Интегральная теорема Коши

редактировать

Не путать с интегральной формулой Коши или формулой Коши для повторного интегрирования.

Комплексный анализ
Математический анализ → Комплексный анализ

Комплексные числа
Настоящий номер Мнимое число Сложная плоскость Комплексное сопряжение Комплексное число единицы
Сложные функции
Комплексная функция Аналитическая функция Голоморфная функция Уравнения Коши – Римана Формальный степенной ряд
Основная теория
Нули и полюсы Интегральная теорема Коши Местный примитив Интегральная формула Коши Номер обмотки Серия Laurent Изолированная особенность Теорема об остатке Конформная карта Лемма Шварца Гармоническая функция Уравнение Лапласа
Геометрическая теория функций
Люди
Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер Карл Фридрих Гаусс Жак Адамар Киёси Ока Бернхард Риманн Карл Вейерштрасс
Математический портал
v т е

В математике, то интегральная теорема Коши (также известная как Коши-Гурс теорема ) в комплексном анализе, названном в честь Огюстен Луи Коши (и Гурса ), является важным утверждением о линейных интегралах для голоморфных функций в комплексной плоскости. По сути, он говорит, что если два разных пути соединяют одни и те же две точки, и функция голоморфна везде между двумя путями, то два интеграла по путям функции будут одинаковыми.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Заявление
2 Обсуждение
3 Доказательство
4 См. Также
5 ссылки
6 Внешние ссылки

Заявление

Формулировка на просто связанных областях

Позвольте быть односвязным открытым множеством, и позвольте быть голоморфной функцией. Позвольте быть гладкой замкнутой кривой. Потом: ${\ Displaystyle U \ substeq \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle U \ substeq \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ к U}$ ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ к U}$

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \, dz = 0.}

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \, dz = 0.}

(Условие, что быть просто подключен означает, что не имеет «дыры», или, другими словами, что фундаментальная группа из тривиальна.) ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$

Общая формулировка

Позвольте быть открытое множество, и пусть быть голоморфной функцией. Позвольте быть гладкой замкнутой кривой. Если это гомотопными к постоянной кривой, то: ${\ Displaystyle U \ substeq \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle U \ substeq \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ к U}$ ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ к U}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \, dz = 0.}

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \, dz = 0.}

(Напомним, что кривая гомотопна постоянной кривой, если существует гладкая гомотопия от кривой к постоянной кривой. Интуитивно это означает, что можно сжать кривую в точку, не покидая пространства.) Первый вариант - особый. случай, потому что на односвязном множестве каждая замкнутая кривая гомотопна постоянной кривой.

Основной пример

В обоих случаях важно помнить, что кривая не окружает никаких «дыр» в области, иначе теорема не применима. Известный пример - следующая кривая: ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$

{\ Displaystyle \ гамма (т) = е ^ {это} \ квад т \ ин \ влево [0,2 \ пи \ вправо],}

{\ Displaystyle \ гамма (т) = е ^ {это} \ квад т \ ин \ влево [0,2 \ пи \ вправо],}

который очерчивает единичный круг. Вот следующий интеграл:

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} {\ frac {1} {z}} \, dz = 2 \ pi i \ neq 0,}

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} {\ frac {1} {z}} \, dz = 2 \ pi i \ neq 0,}

не равно нулю. Интегральная теорема Коши здесь не применяется, поскольку не определена при. Интуитивно он окружает «дыру» в области, поэтому не может быть уменьшен до точки без выхода из пространства. Таким образом, теорема неприменима. ${\ Displaystyle f (z) = 1 / z}$ $f (z) = 1 / z$ ${\ displaystyle z = 0}$ $г = 0$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$

Обсуждение

Как показал Эдуард Гурса, интегральная теорема Коши может быть доказана, если предположить, что комплексная производная существует всюду в. Это важно, потому что затем можно доказать интегральную формулу Коши для этих функций и из этого вывести эти функции бесконечно дифференцируемыми. ${\ displaystyle f '(z)}$ ${\ displaystyle f '(z)}$ ${\ displaystyle U}$ $U$

Условие быть односвязной означает, что не имеет «дыры» или, в гомотопических терминах, что фундаментальная группа из тривиальна; например, каждый открытый диск, для, квалифицируется. Состояние критическое; рассмотреть возможность ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ Displaystyle U_ {z_ {0}} = \ {z: \ left | z-z_ {0} \ right | lt;r \}}$ ${\ Displaystyle U_ {z_ {0}} = \ {z: \ left | z-z_ {0} \ right | lt;r \}}$ ${\ displaystyle z_ {0} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle z_ {0} \ in \ mathbb {C}}$

{\ Displaystyle \ гамма (т) = е ^ {это} \ квад т \ ин \ влево [0,2 \ пи \ вправо]}

{\ Displaystyle \ гамма (т) = е ^ {это} \ квад т \ ин \ влево [0,2 \ пи \ вправо]}

который очерчивает единичную окружность, а затем интеграл по путям

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} {\ frac {1} {z}} \, dz = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {1} {e ^ {it}}} (т.е. ^ {it} \, dt) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} i \, dt = 2 \ pi i}

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} {\ frac {1} {z}} \, dz = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {1} {e ^ {it}}} (т.е. ^ {it} \, dt) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} i \, dt = 2 \ pi i}

не равно нулю; интегральная теорема Коши здесь неприменима, поскольку не определена (и, конечно, не голоморфна) в точке. ${\ Displaystyle f (z) = 1 / z}$ $f (z) = 1 / z$ ${\ displaystyle z = 0}$ $г = 0$

Одним из важных следствий теоремы является то, что интегралы по траекториям голоморфных функций на односвязной области можно вычислить таким образом, знакомые с основной теоремы исчисления : пусть будет односвязное открытым подмножеством из, пусть -голоморфная функции, и пусть буду кусочно - непрерывно дифференцируемый путь в с начальной точкой и конечной точкой. Если это сложный первообразная от, то ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle a}$ $а$ ${\ displaystyle b}$ $б$ ${\ displaystyle F}$ $F$ ${\ displaystyle f}$ $ж$

{\ Displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \, dz = F (b) -F (a).}

\ int _ {\ gamma} f (z) \, dz = F (b) -F (a).

Интегральная теорема Коши справедлива с более слабой гипотезой, чем приведенными выше, например, данной, односвязным открытым подмножеством, мы можем ослабить предположение голоморфности на и непрерывны на и спрямляемый простой цикл в. ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ textstyle {\ overline {U}}}$ ${\ textstyle {\ overline {U}}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$ ${\ textstyle {\ overline {U}}}$ ${\ textstyle {\ overline {U}}}$

Интегральная теорема Коши приводит к интегральной формуле Коши и теореме о вычетах.

Доказательство

Если предположить, что частные производные голоморфной функции непрерывны, интегральная теорема Коши может быть доказана как прямое следствие теоремы Грина и того факта, что действительная и мнимая части функции должны удовлетворять уравнениям Коши – Римана в области, ограниченной, а тем более в открытой окрестности U этого региона. Коши предоставил это доказательство, но позже оно было доказано Гурса, не требуя техники векторного исчисления или непрерывности частных производных. ${\ displaystyle f = u + iv}$ $f = u + iv$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$

Мы можем разбить подынтегральную функцию, а также дифференциал на их действительную и мнимую составляющие: ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle dz}$ $дз$

{\ displaystyle f = u + iv}

{\ displaystyle f = u + iv}

{\ Displaystyle dz = dx + я \, dy}

{\ Displaystyle dz = dx + я \, dy}

В этом случае мы имеем

{\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} е (z) \, dz = \ oint _ {\ gamma} (u + iv) (dx + i \, dy) = \ oint _ {\ gamma} (u \, dx-v \, dy) + i \ oint _ {\ gamma} (v \, dx + u \, dy)}

\ oint _ {\ gamma} f (z) \, dz = \ oint _ {\ gamma} (u + iv) (dx + i \, dy) = \ oint _ {\ gamma} (u \, dx-v \, dy) + i \ oint _ {\ gamma} (v \, dx + u \, dy)

По теореме Грина мы можем затем заменить интегралы вокруг замкнутого контура на интеграл площадей по всей области, заключенный следующим образом: ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$ ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} (u \, dx-v \, dy) = \ iint _ {D} \ left (- {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy}

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} (u \, dx-v \, dy) = \ iint _ {D} \ left (- {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy}

{\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} (v \, dx + u \, dy) = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial x}} - {\ frac { \ partial v} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy}

{\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} (v \, dx + u \, dy) = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial x}} - {\ frac { \ partial v} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy}

Но поскольку действительная и мнимая части функции голоморфны в области, и должны удовлетворять уравнениям Коши – Римана там: ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ displaystyle u}$ $ты$ ${\ displaystyle v}$ $v$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial v} {\ partial y}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial v} {\ partial y}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = - {\ frac {\ partial v} {\ partial x}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = - {\ frac {\ partial v} {\ partial x}}}

Таким образом, мы находим, что оба интегранта (и, следовательно, их интегралы) равны нулю.

{\ displaystyle \ iint _ {D} \ left (- {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy = 0}

{\ displaystyle \ iint _ {D} \ left (- {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy = 0}

{\ displaystyle \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ right) \, dx \, dy = 0 }

{\ displaystyle \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ right) \, dx \, dy = 0 }

Это дает желаемый результат

{\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} е (г) \, dz = 0}

\ oint _ {\ gamma} f (z) \, dz = 0

Смотрите также

Рекомендации

Кодаира, Кунихико (2007), Комплексный анализ, Cambridge Stud. Adv. Математика, 107, CUP, ISBN 978-0-521-80937-5
Альфорс, Ларс (2000), Комплексный анализ, серия Макгроу-Хилла по математике, МакГроу-Хилл, ISBN 0-07-000657-1
Ланг, Серж (2003), Комплексный анализ, Springer Verlag GTM, Springer Verlag
Рудин, Уолтер (2000), Реальный и комплексный анализ, серия Макгроу-Хилла по математике, Макгроу-Хилл

Внешние ссылки

"Интегральная теорема Коши", Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Интегральная теорема Коши». MathWorld.