G₂коллектор

редактировать

В дифференциальная геометрия, G2многообразие - это семимерное риманово многообразие с группой голономии, содержащейся в G2. group $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ - одна из пяти исключительных простых групп Ли. Ее можно описать как группу автоморфизмов из октонионов или, что то же самое, как собственную подгруппу специальной ортогональной группы SO (7), которая сохраняет спинор в восьмимерном спинорном представлении или, наконец, как подгруппа общей линейной группы GL (7), которая сохраняет невырожденную 3-форму $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , ассоциативная форма. Дуал Ходжа, $ψ = ∗ ϕ {\ displaystyle \ psi = * \ phi}$ $\ psi = * \ phi$ тогда является параллельной 4-формой, коассоциативной формой. Эти формы являются калибровками в смысле Риза Харви и Х. Блейн Лоусон, тем самым определяя специальные классы 3- и 4-мерных подмногообразий.

Содержание

1 Свойства
2 История
3 Связь с физикой
4 См. Также
5 Ссылки
6 Дополнительная литература

Свойства

Любые $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ -многообразие:

Кроме того, любое компактное многообразие с голономией, равной $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ , имеет

конечную фундаментальную группу,
сначала ненулевую Класс Понтрягина, и
ненулевое третье и четвертое числа Бетти.

История

Тот факт, что $G 2 {\ displaystyle G_ {2} }$ $G_{2}$ , возможно, группа голономии некоторых римановых 7-многообразий была впервые предложена классификационной теоремой 1955 года из Марселя Бергера, и это оставалось в соответствии с упрощенным доказательством, которое позже было дано Джим Саймонс в 1962 году. Хотя еще не было обнаружено ни одного примера такого многообразия, Эдмонд Бонан, тем не менее, внес полезный вклад, продемонстрировав, что если такое многообразие многообразие действительно существует, оно будет нести как параллельную 3-форму, так и параллельную 4-форму, и что оно обязательно будет Риччи-плоским.

Первые локальные примеры 7-многообразий с голономией $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ были окончательно построены примерно в 1984 году Робертом Брайантом, и его полное доказательство их существования появилось в Анналах в 1987 году. (но все еще некомпактные) 7-многообразия с голономией $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ были построены Брайантом и Саймоном Саламоном в 1989 году. Первые компактные 7-многообразия с голономией $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ были созданы Домиником Джойсом в 1994 году. Компактный $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ поэтому многообразия иногда называют «многообразиями Джойса», особенно в физической литературе. В 2013 г. М. Фират Арикан, Хёнджу Чо и Сема Салур показали, что любое многообразие со спиновой структурой и, следовательно, $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ -структура, допускающая совместимую почти контактную метрическую структуру, а явная совместимая почти контактная структура была построена для многообразий с $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ -структурой. В той же статье было показано, что некоторые классы $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ -многообразий допускают контактную структуру.

В 2015 году новая конструкция компактных коллекторов $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ благодаря Алессио Корти, Марку Хаскинсу, Йоханнесу Нордстрем и Томмазо Пачини объединили идею склейки, предложенную Саймоном Дональдсоном, с новыми алгебро-геометрическими и аналитическими методами построения многообразий Калаби – Яу с цилиндрическими концами, в результате чего были получены десятки тысяч типы диффеоморфизма новых примеров.

Связь с физикой

Эти многообразия важны в теории струн. Они нарушают исходную суперсимметрию до 1/8 исходной величины. Например, M-теория, компактифицированная на $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ многообразие, приводит к реалистичной четырехмерной (11-7 = 4) теории. с N = 1 суперсимметрией. Результирующая низкоэнергетическая эффективная супергравитация содержит один супергравитационный супермультиплет, число, равное третьему числу Бетти из $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ многообразие и количество векторных супермультиплетов U (1) , равное второму числу Бетти.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Becker, Katrin; Беккер, Мелани; Шварц, Джон Х. (2007), «Многообразия с G 2 и голономией Spin (7)», Теория струн и M-теория: современное введение, Cambridge University Press, стр. 433–455, ISBN 978-0-521-86069-7.
Fernandez, M.; Грей А. (1982), "Римановы многообразия со структурной группой G 2 ", Ann. Мат. Pura Appl., 32 : 19–845, doi : 10.1007 / BF01760975.
Каригианнис, Спиро (2011), «What Is... G 2 -Manifold? " (PDF), Уведомления AMS, 58 (04): 580–581.

G2коллектор