Диаграмма Фейнмана

редактировать
Графическое изображение поведения субатомных частиц
На этой диаграмме Фейнмана электрон (e⁻) и позитрон (e⁺) аннигилирует, создавая фотон (γ, представленный синей синусоидальной волной), который становится парой кварк - антикварк (кварк q, антикварк q̄ ), после чего антикварк излучает глюон (g, представленный зеленой спиралью).
Ричард Фейнман в 1984 году

В теоретическая физика, диаграмма Фейнмана - это графическое представление математических выражений, поведения и взаимодействия субатомных частиц. Схема названа в честь американского физика Ричарда Фейнмана, который представил диаграммы в 1948 году. Взаимодействие субатомных частиц может быть сложным и трудным для понимания; Диаграммы Фейнмана дают простую визуализацию того, что в противном случае было бы загадочной и абстрактной формулой. Согласно Дэвиду Кайзеру, «С середины 20 века физики-теоретики все чаще обращались к этому инструменту, чтобы помочь им проводить критические вычисления. Диаграммы Фейнмана произвели революцию почти во всех аспектах теоретической физики ». Хотя диаграммы применяются в основном в квантовой теории поля, их также можно использовать в других областях, таких как теория твердого тела. Франк Вильчек писал, что расчеты, принесли ему Нобелевскую премию по физике в 2004 г. «были непосредственно немыслимы без диаграмм Фейнмана, как и вычисления [Вильчека], которые установили путь к производству и при наблюдении частицы Хиггса."

Фейнман использовал интерпретацию позитрона, предложенную Эрнстом Штюкельбергом, как если бы это был электрон, движущийся назад во времени. Таким образом, античастицы как движущиеся вдоль оси времени на диаграммах Фейнмана.

Вычисление амплитуды вероятности в теоретической физике частиц требует использования довольно больших и сложных интегралы по большому количеству число. Диаграммы Фейнмана могут представлять собой интегралы графически.

Диаграмма Фейнмана - это графическое представление пертурбативной функции вклад в амплитуду перехода или корреляционная функция квантово-механического или статистического всякой теории поля. В рамках канонической формулировки квантовой теории поля диаграмма Фейнмана представляет член в разложении Вика пертурбативной S-матрицы. В качестве альтернативы, формулировка интеграла по путям квантовой теории поля представляет амплитуду перехода как взвешенную сумму всех историй системы от начального до конечного состояния в терминах частиц или полей. Затем амплитуда задается как матричный элемент S-матрицы между начальным и конечным состояниями квантовой системы.

Содержание

  • 1 Мотивация и история
    • 1.1 Альтернативные названия
  • 2 Представление физической реальности
  • 3 Интерпретация траектории частиц
  • 4 Описание
    • 4.1 Пример электрон-позитронной аннигиляции
  • 5 Формулировка канонического квантования
    • 5.1 Правила Фейнмана
    • 5.2 Пример: процессы второго порядка в QED
      • 5.2.1 Рассеяние фермионов
      • 5.2.2 Комптоновское рассеяние и аннигиляция / генерация ee пар
  • 6 Путь интегральная формулировка
    • 6.1 Лагранжиан скалярного поля
    • 6.2 На решетке
    • 6.3 Монте-Карло
    • 6.4 Скалярный пропагатор
    • 6.5 Уравнение движения
      • 6.5.1 Теорема Вика
      • 6.5.2 Высшее Гауссовы моменты - завершение теоремы Вика
      • 6.5.3 Взаимодействие
      • 6.5.4 Диаграммы Фейнмана
      • 6.5.5 Порядок цикла
      • 6.5.6 Факторы симметрии
      • 6.5.7 Связанные диаграммы: теорема о связанных кластерах
      • 6.5. 8 Вакуумные пузырьки
      • 6.5.9 Источники
    • 6.6 Отжим 1/2; «Фотоны» и «призраки»
      • 6.6.1 Спин 1/2: интегралы Грассмана
      • 6.6.2 Спин 1: фотоны
      • 6.6.3 Спин 1: неабелевы призраки
  • 7 Путь частицы представление
    • 7.1 Представление Швингера
    • 7.2 Объединение знаменателей
    • 7.3 Рассеяние
  • 8 Непертурбативные эффекты
  • 9 В популярной культуре
  • 10 См. также
  • 11 Примечания
  • 12 Ссылки
  • 13 Источники
  • 14 Внешние ссылки

Мотивация и история

На этой диаграмме каон, сделанная из up и странного антикварка, распадается как слабо, так и сильно на три пиона, с промежуточными стадиями, включающими W- бозон и глюон, представляет синей синусоидой и зеленой спиралью соответственно.

При вычислении сечений рассеяния в физике частиц взаимодействие между частями можно описать, начиная с свободное поле, включающее входящие и исходящие частицы, и включающее взаимодействие гамильтониан, чтобы описать, как частицы отклоняются друг от друга. Амплитуда рассеяния - это сумма каждой возможной истории взаимодействия по всем возможным промежуточным состояниям частиц. Количество срабатываний гамильтониана представляет собой порядком разложения возмущений , а зависящая от времени теория возмущений для полей известна как ряд Дайсона. Когда промежуточные состояния в промежуточные моменты времени являются энергетическими собственными состояниями (совокупность частиц с определенным импульссом), ряд называется старомодной теорией возмущений.

. Ряд Дайсона можно альтернативно переписать в виде суммы над диаграммами Фейнмана, где в каждой вершине энергия и импульс сохраняются, но где длина четырехвектора энергии-импульса не обязательно равна массе. Диаграммы Фейнмана намного легче, чем «старомодные» термины, потому что в старомодном методе вклады частиц и античастиц как отдельные части. Каждая внутренняя линия может быть каждой отдельной частицу, либо античастицу. В нерелятивистской теории нет античастиц и нет удвоения, поэтому каждая диаграмма Фейнмана включает только один член.

Фейнман дал рецепт для вычисления амплитуд (правил Фейнмана, ниже) для любой диаграммы из лагранжиана теории поля. Каждая внутренняя линия соответствует коэффициенту пропагатора настоящих частиц ; каждая вершина, в которой пересекаются линии, коэффициент, полученный из члена взаимодействия в лагранжиане, входящие и исходящие линии несут энергию, импульс и спин.

Помимо своих ценностей в качестве математического инструмента диаграммы Фейнмана обеспечивает глубокое понимание природы взаимодействияий частиц. Частицы взаимодействуют всеми доступными способами; Фактически, промежуточным виртуальным частицам разрешено распространяться быстрее света. Вероятность каждого конечного состояния получается путем суммирования всех таких возможностей. Это соединено с формулировкой функционального интеграла квантовой механики, также изобретенной Фейнманом - см. формулировка интеграла по путям.

Наивное применение таких вычислений часто дает диаграммы, амплитуды бесконечны, потому что размер частиц на малых расстояниях требует тщательной процедуры ограничения, чтобы включить самодействия частиц . Метод перенормировки, предложенный Эрнстом Штюкельбергом и Гансом Бете и реализованный Дайсоном, Фейнманом, Швингером, а Томонага компенсирует этот эффект и устраняет неприятные бесконечности. Результаты перенормировки расчеты с использованием диаграмм Фейнмана с очень высокой точностью соответствуют экспериментальным результатам.

Диаграмма Фейнмана и методы интегралов по путям также используются в статистической механике и даже к классической механике.

Альтернативные названия

Мюррей Гелл-Манн Диаграммы Фейнмана всегда назывались диаграммами Штюкельберга в честь швейцарского физика Эрнста Штюкельберга, который разработал аналогичную систему обозначений много лет назад. Штюкельберг был мотивирован необходимой явно ковариантной формой для квантовой теории поля, но не предоставил автоматизированный способ обработки факторов и петель симметрии, хотя он был первым, кто нашел правильную физическую интерпретацию в терминах прямого и обратного во времени частиц. траектории, все без интеграла по путям.

Исторически, как бухгалтерский инструмент ковариантной теории возмущений, графики назывались диаграммами Фейнмана-Дайсона или диаграммами Дайсона, потому что интеграл по путям был незнаком, когда они были введены, а вывод Фримена Дайсона из старомодной теории возмущений был более понятным для физиков, обученных более ранним методам. Фейнману пришлось активно лоббировать диаграммы, что сбило с толку физиков истеблишмента, обученных уравнениям и графикам.

Представление физической реальности

В своих презентациях фундаментальных взаимодействий, написано с точки зрения физики элементарных частиц Джерард 'т Хоофт и Мартинус Велтман привели веские аргументы в использование исходных, нерегуляризованных диаграмм Фейнмана как наиболее сжатого представления наших нынешних знаний о физике. квантового рассеяния элементарных частиц. Их мотивация согласуется с убеждениями Джеймса Дэниела Бьоркена и Сидни Дрелла :

Графики Фейнмана и правила вычислений суммируют квантовую теорию поля в форме, близкой к экспериментальным числам, которые хочется понять. Хотя из теории теории графмевать теорию возмущений, использование теорию возмущений, использование методов в задаче многих тел показывает, что формализм достаточно гибок, иметь дело с явлениями непертурбативного символа… Некоторая модификация правил Фейнмана вычислений может пережить детально разработанную математическую нестабильную каноническую квантовой теории поля...

Пока нет противоположных мнений. В квантовых теориях поля диаграммы Фейнмана получаются из лагранжиана по правилам Фейнмана.

Размерная регуляризация - это метод регуляризации интегралов при оценке диаграмм Фейнмана; он присваивает им значения, которые являются мероморфными функциями вспомогательного комплексного параметра, называемого размерностью. Размерная регуляризация записывает интеграл Фейнмана как интеграл в зависимости от размера-времени d и точек пространства-времени.

Интерпретация траектории частиц

Диаграмма Фейнмана представляет собой представление процессов квантовой теории поля в терминах взаимодействий частицы. Частицы представлены линиями диаграмм, которые могут быть волнистыми или прямы, со стрелкой или без нее, в зависимости от типа частиц. Точка, где линии соединяются с другими линиями, являются вершиной, и именно здесь частицы встречаются и взаимодействуют: испуская или поглощающая новые частицы, отклоняясь друг от друга или меняя тип.

Есть три разных типа линий: внутренние линии соединяют две вершины, входящие линии проходят от «прошлого» к вершине и указывают начальное состояние, а исходящие линии простираются от вершины к «будущему» и включают конечное состояние (последние два также известны как внешние линии). Традиционно нижняя часть диаграммы - это прошлое, а верхняя - будущее; в других случаях прошлое находится слева, а будущее - справа. При вычислении корреляционных функций вместо амплитуды рассеяния нет прошлого и будущего, и все линии являются внутренними. Начинаются маленькие частицы, которые начинаются на маленьких крестиках.

Диаграммы Фейнмана - это графическое представление вклада в общей амплитуде процесса, который может происходить с помощью методов. Когда группа входящих частиц должна рассеяться друг от друга, этот процесс можно представить как процесс, в котором частицы перемещаются по всем возможным путям, включая пути, идущие в обратном направлении.

Диаграммы Фейнмана часто путают с пространственно-временными диаграммами и изображениями пузырьковой камеры, потому что все ониывают рассеяние частицы. Диаграммы Фейнмана - это графики, которые показывают частицы частиц, а не физическое положение частиц во время процесса рассеяния. В изображениях пузырьковой камеры, только все суммы диаграмм Фейнмана представляет любое данное отличие частиц; частицы не выбирают конкретную диаграмму при каждом взаимодействии. Закон суммирования согласуется с принципом суперпозиции - каждая диаграмма вносит вклад в общую амплитуду процесса.

Описание

Общие особенности процесса рассеяния A + B → C + D:. • внутренние линии (красный) для промежуточных частиц и процессов, которые имеют фактор пропагатора ("prop "), внешние линии (оранжевый) для входящих / исходящих частиц в / из вершин (черный),. • в каждой вершине существует 4-кратное сохранение импульса с использованием дельта- функции, 4-импульсы, входящие в вершину, положительны, выходящие - отрицательные, множители в каждой вершине и внутренней линии умножаются в интеграле амплитуды,. • пространство x и оси времени t не учитываются всегда показаны, направления внешних линий соответствуют течению времени.

Диаграмма Фейнмана представляет пертурбативный вклад в амплитуду квантового перехода из некоторого начального квантового состояния в некоторое конечное квантовое состояние.

Например, в процессе аннигиляции электрон-позитрон начальное состояние - один электрон и один позитрон, конечное состояние: два фотона.

Обычно, что начальное состояние находится слева от диаграммы, конечное состояние - справа.

Диаграмма Фейнмана состоит из точек, называемых вершинами, и линий, прикрепленных к вершинам.

Частицы в исходном состоянии изображаются линиями, торчащими в исходном состоянии (например, влево), частицы в исходном состоянии представлены линиями, торчащими в направлении конечное состояние (например, вправо).

В QED есть два типа частиц: частицы материи, такие как электроны или позитроны (называемые фермионами ), и частицы обмена (называемые калибровочными бозонами ). Они на представлен диаграммах Фейнмана следующим образом:

  1. Электрон в исходном состоянии представлен сплошной линией со стрелкой, указывающей спин частицы, например. указывает на вершину (→ •).
  2. Электрон в конечном состоянии представлен линией со стрелкой, указывающей частицы, например направленный от вершины: (• →).
  3. Позитрон в исходном состоянии представлен сплошной линией со стрелкой, указывающей направленную частицу, например направленный от вершины: (← •).
  4. Позитрон в конечном состоянии представлен линией со стрелкой, указывающей частицы, например указывает на вершину: (• ←).
  5. Виртуальный фотон в начальном и конечном состоянии представлен волнистой линией (~ • и •~).

В QED вершина всегда имеет к нему присоединены три линии: одна бозонная линия, одна фермионная линия со стрелкой, направленной к вершине, и одна фермионная линия со стрелкой, направленной от вершины.

Вершины могут быть соединены бозонным или фермионным пропагатором . Бозонный пропагатор представлен волнистой линией, соединяющей две вершины (• ~ •). Фермионный представитель представлен сплошной линией (со стрелкой в ​​том или ином направлении), соединяющей две вершины, (• ← •).

Число вершин определяет порядок члена в разложении амплитуды перехода в ряд возмущений.

Пример электрон-позитронной аннигиляции

Диаграмма Фейнмана аннигиляции электронов / позитронов

В электрон-позитронная аннигиляция взаимодействие:

e + e → 2γ

имеет вклад из показанной диаграммы Фейнмана второго порядка рядом:

В исходном сосу тоянии (внизу; раннее время) есть один электрон (е) и один позитрон (е), а в конечном состоянии (вверху; позднее время) есть два фотона (γ).

Формулировка канонического квантования

амплитуда вероятности для перехода квантовой системы (между асимптотически свободными состояниями) из начального состояния | i⟩ в конечное состояние | f⟩ задается матричным элементом

S f i = ⟨f | S | я⟩, {\ displaystyle S_ {fi} = \ langle f | S | i \ rangle \;,}S_{fi}=\langle f|S|i\rangle \;,

, где S - S-матрица. В терминах оператора эволюции во времени U это просто

S = lim t 2 → + ∞ lim t 1 → - ∞ U (t 2, t 1). {\ Displaystyle S = \ lim _ {t_ {2} \ rightarrow + \ infty} \ lim _ {t_ {1} \ rightarrow - \ infty} U (t_ {2}, t_ {1}) \;.}{\displaystyle S=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }U(t_{2},t_{1})\;.}

На изображении взаимодействия это расширяется до

S = T e - i ∫ - ∞ + ∞ d τ HV (τ). {\ displaystyle S = {\ mathcal {T}} e ^ {- i \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} d \ tau H_ {V} (\ tau)}.}{\displaystyle S={\mathcal {T}}e^{-i\int _{-\infty }^{+\infty }d\tau H_{V}(\tau)}.}

где H V - гамильтониан столкновения, а T - упорядоченное по времени произведение операторов. Формула Дайсона расширяет упорядоченную по времени матричную экспоненту в ряд возмущений по степеням плотности гамильтониана взаимодействия,

S = ∑ n = 0 ∞ (- i) n n! (J = 1 n d 4 x j) T {j = 1 n H V (x j)} ≡ ∑ n = 0 ∞ S (n). {\ displaystyle S = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {n } \ int d ^ {4} x_ {j} \ right) {\ mathcal {T}} \ left \ {\ prod _ {j = 1} ^ {n} {\ mathcal {H}} _ {V} \ left (x_ {j} \ right) \ right \} \ Equiv \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} S ^ {(n)} \ ;.}{\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {H}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.}

Эквивалентно лагранжиану взаимодействия L V, это

S = ∑ n = 0 ∞ inn! (J = 1 n d 4 x j) T {j = 1 n L V (x j)} ≡ ∑ n = 0 ∞ S (n). {\ displaystyle S = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {i ^ {n}} {n!}} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {n} \ int d ^ {4} x_ {j} \ right) {\ mathcal {T}} \ left \ {\ prod _ {j = 1} ^ {n} {\ mathcal {L}} _ {V} \ left (x_ {j} \ right) \ right \} \ Equiv \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} S ^ {(n)} \ ;.}{\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.}

Диаграмма Фейнмана - это графическое представление одного слагаемого в разложении Вика упорядоченного по времени продукта в члене S порядка n из серии Дайсона S-матрицы,

T ∏ j = 1 n LV ( xj) = ∑ все возможные сокращения (±) N ∏ j = 1 n LV (xj), {\ displaystyle {\ mathcal {T}} \ prod _ {j = 1} ^ {n} {\ mathcal {L}} _ {V} \ left (x_ {j} \ right) = \ sum _ {{\ text {все возможные}} \ atop {\ text {сокращения}}} (\ pm) {\ mathcal {N}} \ prod _ {j = 1} ^ {n} {\ mathcal {L}} _ {V} \ left (x_ {j} \ right) \ ;,}{\displaystyle {\mathcal {T}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)=\sum _{{\text{all possible}} \atop {\text{contractions}}}(\pm){\mathcal {N}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\;,}

где N означает продукт с обычным заказом операторов и (±) заботится о возможном изменении знака при коммутации фермионных операторов, чтобы свести их вме сте для сжатия (пропагатор ).

Правила Фейнмана

Диаграммы нарисованы в соответствии с правилами Фейнмана, которые зависят от лагранжиана взаимодействия. Для QED лагранжиан взаимодействия

L v = - g ψ ¯ γ μ ψ A μ {\ displaystyle L_ {v} = - g {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu } \ psi A _ {\ mu}}L_{v}=-g{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }

, описывающее взаимодействие фермионного поля ψ с бозонным калибровочным полем A μ, правила Фейнмана можно сформулировать в координатном пространстве следующим образом:

  1. Каждое координата интегрирования x j представлена ​​точкой (иногда называемой вершиной);
  2. Бозонный пропагатор представлен волнистой линией, соединяющей две точки;
  3. Фермионный пропагатор представлен сплошной линией, соединяющей две точки;
  4. Бозонное поле A μ (xi) {\ displaystyle A _ {\ mu} (x_ {i})}A_{\mu }(x_{i})представлено изогнутой линией, прикрепленной к точке x i;
  5. Фермионное поле ψ (x i) представлено сплошной линией, прикрепленной к точке x i со стрелкой в ​​сторону точки;
  6. Антифермионное поле ψ (x i) представлено сплошной линией, прикрепленной к точке x i со стрелкой подальше от point;

Пример: процессы второго порядка в QED

Член возмущения второго порядка в S-матрице равенство

S (2) = (i e) 2 2! ∫ d 4 x d 4 x ′ T ψ ¯ (x) γ μ ψ (x) A μ (x) ψ ¯ (x ′) γ ν ψ (x ′) A ν (x ′). {\ displaystyle S ^ {(2)} = {\ frac {(т.е.) ^ {2}} {2!}} \ int d ^ {4} x \, d ^ {4} x '\, T {\ bar {\ psi}} (x) \, \ gamma ^ {\ mu} \, \ psi (x) \, A _ {\ mu} (x) \, {\ bar {\ psi}} ( x ') \, \ gamma ^ {\ nu} \, \ psi (x') \, A _ {\ nu} (x '). \;}{\displaystyle S^{(2)}={\frac {(ie)^{2}}{2!}}\int d^{4}x\,d^{4}x'\,T{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,\psi (x)\,A_{\mu }(x)\,{\bar {\psi }}(x')\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\nu }(x').\;}

Рассние фермионов

Диаграмма Фейнмана члена N ψ ¯ (x) т.е. γ μ ψ (x) ψ ¯ (x ′) т.е. γ ν ψ (x ′) A μ (x) A ν (x ′) {\ displaystyle N {\ bar {\ psi}} (x) т.е. \ gamma ^ {\ mu} \ psi (x) {\ bar {\ psi}} (x ') т.е. \ gamma ^ {\ nu} \ psi (x ') A _ {\ mu} (x) A_ {\ nu} (x')}{\displaystyle N{\bar {\psi }}(x)ie\gamma ^{\mu }\psi (x){\bar {\psi }}(x')ie\gamma ^{\nu }\psi (x')A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}

Разложение Вика подынтегрального выражения дает (среди прочего) следующий член

N ψ ¯ (x) γ μ ψ (x) ψ ¯ (Икс ') γ ν ψ (Икс') A μ (Икс) A ν (X ') _, {\ Displaystyle N {\ bar {\ psi}} (х) \ gamma ^ {\ mu} \ psi (x) {\ bar {\ psi}} (x ') \ gamma ^ {\ nu} \ psi (x') {\ underline {A _ {\ mu} (x) A _ {\ nu} (x ')}} \;,}N{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x){\bar {\psi }}(x')\gamma ^{\nu }\psi (x'){\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}\;,

где

A μ (x) A ν (x ′) _ = ∫ d 4 k (2 π) 4 - ig μ ν k 2 + i 0 e - ik (x - x ′) { \ Displaystyle {\ underline {A _ {\ mu} (x) A _ {\ nu} (x ')}} = \ int {\ frac {d ^ {4} k} {(2 \ pi) ^ {4 }}} {\ frac {-ig _ {\ mu \ nu}} {k ^ {2} + i0}} е ^ {- ik (xx ')}}{\displaystyle {\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi)^{4}}}{\frac {-ig_{\mu \nu }}{k^{2}+i0}}e^{-ik(x-x')}}

- электромагнитное воздействие (пропагатор) в калибровке Фейнмана. Этот член представлен диаграммой Фейнмана справа. Эта диаграмма дает вклад в следующие процессы:

  1. ее рассеяние (начальное состояние справа, конечное состояние слева от диаграммы);
  2. рассеяние ее (начальное состояние слева, конечное состояние на справа от диаграммы);
  3. ее рассеяние (начальное состояние внизу / вверху, конечное состояние вверху внизу диаграммы).

Комптоновское рассеяние и аннигиляция / генерация ее пар

Еще один интересный член в разложении:

N ψ ¯ (x) γ μ ψ (x) ψ ¯ (x ′) _ γ ν ψ ( Икс ') A μ (Икс) A ν (Икс'), {\ Displaystyle N {\ bar {\ psi}} (x) \, \ gamma ^ {\ mu} \, {\ underline {\ psi (x) \, {\ bar {\ psi}} (x ')}} \, \ gamma ^ {\ nu} \, \ psi (x') \, A _ {\ mu} (x) \, A _ {\ nu} (x ') \;,}N{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,{\underline {\psi (x)\,{\bar {\psi }}(x')}}\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\mu }(x)\,A_{\nu }(x')\;,

где

ψ (Икс) ψ ¯ (Икс') _ знак равно ∫ d 4 п (2 π) 4 я γ п - м + я 0 е - ip (х - х ') {\ Displaystyle {\ underline {\ psi (x) {\ bar {\ psi}} (x')}} = \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ frac {i} {\ gamma pm + i0}} e ^ {- ip (xx ')}}{\displaystyle {\underline {\psi (x){\bar {\psi }}(x')}}=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi)^{4}}}{\frac {i}{\gamma p-m+i0}}e^{-ip(x-x')}}

- фермионное сжатие (пропагатор).

Формулировка интеграла по путям

В интеграле по путям лагранжиан поля, интегрированный по всем возможным историям поля, определяет амплитуду вероятности перехода от одной конфигурации поля к другому. Чтобы иметь смысл, теория должна иметь четко определенное основное состояние, интеграл должен иметь небольшой поворотом в мнимое время, то есть вращением Вика. Формализм интеграла по путям полностью эквивалентен описанному выше каноническому операторному формализму.

Лагранжиан скалярного поля

Простым примером является свободное релятивистское скалярное поле в размерности d, интеграл действия которого равен:

S = ∫ 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ d d x. {\ Displaystyle S = \ int {\ tfrac {1} {2}} \ partial _ {\ mu} \ phi \ partial ^ {\ mu} \ phi \, d ^ {d} x \,.}{\displaystyle S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x\,.}

Амплитуда вероятности для процесса:

∫ AB ei SD ϕ, {\ displaystyle \ int _ {A} ^ {B} e ^ {iS} \, D \ phi \,,}{\displaystyle \int _{A}^{B}e^{iS}\,D\phi \,,}

где A и B - пространственные гиперповерхности, определяющие граничные условия. Совокупность всех φ (A) на начальной гиперповерхности дает начальное значение поля, соответствующее начальной позиции для точечной частицы, а значения поля φ (B) в каждой точке конечной гиперповерхности определяют конечное значение, которое может меняться, давая разную амплитуду, чтобы в конечном итоге получить разные значения. Это амплитуда перехода от поля к полюсу.

Интеграл по путям дает математическое ожидание операторов между начальным и конечным состояниями:

∫ A B e i S ϕ (x 1) ⋯ ϕ (x n) D ϕ = ⟨A | ϕ (x 1) ⋯ ϕ (x n) |, {\ Displaystyle \ int _ {A} ^ {B} e ^ {iS} \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \, D \ phi = \ left \ langle A \ left | \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \ right | B \ right \ rangle \,,}{\displaystyle \int _{A}^{B}e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi =\left\langle A\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|B\right\rangle \,,}

и в пределе, когда A и B уходят в бесконечное прошлое и в бесконечном будущем единственный существенный вклад вносит основное состояние (если это строго верно только в том случае, интеграл по путям определяется слегка повернутым в мнимое время). Интеграл по путям можно рассматривать как определение распределения вероятностей, и его удобно определить так, чтобы умножение на константу ничего меняло:

∫ ei S ϕ (x 1) ⋯ ϕ (xn) D ϕ ∫ ei SD ϕ = ⟨0 | ϕ (x 1) ⋯ ϕ (x n) | 0⟩. {\ displaystyle {\ frac {\ displaystyle \ int e ^ {iS} \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \, D \ phi} {\ displaystyle \ int e ^ {iS} \, D \ phi}} = \ left \ langle 0 \ left | \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \ right | 0 \ right \ rangle \,.}{\displaystyle {\frac {\displaystyle \int e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{iS}\,D\phi }}=\left\langle 0\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|0\right\rangle \,.}

Нормализующий коэффициент внизу называется статистической суммой для поля, и он совпадает соической механической статистической суммой при нулевой температуре при повороте в мнимое время.

Амплитуды от начальной до конечной не достигнуто, если с самого начала подумать о континуальном пределе, потому что флуктуации могут стать неограниченными. Таким образом, интеграл по путям можно представить себе как дискретную квадратную решетку с шагом решетки и пределом a → 0 следует соблюдать осторожность. Если окончательные результаты зависят от формы решетки или значения, то существует континуальный предел.

На решетке

На решетке, (i), поле может быть расширено в моды Фурье :

ϕ (x) = ∫ dk (2 π) d ϕ (k) eik ⋅ x = ∫ k ϕ (k) eikx. {\ displaystyle \ phi (x) = \ int {\ frac {dk} {(2 \ pi) ^ {d}}} \ phi (k) e ^ {ik \ cdot x} = \ int _ {k} \ phi (k) e ^ {ikx} \,.}{\displaystyle \phi (x)=\int {\frac {dk}{(2\pi)^{d}}}\phi (k)e^{ik\cdot x}=\int _{k}\phi (k)e^{ikx}\,.}

Здесь область интегрирования ограничена k кубом стороной 2π / a, поэтому большие значения k недопустимы. Важно отметить, что k-мера содержит множители 2π из преобразователей Фурье, это лучшее стандартное соглашение для k-интегралов в QFT. Иногда вместо решетки моды поля просто обрезаются при высоких значениях k.

Также время от времени удобно рассматривать объем пространства-времени как конечный, так что k-моды также являются решеткой. Это не строго так необходимо, как пределы пространственной решетки, потому что взаимодействие в k не локализованы, но это удобно для факторов перед k-интегралами и соответствующими дельта-функциями, обеспечивающими импульс.

На решетке, (ii) дискретизировать дискретизировать:

S = ∑ ⟨x, y⟩ 1 2 (ϕ (x) - ϕ (y)) 2, {\ displaystyle S = \ sum _ {\ langle x, y \ rangle} {\ tfrac {1} {2}} {\ big (} \ phi (x) - \ phi (y) {\ big)} ^ {2} \,,}{\displaystyle S=\sum _{\langle x,y\rangle }{\tfrac {1}{2}}{\big (}\phi (x)-\phi (y){\big)}^{2}\,,}

где ⟨x, y⟩ - пара ближайших соседей по решетке x и y. Дискретизацию следует рассматривать как определение, что означает производная ∂ μ φ.

В терминах решеточных мод Фурье действие можно записать:

S = ∫ k ((1 - cos ⁡ (k 1)) + (1 - cos ⁡ (k 2)) + ⋯ + (1 - cos ⁡ (kd))) ϕ k ∗ ϕ k. {\ Displaystyle S = \ int _ {k} {\ Big (} {\ big (} 1- \ cos (k_ {1}) {\ big)} + {\ big (} 1- \ cos (k_ {2 }) {\ big)} + \ cdots + {\ big (} 1- \ cos (k_ {d}) {\ big)} {\ Big)} \ phi _ {k} ^ {*} \ phi ^ { k} \,.}{\displaystyle S=\int _{k}{\Big (}{\big (}1-\cos(k_{1}){\big)}+{\big (}1-\cos(k_{2}){\big)}+\cdots +{\big (}1-\cos(k_{d}){\big)}{\Big)}\phi _{k}^{*}\phi ^{k}\,.}

Для k, близкого к нулю, это:

S = ∫ k 1 2 k 2 | ϕ (k) | 2. {\ displaystyle S = \ int _ {k} {\ tfrac {1} {2}} k ^ {2} \ left | \ phi (k) \ right | ^ {2} \,.}{\displaystyle S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}\,.}

Теперь мы имеем непрерывное преобразование Фурье исходного действия. В большей степени dk не бесконечно мала, но становится лучше, образованным соседними модами Фурье, или (2π / V)..

Поле φ является вещественным, поэтому преобразование Фурье подчиняется:

ϕ (k) ∗ = ϕ ( - к). {\ displaystyle \ phi (k) ^ {*} = \ phi (-k) \,.}\phi (k)^{*}=\phi (-k)\,.

В терминах действительной и мнимой частей действительная часть φ (k) является четной функцией k, а мнимая часть нечетная. Преобразование Фурье позволяет избежать двойного счета, поэтому его можно записать так:

S = ∫ k 1 2 k 2 ϕ (k) ϕ (- k) {\ displaystyle S = \ int _ {k} {\ tfrac {1} {2}} k ^ {2} \ phi (k) \ phi (-k)}{\displaystyle S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi (k)\phi (-k)}

интегрированная область, которая интегрирует по каждому паре (k, −k) ровно один раз.

Для комплексного скалярного поля с помощью

S = ∫ 1 2 ∂ μ ϕ ∗ ∂ μ ϕ ddx {\ displaystyle S = \ int {\ tfrac {1} {2}} \ partial _ {\ mu} \ phi ^ {*} \ partial ^ {\ mu} \ phi \, d ^ {d} x}{\displaystyle S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x}

преобразование Фурье без ограничений:

S = ∫ k 1 2 k 2 | ϕ (k) | 2 {\ displaystyle S = \ int _ {k} {\ tfrac {1} {2}} k ^ {2} \ left | \ phi (k) \ right | ^ {2}}{\displaystyle S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}}

и интеграл равенство по всему к.

Интегрирование по всем значениям φ (x) эквивалентно интегрированию по всем модам Фурье, поскольку преобразование Фурье представляет собой унитарное линейное преобразование координат поля. Когда вы изменяете координаты в многомерном интеграле посредством линейного преобразования, значение нового интеграла задает определителем матрицы преобразования. Если

yi = A ijxj, {\ displaystyle y_ {i} = A_ {ij} x_ {j} \,,}y_{i}=A_{ij}x_{j}\,,

, то

det (A) ∫ dx 1 dx 2 ⋯ dxn = ∫ dy 1 дн 2 ⋯ дин. {\ displaystyle \ det (A) \ int dx_ {1} \, dx_ {2} \ cdots \, dx_ {n} = \ int dy_ {1} \, dy_ {2} \ cdots \, dy_ {n} \,.}{\displaystyle \det(A)\int dx_{1}\,dx_{2}\cdots \,dx_{n}=\int dy_{1}\,dy_{2}\cdots \,dy_{n}\,.}

Если A - поворот, то

ATA = I {\ displaystyle A ^ {\ mathrm {T}} A = I}{\displaystyle A^{\mathrm {T} }A=I}

, так что det A = ± 1, а знак зависит от того, включает ли вращение отражение или нет.

Матрица, которая изменяет координаты с φ (x) на φ (k), может быть считана из определения преобразования Фурье.

A kx = eikx {\ displaystyle A_ {kx} = e ^ {ikx} \,}A_{kx}=e^{ikx}\,

и теорема обращения Фурье говорит вам обратное:

A kx - 1 = e - ikx {\ displaystyle A_ { kx} ^ {- 1} = e ^ {- ikx} \,}A_{kx}^{-1}=e^{-ikx}\,

который используется комплексно сопряженным-транспонированным с помощью до множителей 2π. На решетке предельного размера отличен от нуля и не зависит от значений поля.

det A = 1 {\ displaystyle \ det A = 1 \,}\det A=1\,

, интеграл по путям множителем для каждого значения k.

∫ exp ⁡ (i 2 ∑ k k 2 ϕ ∗ (k) ϕ (k)) D ϕ = ∏ k ∫ ϕ k e i 2 k 2 | ϕ k | 2 ddk {\ displaystyle \ int \ exp \ left ({\ frac {i} {2}} \ sum _ {k} k ^ {2} \ phi ^ {*} (k) \ phi (k) \ right) \, D \ phi = \ prod _ {k} \ int _ {\ phi _ {k}} e ^ {{\ frac {i} {2}} k ^ {2} \ left | \ phi _ {k} \ right | ^ {2} \, d ^ {d} k} \,}{\displaystyle \int \exp \left({\frac {i}{2}}\sum _{k}k^{2}\phi ^{*}(k)\phi (k)\right)\,D\phi =\prod _{k}\int _{\phi _{k}}e^{{\frac {i}{2}}k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,}

Фактор dk - это бесконечно малый объем дискретной ячейки в квадратной решетке

ddk = (1 L) d, {\ displaystyle d ^ {d} k = \ left ({\ frac {1} {L}} \ right) ^ {d} \,,}{\displaystyle d^{d}k=\left({\frac {1}{L}}\right)^{d}\,,}

где L - длина стороны коробки. Каждый отдельный фактор представляет собой колеблющуюся гауссиану, а ширина гауссианы расходится по мере того, как объем стремится к бесконечности.

В мнимом времени евклидово действие становится положительно определенным и может быть интерпретировано как распределение вероятностей. Вероятность того, что поле имеет значения φ k, равна

e ∫ k - 1 2 k 2 ϕ k ∗ ϕ k = ∏ k e - k 2 | ϕ k | 2 д д к. {\ displaystyle e ^ {\ int _ {k} - {\ tfrac {1} {2}} k ^ {2} \ phi _ {k} ^ {*} \ phi _ {k}} = \ prod _ { k} e ^ {- k ^ {2} \ left | \ phi _ {k} \ right | ^ {2} \, d ^ {d} k} \,.}{\displaystyle e^{\int _{k}-{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi _{k}^{*}\phi _{k}}=\prod _{k}e^{-k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,.}

Ожидаемое значение поля равно статистическое ожидание поля при выборе в соответствии с распределением вероятностей:

⟨ϕ (x 1) ⋯ ϕ (xn)⟩ = ∫ e - S ϕ (x 1) ⋯ ϕ (xn) D ϕ ∫ e - SD ϕ {\ displaystyle \ left \ langle \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \ right \ rangle = {\ frac {\ displaystyle \ int e ^ {- S} \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \, D \ phi} {\ displaystyle \ int e ^ {- S} \, D \ phi}}}{\displaystyle \left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}}

Поскольку вероятность φ k представляет собой произведение, значение φ k при каждом отдельном значении k независимо распределено по Гауссу. Дисперсия гауссианы составляет 1 / kdk, что формально бесконечно, но это просто означает, что флуктуации неограничены в бесконечном объеме. В любом конечном объеме интеграл заменяется дискретной суммой, а дисперсия интеграла равна V / k.

Монте-Карло

Интеграл по путям определяет вероятностный алгоритм для генерации конфигурации евклидова скалярного поля. Случайным образом выберите действительную и мнимую части каждой моды Фурье с волновым числом k, чтобы они были гауссовой случайной величиной с дисперсией 1 / k. Это генерирует случайную конфигурацию φ C (k), а преобразование Фурье дает φ C (x). Для вещественных скалярных полей алгоритм должен генерировать только одно из каждой пары φ (k), φ (−k) и сделать второе комплексно сопряженным с первым.

Чтобы найти любую корреляционную функцию, сгенерируйте поле снова и снова с помощью этой процедуры и найдите среднее статистическое значение:

⟨ϕ (x 1) ⋯ ϕ (x n)⟩ = lim | C | → ∞ ∑ C ϕ C (x 1) ⋯ ϕ C (x n) | C | {\ displaystyle \ left \ langle \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \ right \ rangle = \ lim _ {| C | \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {C} \ phi _ {C} (x_ {1}) \ cdots \ phi _ {C} (x_ {n})} {| C |}}}{\displaystyle \left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle =\lim _{|C|\rightarrow \infty }{\frac {\displaystyle \sum _{C}\phi _{C}(x_{1})\cdots \phi _{C}(x_{n})}{|C|}}}

где | C | - количество конфигураций, а сумма - произведение значений полей в каждой конфигурации. Евклидова корреляционная функция - это то же самое, что и корреляционная функция в статистике или статистической механике. Квантово-механические корреляционные функции являются аналитическим продолжением евклидовых корреляционных функций.

Для свободных полей с квадратичным действием распределение вероятностей является многомерным гауссовским, а среднее статистическое значение задается явной формулой. Но метод Монте-Карло также хорошо работает для бозонных теорий взаимодействующего поля, где нет замкнутой формы для корреляционных функций.

Скалярный пропагатор

Каждая мода независимо распределена по Гауссу. Ожидание режимов поля легко вычислить:

⟨ϕ k ϕ k ′⟩ = 0 {\ displaystyle \ left \ langle \ phi _ {k} \ phi _ {k '} \ right \ rangle = 0 \, }{\displaystyle \left\langle \phi _{k}\phi _{k'}\right\rangle =0\,}

для k ≠ k ′, с тех пор две гауссовские случайные величины независимы и обе имеют нулевое среднее.

⟨ϕ К ϕ К⟩ знак равно В К 2 {\ Displaystyle \ left \ langle \ phi _ {k} \ phi _ {k} \ right \ rangle = {\ frac {V} {k ^ {2}} }}{\displaystyle \left\langle \phi _{k}\phi _{k}\right\rangle ={\frac {V}{k^{2}}}}

в конечном объеме V, когда два k-значения совпадают, так как это дисперсия гауссиана. В пределе бесконечного объема

⟨ϕ (k) ϕ (k ′)⟩ = δ (k - k ′) 1 k 2 {\ displaystyle \ left \ langle \ phi (k) \ phi (k ') \ right \ rangle = \ delta (k-k ') {\ frac {1} {k ^ {2}}}}{\displaystyle \left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{k^{2}}}}

Строго говоря, это приближение: пропагатор решетки составляет:

⟨ϕ (k) ϕ (k ′)⟩ знак равно δ (k - k ′) 1 2 (d - соз ⁡ (k 1) + cos ⁡ (k 2) ⋯ + cos ⁡ (kd)) {\ displaystyle \ left \ langle \ phi (k) \ phi (k ') \ right \ rangle = \ delta (k-k') {\ frac {1} {2 {\ big (} d- \ cos (k_ {1}) + \ cos (k_ {2}) \ cdots + \ cos (k_ {d}) {\ big)}}}}{\displaystyle \left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{2{\big (}d-\cos(k_{1})+\cos(k_{2})\cdots +\cos(k_{d}){\big)}}}}

Но около k = 0, для флуктуаций поля, длинных по сравнению с шагом решетки, две формы совпадают.

Важно подчеркнуть, что дельта-функции содержат множители 2π, так что они сокращают множители 2π в мере для k интегралов.

δ (к) знак равно (2 π) d δ D (к 1) δ D (к 2) ⋯ δ D (kd) {\ Displaystyle \ delta (k) = (2 \ pi) ^ {d} \ delta _ {D} (k_ {1}) \ delta _ {D} (k_ {2}) \ cdots \ delta _ {D} (k_ {d}) \,}{\displaystyle \delta (k)=(2\pi)^{d}\delta _{D}(k_{1})\delta _{D}(k_{2})\cdots \delta _{D}(k_{d})\,}

где δ D (k) - обычная одномерная дельта-функция Дирака. Это соглашение для дельта-функций не универсально - некоторые авторы оставляют множители 2π в дельта-функции (и в k-интегрировании) явными.

Уравнение движения

Форму пропагатора легче найти, используя уравнение движения для поля. Изранжиана уравнение движения лаг следующим образом:

∂ μ ∂ μ ϕ = 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} \ phi = 0 \,}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi =0\,

и в математическое ожидание, это говорит:

∂ μ ∂ μ ⟨ϕ (x) ϕ (y)⟩ = 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} \ left \ langle \ phi (x) \ phi (y) \ right \ rangle = 0}{\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\left\langle \phi (x)\phi (y)\right\rangle =0}

Где производные значения на x, и тождество истинно везде, кроме случаев, когда x и y имеют совпадающие, и порядок операторов. Форму особенности можно понять из канонических коммутационных функций как дельта-функцию. Определение (евклидова) пропагатора Фейнмана Δ как преобразование Фурье упорядоченной по времени двухточечной функции (той, которая получается из интеграла по путям):

∂ 2 Δ (x) = i δ (x) {\ displaystyle \ partial ^ {2} \ Delta (x) = я \ delta (x) \,}\partial ^{2}\Delta (x)=i\delta (x)\,

Так что:

Δ (k) = ik 2 {\ displaystyle \ Delta (k) = {\ frac {i} {k ^ { 2}}}}{\displaystyle \Delta (k)={\frac {i}{k^{2}}}}

Если уравнения движения линейны, пропагатор всегда будет обратной величиной матрицы квадратичной формы, которая определяет свободный лагранжиан, поскольку это дает уравнения движения. Это также легко увидеть непосредственно из интеграла по путям. Фактор исчезает в евклидовой теории.

Теорема Вика

Каждая мода поляна независимой гауссовой, ожидаемые значения для многих поля подчиняются теореме Вика:

⟨ϕ (k 1) ϕ (k 2) ⋯ ϕ (kn)⟩ { \ displaystyle \ left \ langle \ phi (k_ {1}) \ phi (k_ {2}) \ cdots \ phi (k_ {n}) \ right \ rangle}{\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\cdots \phi (k_{n})\right\rangle }

равно нулю, если моды поля не совпадают попарно. Это означает, что он равен нулю для нечетного числа φ, а для четного числа φ он равен вкладу от каждой пары в отдельности с дельта-функцией.

⟨ϕ (К 1) ⋯ ϕ (К 2 N)⟩ знак равно ∑ ∏ я, J δ (ки - kj) ки 2 {\ Displaystyle \ left \ langle \ phi (k_ {1}) \ cdots \ phi (k_ {2n}) \ right \ rangle = \ sum \ prod _ {i, j} {\ frac {\ delta \ left (k_ {i} -k_ {j} \ right)} {k_ {i} ^ {2}}}}{\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\cdots \phi (k_{2n})\right\rangle =\sum \prod _{i,j}{\frac {\delta \left(k_{i}-k_{j}\right)}{k_{i}^{2}}}}

где сумма - по каждому разделу режима поля на пары, произведение - по парам. Например,

⟨ϕ (k 1) ϕ (k 2) ϕ (k 3) ϕ (k 4)⟩ = δ (k 1 - k 2) k 1 2 δ (k 3 - k 4) k 3 2 + δ (К 1 - К 3) К 3 2 δ (К 2 - К 4) К 2 2 + δ (К 1 - К 4) К 1 2 δ (К 2 - К 3) К 2 2 {\ Displaystyle \ слева \ langle \ phi (k_ {1}) \ phi (k_ {2}) \ phi (k_ {3}) \ phi (k_ {4}) \ right \ rangle = {\ frac {\ delta (k_ {1 } -k_ {2})} {k_ {1} ^ {2}}} {\ frac {\ delta (k_ {3} -k_ {4})} {k_ {3} ^ {2}}} + { \ frac {\ delta (k_ {1} -k_ {3})} {k_ {3} ^ {2}}} {\ frac {\ delta (k_ {2} -k_ {4})} {k_ {2 } ^ {2}}} + {\ frac {\ delta (k_ {1} -k_ {4})} {k_ {1} ^ {2}}} {\ frac {\ delta (k_ {2} - k_ {3})} {k_ {2} ^ {2}}}}{\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\delta (k_{1}-k_{2})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{3}-k_{4})}{k_{3}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{3})}{k_{3}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{4})}{k_{2}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{4})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{3})}{k_{2}^{2}}}}

Интерпретация теоремы Вика состоит в том, что каждую вставку поля можно рассматривать как висящую линию, математическое ожидание вычисляется путем связывания линии в парах, помещая коэффициент дельта - функции, который гарантирует, что импульс партнера в паре равенство, и деление на пропагатор.

Высшие гауссовские моменты - завершение теоремы Вика

Перед доказательством теоремы Вика остается тонкий момент - что, если более двух физ имеют одинаковый импульс? Если это нечетное число, интеграл равенство нулю; отрицательные значения отменяются положительными значениями. Но если число четное, интеграл положительный. Предыдущая демонстрация предполагала, что фи совпадают только парами.

Но теорема верна даже тогда, когда произвольно много φ равны, и это примечательное гауссова интегрирования:

I = ∫ e - ax 2/2 dx = 2 π a {\ displaystyle I = \ int e ^ {- ax ^ {2} / 2} dx = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {a}}}}{\displaystyle I=\int e^{-ax^{2}/2}dx={\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}}
∂ n ∂ an I = ∫ x 2 n 2 ne - ax 2/2 dx знак равно 1 ⋅ 3 ⋅ 5… ⋅ (2 n - 1) 2 ⋅ 2 ⋅ 2… ⋅ 2 2 π a - 2 n + 1 2 {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {n}} {\ partial a ^ {n}}} I = \ int {\ frac {x ^ {2n}} {2 ^ {n}}} e ^ {- ax ^ {2} / 2} dx = {\ гидроразрыв {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ ldots \ cdot (2n-1)} {2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ ldots \; \; \; \; \; \ cdot 2 \; \; \; \; \; \;}} {\ sqrt {2 \ pi}} \, a ^ {- {\ frac {2n + 1} {2}}}}{\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}}}I=\int {\frac {x^{2n}}{2^{n}}}e^{-ax^{2}/2}dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 2\cdot 2\ldots \;\;\;\;\;\cdot 2\;\;\;\;\;\;}}{\sqrt {2\pi }}\,a^{-{\frac {2n+1}{2}}}}

Делим на I,

⟨x 2 n⟩ Знак равно ∫ Икс 2 ne - топор 2/2 ∫ е - топор 2/2 = 1 ⋅ 3 ⋅ 5… ⋅ (2 n - 1) 1 an {\ displaystyle \ left \ langle x ^ {2n} \ right \ rangle = { \ гидроразрыва {\ displaystyle \ int х ^ {2n} e ^ {- ax ^ {2} / 2}} {\ displaystyle \ int e ^ {- ax ^ {2} / 2}}} = 1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ ldots \ cdot (2n-1) {\ frac {1} {a ^ {n}}}}{\displaystyle \left\langle x^{2n}\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int x^{2n}e^{-ax^{2}/2}}{\displaystyle \int e^{-ax^{2}/2}}}=1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1){\frac {1}{a^{n}}}}
⟨x 2⟩ = 1 a {\ displaystyle \ left \ langle x ^ {2} \ right \ rangle = {\ frac {1} {a}}}{\displaystyle \left\langle x^{2}\right\rangle ={\frac {1}{a}}}

Если бы теорема Вика была Правильно, высшие моменты будут даны всеми возможными парами списка из 2n различных x:

⟨x 1 x 2 x 3 ⋯ x 2 n⟩ {\ displaystyle \ left \ langle x_ {1} x_ {2} x_ {3} \ cdots x_ {2n} \ right \ rangle}{\displaystyle \left\langle x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{2n}\right\rangle }

где x - это одна и та же переменная, индекс нужен только для положения количества способов их соединения. Первый x может быть спарен с 2n - 1 другими, оставляя 2n - 2. Следующий непарный x может быть спарен с 2n - 3 различными x, оставляя 2n - 4, и так далее. Это означает, что теорема Вика без исправлений утверждает, что математическое ожидание x должно быть:

⟨x 2 n⟩ = (2 n - 1) ⋅ (2 n - 3)… ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 x 2⟩ N {\ displaystyle \ left \ langle x ^ {2n} \ right \ rangle = (2n-1) \ cdot (2n-3) \ ldots \ cdot 5 \ cdot 3 \ cdot 1 \ left \ langle x ^ {2} \ right \ rangle ^ {n}}{\displaystyle \left\langle x^{2n}\right\rangle =(2n-1)\cdot (2n-3)\ldots \cdot 5\cdot 3\cdot 1\left\langle x^{2}\right\rangle ^{n}}

и это действительно правильный ответ. Итак, Вика остается в силе независимо от того, сколько импульсов внутренних совпадают.

Взаимодействие

Взаимодействие вкладами более высокого порядка, поскольку квадратичные вклады всегда гауссовы. Простейшим взаимодействием является самодействие четвертой степени с помощью:

S = ∫ ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ + λ 4! ϕ 4. {\ displaystyle S = \ int \ partial ^ {\ mu} \ phi \ partial _ {\ mu} \ phi + {\ frac {\ lambda} {4!}} \ phi ^ {4}.}{\displaystyle S=\int \partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi +{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.}

причина комбинаторного множителя 4! скоро будет ясно. Запись действия в терминах решеточных (или континуальных) мод Фурье:

S = ∫ k k 2 | ϕ (k) | 2 + λ 4! ∫ k 1 k 2 k 3 k 4 ϕ (k 1) ϕ (k 2) ϕ (k 3) ϕ (k 4) δ (k 1 + k 2 + k 3 + k 4) = SF + X. {\ displaystyle S = \ int _ {k} k ^ {2} \ left | \ phi (k) \ right | ^ {2} + {\ frac {\ lambda} {4!}} \ Int _ {k_ {1} k_ {2} k_ {3} k_ {4}} \ phi (k_ {1}) \ phi (k_ {2}) \ phi (k_ {3}) \ phi (k_ {4}) \ delta (k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + k_ {4}) = S_ {F} + X.}{\displaystyle S=\int _{k}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}+{\frac {\lambda }{4!}}\int _{k_{1}k_{2}k_{3}k_{4}}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\delta (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})=S_{F}+X.}

где S F - свободное действие, корреляционные функции которого дается теоремой Вика. Показатель S в интеграле по путям может быть разложен по степеням λ, что дает ряд поправок к свободному действию.

е - S = е - SF (1 + X + 1 2! XX + 1 3! XXX + ⋯) {\ displaystyle e ^ {- S} = e ^ {- S_ {F}} \ left (1 + X + {\ frac {1} {2!}} XX + {\ frac {1} {3!}} XXX + \ cdots \ right)}{\displaystyle e^{-S}=e^{-S_{F}}\left(1+X+{\frac {1}{2!}}XX+{\frac {1}{3!}}XXX+\cdots \right)}

Тогда интеграл по путям для взаимодействующего действия представляет собой степенной ряд поправок к свободному действию. Термин, представленный X, рассматривать как полупрямы, по одной для каждого фактора φ (k). Полупые пересекаются в вершине, что дает дельта-функцию, которая, что сумма импульсов равна всем.

Чтобы вычислить корреляционную функцию в опыте, теперь есть вклад X-членов. Например, интеграл по путям для четырехпольного коррелятора:

ϕ (k 1) ϕ (k 2) ϕ (k 3) ϕ (k 4)⟩ = ∫ e - S ϕ (k 1) ϕ (К 2) ϕ (К 3) ϕ (К 4) D ϕ Z {\ Displaystyle \ left \ langle \ phi (k_ {1}) \ phi (k_ {2}) \ phi (k_ {3}) \ phi (k_ {4})) \ right \ rangle = {\ frac {\ displaystyle \ int e ^ {- S} \ phi (k_ {1}) \ phi (k_ {2}) \ phi (k_ {3}) \ phi (k_ {4 }) D \ phi} {Z}}}{\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})D\phi }{Z}}}

, в свободном поле был ненулевым только тогда, когда моментсы k были попарно равны, теперь отличен от нуля для всех значений k. Импульсы вставок φ (k i) теперь могут совпадать с импульсами Xs в расширении. Вставки также следует рассматривать как полупрямы, в данном случае четыре, которые передают k, но не интегрируются.

Вклад низшего порядка действия исходит от первого нетривиального члена eX в разложении Тейлора. Теорема Вика требует, чтобы импульсы в полупрямах X, множители φ (k) в X, попарно совпадали с импульсами внешними полуосей. Новый вклад равен:

λ 1 k 1 2 1 k 2 2 1 k 3 2 1 k 4 2. {\ displaystyle \ lambda {\ frac {1} {k_ {1} ^ {2}}} {\ frac {1} {k_ {2} ^ {2}}} {\ frac {1} {k_ {3} ^ {2}}} {\ frac {1} {k_ {4} ^ {2}}} \,.}{\displaystyle \lambda {\frac {1}{k_{1}^{2}}}{\frac {1}{k_{2}^{2}}}{\frac {1}{k_{3}^{2}}}{\frac {1}{k_{4}^{2}}}\,.}

Четверка! внутри X отменяется, потому что их ровно 4! способы совместить полупрямы в X с внешними полупрями. По теореме Вика каждый из этих способов сопоставления половин линий попарно дает ровно один вклад независимо от значений k 1,2,3,4.

Диаграммы Фейнмана

Расширение действия по степеням X дает ряд с постепенно увеличивающимся числом X. Вклад члена с ровно n Xs называется n-м порядком.

Члены n-го порядка имеют:

  1. 4n внутренние полупрямой, которые являются множителями φ (k) от Xs. Все они заканчиваются на вершине и интегрируются по всем возможным k.
  2. внешним полупрямым, результатом которого является вставок φ (k) в интеграл.

Каждая пара из полуосей должны быть соединены вместе, чтобы получилась линия, и эта линия дает коэффициент

δ (k 1 + k 2) k 1 2 {\ displaystyle {\ frac {\ delta (k_ { 1} + k_ {2})} {k_ {1} ^ {2}}}}{\displaystyle {\frac {\delta (k_{1}+k_{2})}{k_{1}^{2}}}}

который умножает вклад. Это означает, что две полуоси, образующие линию, вынуждены иметь равный и противоположный импульс. Сама линия должна быть помечена стрелкой, проведенной линии и обозначенной импульсом линии k. Половинная линия в конце стрелки несет импульс k, в то время как половина линии в головном конце несет импульс −k. Это уничтожает интеграл по внутреннему k, так как он заставляет внутреннее k быть равным внешнему k. Если оба внутренние, интеграл по k сохранен.

Диаграммы, которые формируются путем соединения полупрямой в крестиках с внешними полупрямы, представляющими вставки, являющимися диаграммами Фейнмана этой теории. Каждая строка несет фактор 1 / k, пропагатор, и либо идет от вершины к вершине, либо заканчивается вставкой. Если он внутренний, он интегрирован. В каждой вершине общее входящее k равно общему исходящему k.

Примеры способов посредством диаграммы объединения полупрямой в линии почти полностью исключающие факторы, происходящие из ряда Тейлора экспоненты и 4! в каждой вершине.

Порядок петель

Диаграмма леса - это диаграмма, в которой все внутренние линии имеют внешний импульс, полностью определяемый линией, и условием, что входящий и исходящий импульс равны в каждой вершине. Вклад этих диаграмм является продуктом пропагандистов без какой-либо интеграции. Древовидная диаграмма - это диаграмма связного леса.

Примером древовидной диаграммы является диаграмма, где каждая из четырех линий заканчивается на X. Другой пример - когда три внешние линии заканчиваются на X, оставшаяся половина линии соединяется с другим X, и остальные полустроки этого X. линии. Все это также диаграммы леса (поскольку каждое дерево - это лес); Пример леса, который не является деревом, - когда восемь конечностей заканчиваются двумя крестиками.

Легко проверить, что во всех этих импульсах на всех внутренних линиях показателей импульсами и условием впечатления в каждой вершине.

Диаграмма, которая не является диаграммой, называется диаграммой цикла, и примером является диаграмма, в которой две линии X соединяются с внешними линиями, а остальные две линии соединяются друг с другом. Две соединенные друг с другом линии могут иметь импульс, поскольку они входят выходят из одной вершины. Более сложный пример - это тот, где два X соединяются друг с другом путем сопоставления ног друг с другом. На этой диаграмме вообще нет внешних линий.

Причина, по которой петлевые диаграммы называются петлевыми диаграммами, заключаются в том, что количество k-интегралов, которые остаются неопределенными из-за сохранения импульса, независимыми замкнутыми контуровами на диаграмме, где независимые контуры подсчитываются как в теория гомологии. Гомология является действительной (фактически R оцененной), значение, связанное с каждой линией, является импульсом. Граничный оператор переводит строку в сумме конечных вершин с положительным знаком в начале и отрицательным знаком в хвосте. Условие качественного взвешенного графа соответствует нулю.

Набор допустимых k-значений может быть произвольно переопределен всякий раз, когда есть замкнутый цикл. Замкнутый цикл - это циклический путь из перечисленных вершин, который не пересекает одну и ту же вершину. Такой цикл можно рассматривать как границу гипотетической двухсекционной. K-разметка графа, сохраняющая импульс (т.е. имеющая нулевую границу) до переопределения k (то есть до границ 2-ячеек), определяет первые гомологии графа. Число независимых сигналов, не относящихся к данной категории, составляет Подсчитайте наиболее интуитивно понятным способом.

Факторы симметрии

Образцы способов сформировать диаграмму Фейнмана путем соединения половинных линий велико, и по теореме Вика каждый способ попарно попарно половинных линий дает одинаковый вклад. Часто при этом полностью отменяются факториалы в знаменателе каждого члена, но иногда отмена неполная.

Неотмененный знаменатель называется коэффициентом симметрии диаграммы. Вклад каждой диаграммы в корреляционную функцию должен быть разделен на ее коэффициент симметрии.

Например, рассмотрим диаграмму Фейнмана, образованную двумя внешними линиями, соединенными одним X, и двумя оставшимися полупрямыми в X, соединенными друг с другом. Есть способы 4x3 соединить внешние полупрямы с X, а затем есть только один способ соединить две оставшиеся линии друг с другом. X делится на 4! = 4 × 3 × 2, но количество способов связать X половинных линий для создания диаграмм составляет всего 4 × 3, поэтому эта диаграмма делится на два.

В качестве другого примера рассмотрим диаграмму, образованную соединением всех полупрямой одного X со всеми полупрямыми другим X. Эта диаграмма называется вакуумным пузырем, потому что она не соединяется ни с одной внешней линией. Их 4! способы сформировать эту диаграмму, но знаменатель включает 2! (из разложения экспоненты получается два X) и два множителя 4!. Вклад умножается на 4! / 2 × 4! × 4! = 1/48.

Другим примером является диаграмма Фейнмана, сформированная из двух X, где каждый X соединяется двумя внешними линиями, оставшиеся две полупрямы X соединяются друг с другом. Количество способов связать X с двумя внешними линиями составляет 4 × 3, и любой X может подключаться к любому паре, что дает дополнительный коэффициент 2. Оставшиеся две половинные линии в двух X могут быть связаны друг с другом. двумя способами, так что общее количество способов сформировать диаграмму будет 4 × 3 × 4 × 3 × 2 × 2, а знаменатель - 4! × 4! × 2!. Общий коэффициент симметрии равен 2, и вклад этой диаграммы делится на 2.

Теорема о коэффициенте симметрии дает коэффициент симметрии для общей диаграммы: вклад каждой диаграммы Фейнмана должен быть разделен на свою группу автоморфизмов, количество симметрий, которые она имеет.

автоморфизм графа Фейнмана - это перестановка M прямая и перестановка N вершин со своими свойствами:

  1. прямая l идет от вершины v к вершине v ′, то M (l) переходит от N (v) к N (v '). Если неориентирована, как для линии реального скалярного поля, то M (l) может также перейти от N (v ') к N (v).
  2. Если строка l заканчивается внешней линией, M (l) заканчивается на одной и той же внешней линии.
  3. Если существуют разные типы линий, M (l) должен тип тип.

Эта теорема имеет интерпретацию в терминах путей частиц: присутствуют идентичные частицы, интеграл по всем промежуточным частицам не должен соответствовать состояниям, которые отличаются только заменой одинаковых частиц.

Доказательство: чтобы доказать эти теорему, пометьте все внутренние и внешние линии линии уникальным именем. Затем сформируйте диаграмму, соединив половину линии с именем, а затем с другой половиной линии.

Теперь посчитайте количество способов сформировать названную диаграмму. Каждая перестановка X дает различный образец связывания имен с полустрочками, и это множитель n!. Каждая перестановка полупрямой в один X дает коэффициент 4!. Таким образом, именованная диаграмма может быть сформирована точно так же, как и знаменатель разложения Фейнмана.

Но количество безымянных диаграмм меньше количества именованных диаграмм на порядок группы автоморфизмов графа.

Связанные диаграммы: теорема о связанном кластере

Грубо говоря, диаграмма Фейнмана называется связной, если все вершины и пропагаторные линии последовательностью вершин и пропагаторов самой диаграммы. Если рассматривать его как неориентированный граф, он связан. Замечательная актуальность таких диаграмм в КТП объясняется тем фактом, что их достаточно для определения квантовой статистической суммы Z [J]. Точнее, связные диаграммы Фейнмана определяют

i W [J] ≡ ln ⁡ Z [J]. {\ displaystyle iW [J] \ Equiv \ ln Z [J].}iW[J]\equiv \ln Z[J].

Чтобы убедиться в этом, следует вспомнить, что

Z [J] ∝ ∑ k D k {\ displaystyle Z [J] \ propto \ sum _ {k} {D_ {k}}}Z[J]\propto \sum _{k}{D_{k}}

с D k, построенная из некоторой (произвольной) диаграммы Фейнмана, которая, как можно представить, состоит из нескольких связанных компонентов C я. Если на диаграмме Фейнмана D k встречается n i (идентичный) копий компонента C i, необходимо включить коэффициент симметрии n i !. Однако в конечном итоге каждая вкладка диаграмма Фейнмана D k в статистической сумме имеет общий вид

∏ i C i n i n i! {\ displaystyle \ prod _ {i} {\ frac {C_ {i} ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}}}{\displaystyle \prod _{i}{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}}

где я помечаю (бесконечно) множество различных связанных диаграмм Фейнмана.

Схема для последовательного создания таких вкладов из D k в Z [J] получается с помощью

(1 0! + C 1 1! + C 1 2 2! + ⋯) (1 + C 2 + 1 2 C 2 2 + ⋯) ⋯ {\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {0!}} + {\ Frac {C_ {1}} {1!}} + {\ frac {C_ {1} ^ {2}} {2!}} + \ cdots \ right) \ left (1 + C_ {2} + {\ frac {1} {2}} C_ {2} ^ { 2} + \ cdots \ right) \ cdots}{\displaystyle \left({\frac {1}{0!}}+{\frac {C_{1}}{1!}}+{\frac {C_{1}^{2}}{2!}}+\cdots \right)\left(1+C_{2}+{\frac {1}{2}}C_{2}^{2}+\cdots \right)\cdots }

и, следовательно, дает

Z [J] ∝ ∏ i ∑ ni = 0 ∞ C inini! = ехр ⁡ ∑ я С я ∝ ехр ⁡ W [Дж]. {\ Displaystyle Z [J] \ propto \ prod _ {i} {\ sum _ {n_ {i} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {C_ {i} ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}}} = \ exp {\ sum _ {i} {C_ {i}}} \ propto \ exp {W [J]} \,.}{\displaystyle Z[J]\propto \prod _{i}{\sum _{n_{i}=0}^{\infty }{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}}=\exp {\sum _{i}{C_{i}}}\propto \exp {W[J]}\,.}

Чтобы установить нормализацию Z 0 = exp W [0] = 1 просто вычисляются все связанные вакуумные диаграммы, то есть диаграммы без каких-либо источников J (иногда называемых внешними ветвями диаграммы Фейнмана).

Вакуумные пузыри

Непосредственным следствием теоремы о связанных кластерах является то, что все вакуумные пузыри, диаграммы без внешних линий, сокращаются при вычислении корреляционных функций. Корреляционная функция задается отношением интегралов по путям:

⟨ϕ 1 (x 1) ⋯ ϕ n (xn)⟩ = ∫ e - S ϕ 1 (x 1) ⋯ ϕ n (xn) D ϕ ∫ e - SD ϕ. {\ displaystyle \ left \ langle \ phi _ {1} (x_ {1}) \ cdots \ phi _ {n} (x_ {n}) \ right \ rangle = {\ frac {\ displaystyle \ int e ^ {- S} \ phi _ {1} (x_ {1}) \ cdots \ phi _ {n} (x_ {n}) \, D \ phi} {\ displaystyle \ int e ^ {- S} \, D \ phi }} \,.}{\displaystyle \left\langle \phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}\,.}

Верхняя точка - это сумма по всем диаграммам Фейнмана, включая отключенные диаграммы, которые вообще не связаны с внешними линиями. В терминах связанных диаграмм числитель включает те же вклады вакуумных пузырьков, что и знаменатель:

∫ e - S ϕ 1 (x 1) ⋯ ϕ n (xn) D ϕ = (∑ E i) (exp ⁡ (∑ i C i)). {\ displaystyle \ int e ^ {- S} \ phi _ {1} (x_ {1}) \ cdots \ phi _ {n} (x_ {n}) \, D \ phi = \ left (\ sum E_ { i} \ right) \ left (\ exp \ left (\ sum _ {i} C_ {i} \ right) \ right) \,.}{\displaystyle \int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi =\left(\sum E_{i}\right)\left(\exp \left(\sum _{i}C_{i}\right)\right)\,.}

Где сумма по диаграммам E включает только те диаграммы, каждая из которых связана компоненты заканчиваются как минимум на одной внешней линии. Вакуумные пузыри одинаковы независимо от внешних линий и дают общий мультипликативный коэффициент. Знаменатель - это сумма по всем вакуумным пузырькам, а деление избавляет от второго множителя.

Вакуумные пузырьки тогда полезны только для определения самого Z, которое из определения интеграла по путям равно:

Z = ∫ e - SD ϕ = e - HT = e - ρ V { \ Displaystyle Z = \ int e ^ {- S} D \ phi = e ^ {- HT} = e ^ {- \ rho V}}Z=\int e^{-S}D\phi =e^{-HT}=e^{-\rho V}

где ρ - плотность энергии в вакууме. Каждый вакуумный пузырь содержит множитель δ (k), обнуляющий общее k в каждой вершине, а когда нет внешних линий, он содержит множитель δ (0), потому что сохранение импульса является избыточным. В конечном объеме этот фактор можно определить как общий объем пространства-времени. После деления на объем оставшийся интеграл для вакуумного пузыря имеет интерпретацию: это вклад в плотность энергии вакуума.

Источники

Корреляционные функции - это сумма связанных диаграмм Фейнмана, но формализм трактует связанные и несвязанные диаграммы по-разному. Внутренние линии заканчиваются на вершинах, а внешние - на вставки. Введение источников унифицирует формализм, создавая новые вершины там, где может заканчиваться одна линия.

Источники - это внешние поля, поля, которые участвуют в действии, но не являются динамическими переменными. Источник скалярного поля - это другое скалярное поле h, которое вносит член в лагранжиан (Лоренца):

∫ h (x) ϕ (x) ddx = ∫ h (k) ϕ (k) ddk {\ displaystyle \ int h (x) \ phi (x) \, d ^ {d} x = \ int h (k) \ phi (k) \, d ^ {d} k \,}{\displaystyle \int h(x)\phi (x)\,d^{d}x=\int h(k)\phi (k)\,d^{d}k\,}

В разложении Фейнмана это дает H члены с одной полупрямой, заканчивающейся на вершине. Теперь линии на диаграмме Фейнмана могут заканчиваться либо на вершине X, либо на вершине H, и только одна линия входит в вершину H. Правило Фейнмана для вершины H состоит в том, что прямая из H с импульсом k получает множитель h (k).

Сумма подключенных диаграмм при наличии источников включает член для каждой подключенной диаграммы при отсутствии источников, за исключением того, что теперь диаграммы могут заканчиваться на источнике. Традиционно источник обозначается маленьким знаком «×» с одной вытянутой линией, точно как вставка.

журнал ⁡ (Z [час]) = ∑ N, С час (К 1) час (К 2) ⋯ час (КН) С (К 1, ⋯, кн) {\ Displaystyle \ log {\ big (} Z [h] {\ big)} = \ sum _ {n, C} h (k_ ​​{1}) h (k_ ​​{2}) \ cdots h (k_ ​​{n}) C (k_ {1}, \ cdots, k_ {n}) \,}{\displaystyle \log {\big (}Z[h]{\big)}=\sum _{n,C}h(k_{1})h(k_{2})\cdots h(k_{n})C(k_{1},\cdots,k_{n})\,}

где C (k 1,…, k n) - это связная диаграмма с n внешними линиями, несущими импульс, как указано. Сумма ведется по всем подключенным диаграммам, как и раньше.

Поле h не является динамическим, что означает, что нет интеграла по путям по h: h - это просто параметр в лагранжиане, который меняется от точки к точке. Интеграл по путям для поля:

Z [h] = ∫ ei S + i ∫ h ϕ D ϕ {\ displaystyle Z [h] = \ int e ^ {iS + i \ int h \ phi} \, D \ phi \,}{\displaystyle Z[h]=\int e^{iS+i\int h\phi }\,D\phi \,}

, и это функция значений h в каждой точке. Одним из способов интерпретации этого выражения является преобразование Фурье в пространстве полей. Если есть плотность вероятности на R, преобразование Фурье плотности вероятности будет:

∫ ρ (y) eikydny = ⟨eiky⟩ = ⟨∏ i = 1 neihiyi⟩ {\ displaystyle \ int \ rho (y) e ^ {iky} \, d ^ {n} y = \ left \ langle e ^ {iky} \ right \ rangle = \ left \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {n} e ^ {ih_ {i} y_ {i}} \ right \ rangle \,}{\displaystyle \int \rho (y)e^{iky}\,d^{n}y=\left\langle e^{iky}\right\rangle =\left\langle \prod _{i=1}^{n}e^{ih_{i}y_{i}}\right\rangle \,}

Преобразование Фурье - это математическое ожидание колебательной экспоненты. Интеграл по путям при наличии источника h (x) равен:

Z [h] = ∫ ei S ei ∫ xh (x) ϕ (x) D ϕ = ⟨eih ϕ⟩ {\ displaystyle Z [h] = \ int e ^ {iS} e ^ {i \ int _ {x} h (x) \ phi (x)} \, D \ phi = \ left \ langle e ^ {ih \ phi} \ right \ rangle}{\displaystyle Z[h]=\int e^{iS}e^{i\int _{x}h(x)\phi (x)}\,D\phi =\left\langle e^{ih\phi }\right\rangle }

который на решетке является произведением осциллирующей экспоненты для каждого значения поля:

⟨∏ xeihx ϕ x⟩ {\ displaystyle \ left \ langle \ prod _ {x} e ^ {ih_ {x} \ phi _ {x}} \ right \ rangle}{\displaystyle \left\langle \prod _{x}e^{ih_{x}\phi _{x}}\right\rangle }

Преобразование Фурье дельта-функции является константой, которая дает формальное выражение для дельта-функции:

δ (x - y) = ∫ eik ( x - y) dk {\ displaystyle \ delta (xy) = \ int e ^ {ik (xy)} \, dk}{\displaystyle \delta (x-y)=\int e^{ik(x-y)}\,dk}

Это говорит вам, как дельта-функция поля выглядит в интеграле по пути. Для двух скалярных полей φ и η

δ (ϕ - η) = ∫ eih (x) (ϕ (x) - η (x)) ddx D h, {\ displaystyle \ delta (\ phi - \ eta) = \ int e ^ {ih (x) {\ big (} \ phi (x) - \ eta (x) {\ big)} \, d ^ {d} x} \, Dh \,,}{\displaystyle \delta (\phi -\eta)=\int e^{ih(x){\big (}\phi (x)-\eta (x){\big)}\,d^{d}x}\,Dh\,,}

который интегрируется по координате преобразования Фурье по h. Это выражение полезно для формального изменения координат поля в интеграле по путям, так же как дельта-функция используется для изменения координат в обычном многомерном интеграле.

Статистическая сумматеперь является функцией поля h, а физическая статистическая сумма - это значение, когда h является нулевой функцией:

Корреляционные функции являются производными интеграла по путям относительно к источнику:

⟨ϕ (x)⟩ = 1 Z ∂ ∂ h (x) Z [h] = ∂ ∂ h (x) log ⁡ (Z [h]). {\ displaystyle \ left \ langle \ phi (x) \ right \ rangle = {\ frac {1} {Z}} {\ frac {\ partial} {\ partial h (x)}} Z [h] = {\ frac {\ partial} {\ partial h (x)}} \ log {\ big (} Z [h] {\ big)} \,.}{\displaystyle \left\langle \phi (x)\right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h(x)}}Z[h]={\frac {\partial }{\partial h(x)}}\log {\big (}Z[h]{\big)}\,.}

В евклидовом пространстве вклад источников в действие все еще может быть с множитель i, так что они по-прежнему исполняют преобразование Фурье.

Отжим 1/2; «Фотоны» и «призраки»

Спин 1/2: интегралы Грассмана

Полевой интеграл по путям может быть расширен на случай Ферми, но только если расширить понятие интегрирования. Интеграл Грассмана свободного поля Ферми - это многомерный детерминант или пфаффиан, который определяет новый тип гауссова интегрирования, подходящий для полей Ферми.

Две фундаментальные формулы интегрирования Грассмана:

∫ e M ij ψ ¯ i ψ j D ψ ¯ D ψ = D et (M), {\ displaystyle \ int e ^ {M_ {ij} {\ bar {\ psi}} ^ {i} \ psi ^ {j}} \, D {\ bar {\ psi}} \, D \ psi = \ mathrm {Det} (M) \,,}{\displaystyle \int e^{M_{ij}{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{j}}\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)\,,}

где M - произвольная матрица, а ψ, ψ - независимые грассмановы переменные для каждого индекса i, а

∫ e 1 2 A ij ψ i ψ j D ψ = P faff (A), {\ displaystyle \ int e ^ {{{ \ frac {1} {2}} A_ {ij} \ psi ^ {i} \ psi ^ {j}} \, D \ psi = \ mathrm {Pfaff} (A) \,,}{\displaystyle \int e^{{\frac {1}{2}}A_{ij}\psi ^{i}\psi ^{j}}\,D\psi =\mathrm {Pfaff} (A)\,,}

где A - антисимметричная матрица, ψ - набор грассмановых чисел, а 1/2 - для предотвращения двойного счета (поскольку ψψ = −ψψ).

В матричной записи, где ψ и η - грассмановозначные инструкции-строки, η и ψ - грассмановозначные образов-столбцы, а M - вещественная матрица:

Z = ∫ e ψ ¯ M ψ + η ¯ ψ + ψ ¯ η D ψ ¯ D ψ = ∫ e (ψ ¯ + η ¯ M - 1) M (ψ + M - 1 η) - η ¯ M - 1 η D ψ ¯ D ψ = D эт (M) е - η ¯ M - 1 η, {\ Displaystyle Z = \ int e ^ {{\ bar {\ psi}} M \ psi + {\ bar {\ eta}} \ psi + {\ bar {\ psi}} \ eta} \, D {\ bar {\ psi}} \, D \ psi = \ int e ^ {\ left ({\ bar {\ psi}} + {\ bar {\ eta}} M ^ {- 1} \ right) M \ left (\ psi + M ^ {- 1} \ eta \ right) - {\ bar {\ eta}} M ^ {- 1} \ eta} \, D {\ bar {\ psi}} \, D \ psi = \ mathrm {Det} (M) e ^ {- {\ bar {\ eta}} M ^ {- 1} \ eta} \,,}{\displaystyle Z=\int e^{{\bar {\psi }}M\psi +{\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\int e^{\left({\bar {\psi }}+{\bar {\eta }}M^{-1}\right)M\left(\psi +M^{-1}\eta \right)-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)e^{-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,,}

где последнее равенство является следствием трансляционной инвариантности интеграла Грассмана. Переменные Грассмана являются внешними внешними факторами для ψ, и дифференцирование по η приводит к уменьшению множителей ψ.

⟨ψ ¯ ψ⟩ = 1 Z ∂ ∂ η ∂ ∂ η ¯ Z | η знак равно η ¯ знак равно 0 знак равно M - 1 {\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {\ psi}} \ psi \ right \ rangle = {\ frac {1} {Z}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ eta}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {\ eta}}}} Z | _ {\ eta = {\ bar {\ eta}} = 0} = M ^ {- 1}}{\displaystyle \left\langle {\bar {\psi }}\psi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {\eta }}}}Z|_{\eta ={\bar {\eta }}=0}=M^{-1}}

снова в схематической матричной нотации. Смысл приведенной выше формулы состоит в том, что производная по форме формирующей η и η дает матричный элемент M. Это в точности аналогично формуле бозонного интегрирования по траектории гауссовского интеграла комплексного бозонного поля:

∫ е ϕ ∗ M ϕ + h ∗ ϕ + ϕ ∗ час D ϕ ∗ D ϕ = eh ∗ M - 1 час D et (M) {\ displaystyle \ int e ^ {\ phi ^ {*} M \ phi + h ^ {*} \ phi + \ phi ^ {*} h} \, D \ phi ^ {*} \, D \ phi = {\ frac {e ^ {h ^ {*} M ^ {- 1} h}} {\ mathrm {Det} (M) }}}{\displaystyle \int e^{\phi ^{*}M\phi +h^{*}\phi +\phi ^{*}h}\,D\phi ^{*}\,D\phi ={\frac {e^{h^{*}M^{-1}h}}{\mathrm {Det} (M)}}}
ϕ ∗ ϕ⟩ = 1 Z ∂ ∂ h ∂ ∂ h ∗ Z | час = час * знак равно 0 = M - 1. {\ Displaystyle \ left \ langle \ phi ^ {*} \ phi \ right \ rangle = {\ frac {1} {Z}} {\ frac {\ partial} {\ частичный h}} {\ frac {\ partial} {\ partial h ^ {*}}} Z | _ {h = h ^ {*} = 0} = M ^ {- 1} \,.}{\displaystyle \left\langle \phi ^{*}\phi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h}}{\frac {\partial }{\partial h^{*}}}Z|_{h=h^{*}=0}=M^{-1}\,.}

Таким образом, пропагатор обратного матрицей в матрице квадратичной части действия в случае Бозе, так и в случае Ферми.

Для реальных полей Грассмана, для майорановских фермионов, интеграл по путям равенство пфаффиану, умноженному на исходную квадратичную форму, и формулы дают квадратный корень из определителя, как и для реального бозонного поля. Пропагатор по-прежнему является обратным квадратичной части.

Свободный лагранжиан Дирака:

∫ ψ ¯ (γ μ ∂ μ - m) ψ {\ displaystyle \ int {\ bar {\ psi}} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi}{\displaystyle \int {\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi }

формально дает уравнения движения и антикоммутационные соотношения поля Дирака, точно так же, как лагранжиан Клейна Гордона в обычном интеграле по путям дает уравнения движения и коммутации соотношения скалярного поля. Используя пространственное преобразование Фурье поля в качестве нового базиса алгебры Грассмана, становится квадратичной частью действия Дирака просто инвертировать:

S = ∫ k ψ ¯ (i γ μ k μ - m) ψ. {\ displaystyle S = \ int _ {k} {\ bar {\ psi}} \ left (i \ gamma ^ {\ mu} k _ {\ mu} -m \ right) \ psi \,.}{\displaystyle S=\int _{k}{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }k_{\mu }-m\right)\psi \,.}

пропагатор является обратной матрицей M, связывающей ψ (k) и ψ (k), поскольку разные значения k не смешиваются.

⟨ψ ¯ (k ') ψ (k)⟩ знак равно δ (k + k') 1 γ ⋅ k - m = δ (k + k ') γ ⋅ k + mk 2 - m 2 {\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {\ psi}} (k ') \ psi (k) \ right \ rangle = \ delta (k + k') {\ frac {1} {\ gamma \ cdot km}} = \ delta (k + k ') {\ frac {\ gamma \ cdot k + m} {k ^ {2} -m ^ {2}}}}{\displaystyle \left\langle {\bar {\psi }}(k')\psi (k)\right\rangle =\delta (k+k'){\frac {1}{\gamma \cdot k-m}}=\delta (k+k'){\frac {\gamma \cdot k+m}{k^{2}-m^{2}}}}

Аналог теоремы Вика соответствует парам ψ и ψ:

⟨ Ψ ¯ (k 1) ψ ¯ (k 2) ⋯ ψ ¯ (kn) ψ (k 1 ′) ⋯ ψ (kn)⟩ = пар (- 1) S ∏ pairi, j δ (ki - kj) 1 γ ⋅ ки - м {\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {\ psi}} (k_ {1}) {\ bar {\ psi}} (k_ {2}) \ cdots {\ bar {\ psi}} (k_ {n}) \ psi (k '_ {1}) \ cdots \ psi (k_ {n}) \ right \ rangle = \ sum _ {\ mathrm {pairings}} (- 1) ^ {S} \ prod _ {\ mathrm {pair} \; i, j} \ delta \ left (k_ {i} -k_ {j} \ right) {\ frac {1} {\ gamma \ cdot k_ {i} -m}}}{\displaystyle \left\langle {\bar {\psi }}(k_{1}){\bar {\psi }}(k_{2})\cdots {\bar {\psi }}(k_{n})\psi (k'_{1})\cdots \psi (k_{n})\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairings} }(-1)^{S}\prod _{\mathrm {pairs} \;i,j}\delta \left(k_{i}-k_{j}\right){\frac {1}{\gamma \cdot k_{i}-m}}}

где S - знак перестановка, которая переупорядочивает последовательность ψ и ψ, чтобы поместить те, которые объединены в пары, чтобы сделать дельта-функции рядом друг с другом, причем ψ идет прямо перед ψ. Поскольку пара ψ, ψ является коммутирующим элементом алгебры Грассмана, не имеет значения, в каком порядке находятся пары. Если более чем у одной пары ψ, ψ одинаковые k, интеграл равен нулю, и легко проверьте, что сумма по парам в этом случае дает ноль (их всегда четное число). Это грассмановский аналог высших гауссовских моментов, который ранее завершал теорему Бозонного Вика.

Правила для частиц Дирака со спином 1/2 следующие: пропагатор является обратным оператору Дирака, на линиях есть стрелки, как и для комплексного скалярного поля, а общий коэффициент диаграммы равен −1 для каждой замкнутой петли Ферми. Если число петель Ферми нечетное, диаграмма меняет знак. Исторически сложилось так, что Фейнману было очень трудно открыть правило -1. Он обнаружил это после долгого процесса проб и ошибок, поскольку у него не было надлежащей теории интегрирования Грассмана.

Правило следует из наблюдения, что количество линий Ферми в вершине всегда четное. Каждый член лагранжиана всегда должен быть бозонным. Петля Ферми подсчитывается, следуя линиям Фермиона до тех пор, пока она не вернется в начальную точку, а затем удаляя эти линии с диаграммы. Повторение этого процесса в конечном итоге стирает все фермионные линии: это алгоритм Эйлера для двухцветного графа, который работает всякий раз, когда каждая вершина имеет четную степень. Количество шагов в алгоритме Эйлера равно количеству независимых фермионных гомологических циклов в общем частном случае, когда все члены в лагранжиане точно квадратичны по ферми-полям, так что каждая вершина имеет ровно две фермионные линии. Когда есть четырехфермиевские взаимодействия (как в эффективной теории Ферми слабых ядерных взаимодействий ), k-интегралов больше, чем петель Ферми. В этом случае правило подсчета должно применять алгоритм Эйлера, объединяя линии Ферми в каждой вершине в пары, которые вместе образуют бозонный фактор члена в лагранжиане, а при входе в вершину по одной строке алгоритм всегда должен оставлять с партнерской линией.

Чтобы прояснить и доказать правило, рассмотрим диаграмму Фейнмана, составленную из вершин, членов лагранжиана, с фермионными полями. Полный термин - бозонный, это коммутирующий элемент алгебры Грассмана, поэтому порядок, в котором появляются вершины, не важен. Линии Ферми соединены в циклы, и при обходе цикла можно переупорядочивать члены вершин один за другим по мере обхода без каких-либо затрат на знак. Исключение составляют случаи, когда вы возвращаетесь в начальную точку, и последняя половина линии должна быть соединена с несвязанной первой половиной линии. Для этого требуется одна перестановка, чтобы переместить последний ψ перед первым ψ, и это дает знак.

Это правило - единственный видимый эффект принципа исключения во внутренних линиях. Когда есть внешние линии, амплитуды антисимметричны, когда две вставки Ферми для одинаковых частиц пересекаются. Это происходит автоматически в формализме источников, поскольку сами источники полей являются грассмановозначными.

Спин 1: фотоны

Наивный пропагатор для фотонов бесконечен, поскольку лагранжиан для A-поля:

S = ∫ 1 4 F μ ν F μ ν = ∫ - 1 2 (∂ μ A ν ∂ μ A ν - ∂ μ A μ ∂ ν A ν). {\ Displaystyle S = \ int {\ tfrac {1} {4}} F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} = \ int - {\ tfrac {1} {2}} \ left ( \ частичный ^ {\ mu} A _ {\ nu} \ partial _ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ mu} A _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} A ^ { \ nu} \ right) \,.}{\displaystyle S=\int {\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=\int -{\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A_{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\mu }A_{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }\right)\,.}

Квадратичная форма, определяющая пропагатор, необратима. Причина в калибровочной инвариантности поля; добавление градиента к A не меняет физику.

Чтобы решить эту проблему, нужно починить датчик. Самый удобный способ - потребовать, чтобы дивергенция некоторая функция f, значение которой случайное от точки к точке. Интегрирование по значениям f не наносит вреда, поскольку оно определяет только выбор калибровки. Эта процедура вставляет следующий множитель в интеграл по путям для A:

∫ δ (∂ μ A μ - f) e - f 2 2 D f. {\ displaystyle \ int \ delta \ left (\ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} -f \ right) e ^ {- {\ frac {f ^ {2}} {2}}} \, Df \,.}{\displaystyle \int \delta \left(\partial _{\mu }A^{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\,Df\,.}

Первый фактор, дельта-функция, фиксирует калибр. Второй множитель суммирует различные значения, которые неэквивалентными фиксациями калибровки. Это просто

е - (∂ μ A μ) 2 2. {\ displaystyle e ^ {- {\ frac {\ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} \ right) ^ {2} } {2}}} \,.}{\displaystyle e^{-{\frac {\left(\partial _{\mu }A_{\mu }\right)^{2}}{2}}}\,.}

Дополнительный вклад от фиксация калибровки сокращает вторую половину свободного лагранжиана, давая лагранжиан Фейнмана:

S = ∫ \ int e ^ {- S} \ phi _ {1} (x_ {1}) \ cdots \ phi _ {n} (x_ {n}) \, D \ phi} {\ displaystyle \ int e ^ {- S} \, D \ phi}} \,.} <104><105>{\ Displaystyle \ int е (г) \, dx \, dy = 2 \ pi \ int f (x) x \, dx} <105><106>{\ displaystyle \ Delta (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} d \ tau \ int DX \, e ^ {- \ int \ limits _ {0} ^ {\ tau} \ left ({\ frac {{\ dot {x}} ^ {2 }} {2}} + m ^ {2} \ right) d \ tau <106><107>d(uv_{i})=du_{i}\,.<107><108>\ det A = 1 \, <108><109>{\ displaystyle \ int \ delta \ left (\ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} -f \ right) e ^ {- {\ frac {f ^ {2}} {2}}} \, Df \,. } <109><110>{\ displaystyle e ^ {- S} = e ^ {- S_ {F}} \ left (1 + X + {\ frac {1} {2!}} XX + {\ frac { 1} {3!}} XXX + \ cdots \ right)} <110><111>{\ displaystyle S = \ int _ {k} {\ Big (} {\ big (} 1- \ cos (k_ {1 }) {\ big)} + {\ big (} 1- \ cos (k_ {2}) {\ big)} + \ cdots + {\ big (} 1- \ cos (k_ {d}) {\ big)} {\ Big)} \ phi _ {k} ^ {*} \ phi ^ {k} \,.} <111><112>{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int {\ frac {1} {\ left (k ^ {2} + m ^ {2} + 2vp \ cdot k + vp ^ {2} \ right) ^ {2}}} \, dk \, dv = \ int _ { 0} ^ {1} \ int {\ frac {1} {\ left (k <112><113>{\ displaystyle \ left \ langle \ phi _ {k} \ phi _ {k} \ right \ rangle = { \ frac {V} {k ^ {2}}}} <113><114>{\ displaystyle \ int dk \, {\ frac {1} {k ^ {2} + m ^ {2}}} {\ frac {1} {(k + p_ {1}) ^ {2} + m ^ {2}}} \ cdots {\ frac {1} {(k + p_ {n}) ^ {2} + m ^ { 2}}}} <114><115>M = я \ лямбда \, <115><116>{\ displaystyle S = \ int _ {k} {\ tfrac {1} {2}} k ^ {2} \ влево | \ фи (к) \ вправо | ^ {2}} <116><117>{\ displaystyle \ left \ langle \ phi (k_ {1}) \ phi (k_ {2}) \ phi (k_ {3}) \ phi (k_ {4}) \ right \ rangle = {\ frac {\ delta (k_ {1} - k_ {2})} {k_ {1} ^ {2}}} {\ frac {\ delta (k_ {3} -k_ {4})} {k_ {3} ^ {2}}} + {\ frac {\ delta (k_ {1} -k_ {3})} {k_ {3} ^ {2}}} {\ frac {\ delta (k_ {2} -k_ {4})} {k_ {2} ^ {2}}} + {\ frac {\ delta (k_ {1} -k_ {4})} {k_ {1} ^ {2}}} {\ frac {\ delta (k_ {2} -k_ {3 })} {k_ {2} ^ {2}}}} <117><118>{\ displaystyle {\ sqrt {E}} = \ left (k ^ {2} -m ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {4}} \,.} <118><119>{\ displaystyle S = \ int _ {k} {\ tfrac {1} {2}} k ^ {2} \ phi (k) \ phi (-k)} <119><120>\ int _ {t, t <120><121>N {\ bar {\ psi}} (x) \ gamma ^ {\ mu} \ psi (x) {\ bar {\ psi}} (x <121><122>{\ displaystyle \ Delta (k) = {\ frac {i} {k ^ {2}}}} <122><123>{\ displaystyle \ delta (k) = (2 \ pi) ^ {d} \ delta _ {D} (k_ {1}) \ delta _ {D} (k_ {2}) \ cdots \ дельта _ {D} (k_ { d}) \,} <123><124>{\ displaystyle {\ underline {\ psi (x) {\ bar {\ psi}} (x <124><125>{\ displaystyle I = \ int е ^ {- топор ^ {2} / 2} dx = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {a}}}} <125><126>{\ displaystyle S = \ int {\ tfrac {1} {2}} \ partial _ {\ mu} \ phi \ partial ^ {\ mu} \ phi \, d ^ {d} x \,.} <126><127>{\ displaystyle u ^ {n} \, du \ wedge dv_ {1} \ wedge dv_ {2} \ cdots \ wedge dv_ {n} = du_ {0} \ wedge du_ {1} \ cdots \ wedge du_ {n} \,.} <127><128>Z [J] \ propto \ sum _ {k} {D_ {k}} <128><129>{\ displaystyle \ left \ langle x ^ {2n} \ right \ rangle = {\ frac {\ displaystyle \ int x ^ {2n} e ^ {- ax ^ {2} / 2}} {\ displaystyle \ int e ^ {- ax ^ {2} / 2}}} = 1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ ldots \ cdot (2n -1) {\ frac {1} {a ^ {n}}}} <129><130>{\ displaystyle Z [h] = \ int e ^ {iS} e ^ {i \ int _ {x} час (х) \ фи (х)} \, D \ фи = \ влево \ langle e ^ {ih \ phi} \ right \ rangle} <130><131>{\ displaystyle S = \ int _ {k} {\ tfrac {1} {2}} k ^ {2} \ left | \ phi (k) \ right | ^ {2} \,.} <131><132>\ lambda <132><133>{\ displaystyle Z [J] \ propto \ prod _ {i} {\ sum _ {n_ {i} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {C_ {i} ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}}} = \ exp {\ sum _ {i} {C_ {i}}} \ propto \ exp {W [J]} \,.} <133>HTML
Последняя правка сделана 2021-05-20 14:50:40
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте