицей.

Подробности

Двухспиноры

Наиболее удобные определения для двухспиноров:

ϕ 1 = [1 0] ϕ 2 = [0 1] {\ displaystyle \ phi ^ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}} \ quad \ quad \ phi ^ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end { bmatrix}} \,}

{\ displaystyle \ phi ^ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}} \ quad \ quad \ phi ^ {2 } = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix}} \,}

χ 1 = [0 1] χ 2 = [1 0] {\ displaystyle \ chi ^ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end { bmatrix}} \ quad \ quad \ chi ^ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}} \,}

{\ displaystyle \ chi ^ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix}} \ quad \ quad \ chi ^ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}} \,}

Матрицы Паули

Матрицы Паули равны

σ 1 = [0 1 1 0] σ 2 = [0 - ii 0] σ 3 = [1 0 0 - 1] {\ displaystyle \ sigma _ {1} = {\ begin {bmatrix } 0 1 \\ 1 0 \ end {bmatrix}} \ quad \ quad \ sigma _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 -i \\ i 0 \ end {bmatrix}} \ quad \ quad \ sigma _ {3} = {\ begin {bmatrix} 1 0 \\ 0 -1 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {bmatrix}} \ quad \ quad \ sigma _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 -i \\ i 0 \ end {bmatrix}} \ quad \ quad \ sigma _ {3} = {\ begin {bmatrix} 1 0 \\ 0 -1 \ end {bmatrix}}}

Используя их, можно вычислить:

σ → ⋅ p → = σ 1 p 1 + σ 2 p 2 + σ 3 п 3 знак равно [п 3 п 1 - ip 2 p 1 + ip 2 - p 3] {\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} = \ sigma _ {1} p_ { 1} + \ sigma _ {2} p_ {2} + \ sigma _ {3} p_ {3} = {\ begin {bmatrix} p_ {3} p_ {1} -ip_ {2} \\ p_ {1} + ip_ {2} - p_ {3} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} = \ sigma _ {1} p_ {1} + \ sigma _ {2} p_ {2} + \ sigma _ {3} p_ {3} = {\ begin {bmatrix} p_ {3} p_ {1} -ip_ {2} \\ p_ {1} + ip_ {2} - p_ {3} \ end {bmatrix}}}

Четыре спинора

Для частиц

Частицы определяются как имеющие положительную энергию. Нормализация для четырехспинора ω выбрана так, чтобы полная вероятность была инвариантной относительно преобразования Лоренца. Полная вероятность равна:

P = ∫ V ω † ω d V {\ displaystyle P = \ int _ {V} \ omega ^ {\ dagger} \ omega dV}

{\ displaystyle P = \ int _ {V} \ omega ^ {\ dagger} \ omega dV}

где $V {\ displaystyle V}$ $V$ - объем интеграции. При преобразовании Лоренца объем масштабируется как величина, обратная коэффициенту Лоренца: $(E / m) - 1 {\ displaystyle (E / m) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (E / m) ^ {- 1}}$ . Это означает, что плотность вероятности должна быть нормализована пропорционально $E {\ displaystyle E}$ $E$ , чтобы полная вероятность была инвариантной по Лоренца. Обычно выбирают $ω † ω = 2 E {\ displaystyle \ omega ^ {\ dagger} \ omega \; = \; 2E \,}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {\ dagger} \ omega \; = \; 2E \,}$ . Следовательно, спиноры, обозначенные как u, следующие:

u (p →, s) = E + m [ϕ (s) σ → ⋅ p → E + m ϕ (s)] {\ displaystyle u \ left ({\ vec {p}}, s \ right) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} \ phi ^ {(s)} \\ {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E + m}} \ phi ^ {(s)} \ end {bmatrix}} \,}

{\ displaystyle u \ left ({\ vec {p}}, s \ right) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} \ phi ^ {(s)} \\ {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E + m}} \ phi ^ {(s)} \ end {bmatrix}} \,}

где s = 1 или 2 (вращение "вверх" или "вниз")

Явно

u (p →, 1) = E + m [1 0 p 3 E + mp 1 + ip 2 E + m] andu (p →, 2) = E + m [ 0 1 п 1 - ip 2 E + m - p 3 E + m] {\ displaystyle u \ left ({\ vec {p}}, 1 \ right) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin { bmatrix} 1 \\ 0 \\ {\ frac {p_ {3}} {E + m}} \\ {\ frac {p_ {1} + ip_ {2}} {E + m}} \ end {bmatrix} } \ quad \ mathrm {и} \ quad u \ left ({\ vec {p}}, 2 \ right) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ {\ frac {p_ {1} -ip_ {2}} {E + m}} \\ {\ frac {-p_ {3}} {E + m}} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle u \ left ({\ vec {p}}, 1 \ right) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ {\ frac {p_ {3}} {E + m}} \\ {\ frac {p_ {1} + ip_ {2}} {E + m}} \ end {bmatrix}} \ quad \ mathrm {и} \ quad u \ left ({\ vec {p}}, 2 \ right) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ {\ frac {p_ {1 } -ip_ {2}} {E + m}} \\ {\ frac {-p_ {3}} {E + m}} \ end {bmatrix}}}

Для античастиц

Античастицы с положительной энергией $E {\ displaystyle \ scriptstyle E}$ $\ scriptstyle E$ определяются как частицы, имеющие отрицательную энергию и распространяющиеся назад во времени. Следовательно, изменение знака $E {\ displaystyle \ scriptstyle E}$ $\ scriptstyle E$ и $p → {\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {p}}}$ $\ scriptstyle {\ vec {p}}$ в четырех -спинор для частиц даст четыре-спинор для античастиц:

v (p →, s) = E + m [σ → ⋅ p → E + m χ (s) χ (s)] {\ displaystyle v ({\ vec {p}}, s) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E + m}} \ chi ^ {(s)} \\\ chi ^ {(s)} \ end {bmatrix}}

{\ displaystyle v ({\ vec {p}}, s) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} {\ frac {{\ vec {\ sigma }} \ cdot {\ vec {p}}} {E + m}} \ chi ^ {(s)} \\\ chi ^ {(s)} \ end {bmatrix}}}

Здесь мы выбираем $χ {\ displaystyle \ scriptstyle \ chi}$ $\ scriptstyle \ chi$ решения. Явно

v (p →, 1) = E + m [p 1 - ip 2 E + m - p 3 E + m 0 1] и v (p →, 2) = E + m [p 3 E + mp 1 + ip 2 E + m 1 0] {\ displaystyle v \ left ({\ vec {p}}, 1 \ right) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} {\ frac { p_ {1} -ip_ {2}} {E + m}} \\ {\ frac {-p_ {3}} {E + m}} \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}} \ quad \ mathrm {и} \ quad v ({\ vec {p}}, 2) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} {\ frac {p_ {3}} {E + m}} \\ {\ frac {p_ {1} + ip_ {2}} {E + m}} \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle v \ left ({ \ vec {p}}, 1 \ right) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} {\ frac {p_ {1} -ip_ {2}} {E + m}} \\ { \ frac {-p_ {3}} {E + m}} \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}} \ quad \ mathrm {and} \ quad v ({\ vec {p}}, 2) = { \ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatri x} {\ frac {p_ {3}} {E + m}} \\ {\ frac {p_ {1} + ip_ {2}} {E + m}} \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix} }}

Обратите внимание, что эти решения легко получить заменой анзаца $ψ = ve + ipx {\ displaystyle \ psi = ve ^ {+ ipx}}$ ${\ displaystyle \ psi = ve ^ {+ ipx}}$ в уравнение Дирака.

Отношения полноты

Отношения полноты для четырех спиноров u и v равны

∑ s = 1, 2 up (s) u ¯ p (s) = p / + m ∑ s знак равно 1, 2 vp (s) v ¯ p (s) = p / - m {\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {s = 1,2} {u_ {p} ^ {(s) } {\ bar {u}} _ {p} ^ {(s)}} = {p \! \! \! /} + m \\\ sum _ {s = 1,2} {v_ {p} ^ {(s)} {\ bar {v}} _ {p} ^ {(s)}} = {p \! \! \! /} - m \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {s = 1,2} {u_ {p} ^ {(s)} {\ bar {u}} _ {p} ^ {(s)}} = {p \! \! \! /} + m \\\ sum _ {s = 1,2} {v_ {p } ^ {(s)} {\ bar {v}} _ {p} ^ {(s)}} = {p \! \! \! /} - m \ end {align}}}

где

p / = γ μ p μ {\ displaystyle {p \! \! \! /} = \ Gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} \,}

{\ displaystyle {p \! \! \! /} = \ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} \,}

(см. Feynman обозначение косой черты )

u ¯ = u † γ 0 {\ displaystyle {\ bar {u}} = u ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} \,}

{\ displaystyle {\ bar {u}} = u ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} \,}

спиноры Дирака и алгебра Дирака

Матрицы Дирака представляют собой набор из четырех 4 × 4 матриц, которые используются в качестве операторов spin и charge .

Условные обозначения

Существует несколько вариантов сигнатуры и представления, которые широко используются в литературе по физике. Матрицы Дирака обычно записываются как $γ μ {\ Displaystyle \ scriptstyle \ gamma ^ {\ mu}}$ $\ scriptstyle \ gamma ^ {\ mu}$ где $μ {\ displaystyle \ scriptstyle \ mu}$ $\ scriptstyle \ mu$ работает от 0 до 3. В этом обозначении 0 соответствует времени, а от 1 до 3 соответствуют x, y и z.

+ - - - подпись иногда называется метрикой западного побережья, а - + + + - метрикой восточного побережья. В настоящее время подпись + - - - используется чаще, и в нашем примере будет использоваться эта подпись. Чтобы переключиться с одного примера на другой, умножьте все $γ μ {\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma ^ {\ mu}}$ $\ scriptstyle \ gamma ^ {\ mu}$ на $i {\ displaystyle \ scriptstyle i}$ $\ scriptstyle i$ .

После выбора подписи есть много способов построения представления в матрицах 4 × 4, и многие из них широко используются. Чтобы сделать этот пример как можно более общим, мы не будем указывать представление до последнего шага. В это время мы заменим в «хиральное» или «Weyl» представление.

Построение спинора Дирака с заданным направлением спина и зарядом

Сначала мы выбираем направление спина для нашего электрона или позитрона. Как и в примере с алгеброй Паули, рассмотренном выше, направление вращения определяется единичным вектором в 3-х измерениях (a, b, c). Следуя соглашению Пескина и Шредера, оператор вращения для спина в направлении (a, b, c) определяется как скалярное произведение (a, b, c) на вектор

(i γ 2 γ 3, i γ 3 γ 1, i γ 1 γ 2) = - (γ 1, γ 2, γ 3) i γ 1 γ 2 γ 3 σ (a, b, c) = ia γ 2 γ 3 + ib γ 3 γ 1 + ic γ 1 γ 2 {\ displaystyle {\ begin {align} (я \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}, \; \; i \ gamma ^ {3} \ gamma ^ {1}, \ ; \; i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2}) = - (\ gamma ^ {1}, \; \ gamma ^ {2}, \; \ gamma ^ {3}) i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3} \\\ sigma _ {(a, b, c)} = ia \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3} + ib \ gamma ^ { 3} \ gamma ^ {1} + ic \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (i \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}, \; \; i \ gamma ^ {3} \ gamma ^ {1}, \; \; i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2}) = - (\ gamma ^ {1}, \; \ gamma ^ {2}, \; \ gamma ^ {3}) i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3} \\\ sigma _ {(a, b, c)} = ia \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3} + ib \ gamma ^ {3} \ gamma ^ {1} + ic \ gamma ^ {1} \ gamma ^ { 2} \ end {align}}}

Обратите внимание, что приведенное выше является корнем из единицы, то есть, он возводится в квадрат 1. Следовательно, мы можем сделать из него оператор проекции , который проецирует подалгебру алгебры Дирака, у которой спин ориентирован в направлении (a, b, c):

П (a, b, c) = 1 2 (1 + σ (a, b, c)) {\ displaystyle P _ {(a, b, c)} = {\ tfrac {1} {2}} \ left (1+ \ sigma _ {(a, b, c)} \ right)}

P _ {(a, b, c)} = {\ tfrac {1} {2} } \ left (1+ \ sigma _ {(a, b, c) } \ right)

Теперь мы должны выбрать Это заряд +1 (позитрон) или -1 (электрон). Следуя соглашениям Пескина и Шредера, оператор для заряда имеет вид $Q = - γ 0 {\ displaystyle \ scriptstyle Q \, = \, - \ gamma ^ {0}}$ $\ scriptstyle Q \, = \, - \ gamma ^ {0}$ , то есть электронные состояния будут принимать собственное значение -1 по отношению к этому оператору, в то время как позитронные состояния будут принимать собственное значение +1.

Обратите внимание, что $Q {\ displaystyle \ scriptstyle Q}$ $\ scriptstyle Q$ также является квадратным корнем из единицы. Кроме того, $Q {\ displaystyle \ scriptstyle Q}$ $\ scriptstyle Q$ коммутирует с $σ (a, b, c) {\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma _ {(a, b, c)}}$ $\ scriptstyle \ sigma _ {(a, b, c)}$ . Они образуют полный набор коммутирующих операторов для алгебры Дирака. Продолжая наш пример, мы ищем представление электрона со спином в направлении (a, b, c). Превращая $Q {\ displaystyle \ scriptstyle Q}$ $\ scriptstyle Q$ в оператор проекции для charge = −1, мы получаем

P - Q = 1 2 (1 - Q) = 1 2 (1 + γ 0) {\ Displaystyle P _ {- Q} = {\ frac {1} {2}} \ left (1-Q \ right) = {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ gamma ^ {0} \ right)}

{\ displaystyle P _ {- Q} = {\ frac {1} {2}} \ left (1-Q \ right) = {\ frac {1} {2}} \ влево (1+ \ гамма ^ {0} \ вправо)}

Следовательно, оператор проекции для спинора, который мы ищем, является продуктом двух найденных нами операторов проекции:

P (a, b, c) P - Q {\ displaystyle P_ {(a, b, c)} \; P _ {- Q}}

P _ {(a, b, c)} \; P _ {- Q}

Приведенный выше оператор проекции, когда применяется к любому спинору, даст ту часть спинора, которая соответствует искомому электронному состоянию. Таким образом, мы можем применить его к спинору со значением 1 в одном из его компонентов и 0 в других, что дает столбец матрицы. Продолжая пример, мы полагаем (a, b, c) = (0, 0, 1) и имеем

P (0, 0, 1) = 1 2 (1 + i γ 1 γ 2) {\ displaystyle P_ {(0,0,1)} = {\ frac {1} {2}} \ left (1 + i \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \ right)}

{\ displaystyle P_ { (0,0,1)} = {\ frac {1} {2}} \ left (1 + i \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \ right)}

и поэтому наша желаемая проекция оператор

P = 1 2 (1 + i γ 1 γ 2) ⋅ 1 2 (1 + γ 0) = 1 4 (1 + γ 0 + i γ 1 γ 2 + i γ 0 γ 1 γ 2) {\ displaystyle P = {\ frac {1} {2}} \ left (1 + i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ right) \ cdot {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ gamma ^ {0} \ right) = {\ frac {1} {4}} \ left (1+ \ gamma ^ {0} + i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} + i \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle P = {\ frac {1} {2}} \ left (1 + i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ right) \ cdot {\ frac {1} {2}} \ left (1 + \ gamma ^ {0} \ right) = {\ frac {1} {4}} \ left (1+ \ gamma ^ {0} + i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} + i \ gamma ^ {0} \ гамма ^ {1} \ гамма ^ {2} \ right)}

Гамма-матрицы 4 × 4, используемые в представлении Вейля:

γ 0 = [0 1 1 0] γ к знак равно [0 σ К - σ К 0] {\ Displaystyle {\ begin {align} \ gamma _ {0} = {\ begin {bmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {bmatrix}} \\\ gamma _ { k} = {\ begin {bmatrix} 0 \ sigma ^ {k} \\ - \ sigma ^ {k} 0 \ end {bmatrix}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma _ {0} = {\ begin {bmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {bmatrix}} \\\ gamma _ {k} = {\ begin {bmatrix} 0 \ sigma ^ {k} \\ - \ sigma ^ {k} 0 \ end { bmatrix}} \ конец {выровненный}}}

для k = 1, 2, 3 и где $σ i {\ displaystyle \ sigma ^ {i}}$ $\ sigma ^ {i}$ - обычные 2 × 2 матрицы Паули. Подставляя их вместо P, получаем

P = 1 4 [1 + σ 3 1 + σ 3 1 + σ 3 1 + σ 3] = 1 2 [1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0] {\ displaystyle P = {\ frac {1} {4}} {\ begin {bmatrix} 1+ \ sigma ^ {3} 1 + \ sigma ^ {3} \\ 1+ \ sigma ^ {3} 1 + \ sigma ^ {3} \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 0 1 0 \\ 0 0 0 0 \\ 1 0 1 0 \\ 0 0 0 0 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle P = {\ frac {1} {4}} {\ begin {bmatrix} 1+ \ sigma ^ {3} 1 + \ sigma ^ {3 } \\ 1+ \ sigma ^ {3} 1 + \ sigma ^ {3} \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 0 1 0 \\ 0 0 0 0 \\ 1 0 1 0 \\ 0 0 0 0 \ end {bmatrix}}}

Наш ответ - любой ненулевой столбец указанной выше матрицы. Деление на два - это просто нормализация. Первый и третий столбцы дают одинаковый результат:

| е -, + 1 2⟩ знак равно [1 0 1 0] {\ displaystyle \ left | e ^ {-}, \, + {\ frac {1} {2}} \ right \ rangle = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ left | e ^ {-}, \, + {\ frac {1} {2}} \ right \ rangle = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}

В общем, для электронов и позитронов со спином, ориентированным в направлении (a, b, c), оператор проекции имеет вид

1 4 [1 + ca - ib ± (1 + c) ± (a - ib) a + ib 1 - c ± (a + ib) ± (1 - c) ± (1 + c) ± (a - ib) 1 + ca - ib ± (a + ib) ± (1 - c) a + ib 1 - c] {\ displaystyle {\ frac {1} {4}} {\ begin {bmatrix} 1 + c a-ib \ pm (1 + c) \ pm (a-ib) \\ a + ib 1-c \ pm (a + ib) \ pm (1-c) \\\ pm (1 + c) \ pm (a-ib) 1 + c a-ib \\\ pm (a + ib) \ pm (1-c) a + ib 1-c \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} {\ begin {bmatrix} 1 + c a-ib \ pm (1 + c) \ pm (a-ib) \\ a + ib 1-c \ pm (a + ib) \ pm (1-c) \\\ pm (1 + c) \ pm (a- ib) 1 + c a-ib \\\ pm (a + ib) \ pm (1-c) a + ib 1-c \ end {bmatrix}}}

где верхние знаки обозначают электрон, а нижние знаки для позитрона. Соответствующий спинор можно взять за любой ненулевой столбец. Поскольку $a 2 + b 2 + c 2 = 1 {\ displaystyle \ scriptstyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \, = \, 1}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \, = \, 1}$ , разные столбцы являются кратными одному и тому же спинору. Представление полученного спинора в базисе Дирака можно получить, используя правило, приведенное в статье биспинор.

См. Также

Ссылки

Aitchison, IJR; A.J.G. Эй (сентябрь 2002 г.). Калибровочные теории в физике элементарных частиц (3-е изд.). Издательский институт Физики. ISBN 0-7503-0864-8.
Миллер, Дэвид (2008). «Релятивистская квантовая механика (RQM)» (PDF). стр. 26–37.