Уравнение Липпмана – Швингера

редактировать

Уравнение, используемое в квантовых задачах рассеяния

Уравнение Липпмана – Швингера (названо после Бернарда Липпмана и Джулиана Швингера ) является одним из наиболее часто используемых уравнений для описания столкновений частиц - или, точнее, рассеяния - в квантовой механике. Он может использоваться при рассеянии молекул, атомов, нейтронов, фотонов или любых других частиц и важен в основном в атомной, молекулярной и оптической физике, ядерной физике и частицах. физика, но также для задач сейсмического рассеяния в геофизике. Он связывает рассеянную волновую функцию с взаимодействием, вызывающим рассеяние (потенциал рассеяния), и, следовательно, позволяет рассчитать соответствующие экспериментальные параметры (амплитуда рассеяния и сечения ).

Наиболее фундаментальным уравнением для описания любого квантового явления, включая рассеяние, является уравнение Шредингера. В физических задачах это дифференциальное уравнение должно решаться с вводом дополнительного набора начальных и / или граничных условий для конкретной исследуемой физической системы. Уравнение Липпмана – Швингера эквивалентно уравнению Шредингера плюс типичные граничные условия для задач рассеяния. Чтобы включить граничные условия, уравнение Липпмана – Швингера должно быть записано как интегральное уравнение. Для задач рассеяния уравнение Липпмана – Швингера часто оказывается более удобным, чем исходное уравнение Шредингера.

Общая форма уравнения Липпмана – Швингера (на самом деле, ниже показаны два уравнения: одно для знака $+ {\ displaystyle + \,}$ $+ \,$ , а другое для знака $- {\ displaystyle - \,}$ $-\,$ знак):

| ψ (±)⟩ = | ϕ⟩ + 1 E - H 0 ± i ϵ V | ψ (±)⟩. {\ displaystyle | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle = | \ phi \ rangle + {\ frac {1} {E-H_ {0} \ pm i \ epsilon}} V | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle. \,}

| \ psi ^ {{(\ pm)}} \ rangle = | \ phi \ rangle + {\ frac {1} {E-H_ {0} \ pm i \ epsilon}} V | \ psi ^ {{(\ pm)}} \ rangle. \,

Потенциальная энергия $V {\ displaystyle V \,}$ $V \,$ описывает взаимодействие между двумя сталкивающимися системами. Гамильтониан $H 0 {\ displaystyle H_ {0} \,}$ $H_ {0} \,$ описывает ситуацию, в которой две системы бесконечно далеки друг от друга и не взаимодействуют. Его собственные функции : $| ϕ⟩ {\ displaystyle | \ phi \ rangle \,}$ $| \ phi \ rangle \,$ и его собственные значения - это энергии $E {\ displaystyle E \,}$ $E \,$ . Наконец, $i ϵ {\ displaystyle i \ epsilon \,}$ $i \ epsilon \,$ - это математическая техническая характеристика, необходимая для вычисления интегралов, необходимых для решения уравнения. Это следствие причинной связи, гарантирующее, что рассеянные волны состоят только из выходящих волн. Это обеспечивается строгим принципом предельного поглощения.

Содержание

1 Использование
2 Выведение
3 Методы решения
4 Интерпретация состояний входа и выхода
- 4.1 S- парадигма матрицы
- 4.2 Связь с Липпманном – Швингером
- 4.3 Создание волновых пакетов
- 4.4 Контурный интеграл
- 4.5 Комплексный знаменатель Липпмана – Швингера
5 Формула для S-матрицы
6 Гомогенизация
7 См. Также
8 Ссылки
9 Библиография
- 9.1 Оригинальные публикации

Использование

Уравнение Липпмана – Швингера полезно в очень большом количестве ситуаций, включающих два - рассеяние тела. Для трех или более сталкивающихся тел это не работает из-за математических ограничений; Вместо этого можно использовать уравнения Фаддеева. Однако существуют приближения, которые могут свести задачу многих тел к набору задач двух тел во множестве случаев. Например, в столкновении электронов с молекулами могут быть задействованы десятки или сотни частиц. Но феномен можно свести к задаче двух тел, описав все потенциалы частиц, составляющих молекулу, вместе с псевдопотенциалом. В этих случаях можно использовать уравнения Липпмана – Швингера. Конечно, основной мотивацией этих подходов является также возможность выполнять вычисления с гораздо меньшими вычислительными затратами.

Вывод

Предположим, что гамильтониан можно записать как

H = H 0 + V {\ displaystyle H = H_ {0} + V}

H=H_{0}+V

где H 0 - свободный гамильтониан (или, в более общем смысле, гамильтониан с известными собственными векторами). Например, в нерелятивистской квантовой механике H 0 может быть

H 0 = p 2 2 m {\ displaystyle H_ {0} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}

H_ {0} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}

Интуитивно V - это энергия взаимодействия системы. Пусть имеется собственное состояние H 0:

H 0 | ϕ⟩ = E | ϕ⟩ {\ displaystyle H_ {0} | \ phi \ rangle = E | \ phi \ rangle}

H_ {0} | \ phi \ rangle = E | \ phi \ rangle

Теперь, если мы добавим в смесь взаимодействие $V {\ displaystyle V}$ $V$ , уравнение Шредингера имеет вид

(H 0 + V) | ψ⟩ = E | ψ⟩ {\ displaystyle \ left (H_ {0} + V \ right) | \ psi \ rangle = E | \ psi \ rangle}

\ left (H_ {0} + V \ right) | \ psi \ rangle = E | \ psi \ rangle

Теперь рассмотрим теорему Геллмана – Фейнмана, которая требует энергия собственных значений гамильтониана должна изменяться непрерывно с непрерывным изменением гамильтониана. Поэтому мы желаем, чтобы $| ψ⟩ → | ϕ⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle \ to | \ phi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle \ to | \ phi \ rangle$ as $V → 0 {\ displaystyle V \ to 0}$ $V \ т o 0$ . Наивным решением этого уравнения было бы

| ψ⟩ = | ϕ⟩ + 1 E - H 0 V | ψ⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle = | \ phi \ rangle + {\ frac {1} {E-H_ {0}}} V | \ psi \ rangle}

| \ psi \ rangle = | \ phi \ rangle + {\ frac {1} {E-H_ {0}}} V | \ psi \ rangle

, где обозначение 1 / A обозначает обратный к A. Однако E - H 0 является сингулярным, поскольку E является собственным значением H 0. Как описано ниже, эта сингулярность устраняется двумя различными способами, слегка усложняя знаменатель, чтобы дать себе немного места для маневра [1] :

| ψ (±)⟩ = | ϕ⟩ + 1 E - H 0 ± i ϵ V | ψ (±)⟩ {\ displaystyle | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle = | \ phi \ rangle + {\ frac {1} {E-H_ {0} \ pm i \ epsilon}} V | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle}

| \ psi ^ {{(\ pm)}} \ rangle = | \ phi \ rangle + {\ frac {1} { E-H_ {0} \ pm i \ epsilon}} V | \ psi ^ {{(\ pm)}} \ rangle

Путем вставки полного набора состояний свободных частиц,

| ψ (±)⟩ = | ϕ⟩ + ∫ d β | ϕ β⟩ E - E β ± i ϵ ⟨ϕ β | V | ψ (±)⟩, H 0 | ϕ β⟩ = E β | ϕ β⟩ {\ Displaystyle | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle = | \ phi \ rangle + \ int d \ beta {\ frac {| \ phi _ {\ beta} \ rangle} {E-E_ { \ beta} \ pm i \ epsilon}} \ langle \ phi _ {\ beta} | V | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle, \ quad H_ {0} | \ phi _ {\ beta} \ rangle = E _ {\ beta} | \ phi _ {\ beta} \ rangle}

| \ psi ^ {{(\ pm)}} \ rangle = | \ phi \ rangle + \ int d \ beta {\ frac {| \ phi _ {\ beta} \ rangle} {E-E _ {\ beta} \ pm i \ epsilon}} \ langle \ phi _ {\ beta} | V | \ psi ^ {{(\ pm)}} \ rangle, \ quad H_ {0} | \ phi _ {\ beta} \ rangle = E _ {\ beta} | \ phi _ {\ beta} \ rangle

уравнение Шредингера превращается в интегральное уравнение. Предполагается, что состояния «входящее» (+) и «выходное» (-) также образуют основы, в далеком прошлом и далеком будущем, соответственно, имея вид состояний свободных частиц, но являясь собственными функциями полного Гамильтониан. Таким образом, присвоив им индекс, уравнение станет

| ψ α (±)⟩ = | ϕ α⟩ + ∫ d β T β α (±) | ϕ β⟩ E α - E β ± i ϵ, T β α (±) = ⟨ϕ β | V | ψ α (±)⟩ {\ Displaystyle | \ psi _ {\ alpha} ^ {(\ pm)} \ rangle = | \ phi _ {\ alpha} \ rangle + \ int d \ beta {\ frac {T _ {\ beta \ alpha} ^ {(\ pm)} | \ phi _ {\ beta} \ rangle} {E _ {\ alpha} -E _ {\ beta} \ pm i \ epsilon}}, \ quad T _ {\ beta \ alpha } ^ {(\ pm)} = \ langle \ phi _ {\ beta} | V | \ psi _ {\ alpha} ^ {(\ pm)} \ rangle}

{\ displaystyle | \ psi _ {\ alpha} ^ { (\ pm)} \ rangle = | \ phi _ {\ alpha} \ rangle + \ int d \ beta {\ frac {T _ {\ beta \ alpha} ^ {(\ pm)} | \ phi _ {\ beta} \ rangle} {E _ {\ alpha} -E _ {\ beta} \ pm i \ epsilon}}, \ quad T _ {\ beta \ alpha} ^ {(\ pm)} = \ langle \ phi _ {\ beta} | V | \ psi _ {\ alpha} ^ {(\ pm)} \ rangle}

Способы решения

С математической точки зрения уравнение Липпмана – Швингера в координатном представлении является интегральным уравнением типа Фредгольма. Это может быть решено с помощью дискретизации. Поскольку оно эквивалентно не зависящему от времени дифференциальному уравнению Шредингера с соответствующими граничными условиями, оно также может быть решено численными методами для дифференциальных уравнений. В случае сферически-симметричного потенциала $V {\ displaystyle V}$ $V$ он обычно решается с помощью парциального волнового анализа. Для высоких энергий и / или слабого потенциала это также может быть решено пертурбативным методом с помощью серии Борна. Методом, удобным также в случае физики многих тел, например при описании атомных, ядерных или молекулярных столкновений, является метод R-матрицы Вигнера и Эйзенбуда. Другой класс методов основан на разделимом разложении потенциала или оператора Грина, например, метод непрерывных дробей Горачека и Сасакавы. Очень важный класс методов основан на вариационных принципах, например на сочетании вариационного принципа Швингера с алгоритмом Ланцоша.

Интерпретация как в состоянии входа, так и в состоянии выхода

матричная парадигма

В формулировке S-матрицы из физики элементарных частиц, впервые предложенной Джоном Арчибальдом Уилером среди прочих, все физические процессы моделируется в соответствии со следующей парадигмой.

Каждый начинается с невзаимодействующего многочастичного состояния в далеком прошлом. Невзаимодействие не означает, что все силы отключены, и в этом случае, например, протоны развалятся на части, а скорее, что существует свободный от взаимодействия гамильтониан H0для связанные состояния имеют тот же спектр уровней энергии, что и фактический гамильтониан H. Это начальное состояние называется состоянием in. Интуитивно он состоит из элементарных частиц или связанных состояний, которые достаточно хорошо разделены, так что их взаимодействие друг с другом не учитывается.

Идея состоит в том, что любой физический процесс, который мы пытаемся изучить, можно смоделировать как процесс рассеяния этих хорошо разделенных связанных состояний. Этот процесс описывается полным гамильтонианом H, но как только он завершается, все новые элементарные частицы и новые связанные состояния снова разделяются, и обнаруживается новое невзаимодействующее состояние, называемое состоянием выхода. S-матрица более симметрична с точки зрения теории относительности, чем гамильтониан, поскольку не требует выбора временных интервалов для определения.

Эта парадигма позволяет вычислить вероятности всех процессов, которые мы наблюдали за 70 лет экспериментов на коллайдерах частиц с поразительной точностью. Но многие интересные физические явления явно не вписываются в эту парадигму. Например, если кто-то хочет рассмотреть динамику внутри нейтронной звезды, иногда он хочет знать больше, чем то, во что она в конечном итоге распадется. Другими словами, можно интересоваться измерениями, не относящимися к асимптотическому будущему. Иногда асимптотическое прошлое или будущее даже недоступно. Например, вполне возможно, что до Большого взрыва.

не было прошлого. В 1960-х годах парадигма S-матрицы была возведена многими физиками до уровня фундаментального закона природы. В теории S-матрицы было указано, что любая величина, которую можно измерить, должна быть найдена в S-матрице для некоторого процесса. Эта идея была вдохновлена физической интерпретацией, которую методы S-матрицы могут дать диаграммам Фейнмана, ограниченным массой-оболочкой, и привели к построению моделей двойного резонанса. Но это было очень спорным, так как он отрицал справедливость квантовая теория поля на основе локальных полей и гамильтонианам.

Связь с Липпманном – Швингером

Интуитивно, слегка деформированные собственные функции $ψ (±) {\ displaystyle \ psi ^ {(\ pm)}}$ $\ psi ^ {{(\ pm)}}$ полного гамильтониана H являются состояниями входа и выхода. $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ - это невзаимодействующие состояния, которые напоминают состояния in и out в бесконечном прошлом и бесконечном будущем.

Создание волновых пакетов

Эта интуитивно понятная картина не совсем верна, потому что $ψ (±) {\ displaystyle \ psi ^ {(\ pm)}}$ $\ psi ^ {{(\ pm)}}$ собственная функция гамильтониана и поэтому в разное время отличается только фазой. Таким образом, в частности, физическое состояние не развивается и поэтому не может стать невзаимодействующим. Эту проблему легко обойти, собрав $ψ (±) {\ displaystyle \ psi ^ {(\ pm)}}$ $\ psi ^ {{(\ pm)}}$ и $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ в волновые пакеты с некоторым распределением $g (E) {\ displaystyle g (E)}$ $g (E)$ энергий $E {\ displaystyle E}$ $E$ в характерном масштабе $Δ Е {\ Displaystyle \ Delta E}$ $\ Delta E$ . Принцип неопределенности теперь позволяет взаимодействиям асимптотических состояний происходить в масштабе времени $ℏ / Δ E {\ displaystyle \ hbar / \ Delta E}$ $\ hbar / \ Delta E$ и, в частности, больше не исключено, что взаимодействия могут отключиться за пределами этого интервала. Следующий аргумент предполагает, что это действительно так.

Подставляя уравнения Липпмана – Швингера в определения

ψ g (±) (t) = ∫ d E e - i E tg (E) ψ (±) {\ displaystyle \ psi _ {g } ^ {(\ pm)} (t) = \ int dE \, e ^ {- iEt} g (E) \ psi ^ {(\ pm)}}

\ psi _ {g} ^ {{(\ pm)}} (t) = \ int dE \, e ^ {{- iEt}} g (E) \ psi ^ {{(\ pm)}}

ϕ g (t) = ∫ d E e - я E tg (E) ϕ {\ displaystyle \ phi _ {g} (t) = \ int dE \, e ^ {- iEt} g (E) \ phi}

\ phi _ {g} (t) = \ int dE \, e ^ {{- iEt}} g (E) \ phi

волновых пакетов, которые мы увидеть, что в данный момент времени разница между $ψ g (t) {\ displaystyle \ psi _ {g} (t)}$ $\ psi _ {g} (t)$ и $ϕ g (t) {\ displaystyle \ phi _ {g} (t)}$ $\ phi _ {g} (t)$ волновые пакеты задаются интегралом по энергии E.

контурный интеграл

Этот интеграл можно вычислить, задав волновая функция по комплексной плоскости E и замыкание контура E с помощью полукруга, на котором волновые функции обращаются в нуль. Затем интеграл по замкнутому контуру может быть вычислен, используя интегральную теорему Коши, как сумму вычетов на различных полюсах. Теперь мы будем утверждать, что остатки $ψ (±) {\ displaystyle \ psi ^ {(\ pm)}}$ $\ psi ^ {{(\ pm)}}$ приближаются к остаткам $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ в момент времени $t → ∓ ∞ {\ displaystyle t \ rightarrow \ mp \ infty}$ $t \ rightarrow \ mp \ infty$ , и поэтому соответствующие волновые пакеты равны на бесконечности во времени.

Фактически, для очень положительных моментов времени t фактор $e - i E t {\ displaystyle e ^ {- iEt}}$ $e ^ {{- iEt}}$ в изображении Шредингера состояние заставляет замкнуть контур на нижней полуплоскости. Полюс в $(ϕ, V ψ ±) {\ displaystyle (\ phi, V \ psi ^ {\ pm})}$ $(\ phi, V \ psi ^ {{\ pm}})$ из уравнения Липпмана – Швингера отражает временную неопределенность взаимодействия, а весовая функция волновых пакетов отражает продолжительность взаимодействия. Обе эти разновидности полюсов возникают при конечных мнимых энергиях и поэтому подавляются на очень больших временах. Полюс разности энергий в знаменателе находится в верхней полуплоскости в случае $ψ - {\ displaystyle \ psi ^ {-}}$ $\ psi ^ {{-}}$ и поэтому не лежит внутри интеграла. контур и не влияет на интеграл $ψ - {\ displaystyle \ psi ^ {-}}$ $\ psi ^ {{-}}$ . Остаток равен волновому пакету $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Таким образом, в очень позднее время $ψ - = ϕ {\ displaystyle \ psi ^ {-} = \ phi}$ $\ psi ^ {{-}} = \ phi$ , идентифицируя $ψ - {\ displaystyle \ psi ^ {-}}$ $\ psi ^ {{-}}$ как асимптотическое невзаимодействующее состояние out .

Аналогичным образом можно интегрировать волновой пакет, соответствующий $ψ + {\ displaystyle \ psi ^ {+}}$ $\ psi ^ {{+}}$ в очень отрицательные моменты времени. В этом случае контур необходимо замкнуть по верхней полуплоскости, которая, следовательно, не попадает в энергетический полюс $ψ + {\ displaystyle \ psi ^ {+}}$ $\ psi ^ {{+}}$ , который находится в нижней полуплоскость. Затем обнаруживается, что волновые пакеты $ψ + {\ displaystyle \ psi ^ {+}}$ $\ psi ^ {{+}}$ и $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ в асимптотическом прошлом равны, идентифицируя $ψ + {\ displaystyle \ psi ^ {+}}$ $\ psi ^ {{+}}$ как асимптотический невзаимодействующий в состоянии .

Комплексный знаменатель Липпмана – Швингера

Эта идентификация асимптотических состояний $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ является обоснованием для $± ϵ {\ displaystyle \ pm \ epsilon}$ $\ pm \ epsilon$ в знаменателе уравнений Липпмана – Швингера.

Формула для S-матрицы

S-матрица S определяется как внутренний продукт

S ab = (ψ a -, ψ b +) {\ displaystyle S_ {ab} = (\ psi _ {a} ^ {-}, \ psi _ {b} ^ {+})}

S _ {{ab}} = (\ psi _ {a} ^ {-}, \ psi _ {b} ^ {+})

ath и bth изображение Гейзенберга асимптотические состояния. Можно получить формулу, связывающую S-матрицу с потенциалом V, используя описанную выше стратегию контурного интеграла, но на этот раз поменяв роли $ψ + {\ displaystyle \ psi ^ {+}}$ $\ psi ^ {+}$ и $ψ - {\ displaystyle \ psi ^ {-}}$ $\ psi ^ {-}$ . В результате контур действительно принимает полюс энергии. Это может быть связано с $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , если использовать S-матрицу для обмена двумя $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ х. Идентифицируя коэффициенты $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ с обеих сторон уравнения, можно найти искомую формулу, связывающую S с потенциалом

S ab = δ (a - b) - 2 i π δ (E a ​​- E b) (ϕ a, V ψ b +). {\ displaystyle S_ {ab} = \ delta (ab) -2i \ pi \ delta (E_ {a} -E_ {b}) (\ phi _ {a}, V \ psi _ {b} ^ {+}).}

S _ {{ab}} = \ delta (ab) -2i \ pi \ delta (E_ {a} -E_ {b}) (\ phi _ {a}, V \ psi _ {b} ^ {+}).

В приближении Борна, соответствующем теории возмущений первого порядка, заменяется последний $ψ + {\ displaystyle \ psi ^ {+}}$ $\ psi ^ {+}$ с соответствующей собственной функцией $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ свободного гамильтониана H 0, что дает

S ab = δ (a - b) - 2 я π δ (E a ​​- E b) (ϕ a, V ϕ b) {\ displaystyle S_ {ab} = \ delta (ab) -2i \ pi \ delta (E_ {a} -E_ {b}) (\ phi _ {a}, V \ phi _ {b}) \,}

S _ {{ab}} = \ delta (ab) -2i \ pi \ delta (E_ {a} -E_ {b}) (\ phi _ {a}, V \ phi _ {b}) \,

, который полностью выражает S-матрицу через V и собственные гамильтоновы функции.

Эти формулы, в свою очередь, можно использовать для расчета скорости реакции процесса $b → a {\ displaystyle b \ rightarrow a}$ $b \ rightarrow a$ , что равно $| S a b - δ a b | 2. {\ displaystyle | S_ {ab} - \ delta _ {ab} | ^ {2}. \,}$ $| S _ {{ab}} - \ delta _ {{ab}} | ^ {2 }. \,$

Гомогенизация

С помощью функции Грина уравнение Липпмана – Швингера имеет аналоги в гомогенизации теория (например, механика, проводимость, диэлектрическая проницаемость).

См. Также

уравнение Бете – Солпитера

Ссылки

Библиография

Joachain, C.J. (1983). Квантовая теория столкновений. Северная Голландия. ISBN 978-0-7204-0294-0. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Сакурай, Дж. Дж. (1994). Современная квантовая механика. Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-53929-5. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Вайнберг, С. (2002) [1995]. Основы. Квантовая теория полей. 1 . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55001-7. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Оригинальные публикации

Lippmann, BA ; Schwinger, J. (1950). "Вариационные принципы для процессов рассеяния. I". Phys. Rev. Lett. 79 (3): 469–480. Bibcode : 1950PhRv... 79..469L. doi : 10.1103 / PhysRev.79.469. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Wheeler, JA (1937). «О математическом описании легких ядер методом резонансной групповой структуры». Phys. Rev. 52 (11): 1107–1122. Bibcode : 1937PhRv... 52.1107W. doi : 10.1103 / PhysRev.52.1107. CS1 maint: ref = harv (ссылка )