Уравнения Коши – Римана

Условия, необходимые для голоморфных (комплексно дифференцируемых) функций

Визуальное изображение вектора X в области, умноженной на комплексное число z, которое затем отображается на f, по сравнению с отображением f, а затем умножается на z. Если оба эти результата приводят к тому, что точка оказывается в одном и том же месте для всех X и z, тогда f удовлетворяет условию Коши-Римана

В области комплексного анализа в математике, уравнения Коши – Римана, названные в честь Августина Коши и Бернхарда Римана, состоят из системы двух частных дифференциальные уравнения, которые вместе с определенными критериями непрерывности и дифференцируемости образуют необходимое и достаточное условие для комплексной функции быть комплексно дифференцируемой, то есть голоморфной. Эта система уравнений впервые появилась в работе Жана ле Ронда д'Аламбера (д'Аламбер 1752). Позже Леонард Эйлер соединил эту систему с аналитическими функциями (Euler 1797). Коши (1814) затем использовал эти уравнения для построения своей теории функций. Диссертация Римана (Riemann 1851) по теории функций появилась в 1851 году.

Уравнения Коши – Римана на паре действительных функций двух действительных переменных u (x, y) и v (x, y) - два уравнения:

$(1\; a)\; \partial \; u\; \partial \; x\; =\; \partial \; v\; \partial \; y\; (1\; b)\; \partial \; u\; \partial \; y\; =\; -\; \partial \; v\; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\; \}\; (1a)\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; (1b)\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обычно u и v считаются действительными и мнимые части соответственно комплексной -значной функции одной комплексной переменной z = x + iy, f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y). Предположим, что u и v действительны - дифференцируемы в точке в открытом подмножестве, которое можно рассматривать как функции от ℝ до ℝ. Это означает, что частные производные от u и v существуют (хотя они не обязательно должны быть непрерывными), и мы можем линейно аппроксимировать небольшие вариации f. Тогда f = u + iv комплексно- дифференцируемо в этой точке тогда и только тогда, когда частные производные u и v удовлетворяют уравнениям Коши – Римана (1a) и (1b) в этой точке. Одного существования частных производных, удовлетворяющих уравнениям Коши – Римана, недостаточно для обеспечения комплексной дифференцируемости в этой точке. Необходимо, чтобы u и v были вещественно дифференцируемыми, что является более сильным условием, чем существование частных производных, но в общем случае более слабым, чем непрерывная дифференцируемость.

Голоморфность - это свойство сложной функции дифференцируемости в каждой точке открытого и связного подмножества ℂ (это называется областью в ℂ). Следовательно, мы можем утверждать, что комплексная функция f, действительная и мнимая части u и v которой являются действительными дифференцируемыми функциями, голоморфна тогда и только тогда, когда уравнения (1a) и (1b) выполняются на всем протяжении домен, с которым мы имеем дело. Голоморфные функции аналитичны и наоборот. Это означает, что в комплексном анализе функция, комплексно-дифференцируемая во всей области (голоморфная), совпадает с аналитической функцией. Это неверно для реальных дифференцируемых функций.

Содержание

• 1 Простой пример
• 2 Интерпретация и переформулировка
  • 2.1 Конформные отображения
  • 2.2 Комплексная дифференцируемость
  • 2.3 Независимость комплексного сопряжения
  • 2.4 Физическая интерпретация
  • 2.5 Гармонический вектор поле
  • 2.6 Сохранение сложной структуры
  • 2.7 Другие представления
• 3 Обобщения
  • 3.1 Теорема Гурса и ее обобщения
  • 3.2 Несколько переменных
  • 3.3 Сложные дифференциальные формы
  • 3.4 Преобразование Беклунда
  • 3.5 Определение в алгебре Клиффорда
  • 3.6 Конформные отображения в высших измерениях
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Простой пример

Предположим, что $z\; =\; х\; +\; iy\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; x\; +\; iy\}$. Комплекснозначная функция $f\; (z)\; =\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; z\; ^\; \{2\}\}$дифференцируема в любой точке z комплексной плоскости.

$е\; (z)\; =\; (x\; +\; iy)\; 2\; =\; x\; 2\; -\; y\; 2\; +\; 2\; ixy\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; (x\; +\; iy)\; ^\; \{2\}\; =\; x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{\; 2\}\; +\; 2ixy\}$

Действительная часть $u\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; y)\}$и мнимая часть $v\; (x,\; y)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; v\; (x,\; y)\}$равны

$u\; (x,\; y)\; =\; x\; 2\; -\; y\; 2\; v\; (x,\; y)\; =\; 2\; xy\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; u\; (x,\; y)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; v\; (x,\; y)\; =\; 2xy\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и их частные производные

$ux\; =\; 2\; Икс\; ;\; u\; y\; =\; -\; 2\; y;\; v\; x\; =\; 2\; y;\; vy\; =\; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{x\}\; =\; 2x;\; \backslash \; quad\; u\_\; \{y\}\; =\; -\; 2y;\; \backslash \; quad\; v\_\; \{x\}\; =\; 2y;\; \backslash \; quad\; v\_\; \{y\}\; =\; 2x\}$

Мы видим, что действительно Уравнения Коши-Римана удовлетворяются, $ux\; =\; vy\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{x\}\; =\; v\_\; \{y\}\}$и $uy\; =\; -\; vx\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{y\}\; =\; -\; v\_\; \{x\}\}$.

Интерпретация и переформулировка

Уравнения - это один из способов взглянуть на условие дифференциации функции в смысле комплексного анализа : другими словами, они инкапсулируют понятие функции комплексной переменной с помощью обычного дифференциального исчисления. В теории есть несколько других основных способов взглянуть на это понятие, и часто требуется перевод условия на другой язык.

Конформные отображения

Во-первых, уравнения Коши – Римана могут быть записаны в комплексной форме

(2) $i\; \partial \; f\; \partial \; x\; =\; \partial \; f\; \partial \; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{i\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\}\; =\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}.\}$

В этой форме уравнения структурно соответствуют условие, что матрица Якоби имеет форму

$(a\; -\; bba),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\; -b\; \backslash \backslash \; b\; \backslash ;\; \backslash ;\; a\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\}$

где $a\; =\; \partial \; u\; /\; \partial \; x\; =\; \partial \; v\; /\; \partial \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \backslash \; partial\; u\; /\; \backslash \; partial\; x\; =\; \backslash \; partial\; v\; /\; \backslash \; partial\; y\}$и $b\; =\; \partial \; v\; /\; \partial \; x\; =\; -\; \partial \; u\; /\; \partial \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; \backslash \; partial\; v\; /\; \backslash \; partial\; x\; =\; -\; \backslash \; partial\; u\; /\; \backslash \; partial\; y\}$. Матрица этой формы - это матричное представление комплексного числа. Геометрически такая матрица всегда является составом для поворота с масштабированием и, в частности, сохраняет углы. Якобиан функции f (z) берет бесконечно малые отрезки прямой на пересечении двух кривых по z и поворачивает их к соответствующим отрезкам в f (z). Следовательно, функция, удовлетворяющая уравнениям Коши – Римана с ненулевой производной, сохраняет угол между кривыми на плоскости. То есть, уравнения Коши – Римана являются условиями для того, чтобы функция была конформной.

Более того, поскольку композиция конформного преобразования с другим конформным преобразованием также конформна, композиция решения уравнения Коши – Римана уравнения с конформным отображением должны сами решать уравнения Коши – Римана. Таким образом, уравнения Коши – Римана конформно инвариантны.

Комплексная дифференцируемость

Предположим, что

$f\; (z)\; =\; u\; (z)\; +\; i\; \cdot \; v\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; u\; (z)\; +\; i\; \backslash \; cdot\; v\; (z)\}$

является функцией комплексного числа $z\; =\; x\; +\; iy\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; x\; +\; iy\}$. Тогда комплексная производная от $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в точке $z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{0\}\}$определяется как

$lim\; h\; \to \; 0\; час\; \in \; С\; е\; (Z\; 0\; +\; час)\; -\; е\; (z\; 0)\; час\; знак\; равно\; f\; \text{'}(z\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; underset\; \{h\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}\; \{h\; \backslash \; to\; 0\; \}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (z\_\; \{0\}\; +\; h)\; -f\; (z\_\; \{0\})\}\; \{h\}\}\; =\; f\; \text{'}(z\_\; \{0\})\}$

при наличии этого ограничения.

Если этот предел существует, то его можно вычислить, взяв предел как $h\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \backslash \; to\; 0\}$вдоль действительной или мнимой оси; в любом случае результат должен быть одинаковым. Приближаясь по действительной оси, находим

$lim\; h\; \to \; 0\; h\; \in \; R\; f\; (z\; 0\; +\; h)\; -\; f\; (z\; 0)\; h\; =\; \partial \; f\; \partial \; x\; (z\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; underset\; \{h\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (z\_\; \{0\}\; +\; h)\; -f\; (z\_\; \{0\})\}\; \{h\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (z\_\; \{0\}).\}$

С другой стороны, приближаясь по мнимой оси,

$lim\; \eta \; \to \; 0\; \eta \; \in \; R\; f\; (z\; 0\; +\; i\; \eta )\; -\; f\; (z\; 0)\; i\; \eta \; =\; 1\; i\; \partial \; f\; \partial \; y\; (z\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; underset\; \{\backslash \; eta\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \{\backslash \; eta\; \backslash \; to\; 0\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (z\_\; \{0\}\; +\; i\; \backslash \; eta)\; -f\; (z\_\; \{0\}))\}\; \{i\; \backslash \; eta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{i\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; (z\_\; \{0\}).\}$

Равенство производной f, взятое по двум осям, равно

$i\; \partial \; f\; \partial \; x\; (z\; 0)\; =\; \partial \; f\; \partial \; y\; (z\; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (z\_\; \{\; 0\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; (z\_\; \{0\}),\}$

которые являются уравнениями Коши – Римана (2) в точке z 0.

Наоборот, если f : ℂ → ℂ - функция, которая дифференцируема, если рассматривать ее как функцию на ℝ, тогда f комплексно дифференцируема тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Коши – Римана. Другими словами, если u и v являются действительными дифференцируемыми функциями двух действительных переменных, очевидно, что u + iv является (комплекснозначной) вещественно-дифференцируемой функцией, но u + iv является комплексно-дифференцируемой функцией тогда и только тогда, когда функция Коши – Римана уравнения верны.

Действительно, следуя Рудину (1966), предположим, что f - комплексная функция, определенная в открытом множестве Ω ⊂ ℂ. Тогда, записывая z = x + iy для каждого z ∈ Ω, можно также рассматривать Ω как открытое подмножество ℝ, а f как функцию двух вещественных переменных x и y, которая отображает Ω ⊂ ℝ в ℂ. Рассмотрим уравнения Коши – Римана при z = z 0. Итак, предположим, что f дифференцируема в точке z 0 как функция двух действительных переменных от Ω до. Это эквивалентно существованию следующего линейного приближения

$f\; (z\; 0\; +\; \Delta \; z)\; -\; f\; (z\; 0)\; =\; fx\; \Delta \; x\; +\; fy\; \Delta \; y\; +\; \eta \; (\Delta \; z)\; \Delta \; z\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; Delta\; z)\; -f\; (z\_\; \{0\})\; =\; f\_\; \{x\}\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; x\; +\; f\_\; \{y\}\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; y\; +\; \backslash \; eta\; (\backslash \; Delta\; z)\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; z\; \backslash ,\; \}$

где z = x + iy и η (Δz) → 0 при Δz → 0. Поскольку $\Delta \; z\; +\; \Delta \; z\; ¯\; =\; 2\; \Delta \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; z\; +\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\; \}\; =\; 2\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; x\}$и $\Delta \; z\; -\; \Delta \; z\; ¯\; =\; 2\; я\; \Delta \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; z-\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; =\; 2i\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; y\}$, вышесказанное можно переписать как

$\Delta \; f\; (z\; 0)\; =\; fx\; -\; ify\; 2\; \Delta \; z\; +\; fx\; +\; ify\; 2\; \Delta \; z\; ¯\; +\; \eta \; (\Delta \; z)\; \Delta \; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\; (z\_\; \{0\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{x\}\; -if\_\; \{y\}\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; z\; +\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{x\}\; +\; if\_\; \{y\}\; \}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; +\; \backslash \; eta\; (\backslash \; Delta\; z)\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; z\; \backslash ,\}$

Определение двух производных Виртингера как

$\partial \; \partial \; z\; знак\; равно\; 1\; 2\; (\partial \; \partial \; x\; -\; я\; \partial \; \partial \; y),\; \partial \; \partial \; z\; ¯\; =\; 1\; 2\; (\partial \; \partial \; x\; +\; i\; \partial \; \partial \; y),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; -\; i\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; ri\; ght),\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\; \backslash \; partial\; x\}\}\; +\; я\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right),\}$

в пределе $\Delta \; z\; \to \; 0,\; \Delta \; z\; ¯\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; z\; \backslash \; rightarrow\; 0,\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$указанное выше равенство можно записать как

$dfdz\; |\; z\; =\; z\; 0\; =\; \partial \; f\; \partial \; z\; |\; z\; =\; z\; 0\; +\; \partial \; f\; \partial \; z\; ¯\; |\; z\; =\; z\; 0\; d\; z\; ¯\; d\; z\; +\; \eta \; (\Delta \; z),\; (\Delta \; z\; \ne \; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dz\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{z\; =\; z\_\; \{0\}\}\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{z\; =\; z\_\; \{0\}\}\; +\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{z\; =\; z\_\; \{0\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\; d\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\}\; \{dz\}\}\; +\; \backslash \; eta\; (\backslash \; Delta\; z),\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; (\backslash \; Delta\; z\; \backslash \; neq\; 0).\}$

Теперь рассмотрим возможные значения $dz\; ¯\; /\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; /\; dz\}$, когда предел берется в начале координат. Для z вдоль вещественной линии $z\; ¯\; =\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; =\; z\}$, так что $dz\; ¯\; /\; dz\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \{\backslash \; бар\; \{z\}\}\; /\; dz\; =\; 1\}$. Аналогично для чисто мнимого z у нас есть $dz\; ¯\; /\; dz\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; /\; dz\; =\; -1\}$, так что значение $dz\; ¯\; /\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; /\; dz\}$плохо определено в начале координат. Легко проверить, что $dz\; ¯\; /\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; /\; dz\}$не определен правильно ни при каком комплексном z, следовательно, f комплексно дифференцируем в z <282.>0 тогда и только тогда, когда $(\partial \; f\; /\; \partial \; z\; ¯)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; f\; /\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$в $z\; =\; z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; z\_\; \{0\}\}$. Но это в точности уравнения Коши – Римана, поэтому f дифференцируема в точке z 0 тогда и только тогда, когда уравнения Коши – Римана выполняются в точке z 0.

Независимость комплексно сопряженной

Приведенное выше доказательство предлагает другую интерпретацию уравнений Коши – Римана. Комплексное сопряжение числа z, обозначенное $z\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\}$, определяется как

$x\; +\; iy\; ¯:\; =\; x\; -\; iy\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{x\; +\; iy\}\}:\; =\; x-iy\}$

для действительных x и y. Тогда уравнения Коши – Римана можно записать в виде одного уравнения

(3) $\partial \; f\; \partial \; z\; ¯\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; \}\}\; =\; 0\}$

с использованием производной Виртингера по сопряженной переменной. В этой форме уравнения Коши – Римана можно интерпретировать как утверждение, что f не зависит от переменной $z\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\}$. Таким образом, мы можем рассматривать аналитические функции как истинные функции одной комплексной переменной, а не как сложные функции двух действительных переменных.

Физическая интерпретация

Контурный график пары u и v, удовлетворяющей уравнениям Коши – Римана. Линии тока (v = const, красный) перпендикулярны эквипотенциалам (u = const, синий). Точка (0,0) является стационарной точкой потенциального потока, где шесть линий тока пересекаются, а шесть эквипотенциалов также пересекаются и делят пополам углы, образованные линиями тока.

Стандартная физическая интерпретация уравнений Коши-Римана, восходящая к прошлому к работе Римана по теории функций (см. Klein 1893) заключается в том, что u представляет собой потенциал скорости несжимаемого установившегося потока жидкости в плоскости, а v - это его функция потока. Предположим, что пара (дважды непрерывно дифференцируемых) функций $u,\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; u,\; v\}$удовлетворяет уравнениям Коши – Римана. Мы примем u за потенциал скорости, что означает, что мы представляем поток жидкости в плоскости таким образом, чтобы вектор скорости жидкости в каждой точке плоскости был равен градиенту u, определяемого формулой

$\nabla \; u\; =\; \partial \; u\; \partial \; xi\; +\; \partial \; u\; \partial \; yj\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; u\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\}$

Дифференцируя уравнения Коши – Римана второй раз, можно показать, что u решает уравнение Лапласа :

$\partial \; 2\; u\; \partial \; Икс\; 2\; +\; \partial \; 2\; u\; \partial \; Y\; 2\; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0.\}$

То есть u является гармонической функцией. Это означает, что отклонение градиента равно нулю, и поэтому жидкость несжимаема.

Функция v также удовлетворяет уравнению Лапласа при аналогичном анализе. Кроме того, уравнения Коши – Римана подразумевают, что скалярное произведение $\nabla \; u\; \cdot \; \nabla \; v\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; u\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; v\; =\; 0\}$. Это означает, что градиент u должен указывать вдоль кривых $v\; =\; const\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \{\backslash \; text\; \{const\}\}\}$; так что это линии тока потока. Кривые $u\; =\; const\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \{\backslash \; text\; \{const\}\}\}$- это эквипотенциальные кривые потока.

Следовательно, голоморфную функцию можно визуализировать, построив два семейства кривых уровня $u\; =\; const\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \{\backslash \; text\; \{const\}\}\}$и $v\; =\; const\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \{\backslash \; text\; \{const\}\}\}$. Вблизи точек, где градиент u (или, что то же самое, v) не равен нулю, эти семейства образуют ортогональное семейство кривых. В точках, где $\nabla \; u\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; u\; =\; 0\}$, стационарные точки потока, эквипотенциальные кривые $u\; =\; const\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \{\; \backslash \; text\; \{const\}\}\}$пересекаются. Линии тока также пересекаются в одной точке, разделяя пополам углы, образованные эквипотенциальными кривыми.

Гармоническое векторное поле

Другая интерпретация уравнений Коши – Римана может быть найдена в Pólya Szeg (1978). Предположим, что u и v удовлетворяют уравнениям Коши – Римана в открытом подмножестве ℝ, и рассмотрим векторное поле

$f\; ¯\; =\; [u\; -\; v]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{f\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; u\; \backslash \backslash \; -\; v\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

рассматривается как (действительный) двухкомпонентный вектор. Тогда второе уравнение Коши – Римана (1b) утверждает, что $f\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{f\}\}\}$является безвихревым (его curl равно 0):

$\partial \; (-\; v)\; \partial \; x\; -\; \partial \; u\; \partial \; y\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; (-v)\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; 0.\}$

Первое уравнение Коши – Римана (1a) утверждает, что векторное поле соленоидально (или без дивергенции ):

$\partial \; u\; \partial \; Икс\; +\; \partial \; (-\; v)\; \partial \; Y\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; (-v)\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; 0.\}$

соответственно теореме Грина и теореме о расходимости такое поле обязательно является консервативным, и оно свободный от источников или стоков, имея чистый поток, равный нулю, через любую открытую область без отверстий. (Эти два наблюдения объединяются как действительная и мнимая части в интегральной теореме Коши.) В гидродинамике таким векторным полем является потенциальный поток (Шансон 2007). В магнитостатике такие векторные поля моделируют статические магнитные поля в области плоскости, в которой отсутствует ток. В электростатике они моделируют статические электрические поля в области плоскости, не содержащей электрического заряда.

Эту интерпретацию можно эквивалентным образом переформулировать на языке дифференциальных форм. Пара u, v удовлетворяет уравнениям Коши – Римана тогда и только тогда, когда one-form $vdx\; +\; udy\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash ,\; dx\; +\; u\; \backslash ,\; dy\}$одновременно является закрытым и сокрытым (гармоническая дифференциальная форма ).

Сохранение сложной структуры

Другая формулировка уравнений Коши – Римана включает сложную структуру на плоскости, задаваемую

$J\; =\; [0\; -\; 1\; 1\; 0].\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; -1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Это сложная структура в том смысле, что квадрат J является отрицательным значением тождества 2 × 2 матрица: $J\; 2\; =\; -\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\; =\; -\; I\}$. Как и выше, если u (x, y), v (x, y) - две функции на плоскости, положим

$f\; (x,\; y)\; =\; [u\; (x,\; y)\; v\; (x,\; y)].\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; u\; (x,\; y)\; \backslash \backslash \; v\; (x,\; y)\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

матрица Якоби из f представляет собой матрицу частных производных

$D\; f\; (x,\; y)\; =\; [\partial \; u\; \partial \; x\; \partial \; u\; \partial \; y\; \partial \; v\; \partial \; x\; \partial \; v\; \partial \; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; Df\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \backslash \; [5pt]\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; v\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \}\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; v\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Тогда пара функций u, v удовлетворяет уравнениям Коши – Римана тогда и только тогда, когда матрица Df 2 × 2 коммутирует с J (Кобаяси и Номидзу 1969, предложение IX.2.2)

Эта интерпретация полезна в симплектической геометрии, где она является отправной точкой для изучения псевдоголоморфные кривые.

Другие представления

Другие представления уравнений Коши – Римана иногда возникают в других системах координат. Если (1a) и (1b) верны для дифференцируемой пары функций u и v, то также и

$\partial \; u\; \partial \; n\; =\; \partial \; v\; \partial \; s,\; \partial \; v\; \partial \; n\; =\; -\; \partial \; u\; \partial \; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; n\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\}\; \{\backslash \; partial\; s\}\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\}\; \{\backslash \; partial\; n\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; s\}\}\}$

для любой системы координат (n (x, y), s (x, y)) такой, что пара (∇n, ∇s) ортонормирована и положительно ориентированные. Как следствие, в частности, в системе координат, задаваемой полярным представлением z = re, уравнения тогда принимают вид

$\partial \; u\; \partial \; r\; =\; 1\; r\; \partial \; v\; \partial \; \theta ,\; \partial \; v\; \partial \; r\; =\; -\; 1\; r\; \partial \; u\; \partial \; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; u\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; r\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; r\}\; \{\backslash \; partial\; v\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; theta\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; partial\; v\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; r\}\; =\; -\; \{1\; \backslash \; over\; r\}\; \{\backslash \; partial\; u\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; theta\}.\}$

Объединение их в одно уравнение для f дает

$\partial \; f\; \partial \; r\; =\; 1\; ir\; \partial \; f\; \partial \; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; r\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; ir\}\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; theta\}.\}$

Неоднородные уравнения Коши – Римана состоят из двух уравнений для пары неизвестных функций u (x, y) и v (x, y) двух действительных переменных

$\partial \; u\; \partial \; x\; -\; \partial \; v\; \partial \; y\; =\; \alpha \; (x,\; y)\; \partial \; u\; \partial \; y\; +\; \partial \; v\; \partial \; x\; =\; \beta \; (Икс,\; Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; \backslash \; alpha\; (x,\; y)\; \backslash \backslash \; [4pt]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; \backslash \; beta\; (x,\; y)\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\; \}\}$

для некоторых заданных функций α (x, y) и β (x, y), определенных в открытом подмножестве ℝ. Эти уравнения обычно объединяются в одно уравнение

$\partial \; f\; \partial \; z\; ¯\; =\; \phi \; (z,\; z\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\}\}\; =\; \backslash \; varphi\; (z,\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\})\}$

где f = u + iv и φ = (α + iβ) / 2.

Если φ равно C, то неоднородное уравнение явно разрешимо в любой ограниченной области D, при условии, что φ непрерывна на замыкании области D. Действительно, согласно Интегральная формула Коши,

$f\; (\zeta ,\; \zeta \; ¯)\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \iint \; D\; \phi \; (z,\; z\; ¯)\; dz\; \wedge \; dz\; ¯\; z\; -\; \zeta \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; left\; (\backslash \; zeta,\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; zeta\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; iint\; \_\; \{D\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; left\; (z,\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{dz\; \backslash \; wedge\; d\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\}\; \{z-\; \backslash \; zeta\}\}\}$

для всех ζ ∈ D.

Обобщения

Теорема Гурса и ее обобщения

Предположим, что f = u + iv - комплексная функция, которая дифференцируема как функция f: ℝ → ℝ. Тогда теорема Гурса утверждает, что f аналитична в открытой комплексной области Ω тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению Коши – Римана в области (Rudin 1966, Теорема 11.2). В частности, не нужно предполагать непрерывную дифференцируемость f (Dieudonné 1969, §9.10, Ex. 1).

Гипотезы теоремы Гурса могут быть значительно ослаблены. Если f = u + iv непрерывно в открытом множестве Ω и частные производные функции f по x и y существуют в Ω и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана во всем Ω, то f голоморфна ( и, следовательно, аналитический). Этим результатом является теорема Лумана – Меншофа.

Гипотеза о том, что f подчиняется уравнениям Коши – Римана во всей области Ω, является существенной. Можно построить непрерывную функцию, удовлетворяющую уравнениям Коши – Римана в точке, но не аналитическую в этой точке (например, f (z) = z / | z |). Точно так же, помимо уравнений Коши – Римана, необходимы некоторые дополнительные предположения (например, непрерывность), как показано в следующем примере (Looman 1923, стр. 107)

$f\; (z)\; =\; \{exp\; \; (\; -\; z\; -\; 4),\; если\; z\; \ne \; 0,\; 0,\; если\; z\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-z\; ^\; \{-\; 4\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; text\; \{if\}\; \}\; z\; \backslash \; not\; =\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; z\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

который удовлетворяет уравнениям Коши – Римана всюду, но не может быть непрерывным при z = 0.

Тем не менее, если функция удовлетворяет уравнениям Коши – Римана в открытом множестве в слабом смысле, то функция является аналитической. Точнее (Gray Morris 1978, теорема 9):

Если f (z) локально интегрируема в открытой области Ω ⊂ ℂ и слабо удовлетворяет уравнениям Коши – Римана, то f соглашается почти всюду с аналитической функцией в Ω.

Фактически это частный случай более общего результата о регулярности решений гипоэллиптических уравнений в частных производных.

Несколько переменных

В теории нескольких комплексных переменных существуют уравнения Коши – Римана, обобщенные соответствующим образом. Они образуют значительную переопределенную систему УЧП. Это выполняется с использованием прямого обобщения производной Виртингера, где для рассматриваемой функции требуется, чтобы (частичная) производная Виртингера по каждой комплексной переменной обращалась в нуль.

Сложные дифференциальные формы

Как часто формулируется, оператор d-бара

$\partial \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; partial\}\}\}$

аннулирует голоморфные функции. Это наиболее прямо обобщает формулировку

$\partial \; f\; \partial \; z\; ¯\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\}\; =\; 0,\}$

где

$\partial \; f\; \partial \; z\; ¯\; =\; 1\; 2\; (\partial \; f\; \partial \; x\; +\; i\; \partial \; f\; \partial \; y).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; +\; i\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\; \}\; \backslash \; right).\}$

преобразование Беклунда

Рассматриваемые как сопряженные гармонические функции, уравнения Коши – Римана являются простым примером преобразования Беклунда. Более сложные, обычно нелинейные преобразования Беклунда, такие как в уравнении синус-Гордон, представляют большой интерес в теории солитонов и интегрируемых систем.

Определение в алгебре Клиффорда

В алгебре Клиффорда комплексное число $z\; =\; x\; +\; iy\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; x\; +\; iy\}$представлено как $Z\; \equiv \; Икс\; +\; I\; Y\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; \backslash \; Equiv\; X\; +\; Iy\}$где $I\; \equiv \; \sigma \; 1\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; I\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; \}$. Оператор фундаментальной производной в алгебре Клиффорда для комплексных чисел определяется как $\nabla \; \equiv \; \sigma \; 1\; \partial \; x\; +\; \sigma \; 2\; \partial \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\; x\}\; +\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\}$. Функция $f\; =\; u\; +\; I\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; u\; +\; Iv\}$считается аналитической тогда и только тогда, когда $\nabla \; f\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; f\; =\; 0\}$, который можно вычислить следующим образом:

$0\; =\; \nabla \; f\; =\; (\sigma \; 1\; \partial \; x\; +\; \sigma \; 2\; \partial \; y)\; (u\; +\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2\; v)\; =\; \sigma \; 1\; \partial \; xu\; +\; \sigma \; 1\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2\; ⏟\; знак\; равно\; \sigma \; 2\; \partial \; xv\; +\; \sigma \; 2\; \partial \; yu\; +\; \sigma \; 2\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2\; ⏟\; =\; -\; \sigma \; 1\; \partial \; yv\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 0\; =\; \backslash \; nabla\; f\; =\; (\backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\})\; (u\; +\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; v)\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; u\; +\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\}\; \_\; \{=\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; v\; +\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; u\; +\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\}\; \_\; \{=\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\; \}\; v\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Группировка по $\sigma \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\}$и $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\; 2\}\}$:

$\nabla \; е\; =\; \sigma \; 1\; (\partial \; xu\; -\; \partial \; yv)\; +\; \sigma \; 2\; (\partial \; xv\; +\; \partial \; yu)\; =\; 0\; \iff \; \{\partial \; xu\; -\; \partial \; yv\; =\; 0\; \partial \; xv\; +\; \partial \; yu\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; набла\; f\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; (\backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; u-\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; v)\; +\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; v\; +\; \backslash \; par\; tial\; \_\; \{y\}\; u)\; =\; 0\; \backslash \; Leftrightarrow\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; u-\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; v\; =\; 0\; \backslash \backslash \; [4pt]\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; v\; +\; \backslash \; partial\; \_\; \{\; y\}\; u\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Далее в традиционной записи:

$\{\partial \; u\; \partial \; x\; =\; \partial \; v\; \partial \; y\; \partial \; u\; \partial \; y\; =\; -\; \partial \; v\; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; case\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; v\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \backslash \; [12pt]\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; v\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Конформные отображения в высших измерениях

Пусть Ω - открытое множество в евклидовом пространстве ℝ. Уравнение сохраняющего ориентацию отображения $f:\; \Omega \; \to \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; Omega\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$должно быть конформным отображением (то есть с сохранением угла):

$D\; f\; TD\; f\; =\; (det\; (D\; f))\; 2\; /\; n\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; Df\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; Df\; =\; (\backslash \; det\; (\; Df))\; ^\; \{2\; /\; n\}\; I\}$

где Df - матрица Якоби с транспонированием $D\; f\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; Df\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\}$, и I обозначает единичную матрицу (Iwaniec Martin 2001, стр. 32). При n = 2 эта система эквивалентна стандартным уравнениям Коши – Римана комплексных переменных, а решения являются голоморфными функциями. В размерности n>2 это все еще иногда называют системой Коши – Римана, и теорема Лиувилля подразумевает, при подходящих предположениях гладкости, что любое такое отображение является преобразованием Мёбиуса.

См. Также

• Список тем комплексного анализа
• Теорема Мореры
• Производные Виртингера

Ссылки

• Альфорс, Ларс (1953), Комплексный анализ (3-е изд.), McGraw Hill (опубликовано в 1979 г.), ISBN 0-07-000657-1.
• d'Alembert, Jean (1752), Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides, Paris.
• Коши, Огюстен Л. (1814), Mémoire sur les intégrales définies, Oeuvres Complete Ser. 1, 1, Paris (опубликовано 1882 г.), стр. 319–506
• Chanson, H. (2007), «Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Жозеф-Луи Лагранж ". ('Потенциал скорости в реальных потоках жидкости: вклад Жозефа-Луи Лагранжа.') ", Journal La Houille Blanche, 5 : 127–131, doi : 10.1051 / lhb: 2007072, ISSN 0018-6368.
• Дьедонне, Жан Александр (1969), Основы современного анализа, Academic Press.
• Эйлер, Леонард (1797), "Ulterior disquisitio de formulis integrationibus imaginariis", Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 10 : 3–19
• Грей, JD; Моррис, SA ( 1978), «Когда функция, удовлетворяющая уравнениям Коши – Римана, аналитична?», The American Mathematical Monthly (опубликовано в апреле 1978 г.), 85 (4): 246–256, doi : 10.2307 / 2321164, JSTOR 2321164.
• Кляйн, Феликс (1893), О теории алгебраических функций Римана и их интегралах, Кембридж: MacMillan and Боуз ; перевод Фрэнсис Хардкасл.
• Иванец, Т.; Мартин, Г. (2001), Геометрическая теория функций и нелинейный анализ is, Oxford.
• Looman, H. (1923), "Über die Cauchy – Riemannschen Differentialgleichungen", Göttinger Nachrichten: 97–108.
• Кобаяши, Шошичи ; Номидзу, Кацуми (1969), Основы дифференциальной геометрии, том 2, Уайли.
• Полиа, Джордж ; Сегё, Габор (1978), Проблемы и теоремы в анализе I, Springer, ISBN 3-540-63640-4
• Риман, Бернхард (1851), "Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse ", в H. Weber (ed.), gesammelte math. Римана. Werke, Dover (опубликовано в 1953 г.), стр. 3–48
• Рудин, Вальтер (1966), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), McGraw Hill (опубликовано в 1987 г.), ISBN 0-07-054234-1.
• Соломенцев Е.Д. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Стюарт, Ян ; Tall, David (1983), Complex Analysis (1st ed.), CUP (published 1984), ISBN 0-521-28763-4.

External links

• Weisstein, Eric W. "Cauchy–Riemann Equations". MathWorld.
• Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews