Решение дискретизированного уравнения в частных производных, полученное с помощью
метода конечных элементов.
В прикладной математике, дискретизация - это процесс передачи непрерывных функций, моделей, переменных и уравнений в дискретные аналоги. Этот процесс обычно выполняется в качестве первого шага к тому, чтобы сделать их пригодными для числовой оценки и реализации на цифровых компьютерах. Дихотомизация - это частный случай дискретизации, в котором количество дискретных классов равно 2, что может аппроксимировать непрерывную переменную как двоичную переменную (создавая дихотомию для моделирование целей, как в двоичной классификации ).
Дискретность также связана с дискретной математикой и является важным компонентом гранулярных вычислений. В этом контексте дискретизация может также относиться к модификации гранулярности переменной или категории, например, когда несколько дискретных переменных объединяются или несколько дискретных категорий объединяются.
Всякий раз, когда непрерывные данные дискретизируются, всегда имеется некоторая величина ошибки дискретизации. Цель состоит в том, чтобы уменьшить количество до уровня, который считается незначительным для имеющихся целей моделирования.
Термины дискретизация и квантование часто имеют одинаковые обозначения, но не всегда идентичные коннотации. (В частности, два термина имеют общее семантическое поле .) То же самое верно для ошибки дискретизации и ошибки квантования.
Математические методы, относящиеся к дискретизации, включают Метод Эйлера – Маруямы и удержание нулевого порядка.
Содержание
- 1 Дискретизация линейных моделей пространства состояний
- 1.1 Дискретизация шума процесса
- 1.2 Выведение
- 1.3 Приближение
- 2 Дискретность непрерывных функций
- 3 Дискретизация гладких функций
- 4 См. Также
- 5 Ссылки
- 6 Дополнительная литература
- 7 Внешние ссылки
Дискретизация линейных моделей пространства состояний
Дискретизация также связана с преобразованием непрерывных дифференциальных уравнений в дискретные разностные уравнения, подходящие для численных вычислений.
Следующее пространство состояний с непрерывным временем модель
где v и w - непрерывные нули -среднее источники белого шума с спектральной плотностью мощности
можно дискретизировать, предполагая, что удержание нулевого порядка для входа u и непрерывное интегрирование для шума v, до
с ковариациями
где
- , если является несингулярным
и - время выборки, хотя - это транспонированная матрица . Уравнение для дискретного шума измерения является следствием того, что непрерывный шум измерения определяется с помощью спектральной плотности мощности.
Умный трюк для вычисления A d и B d за один шаг - использовать следующее свойство:
Где и - дискретные матрицы пространства состояний.
Дискретизация шума процесса
Численная оценка немного сложнее из-за матричный экспоненциальный интеграл. Однако его можно вычислить, сначала построив матрицу и вычислив ее экспоненту
Затем дискретизированный шум процесса оценивается путем умножения транспонирования нижнего правого раздел G с верхним правым разделом G:
Вывод
Начиная с непрерывной модели
мы знаем, что экспоненциальная матрица равна
и путем предварительного умножения модели получаем
который мы распознаем как
и интегрированием..
, которое является аналитическим решением непрерывной модели.
Теперь мы хотим уточнить приведенное выше выражение. Мы предполагаем, что u константа на каждом временном шаге.
Мы признаем Измените выражение в квадратных скобках как , а второй член можно упростить, заменив его функцией . Обратите внимание, что . Мы также предполагаем, что постоянно в течение интеграла, что в свою очередь дает
, что является точным решением проблемы дискретизации.
Аппроксимации
Точная дискретизация иногда может быть затруднена из-за использования сложных матричных экспоненциальных и интегральных операций. Намного проще рассчитать приближенную дискретную модель, основанную на модели для малых временных шагов . Приближенное решение становится таким:
Это также известно как метод Эйлера, который также известен как прямой метод Эйлера. Другие возможные приближения: , иначе известный как обратный метод Эйлера и , которое известно как билинейное преобразование или преобразование Тастина. Каждое из этих приближений имеет разные свойства устойчивости. Билинейное преобразование сохраняет неустойчивость системы с непрерывным временем.
Дискретизация непрерывных функций
В статистике и машинном обучении дискретизация относится к процессу преобразования непрерывных функций или переменных в дискретные или номинальные характеристики. Это может быть полезно при создании функций вероятности и массы.
Дискретизация гладких функций
В теории обобщенных функций, дискретизация возникает как частный случай теоремы о свертке на умеренные распределения
, где - это Гребень Дирака, - дискретизация, - периодизация, - быстро убывающее умеренное распределение (например, дельта-функция Дирака или любая другая компактно поддерживаемая функция ), - это сглаженная, медленно растущая обычная функция (например, функция, которая постоянно или любая другая ограниченная по полосе функция) и - (унитарная, обычная частота) преобразование Фурье. Функции , которые не являются гладкими, можно сделать сглаженными с помощью смягчителя до дискретизации.
В качестве примера дискретизация функции, которая постоянно равна , дает последовательность sequence которые интерпретируются как коэффициенты линейной комбинации дельта-функций Дирака, образует гребешок Дирака. Если дополнительно применяется усечение, получаются конечные последовательности, например . Они дискретны как по времени, так и по частоте.
См. Также
Ссылки
- ^Analytic Sciences Corporation. Технический персонал. (1974). Применена оптимальная оценка. Гелб, Артур, 1937-. Кембридж, Массачусетс: M.I.T. Нажмите. Стр. 121. ISBN 0-262-20027-9. OCLC 960061.
- ^Раймонд ДеКарло: Линейные системы: подход с переменными состояниями с численной реализацией, Прентис Холл, Нью-Джерси, 1989
- ^Чарльз Ван Лоан: Вычисление интегралов с использованием экспоненциальной матрицы, транзакции IEEE по автоматическому управлению. 23 (3): 395–404, 1978
Дополнительная литература
- Роберт Гровер Браун и Патрик Ю.С. Хван (1997). Введение в случайные сигналы и применяемую фильтрацию Калмана (3-е изд.). ISBN 978-0471128397.
- Чи-Цон Чен (1984). Теория и дизайн линейных систем. Филадельфия, Пенсильвания, США: Издательство Saunders College. ISBN 978-0030716911.
- С. Ван Лоан (июнь 1978 г.). «Вычисление интегралов с использованием экспоненциальной матрицы» (PDF). IEEE Transactions по автоматическому контролю. 23 (3): 395–404. doi : 10.1109 / TAC.1978.1101743. hdl : 1813/7095.
- R.H. Миддлтон и Г. Гудвин (1990). Цифровой контроль и оценка: единый подход. п. 33f. ISBN 978-0132116657.
Внешние ссылки