Ограничение полосы

Ограничение сигнала, чтобы он содержал только низкочастотные компоненты Спектр сигнала с ограниченной полосой основной полосы как функция частоты

Ограничение полосы - это ограничение представления в частотной области или спектральной плотности сигнала до нуля выше определенной конечной частоты.

A сигнал с ограниченной полосой - это сигнал, для которого преобразование Фурье или спектральная плотность имеет ограниченную поддержку.

Сигнал с ограниченной полосой может быть либо случайным (стохастическим ), либо не -случайный (детерминированный ).

В общем, в непрерывном представлении сигнала в виде ряда Фурье требуется бесконечно много членов, но если на основе этого сигнала можно вычислить конечное число членов ряда Фурье, этот сигнал считается быть ограниченным диапазоном.

Сигнал с ограниченной полосой частот может быть полностью восстановлен из ее выборок при условии, что частота дискретизации превышает в два раза максимальную частоту в сигнале с ограниченной полосой пропускания. Эта минимальная частота дискретизации называется частотой Найквиста. Этот результат, обычно приписываемый Найквисту и Шеннон, известен как теорема выборки Найквиста – Шеннона.

Пример простого детерминированного сигнала с ограниченной полосой пропускания - синусоида формы $x\; (t)\; =\; грех\; \; (2\; \pi \; ft\; +\; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; pi\; ft\; +\; \backslash \; theta)\; \backslash \}$. Если этот сигнал дискретизируется с частотой $fs\; =\; 1\; T>2\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{s\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}>2f\}$, чтобы у нас были образцы $x\; (n\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (nT)\; \backslash \}$, для всех целых чисел $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$мы можем восстановить $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; \backslash \}$полностью из этих выборок. Точно так же суммы синусоид с разными частотами и фазами также ограничены полосой до самой высокой из их частот.

Сигнал, преобразование Фурье которого показано на фигура также имеет ограниченную полосу пропускания. Предположим, $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; \backslash \}$- это сигнал, преобразование Фурье которого равно $X\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (f)\; \backslash \}$, величина которого показана на рисунке. Наивысшая частотная составляющая в $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; \backslash \}$равна $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \}$. В результате th e Коэффициент Найквиста равен

$R\; N\; =\; 2\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{N\}\; =\; 2B\; \backslash ,\}$

или вдвое больше самой высокой частотной составляющей в сигнале, как показано на рисунке. Согласно теореме выборки, можно полностью и точно восстановить $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; \backslash \}$, используя образцы

$x\; [n]\; =\; defx\; (n\; T)\; =\; x\; (nfs)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; x\; (nT)\; =\; x\; \backslash \; left\; (\{n\; \backslash \; over\; f\_\; \{s\}\}\; \backslash \; right)\}$для всех целых чисел $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash ,\}$и $T\; =\; def\; 1\; fs\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\; \}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; \{1\; \backslash \; over\; f\_\; \{s\}\}\}$

до тех пор, пока

$fs>RN\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{s\}>R\_\; \{N\}\; \backslash ,\}$

Восстановление сигнала из его выборок может быть выполнено с использованием формулы интерполяции Уиттекера – Шеннона.

Сигнал с ограниченной полосой не может быть также ограничен по времени. Точнее, функция и ее преобразование Фурье не могут одновременно иметь конечная поддержка, если она не равна тождественно нулю. Этот факт можно доказать с помощью комплексного анализа и свойств преобразования Фурье.

Доказательство: Предположим, что существует сигнал f (t), который имеет конечную поддержку в обеих областях и не равен тождественно нулю. Давайте сэмплируем его быстрее, чем частота Найквиста, и вычислим соответствующее преобразование Фурье $FT\; (f)\; =\; F\; 1\; (w)\; \{\backslash \; displaystyle\; FT\; (f)\; =\; F\_\; \{1\; \}\; (w)\}$и дискретное время преобразования Фурье $DTFT\; (f)\; =\; F\; 2\; (w)\; \{\backslash \; displaystyle\; DTFT\; (f)\; =\; F\_\; \{2\}\; (w)\}$. Согласно свойствам DTFT, $F\; 2\; (w)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; +\; \infty \; F\; 1\; (w\; +\; nfx)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\; (w)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; F\_\; \{1\}\; (w\; +\; nf\_\; \{x\})\}$, где $fx\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\}\}$- частота, используемая для дискретизация. Если f ограничен полосой пропускания, $F\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\}\}$равно нулю за пределами определенного интервала, поэтому при достаточно большом $fx\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\}\}$, $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$тоже будет нулем в некоторых интервалах, так как отдельный поддерживает из $F\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\}\}$в сумме $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$не будет перекрываться. Согласно определению DTFT, $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$представляет собой сумму тригонометрических функций, и поскольку f (t) ограничена по времени, эта сумма будет конечной, поэтому $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$на самом деле будет тригонометрическим полиномом. Все тригонометрические полиномы голоморфны на всей комплексной плоскости, и в комплексном анализе есть простая теорема, которая гласит, что все нули непостоянной голоморфной функции изолированы. Но это противоречит нашему более раннему выводу, что $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$имеет интервалы, полные нулей, поскольку точки в таких интервалах не изолированы. Таким образом, единственный сигнал с ограничением по времени и полосе пропускания - это постоянный ноль.

Одним из важных следствий этого результата является то, что невозможно сгенерировать действительно ограниченный сигнал в любой реальной ситуации, потому что для передачи ограниченного сигнала потребуется бесконечное время. Все сигналы реального мира по необходимости ограничены по времени, что означает, что они не могут быть ограничены по полосе. Тем не менее, концепция сигнала с ограниченной полосой частот является полезной идеализацией для теоретических и аналитических целей. Более того, можно аппроксимировать сигнал с ограниченной полосой частот до любого желаемого уровня точности.

Аналогичное соотношение между длительностью во времени и полосой пропускания по частоте также формирует математическую основу для принципа неопределенности в квантовой механике. В этой настройке «ширина» функций временной области и частотной области оценивается с помощью меры, подобной дисперсии. Количественно принцип неопределенности налагает следующее условие на любую реальную форму волны:

$WBTD\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{B\}\; T\_\; \{D\}\; \backslash \; geq\; 1\}$

, где

$WB\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{B\}\; \}$- (подходящим образом выбранная) мера полосы пропускания (в герцах), а

$TD\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{D\}\}$- (соответственно выбранная) мера продолжительности (в секундах).

В частотно-временном анализе эти пределы известны как предел Габора и интерпретируются как предел одновременного частотно-временного разрешения, которое можно достичь.

• Уильям МакКи. Зиберт (1986). Цепи, сигналы и системы. Кембридж, Массачусетс: MIT Press.