Реальное представление

редактировать

тип представления в теории представлений

В поле математический теория представлений реальное представление обычно является представлением в вещественном векторном пространстве U, но оно также может означают представление на комплексном векторном пространстве V с инвариантной вещественной структурой, т. е. антилинейным эквивариантным отображением

j: V → V {\ displaystyle j \ двоеточие V \ to V}

{\ displaystyle j \ двоеточие V \ to V}

, что удовлетворяет

j 2 = + 1. {\ displaystyle j ^ {2} = + 1.}

{\ displaystyle j ^ {2} = + 1.}

Две точки зрения эквивалентны, потому что если U равно действительное векторное пространство, на которое действует группа G (скажем), тогда V = U⊗ C - это представление в комплексном векторном пространстве с антилинейным эквивариантным отображением, заданным с помощью комплексного сопряжения. И наоборот, если V является таким сложным представлением, то U может быть восстановлено как набор фиксированной точки j (собственное подпространство с собственным значением 1).

В физике, где представления часто рассматриваются конкретно в терминах матриц, реальное представление - это то, в котором элементы матриц, представляющих элементы группы, являются действительными числами. Эти матрицы могут действовать как на действительные, так и на комплексные векторы-столбцы.

Реальное представление в комплексном векторном пространстве изоморфно его комплексно-сопряженному представлению, но обратное неверно: представление, которое изоморфно его комплексно-сопряженному, но не является реальным, является называется псевдореальным представлением. Неприводимое псевдореальное представление V обязательно является кватернионным представлением : оно допускает инвариантную кватернионную структуру, то есть антилинейное эквивариантное отображение

j: V → V {\ displaystyle j \ двоеточие От V \ до V}

{\ displaystyle j \ двоеточие V \ to V}

, который удовлетворяет

j 2 = - 1. {\ displaystyle j ^ {2} = - 1.}

{\ displaystyle j ^ {2} = - 1.}

A прямая сумма вещественных и кватернионных представлений не является ни действительной, ни кватернионной в общем.

Представление в комплексном векторном пространстве также может быть изоморфно двойному представлению его комплексно сопряженного объекта. Это происходит именно тогда, когда представление допускает невырожденную инвариантную полуторалинейную форму, например эрмитская форма. Такие представления иногда называют сложными или (псевдо) эрмитовыми.

Содержание

1 Индикатор Фробениуса-Шура
2 Примеры
3 Примечания
4 Ссылки

Индикатор Фробениуса-Шура

Критерий (для компактных групп G) для реальности неприводимых представлений в терминах теории характеров основан на индикаторе Фробениуса-Шура, определяемом как

∫ g ∈ G χ (g 2) d μ {\ displaystyle \ int _ {g \ in G} \ chi (g ^ {2}) \, d \ mu}

\ int _ {g \ in G} \ chi (g ^ {2}) \, d \ mu

, где χ - характер представления, а μ - мера Хаара с μ (G) = 1. Для конечной группы это определяется как

1 | G | ∑ g ∈ G χ (g 2). {\ displaystyle {1 \ over | G |} \ sum _ {g \ in G} \ chi (g ^ {2}).}

{ 1 \ over | G |} \ sum _ {g \ in G} \ chi (g ^ {2}).

Индикатор может принимать значения 1, 0 или -1. Если показатель равен 1, то представление реально. Если индикатор равен нулю, представление является комплексным (эрмитовым), а если индикатор равен -1, представление является кватернионным.

Примеры

Все представления симметрических групп являются действительными (и фактически рациональными), поскольку мы можем построить полный набор неприводимых представлений с использованием таблиц Юнга.

Все представления групп вращений на нечетномерных пространствах реальны, поскольку все они появляются как подпредставления тензорных произведений копий фундаментального представления, что реально.

Другими примерами реальных представлений являются спинорные представления спиновых групп в размерностях 8k − 1, 8k и 8k + 1 для k = 1, 2, 3... Эта периодичность по модулю 8 известна в математике не только в теории алгебр Клиффорда, но и в алгебраической топологии, в KO. -теория ; см. представление вращения.

Примечания

Ссылки

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103..
Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп, Springer-Verlag, ISBN 978 -0-387-90190-9.