Войти
В контексте дифференциальных уравнений интегрировать уравнение означает решить его из начальных условий. Соответственно, интегрируемая система представляет собой систему дифференциальных уравнений, поведение которой определяется начальными условиями и которая может быть интегрирована из этих начальных условий.
Многие системы дифференциальных уравнений, возникающие в физике, интегрируемы. Стандартный пример - движение твердого тела вокруг его центра масс. Эта система порождает ряд сохраняющихся величин : угловых моментов. Такие сохраняющиеся величины также известны как первые интегралы системы. Грубо говоря, если первых интегралов достаточно, чтобы дать систему координат на множестве решений, то можно свести исходную систему дифференциальных уравнений к уравнению, которое можно решить, вычислив явный интеграл. Другими примерами, дающими начало интегрируемым системам в физике, являются некоторые модели волн на мелкой воде (уравнение Кортевега – де Фриза ), нелинейное уравнение Шредингера и решетка Тода в статистической механике.
Хотя наличие многих сохраняющихся величин, как правило, является достаточно четким критерием интегрируемости, существуют и другие способы проявления интегрируемости, что затрудняет точное определение значения этого термина. Найджел Хитчин выделяет три общеизвестные особенности интегрируемых систем:
Примером неинтегрируемой системы является многосуставная рука робота: для заданного начального и конечного положения существует множество возможных путей, по которым рука робота может добраться отсюда туда; даже указания начальной и конечной скоростей недостаточно, чтобы ограничить проблему. Еще более простой пример - это катящийся шар по плоской поверхности: его можно катить где угодно, но окончательная ориентация шара зависит от пройденного пути. Такие системы имеют ограничения (длина манипулятора робота фиксирована; шар вынужден катиться без проскальзывания), но этих ограничений недостаточно для определения единственного решения. Более краткий отработанный пример неинтегрируемой системы приведен в статье Условия интегрируемости дифференциальных систем. Некоторыми из основных инструментов для изучения неинтегрируемых систем являются субриманова геометрия и контактная геометрия.
Основным результатом для интегрируемых систем является теорема Фробениуса, которая эффективно утверждает, что система интегрируема, только если она имеет слоение ; оно полностью интегрируемо, если оно имеет слоение на максимальные интегральные многообразия.
В контексте дифференцируемых динамических систем, понятие интегрируемости относится к существованию инвариантных регулярных слоений ; то есть те, чьи листья являются вложенными подмногообразиями наименьшей возможной размерности, которые инвариантны относительно потока. Таким образом, существует различное понятие степени интегрируемости, зависящее от размерности слоев инвариантного слоения. Эта концепция имеет уточнение в случае гамильтоновых систем, известное как полная интегрируемость в смысле Лиувилля (см. Ниже), что чаще всего упоминается в этом контексте.
Расширение понятия интегрируемости также применимо к дискретным системам, таким как решетки. Это определение может быть адаптировано для описания эволюционных уравнений, которые являются системами дифференциальных уравнений или конечно-разностных уравнений.
Таким образом, различие между интегрируемыми и неинтегрируемыми динамическими системами имеет качественное значение регулярного движения по сравнению с хаотическое движение и, следовательно, является внутренним свойством, а не просто вопросом того, может ли система быть явно интегрирована в точной форме.
В особых условиях гамильтоновых систем у нас есть понятие интегрируемости в смысле Лиувилля, см. Теорема Лиувилля – Арнольда. Интегрируемость по Лиувиллю означает, что существует регулярное слоение фазового пространства на инвариантные многообразия, такое что гамильтоновы векторные поля, связанные с инвариантами слоения, перекрывают касательное распределение. Другой способ заявить об этом состоит в том, что существует максимальный набор коммутирующих инвариантов Пуассона (т. Е. Функций на фазовом пространстве, у которых скобки Пуассона с гамильтонианом системы и друг с другом обращаются в нуль).
В конечных размерностях, если фазовое пространство является симплектическим (т. Е. Центр алгебры Пуассона состоит только из констант), то оно должно иметь четную размерность 
Существует также различие между полной интегрируемостью в смысле Лиувилля и частичной интегрируемостью, а также понятие суперинтегрируемости и максимальной суперинтегрируемости. По сути, эти различия соответствуют размерам листов слоения. Когда количество независимых пуассоновских коммутирующих инвариантов меньше максимального (но в случае автономных систем больше одного), мы говорим, что система частично интегрируема. Когда существуют дополнительные функционально независимые инварианты, помимо максимального числа, которое может коммутировать Пуассона, и, следовательно, размерность слоев инвариантного слоения меньше n, мы говорим, что система суперинтегрируема. Если существует регулярное слоение с одномерными листами (кривыми), оно называется максимально суперинтегрируемым.
Когда конечномерная гамильтонова система полностью интегрируема в смысле Лиувилля, а множества уровней энергии компактны, потоки полны, а слои инварианта слоением являются торы. Затем, как упоминалось выше, существуют специальные наборы канонических координат в фазовом пространстве, известные как переменные действие-угол, такие, что инвариантные торы являются суставами наборы уровней переменных действия. Таким образом, они обеспечивают полный набор инвариантов гамильтонова потока (константы движения), а угловые переменные являются естественными периодическими координатами на торе. Движение на инвариантных торах, выраженное в этих канонических координатах, линейно по угловым переменным.
В теории канонических преобразований существует метод Гамильтона – Якоби, в котором ищутся решения уравнений Гамильтона сначала найдя полное решение ассоциированного уравнения Гамильтона – Якоби. В классической терминологии это описывается как определение преобразования в канонический набор координат, состоящий из полностью игнорируемых переменных; т.е. те, в которых нет зависимости гамильтониана от полного набора канонических координат «положения», и, следовательно, соответствующие канонически сопряженные импульсы являются сохраняющимися величинами. В случае компактных наборов уровней энергии это первый шаг к определению переменных угла действия-угла. В общей теории дифференциальных уравнений в частных производных типа Гамильтона – Якоби полное решение (т.е. решение, зависящее от n независимых констант интегрирования, где n - размерность конфигурационного пространства), существует в очень общем виде. случаев, но только в местном смысле. Следовательно, существование полного решения уравнения Гамильтона – Якоби ни в коем случае не является характеристикой полной интегрируемости в смысле Лиувилля. Большинство случаев, которые могут быть «явно интегрированы», включают полное разделение переменных, в котором константы разделения обеспечивают полный набор требуемых констант интегрирования. Только когда эти константы могут быть переинтерпретированы в рамках полного фазового пространства как значения полного набора коммутирующих функций Пуассона, ограниченных слоями лагранжевого слоения, система может рассматриваться как полностью интегрируемая в смысле Лиувилля.
Возрождение интереса к классическим интегрируемым системам произошло с открытием в конце 1960-х гг. солитонов, которые являются сильно устойчивыми, локализованными решения уравнений в частных производных, таких как уравнение Кортевега – де Фриза (которое описывает одномерную недиссипативную гидродинамику в неглубоких бассейнах), можно понять, рассматривая эти уравнения как бесконечномерные интегрируемые гамильтоновы системы. Их исследование приводит к очень плодотворному подходу к "интегрированию" таких систем, обратному преобразованию рассеяния и более общим обратным спектральным методам (часто сводимым к задачам Римана – Гильберта ), которые обобщают локальные от линейных методов, таких как анализ Фурье до нелокальной линеаризации, путем решения связанных интегральных уравнений.
Основная идея этого метода состоит в том, чтобы ввести линейный оператор, который определяется положением в фазовом пространстве и который эволюционирует под динамикой рассматриваемой системы таким образом, что ее «спектр» (в в подходящем обобщенном смысле) инвариантен относительно эволюции, ср. Слабая пара. В некоторых случаях это обеспечивает достаточно инвариантов или «интегралов движения», чтобы сделать систему полностью интегрируемой. В случае систем, имеющих бесконечное число степеней свободы, таких как уравнение КдФ, этого недостаточно для уточнения свойства интегрируемости по Лиувиллю. Однако для подходящих граничных условий спектральное преобразование фактически может быть интерпретировано как преобразование в полностью игнорируемые координаты, в которых сохраняющиеся величины образуют половину дважды бесконечного набора канонических координат, а в них поток линеаризуется. В некоторых случаях это может даже рассматриваться как преобразование в переменные действие-угол, хотя обычно только конечное число переменных «положения» фактически являются угловыми координатами, а остальные некомпактны.
Есть также понятие квантовых интегрируемых систем.
В квантовой ситуации функции на фазовом пространстве должны быть заменены самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве, а понятие коммутирующих функций Пуассона заменено коммутирующими операторы. Понятие законов сохранения должно быть специализировано на локальных законах сохранения. Каждый гамильтониан имеет бесконечный набор сохраняющихся величин, заданных проекторами его энергетическим собственным состояниям. Однако это не предполагает какой-либо особой динамической структуры.
Чтобы объяснить квантовую интегрируемость, полезно рассмотреть настройку свободных частиц. Здесь вся динамика сводима одним телом. Квантовая система называется интегрируемой, если ее динамика сводится к двум телам. Уравнение Янга – Бакстера является следствием этой сводимости и приводит к тождествам следов, которые обеспечивают бесконечный набор сохраняемых величин. Все эти идеи включены в квантовый метод обратной задачи, где алгебраический анзац Бете может использоваться для получения явных решений. Примерами квантовых интегрируемых моделей являются модель Либа-Линигера, модель Хаббарда и несколько вариаций модели Гейзенберга. Некоторые другие типы квантовой интегрируемости известны в явно зависящих от времени квантовых задачах, таких как управляемая модель Тэвиса-Каммингса.
В физике полностью интегрируемые системы, особенно в бесконечномерная постановка, часто называют точно решаемыми моделями. Это затемняет различие между интегрируемостью в гамильтоновом смысле и в более общем смысле динамических систем.
В статистической механике также есть точно решаемые модели, которые более тесно связаны с квантовыми интегрируемыми системами, чем с классическими. Два тесно связанных метода: подход анзаца Бете в его современном понимании, основанный на уравнениях Янга – Бакстера и метод квантовой обратной задачи, обеспечивают квантовые аналоги обратные спектральные методы. Они не менее важны при изучении разрешимых моделей в статистической механике.
Неточное понятие «точная разрешимость», означающее: «Решения могут быть явно выражены в терминах некоторых ранее известных функций» также иногда используется, как если бы это было внутренним свойством самой системы, скорее чем чисто вычислительная особенность, заключающаяся в том, что у нас есть некоторые «известные» функции, в терминах которых могут быть выражены решения. Это понятие не имеет внутреннего значения, поскольку то, что понимается под «известными» функциями, очень часто определяется именно тем фактом, что они удовлетворяют определенным заданным уравнениям, и список таких «известных функций» постоянно растет. Хотя такая характеристика «интегрируемости» не имеет внутренней достоверности, она часто подразумевает такую закономерность, которую следует ожидать от интегрируемых систем.
| 1 =() | На Викискладе есть материалы, относящиеся к Интегрируемые системы. |
