Белый шум

редактировать

Случайный сигнал, имеющий одинаковую интенсивность на разных частотах, придающий ему постоянную спектральную плотность мощности

Белый

Розовый

Красный (броуновский)

Серый

Форма волны гауссовского сигнала белого шума, нанесенная на график

В обработке сигналов, белый шум представляет собой случайный сигнал, имеющий одинаковую интенсивность на разных частотах, придающий ему постоянную спектральную плотность мощности. Термин в этом или аналогичном значении используется во многих научных и технических дисциплинах, включая физику, акустическую инженерию, телекоммуникации и статистическое прогнозирование.. Белый шум относится к статистической модели сигналов и источников сигналов, а не к какому-либо конкретному сигналу. Белый шум получил свое название от белый свет, хотя свет, который кажется белым, обычно не имеет плоской спектральной плотности мощности в видимом диапазоне.

Изображение «белого шума»

В дискретном времени белый шум - это дискретный сигнал, выборки которого рассматриваются как последовательность серийно некоррелированные случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией ; единственная реализация белого шума - это случайный удар . В зависимости от контекста может также потребоваться, чтобы выборки были независимыми и имели идентичное распределение вероятностей (другими словами, независимые и одинаково распределенные случайные величины являются простейшими представление белого шума). В частности, если каждая выборка имеет нормальное распределение с нулевым средним, сигнал называется аддитивным белым гауссовским шумом.

Выборки сигнала белого шума могут быть последовательными во времени или расположены по одному или нескольким пространственным измерениям. В обработке цифрового изображения пиксели изображения с белым шумом обычно располагаются в прямоугольной сетке, и предполагается, что они являются независимыми случайными величинами с равномерным распределением вероятностей через некоторый интервал. Эту концепцию можно определить также для сигналов, распространяющихся по более сложным областям, таким как сфера или тор.

Звук «белого шума» (громкий)

Белый с бесконечной полосой пропускания шумовой сигнал - чисто теоретическая конструкция. Полоса пропускания белого шума на практике ограничена механизмом генерации шума, средой передачи и ограниченными возможностями наблюдения. Таким образом, случайные сигналы считаются «белым шумом», если наблюдается плоский спектр в диапазоне частот, соответствующих контексту. Для аудиосигнала релевантным диапазоном является полоса слышимых звуковых частот (от 20 до 20 000 Гц ). Такой сигнал воспринимается человеческим ухом как шипящий звук, напоминающий звук / ч / при длительном вдохе. С другой стороны, звук / sh / в слове «ash» - это цветной шум, потому что он имеет формантную структуру. В музыке и акустике термин «белый шум» может использоваться для любого сигнала, который имеет похожий шипящий звук.

Термин «белый шум» иногда используется в контексте филогенетических статистических методов для обозначения отсутствия филогенетической закономерности в сравнительных данных. Иногда это слово используется аналогично в нетехническом контексте для обозначения «случайных разговоров без значимого содержания».

Содержание

1 Статистические свойства
2 Практическое применение
- 2.1 Музыка
- 2.2 Электронная инженерия
- 2.3 Вычислительная техника
- 2.4 Лечение тиннитуса
- 2.5 Рабочая среда
3 Математические определения
- 3.1 Вектор белого шума
- 3.2 Белый шум в дискретном времени
- 3.3 Белый шум в непрерывном времени
4 Математические приложения
- 4.1 Анализ временных рядов и регрессия
- 4.2 Случайные векторные преобразования
5 Поколение
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Статистические свойства

Спектрограмма розовый шум (слева) и белый шум (справа), показаны с линейной частотной осью (вертикальная) в зависимости от оси времени (горизонтальная).

Возможно любое распределение значений (хотя оно должно иметь ноль Компонент постоянного тока ). Даже двоичный сигнал, который может принимать только значения 1 или 0, будет белым, если последовательность статистически некоррелирована. Шум, имеющий непрерывное распределение, такое как нормальное распределение, конечно, может быть белым.

Часто ошибочно полагают, что гауссовский шум (т. Е. Шум с гауссовым распределением амплитуд - см. нормальное распределение ) обязательно относится к белому шуму, но ни одно свойство не подразумевает другой. Гауссовость относится к распределению вероятности относительно значения, в этом контексте вероятность попадания сигнала в любой конкретный диапазон амплитуд, в то время как термин «белый» относится к способу распределения мощности сигнала (т. Е. Независимо) во времени. или среди частот.

Белый шум - это обобщенная среднеквадратичная производная винеровского процесса или броуновского движения.

Обобщение случайных элементов на бесконечномерных пространствах, такие как случайные поля, это мера белого шума.

Практическое применение

Музыка

Белый шум обычно используется в производстве электронных music, обычно либо напрямую, либо в качестве входа для фильтра для создания других типов шумового сигнала. Он широко используется в синтезе звука, обычно для воссоздания ударных инструментов, таких как тарелки или малые барабаны, которые имеют высокий уровень шума в своей частотной области. Простой пример белого шума - несуществующая радиостанция (статическая).

Электроника

Белый шум также используется для получения импульсной характеристики электрической цепи, в частности, усилителей и другого звукового оборудования. Он не используется для тестирования громкоговорителей, так как его спектр содержит слишком большое количество высокочастотной составляющей. Розовый шум, который отличается от белого шума тем, что он имеет одинаковую энергию в каждой октаве, используется для тестирования датчиков, таких как громкоговорители и микрофоны.

Вычисления

Белый шум используется в качестве основы некоторых генераторов случайных чисел. Например, Random.org использует систему атмосферных антенн для генерации случайных комбинаций цифр из белого шума.

Лечение тиннитуса

Белый шум - распространенный источник синтетического шума, используемый для маскировки звука маскировщиком шума в ушах. Аппараты белого шума и другие белые шумы Источники продаются как усилители конфиденциальности и средства для сна (см. музыка и сон ) и для маскировки тиннитуса. В качестве альтернативы, использование FM-радио, настроенного на неиспользуемые частоты ("статические"), является более простым и более экономичным источником белого шума. Однако белый шум, генерируемый обычным коммерческим радиоприемником, настроенным на неиспользуемую частоту, чрезвычайно уязвим для заражения паразитными сигналами, такими как соседние радиостанции, гармоники от несоседних радиостанций, электрическое оборудование в непосредственной близости от приемной антенны, вызывающее помехи или даже атмосферные явления, такие как солнечные вспышки и особенно молния.

Существуют доказательства того, что терапия воздействием белого шума может вызывать дезадаптивные изменения в мозге, которые ухудшают неврологическое здоровье и ухудшают когнитивные способности.

Рабочая среда

Влияние белого шума на когнитивные функции смешанные. Недавно небольшое исследование показало, что фоновая стимуляция белым шумом улучшает когнитивные функции учащихся средних школ с синдромом дефицита внимания и гиперактивности (СДВГ), снижая успеваемость учащихся без СДВГ. Другая работа показывает, что он эффективен для улучшения настроения и производительности рабочих за счет маскировки фонового офисного шума, но снижает когнитивные способности при выполнении сложных задач по сортировке карточек.

Аналогичным образом, эксперимент был проведен на шестидесяти шести здоровых участниках для наблюдения преимущества использования белого шума в учебной среде. В эксперименте участники идентифицировали разные изображения, имея при этом разные звуки на заднем плане. В целом эксперимент показал, что белый шум действительно имеет преимущества в отношении обучения. Эксперименты показали, что белый шум немного улучшает обучающие способности участников и их память распознавания.

Математические определения

Вектор белого шума

A случайный вектор (то есть частично неопределенный процесс который производит векторы действительных чисел) называется вектором белого шума или белым случайным вектором, если каждый его компонент имеет распределение вероятностей с нулевым средним и конечной дисперсией и статистически независимый : то есть их совместное распределение вероятностей должно быть произведением распределений отдельных компонентов.

Необходимо (но, в целом, не достаточным ) условием статистической независимости двух переменных является то, чтобы они были статистически некоррелированными ; то есть их ковариация равна нулю. Следовательно, ковариационная матрица R компонентов вектора белого шума w с n элементами должна быть диагональной матрицей размером n на n , где каждый диагональный элемент Rᵢᵢ является дисперсией компонента wᵢ; и матрица корреляции должна быть единичной матрицей n на n.

Если каждая переменная в w помимо того, что она независима, также имеет нормальное распределение с нулевым средним и такой же дисперсией $σ 2 {\ displaystyle \ sigma ^ {2} }$ $\ sigma ^ {2}$ , w называется вектором гауссовского белого шума. В этом случае совместное распределение w является многомерным нормальным распределением ; тогда независимость между переменными означает, что распределение имеет сферическую симметрию в n-мерном пространстве. Следовательно, любое ортогональное преобразование вектора приведет к гауссовскому белому случайному вектору. В частности, при большинстве типов дискретного преобразования Фурье, таких как FFT и Хартли, преобразование W для w также будет вектором гауссовского белого шума; то есть n коэффициентов Фурье w будут независимыми гауссовскими переменными с нулевым средним и той же дисперсией $σ 2 {\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$ .

спектр мощности P случайный вектор w может быть определен как ожидаемое значение квадрата модуля каждого коэффициента его преобразования Фурье W, то есть Pᵢ = E (| Wᵢ | ²). Согласно этому определению, вектор гауссовского белого шума будет иметь идеально ровный спектр мощности с Pᵢ = σ² для всех i.

Если w - белый случайный вектор, но не гауссовский, его коэффициенты Фурье Wᵢ не будут полностью независимыми друг от друга; хотя для больших n и обычных распределений вероятностей зависимости очень тонкие, и их парные корреляции можно считать равными нулю.

Часто более слабое условие «статистически некоррелированный» используется в определении белого шума вместо «статистически независимого». Однако некоторые из обычно ожидаемых свойств белого шума (например, плоский спектр мощности) могут не соблюдаться для этой более слабой версии. При таком предположении более строгий вариант можно явно назвать независимым вектором белого шума. Другие авторы вместо этого используют сильно белый и слабо белый.

Примером случайного вектора, который является «гауссовским белым шумом» в слабом, но не в сильном смысле, является x = [x₁, x₂], где x₁ - это нормальная случайная величина с нулевым средним, а x₂ равно + x₁ или −x₁ с равной вероятностью. Эти две переменные некоррелированы и по отдельности нормально распределены, но совместно не распределены нормально и не являются независимыми. Если x повернуть на 45 градусов, две его составляющие по-прежнему будут некоррелированными, но их распределение больше не будет нормальным.

В некоторых ситуациях можно ослабить определение, разрешив каждому компоненту белого случайного вектора w иметь ненулевое ожидаемое значение $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ . В частности, в обработке изображений, где выборки обычно ограничиваются положительными значениями, часто принимают $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ как половину максимального значения выборки. В этом случае коэффициент Фурье W₀, соответствующий компоненту нулевой частоты (по сути, среднее значение w_i), также будет иметь ненулевое ожидаемое значение $μ n {\ displaystyle \ mu {\ sqrt {n}} }$ $\ mu {\ sqrt {n}}$ ; и спектр мощности P будет плоским только на ненулевых частотах.

Белый шум в дискретном времени

Дискретный случайный процесс $W [n] {\ displaystyle W [n]}$ ${\ displaystyle W [n]}$ является обобщением случайных векторов с конечным числом компонентов на бесконечное число компонентов. Случайный процесс с дискретным временем $W [n] {\ displaystyle W [n]}$ ${\ displaystyle W [n]}$ называется белым шумом, если его среднее значение не зависит от времени $n {\ displaystyle n}$ $n$ и равен нулю, то есть $E ⁡ [W [n]] = 0 {\ displaystyle \ operatorname {E} [W [n]] = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [W [n]] = 0}$ и если функция автокорреляции $RW [n] = E ⁡ [W [k + n] W [k]] {\ displaystyle R_ {W} [n] = \ operatorname {E} [W [k + n] W [ k]]}$ ${\ displaystyle R_ {W} [n] = \ operatorname {E} [W [k + n] W [k]]}$ зависит только от $n {\ displaystyle n}$ $n$ , но не от $k {\ displaystyle k}$ $k$ и имеет ненулевое значение значение только для $n = 0 {\ displaystyle n = 0}$ $n=0$ , т.е. $RW [n] = σ 2 δ [n] {\ displaystyle R_ {W} [n] = \ sigma ^ {2} \ delta [n]}$ ${\ displaystyle R_ {W} [n] = \ sigma ^ {2} \ delta [n]}$ .

Непрерывный белый шум

Для определения понятия «белый шум» в теории непрерывных сигналов необходимо заменить понятие «случайный вектор» на случайный сигнал с непрерывным временем; то есть случайный процесс, который генерирует функцию $w {\ displaystyle w}$ $w$ параметра с действительным знаком $t {\ displaystyle t}$ $t$ .

Такой процесс называется белый шум в самом сильном смысле, если значение $w (t) {\ displaystyle w (t)}$ $w (t)$ в любое время $t {\ displaystyle t}$ $t$ является случайная величина, статистически независимая от всей своей истории до $t {\ displaystyle t}$ $t$ . Более слабое определение требует независимости только между значениями $w (t 1) {\ displaystyle w (t_ {1})}$ $w(t_{1})$ и $w (t 2) {\ displaystyle w (t_ { 2})}$ $w (t_ {2})$ в каждой паре различных моментов времени $t 1 {\ displaystyle t_ {1}}$ $t_{1}$ и $t 2 {\ displaystyle t_ {2}}$ $t_{2}$ . Еще более слабое определение требует только, чтобы такие пары $w (t 1) {\ displaystyle w (t_ {1})}$ $w(t_{1})$ и $w (t 2) {\ displaystyle w (t_ { 2})}$ $w (t_ {2})$ быть некоррелированными. Как и в дискретном случае, некоторые авторы принимают более слабое определение «белого шума» и используют квалификатор «независимый» для обозначения любого из более сильных определений. Другие используют слабо белый и сильно белый цвет, чтобы различать их.

Однако точное определение этих понятий нетривиально, потому что некоторые величины, являющиеся конечными суммами в конечном дискретном случае, должны быть заменены интегралами, которые могут не сходиться. В самом деле, набор всех возможных экземпляров сигнала $w {\ displaystyle w}$ $w$ больше не является конечномерным пространством $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n }}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , но бесконечномерное функциональное пространство. Более того, по любому определению сигнал белого шума $w {\ displaystyle w}$ $w$ должен быть по существу прерывистым в каждой точке; поэтому даже простейшие операции над $w {\ displaystyle w}$ $w$ , такие как интегрирование на конечном интервале, требуют сложного математического аппарата.

Некоторые авторы требуют, чтобы каждое значение $w (t) {\ displaystyle w (t)}$ $w (t)$ было случайной величиной с действительным знаком с математическим ожиданием $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ и некоторая конечная дисперсия $σ 2 {\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$ . Тогда ковариация $E (w (t 1) ⋅ w (t 2)) {\ displaystyle \ mathrm {E} (w (t_ {1}) \ cdot w (t_ {2}))}$ $\ mathrm {E} (w (t_ {1}) \ cdot w (t_ {2}))$ между двумя значениями $t 1 {\ displaystyle t_ {1}}$ $t_{1}$ и $t 2 {\ displaystyle t_ {2}}$ $t_{2}$ хорошо -определено: оно равно нулю, если времена различны, и $σ 2 {\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$ , если они равны. Однако согласно этому определению интеграл

W [a, a + r] = ∫ aa + rw (t) dt {\ displaystyle W _ {[a, a + r]} = \ int _ {a} ^ { a + r} w (t) \, dt}

W _ {[a, a + r]} = \ int _ {a} ^ {a + r} w (t) \, dt

на любом интервале с положительной шириной $r {\ displaystyle r}$ $r$ будет просто шириной, умноженной на ожидание: $r μ {\ Displaystyle r \ mu}$ ${\ displaystyle r \ mu}$ . Это свойство сделало бы концепцию неадекватной в качестве модели сигналов физического «белого шума».

Поэтому большинство авторов определяют сигнал $w {\ displaystyle w}$ $w$ косвенно, задав ненулевые значения для интегралов $w (t) {\ displaystyle w (t)}$ $w (t)$ и $| w (t) | 2 {\ displaystyle | w (t) | ^ {2}}$ $| w (t) | ^ {2}$ на любом интервале $[a, a + r] {\ displaystyle [a, a + r]}$ $[a, a + r]$ в зависимости от его ширины $r {\ displaystyle r}$ $r$ . Однако при таком подходе значение $w (t) {\ displaystyle w (t)}$ $w (t)$ в изолированное время не может быть определено как случайная величина с действительным знаком. Также ковариация $E (w (t 1) ⋅ w (t 2)) {\ displaystyle \ mathrm {E} (w (t_ {1}) \ cdot w (t_ {2}))}$ $\ mathrm {E} (w (t_ {1}) \ cdot w (t_ {2}))$ становится бесконечным, если $t 1 = t 2 {\ displaystyle t_ {1} = t_ {2}}$ $t_ {1} = t_ {2}$ ; и функция автокорреляции $R (t 1, t 2) {\ displaystyle \ mathrm {R} (t_ {1}, t_ {2})}$ $\ mathrm {R} (t_ {1}, t_ {2})$ должна быть определена как $N δ (t 1 - t 2) {\ displaystyle N \ delta (t_ {1} -t_ {2})}$ $N \ delta (t_ {1} -t_ {2})$ , где $N {\ displaystyle N}$ $N$ - некоторая действительная константа, а $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ - «функция» Дирака.

В этом подходе обычно указывается, что интеграл $WI {\ displaystyle W_ {I}}$ $W_ { I}$ из $w (t) {\ displaystyle w (t)}$ $w (t)$ в интервале $I = [a, b] { \ displaystyle I = [a, b]}$ $I = [a, b]$ - реальная случайная величина с нормальным распределением, нулевым средним и дисперсией $(b - a) σ 2 {\ displaystyle (ba) \ sigma ^ { 2}}$ $(ba) \ sigma ^ {2}$ ; а также что ковариация $E (WI ⋅ WJ) {\ displaystyle \ mathrm {E} (W_ {I} \ cdot W_ {J})}$ $\ mathrm {E} (W_ {I} \ cdot W_ {J})$ интегралов $WI {\ displaystyle W_ {I}}$ $W_ { I}$ , $WJ {\ displaystyle W_ {J}}$ $W_{J}$ is $r σ 2 {\ displaystyle r \ sigma ^ {2}}$ $r \ sigma ^ {2}$ , где $r {\ displaystyle r}$ $r$ - ширина пересечения $I ∩ J {\ displaystyle I \ cap J}$ $I \ cap J$ двух интервалов $I, J {\ displaystyle I, J}$ $I, J$ . Эта модель называется гауссовским сигналом белого шума (или процессом).

Математические приложения

Анализ временных рядов и регрессия

В статистике и эконометрике часто предполагается, что наблюдаемый ряд данных values - это сумма серии значений, сгенерированных детерминированным линейным процессом, зависящим от некоторых независимых (объясняющих) переменных, а также от серии случайных помех ценности. Затем регрессионный анализ используется для вывода параметров модельного процесса из наблюдаемых данных, например по обычным методом наименьших квадратов и для проверки нулевой гипотезы о том, что каждый из параметров равен нулю, против альтернативной гипотезы о том, что он не равен нулю. Проверка гипотез обычно предполагает, что значения шума взаимно некоррелированы с нулевым средним и имеют одинаковое гауссовское распределение вероятностей - другими словами, что шум гауссовский белый (а не только белый). Если существует ненулевая корреляция между значениями шума, лежащими в основе различных наблюдений, тогда оцененные параметры модели по-прежнему несмещены, но оценки их неопределенностей (например, доверительные интервалы ) будут смещены ( в среднем неточно). Это также верно, если шум гетероскедастичен, то есть если он имеет разные дисперсии для разных точек данных.

В качестве альтернативы, в подмножестве регрессионного анализа, известном как анализ временных рядов, часто нет независимых переменных, кроме прошлых значений моделируемой переменной (зависимая переменная ). В этом случае шумовой процесс часто моделируется как процесс скользящего среднего, в котором текущее значение зависимой переменной зависит от текущего и прошлых значений последовательного процесса белого шума.

Случайные векторные преобразования

Эти две идеи имеют решающее значение в таких приложениях, как оценка канала и выравнивание канала в связи и аудио. Эти концепции также используются в сжатии данных.

. В частности, с помощью подходящего линейного преобразования (a) белый случайный вектор может использоваться для создания «небелого» случайного вектора (то есть списка случайные величины), элементы которой имеют заданную ковариационную матрицу. И наоборот, случайный вектор с известной ковариационной матрицей может быть преобразован в белый случайный вектор с помощью подходящего преобразования отбеливания.

Генерация

Белый шум может быть сгенерирован в цифровом виде с помощью цифрового сигнального процессора, микропроцессор или микроконтроллер. Генерация белого шума обычно влечет за собой подачу соответствующего потока случайных чисел в цифро-аналоговый преобразователь . Качество белого шума будет зависеть от качества используемого алгоритма.

См. Также

Белый

Розовый

Красный (броуновский)

Серый

Ссылки

Внешние ссылки

Викискладе есть материалы, связанные с Белый шум.