Спектральная плотность

редактировать

Относительная важность определенных частот в составном сигнале

Спектральная плотность флуоресцентного света как Функция длины оптической волны показывает пики на атомных переходах, обозначенные пронумерованными стрелками.

Форма звуковой волны с течением времени (слева) имеет широкий спектр мощности звука (справа).

Спектр мощности $S xx (f) {\ displaystyle S_ {xx} (f)}$ $S _ {{xx}} (е)$ из временного ряда $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x(t)$ описывает распределение мощности на частотные составляющие, составляющие этот сигнал. В соответствии с анализом Фурье любой физический сигнал можно разложить на несколько дискретных частот или на спектр частот в непрерывном диапазоне. Среднее статистическое значение определенного сигнала или типа сигнала (включая шум ), проанализированное с точки зрения его частотного содержания, называется его спектром.

, когда энергия сигнала концентрируется вокруг конечный интервал времени, особенно если его полная энергия конечна, можно вычислить спектральную плотность энергии . Чаще используется спектральная плотность мощности (или просто спектр мощности ), которая применяется к сигналам, существующим в течение всего времени или в течение достаточно большого периода времени (особенно в отношении продолжительности измерения), что это могло также происходить в течение бесконечного интервала времени. Затем спектральная плотность мощности (СПМ) относится к спектральному распределению энергии, которое может быть найдено в единицу времени, поскольку полная энергия такого сигнала за все время, как правило, будет бесконечной. Суммирование или интегрирование спектральных компонентов дает полную мощность (для физического процесса) или дисперсию (в статистическом процессе), идентичную той, которая была бы получена путем интегрирования $x 2 (t) {\ displaystyle x ^ {2} (t)}$ ${\ displaystyle x ^ {2} (t)}$ во временной области, как продиктовано теоремой Парсеваля.

Спектр физического процесса $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x(t)$ часто содержит важную информацию о природе $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Например, высота и тембр музыкального инструмента сразу же определяются из спектрального анализа. цвет источника света определяется спектром электрического поля электромагнитной волны $E (t) {\ displaystyle E (t)}$ $E(t)$ , поскольку он колеблется при очень сильных колебаниях. высокая частота. Получение спектра из временных рядов, подобных этим, включает преобразование Фурье и обобщения, основанные на анализе Фурье. Во многих случаях временная область специально не используется на практике, например, когда дисперсионная призма используется для получения спектра света в спектрографе , или когда звук воспринимается через его воздействие на слуховые рецепторы. внутреннего уха, каждое из которых чувствительно к определенной частоте.

Однако в этой статье основное внимание уделяется ситуациям, в которых временные ряды известны (по крайней мере, в статистическом смысле) или непосредственно измерены (например, с помощью микрофона, измеренного компьютером). Спектр мощности важен в статистической обработке сигналов и в статистическом исследовании случайных процессов, а также во многих других областях физики и инженерии.. Обычно процесс является функцией времени, но можно аналогичным образом обсудить данные в пространственной области, которые разлагаются на пространственную частоту.

Содержание

1 Пояснение
2 Определение
- 2.1 Спектральная плотность энергии
- 2.2 Спектральная плотность мощности
  - 2.2.1 Свойства спектральной плотности мощности
- 2.3 Перекрестная спектральная плотность мощности
3 Оценка
4 Свойства
5 Понятия, связанные с данным
6 Приложения
- 6.1 Электротехника
- 6.2 Космология
7 См. Также
8 Примечания
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Пояснение

Любой сигнал, который может быть представлен как переменная который изменяется во времени, имеет соответствующий частотный спектр. Сюда входят знакомые объекты, такие как видимый свет (воспринимается как цвет ), музыкальные ноты (воспринимаются как высота ), радио / телевидение ( определяется их частотой, а иногда и длиной волны) и даже регулярным вращением Земли. Когда эти сигналы рассматриваются в форме частотного спектра, выявляются определенные аспекты принимаемых сигналов или лежащие в основе процессы, их производящие. В некоторых случаях частотный спектр может включать отчетливый пик, соответствующий синусоидальной составляющей . И дополнительно могут быть пики, соответствующие гармоникам основного пика, указывающие на периодический сигнал, который не является просто синусоидальным. Или непрерывный спектр может показывать узкие частотные интервалы, которые сильно усиливаются в соответствии с резонансами, или частотные интервалы, содержащие почти нулевую мощность, как было бы создано режекторным фильтром.

В физике сигнал может быть волной, такой как электромагнитная волна, акустическая волна или вибрация механизма. Спектральная плотность мощности (PSD) сигнала описывает мощность, присутствующую в сигнале, как функцию частоты на единицу частоты. Спектральная плотность мощности обычно выражается в ваттах на герц ( Вт / Гц).

Когда сигнал определяется только с точки зрения напряжения, например, не существует уникальной мощности, связанной с указанной амплитудой. В этом случае "мощность" просто рассчитывается в единицах квадрата сигнала, поскольку она всегда будет пропорциональна фактической мощности, передаваемой этим сигналом при заданном импедансе. Таким образом, можно использовать единицы измерения В Гц для PSD и В с Гц для ESD (спектральная плотность энергии), даже если фактическая «мощность» или «энергия» не указаны.

Иногда можно встретить амплитудную спектральную плотность (ASD), которая является квадратным корнем из PSD; ASD сигнала напряжения имеет единицы измерения В Гц. Это полезно, когда форма спектра довольно постоянна, так как изменения в ASD будут пропорциональны изменениям уровня напряжения самого сигнала. Но математически предпочтительнее использовать PSD, поскольку только в этом случае область под кривой имеет значение с точки зрения фактической мощности на всей частоте или в указанной полосе пропускания.

В общем случае единицы PSD будут соотношением единиц дисперсии на единицу частоты; так, например, серия значений смещения (в метрах) с течением времени (в секундах) будет иметь PSD в единицах м / Гц. Для анализа случайных вибраций единицы измерения в Гц часто используются для PSD ускорения. Здесь g обозначает перегрузочную силу.

С математической точки зрения нет необходимости назначать физические размеры сигналу или независимой переменной. В последующем обсуждении значение x (t) останется неопределенным, но предполагается, что независимой переменной является время.

Определение

Спектральная плотность энергии

Спектральная плотность энергии описывает, как распределяется энергия сигнала или временного ряда с частотой. Здесь термин энергия используется в обобщенном смысле обработки сигналов; то есть энергия $E {\ displaystyle E}$ $E$ сигнала $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x(t)$ равна

E = ∫ - ∞ ∞ | x (t) | 2 д т. {\ displaystyle E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) | ^ {2} \, dt.}

E=\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt.

Спектральная плотность энергии наиболее подходит для переходных процессов, т. е. импульсных -подобные сигналы - имеющие конечную полную энергию. В этом случае теорема Парсеваля (или теорема Планшереля) дает нам альтернативное выражение для энергии сигнала:

∫ - ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ - ∞ ∞ | х ^ (е) | 2 df, {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) | ^ {2} \, dt = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | {\ шляпа {x}} (f) | ^ {2} \, df,}

\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}(f)|^{2}\,df,

где

x ^ (f) = ∫ - ∞ ∞ e - 2 π iftx (t) dt, {\ displaystyle {\ hat {x}} (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- 2 \ pi ift} x (t) \, dt,}

{\ displaystyle {\ hat {x}} (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- 2 \ pi ift} x (t) \, dt,}

- преобразование Фурье сигнала, а $f {\ displaystyle f}$ $f$ - это частота в Гц, т. Е. Количество циклов в секунду. Часто используется угловая частота $ω = 2 π f {\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$ $\ omega = 2 \ pi f$ . Поскольку интеграл в правой части представляет собой энергию сигнала, подынтегральное выражение $| х ^ (е) | 2 {\ displaystyle \ left | {\ hat {x}} (f) \ right | ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ left | {\ hat {x }} (е) \ право | ^ {2}}$ может интерпретироваться как функция плотности, описывающая энергию на единицу частоты содержится в сигнале на частоте $f {\ displaystyle f}$ $f$ . В свете этого спектральная плотность энергии сигнала $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x(t)$ определяется как

S x x (f) = | х ^ (е) | 2 {\ displaystyle S_ {xx} (f) = \ left | {\ hat {x}} (f) \ right | ^ {2}}

{\ displaystyle S_ {xx} (f) = \ left | {\ hat {x}} (f) \ right | ^ {2} }

(Eq.1)

В качестве физического примера того, как можно измерить спектральную плотность энергии сигнала, предположим, что $V (t) {\ displaystyle V (t)}$ $V(t)$ представляет потенциал (в вольт ) электрического импульса, распространяющегося по линии передачи с импедансом $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ , и предположим, что линия заканчивается знаком согласованный резистор (так что вся энергия импульса передается на резистор и никакая не отражается обратно). По закону Ома мощность, подаваемая на резистор в момент $t {\ displaystyle t}$ $t$ , равна $V (t) 2 / Z {\ displaystyle V (t) ^ {2} / Z}$ $V (t) ^ {2} / Z$ , поэтому полная энергия находится путем интегрирования $V (t) 2 / Z {\ displaystyle V (t) ^ {2} / Z}$ $V (t) ^ {2} / Z$ относительно времени на протяжении импульса. Чтобы найти значение спектральной плотности энергии $S xx (f) {\ displaystyle S_ {xx} (f)}$ $S _ {{xx}} (е)$ на частоте $f {\ displaystyle f}$ $f$ , можно было бы вставить между линией передачи и резистором полосовой фильтр, который пропускает только узкий диапазон частот ( $Δ f {\ displaystyle \ Delta f}$ $\ Delta f$ , скажем,) около интересующей частоты, а затем измерить полную энергию $E (f) {\ displaystyle E (f)}$ $E (f)$ , рассеянную на резисторе. Затем значение спектральной плотности энергии в $f {\ displaystyle f}$ $f$ оценивается как $E (f) / Δ f {\ displaystyle E (f) / \ Delta f}.$ $E (f) / \ Delta f$ . В этом примере, поскольку мощность $V (t) 2 / Z {\ displaystyle V (t) ^ {2} / Z}$ $V (t) ^ {2} / Z$ имеет единицы В Ом, энергия $E ( е) {\ displaystyle E (f)}$ $E (f)$ имеет единицы измерения V s Ω = J, и, следовательно, оценка $E (f) / Δ f {\ displaystyle E (f) / \ Delta f }$ $E (f) / \ Delta f$ спектральной плотности энергии имеет единицы Дж Гц, если требуется. Во многих ситуациях обычно отказываются от шага деления на $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ , так что спектральная плотность энергии вместо этого имеет единицы в Гц.

Это определение прямо обобщается на дискретный сигнал с бесконечным числом значений $xn {\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ , например сигнал, дискретизируемый в дискретные моменты времени $Иксn знак равно Икс (N Δ T) {\ Displaystyle x_ {n} = x (n \ Delta t)}$ $x_ {n} = x (n \ Delta t)$ :

S хх (f) = (Δ t) 2 | ∑ n = - ∞ ∞ x n e - 2 π i f n Δ t | 2 знак равно Икс ^ d (е) х ^ d * (е), {\ Displaystyle S_ {хх} (е) = (\ Delta t) ^ {2} \ left | \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {n} e ^ {- 2 \ pi ifn \ Delta t} \ right | ^ {2} = {\ hat {x}} _ {d} (f) {\ hat {x}} _ {d} ^ {*} (f),}

{\ displa ystyle S_ {xx} (f) = (\ Delta t) ^ {2} \ left | \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {n} e ^ {- 2 \ pi ifn \ Delta t} \ right | ^ {2} = {\ hat {x}} _ {d} (f) {\ hat {x}} _ {d} ^ {*} (f),}

где $x ^ d (f) {\ displaystyle {\ hat {x}} _ {d} (f)}$ ${\ hat {x}} _ {d} (f)$ - преобразование Фурье с дискретным временем из $xn {\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ и $x ^ d ∗ (f) {\ displaystyle {\ hat {x }} _ {d} ^ {*} (f)}$ ${\ hat {x}} _ {d} ^ {*} (f)$ - это комплексное сопряжение числа $x ^ d (f). {\ displaystyle {\ hat {x}} _ {d} (f).}$ ${\hat {x}}_{d}(f).$ Интервал выборки $Δ t {\ displaystyle \ Delta t}$ $\ Delta t$ необходим для сохранения правильные физические единицы и гарантировать, что мы восстанавливаем непрерывный регистр в пределах $Δ t → 0 {\ displaystyle \ Delta t \ to 0}$ ${\ displaystyle \ Delta t \ to 0}$ ; однако в математических науках интервал часто устанавливается равным 1.

Спектральная плотность мощности

Приведенное выше определение спектральной плотности энергии подходит для переходных процессов (импульсных сигналов), энергия которых равна сосредоточены вокруг одного временного окна; тогда обычно существуют преобразования Фурье сигналов. Для непрерывных сигналов в течение всего времени, таких как стационарные процессы, нужно скорее определять спектральную плотность мощности (PSD); это описывает, как мощность сигнала или временного ряда распределяется по частоте, как в простом примере, приведенном ранее. Здесь мощность может быть реальной физической мощностью или, чаще, для удобства абстрактных сигналов, просто отождествляется с квадратом значения сигнала. Например, статистики изучают изменение функции во времени $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x(t)$ (или по другой независимой переменной) и используют аналогию с электрическими сигналами (среди другие физические процессы), его принято называть спектром мощности, даже если физическая мощность не задействована. Если создать физический источник напряжения, который следует за $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x(t)$ , и приложить его к клеммам 1 Ом резистор, тогда действительно мгновенная мощность, рассеиваемая в этом резисторе, будет равна $x (t) 2 {\ displaystyle x (t) ^ {2}}$ ${\ displaystyle x (t) ^ {2}}$ ватт.

Таким образом, дана средняя мощность $P {\ displaystyle P}$ $P$ сигнала $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x(t)$ за все время по следующему среднему времени:

P = lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T | x (t) | 2 dt {\ displaystyle P = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} | x (t) | ^ {2} \, dt }

P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|x(t)|^{2}\,dt

Обратите внимание, что стационарный процесс, например, может иметь конечную мощность, но бесконечную энергию. В конце концов, энергия - это интеграл мощности, и стационарный сигнал продолжается бесконечное время. Это причина того, что мы не можем использовать спектральную плотность энергии, как определено выше в таких случаях.

При анализе частотного содержания сигнала $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x(t)$ можно вычислить обычное преобразование Фурье $x ^ (ω) {\ Displaystyle {\ Hat {x}} (\ omega)}$ ${\ hat {x} }(\omega)$ ; однако для многих представляющих интерес сигналов преобразование Фурье формально не существует. Из-за этого усложнения можно также работать с усеченным преобразованием Фурье, где сигнал интегрируется только по конечному интервалу $[0, T] {\ displaystyle [0, T]}$ $[0, T]$ :

x ^ (ω) = 1 T ∫ 0 T Икс (T) е - я ω tdt {\ displaystyle {\ hat {x}} (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {T}}} \ int _ {0} ^ {T} x (t) e ^ {- i \ omega t} \, dt}

{\hat {x}}(\omega)={\frac {1}{\sqrt {T}}}\int _{0}^{ T}x(t)e^{-i\omega t}\,dt

Это спектральная плотность амплитуды. Тогда спектральная плотность мощности может быть определена как

S x x (ω) = lim T → ∞ E [| х ^ (ω) | 2] {\ Displaystyle S_ {xx} (\ omega) = \ lim _ {T \ to \ infty} \ mathbf {E} \ left [\ left | {\ hat {x}} (\ omega) \ right | ^ {2} \ right]}

{\ displaystyle S_ {xx} (\ omega) = \ lim _ {T \ to \ infty} \ mathbf {E} \ left [\ left | {\ шляпа {x}} (\ omega) \ right | ^ {2} \ right]}

(уравнение 2)

Здесь $E {\ textstyle \ mathbf {E}}$ ${\ textstyle \ mathbf {E}}$ обозначает ожидаемое значение ; явно мы имеем

E [| х ^ (ω) | 2] = E [1 T ∫ 0 T x ∗ (t) ei ω tdt ∫ 0 T x (t ′) e - i ω t ′ dt ′] = 1 T ∫ 0 T ∫ 0 TE [x ∗ (t) x (t ′)] ei ω (t - t ′) dtdt ′. {\ Displaystyle \ mathbf {E} \ left [\ left | {\ hat {x}} (\ omega) \ right | ^ {2} \ right] = \ mathbf {E} \ left [{\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} x ^ {*} (t) e ^ {i \ omega t} \, dt \ int _ {0} ^ {T} x (t ') e ^ {-i \ omega t '} \, dt' \ right] = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {0} ^ {T} \ mathbf {E } \ left [x ^ {*} (t) x (t ') \ right] e ^ {i \ omega (t-t')} \, dt \, dt '.}

\mathbf {E} \left[\left|{\hat {x}}(\omega)\right|^{2}\right]=\mathbf {E} \left[{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}x^{*}(t)e^{i\omega t}\,dt\int _{0}^{T}x(t')e^{-i\omega t'}\,dt'\right]={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\int _{0}^{T}\mathbf {E} \left[x^{*}(t)x(t')\right]e^{i\omega (t-t')}\,dt\,dt'.

В последней форме ( для стационарного случайного процесса ) можно произвести замену переменных $Δ t = t - t ′ {\ displaystyle \ Delta t = t-t '}$ $\Delta t=t-t'$ и с пределы интегрирования (а не $[0, T] {\ displaystyle [0, T]}$ $[0, T]$ ), приближающиеся к бесконечности, результирующая спектральная плотность мощности $S xx (ω) {\ displaystyle S_ {xx} (\ omega)}$ $S_ {xx} (\ omega)$ и автокорреляционная функция этого сигнала рассматриваются как пары преобразования Фурье (теорема Винера – Хинчина ). Автокорреляционная функция - это статистика, определяемая как

R xx (τ) = ⟨X (t) X (t + τ)⟩ = E [X (t) X (t + τ)] {\ displaystyle R_ {xx} (\ tau) = \ langle X (t) X (t + \ tau) \ rangle = \ mathbf {E} [X (t) X (t + \ tau)]}

{\ displaystyle R_ {xx} (\ tau) = \ langle X (t) X (t + \ tau) \ rangle = \ mathbf {E} [X (t) X (t + \ tau))]}

или в более общем виде как

R xx (τ) знак равно ⟨Икс (T) Икс (T - τ) ∗⟩ знак равно ⟨Икс (T) ∗ Икс (t + τ)⟩ {\ Displaystyle R_ {xx} (\ tau) = \ langle X (t) X (t- \ tau) ^ {*} \ rangle = \ langle X (t) ^ {*} X (t + \ tau) \ rangle}

R_{xx}(\tau)=\langle X(t) X(t-\tau)^{*}\rangle =\langle X(t)^{*}X(t+\tau)\rangle

в случае, если $X (t) {\ displaystyle X (t)}$ $X(t)$ является комплексным. При условии, что $R xx (τ) {\ displaystyle R_ {xx} (\ tau)}$ ${\ displaystyle R_ {xx} (\ tau)}$ абсолютно интегрируем (что не всегда верно),

S xx (ω) = ∫ - ∞ ∞ R xx (τ) е - я ω τ d τ знак равно R ^ xx (ω) {\ displaystyle S_ {xx} (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R_ {xx} (\ tau) e ^ {- i \ omega \ tau} \, d \ tau = {\ hat {R}} _ {xx} (\ omega)}

S_{xx}(\omega)=\int _ {-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau)e^{-i\omega \tau }\,d\tau ={\hat {R}}_{xx}(\omega)

(уравнение 3)

Многие авторы используют это равенство фактически определяет спектральную плотность мощности.

Мощность сигнала в заданной полосе частот $[f 1, f 2] {\ displaystyle [f_ {1}, f_ {2}] }$ $[f_ {1}, f_ {2 }]$ (или $[ω 1, ω 2] {\ displaystyle [\ omega _ {1}, \ omega _ {2}]}$ $[\omega _{1},\omega _{2}]$ ) можно вычислить путем интегрирования по частоте. Поскольку $S xx (- ω) = S xx (ω) {\ displaystyle S_ {xx} (- \ omega) = S_ {xx} (\ omega)}$ $S_ {xx} (- \ omega) = S_ {xx} (\ omega)$ , равное количество энергии можно отнести к положительным и отрицательным частотам, что составляет коэффициент 2 в следующей форме (такие тривиальные факторы зависят от используемых соглашений):

P bandlimited = 2 ∫ f 1 f 2 S xx (2 π f) df Знак равно 1 π ∫ ω 1 ω 2 S xx (ω) d ω {\ displaystyle P _ {\ mathsf {bandlimited}} = 2 \ int _ {f_ {1}} ^ {f_ {2}} S_ {xx} (2 \ pi \! f) \, df = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {\ omega _ {1}} ^ {\ omega _ {2}} S_ {xx} (\ omega) d \ omega}

{\ displaystyle P _ {\ mathsf {bandlimited}} = 2 \ int _ {f_ {1}} ^ {f_ {2}} S_ {xx} (2 \ pi \! f) \, df = {\ frac {1 } {\ pi}} \ int _ {\ omega _ {1}} ^ {\ omega _ {2}} S_ {xx} (\ omega) d \ omega}

В более общем плане подобные методы могут использоваться для оценки изменяющейся во времени спектральной плотности. В этом случае усеченное преобразование Фурье, определенное выше для конечного интервала времени $(0, T) {\ displaystyle (0, T)}$ ${\ displaystyle (0, T)}$ , не оценивается в пределах $T {\ displaystyle T}$ $T$ приближается к бесконечности. Это приводит к уменьшению спектрального охвата и разрешения, так как частоты менее $1 / T {\ displaystyle 1 / T}$ $1/T$ не дискретизируются, и результаты получаются на частотах, которые не являются целым числом, кратным $1 / T {\ displaystyle 1 / T}$ $1/T$ не являются независимыми. Просто используя один такой временной ряд, оценочный спектр мощности будет очень "шумным"; однако это можно уменьшить, если можно оценить ожидаемое значение (в приведенном выше уравнении), используя большое (или бесконечное) количество краткосрочных спектров, соответствующих статистическим ансамблям реализаций $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x(t)$ оценивается в течение указанного временного окна.

Это определение спектральной плотности мощности можно обобщить на дискретные временные переменные $x n {\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ . Как и выше, мы можем рассмотреть конечное окно $1 ≤ n ≤ N {\ displaystyle 1 \ leq n \ leq N}$ $1\leq n\leq N$ с сигналом, дискретизированным в дискретные моменты времени $xn = x (n Δ t) {\ displaystyle x_ {n} = x (n \ Delta t)}$ $x_ {n} = x (n \ Delta t)$ для общего периода измерения $T = N Δ t {\ displaystyle T = N \ Delta t}$ $T=N\Delta t$ . Тогда единую оценку PSD можно получить путем суммирования, а не интегрирования:

S ~ x x (ω) = (Δ t) 2 T | ∑ n знак равно 1 N x n e - я ω n Δ t | 2 {\ displaystyle {\ tilde {S}} _ {xx} (\ omega) = {\ frac {(\ Delta t) ^ {2}} {T}} \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} x_ {n} e ^ {- i \ omega n \ Delta t} \ right | ^ {2}}

{\tilde {S}}_{xx}(\omega)={\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=1}^{N}x_{n}e^{-i\omega n\Delta t}\right|^{2}

Как и раньше, фактическая PSD достигается, когда $N {\ displaystyle N}$ $N$ (и, следовательно, $T {\ displaystyle T}$ $T$ ) приближаются к бесконечности, и формально применяется ожидаемое значение. В реальных приложениях обычно усредняют эту СПМ единичного измерения по результатам многих испытаний, чтобы получить более точную оценку теоретической СПМ физического процесса, лежащего в основе отдельных измерений. Эту вычисленную PSD иногда называют периодограммой. Эта периодограмма сходится к истинной PSD, поскольку количество оценок, а также интервал времени усреднения $T {\ displaystyle T}$ $T$ приближаются к бесконечности (Brown Hwang).

Если два сигнала обладают спектральными плотностями мощности, то кросс-спектральная плотность может быть вычислена аналогичным образом; поскольку PSD связана с автокорреляцией, так и кросс-спектральная плотность связана с взаимной корреляцией.

Свойства спектральной плотности мощности

Некоторые свойства PSD включают:

Спектр вещественнозначного процесса (или даже сложного процесса, использующего приведенное выше определение) является вещественным и четной функцией частоты: $S xx (- ω) = S xx (ω) {\ displaystyle S_ {xx} (- \ omega) = S_ {xx} (\ omega)}$ $S_ {xx} (- \ omega) = S_ {xx} (\ omega)$ .
Если процесс является непрерывным и полностью недетерминированным, функция автоковариации может быть восстановлена с помощью обратного преобразования Фурье
PSD может использоваться для вычисления дисперсии (полезная мощность) процесса путем интегрирования по частоте:

Var (X n) = 1 π ∫ 0 ∞ S xx (ω) d ω. {\ displaystyle {\ text {Var}} (X_ {n}) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \! S_ {xx} (\ omega) \, d \ omega.}

{\text{Var}}(X_{n})={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\!S_{xx}(\omega)\,d\omega.

Основанный на преобразовании Фурье, PSD является линейной функцией автоковариационной функции в том смысле, что если $R xx {\ displaystyle R_ {xx}}$ $R _ {{xx}}$ разлагается на две функции

R xx (τ) = α 1 R xx, 1 (τ) + α 2 R xx, 2 (τ) {\ displaystyle R_ {xx} (\ tau) = \ alpha _ {1 } R_ {xx, 1} (\ tau) + \ alpha _ {2} R_ {xx, 2} (\ tau)}

R_{xx}(\tau)=\alpha _{1}R_{xx,1}(\tau)+\alpha _{2}R_{xx, 2}(\tau)

, тогда

S xx (ω) = α 1 S xx, 1 (ω) + α 2 S xx, 2 (ω). {\ displaystyle S_ {xx} (\ omega) = \ alpha _ {1} S_ {xx, 1} (\ omega) + \ alpha _ {2} S_ {xx, 2} (\ omega).}

S_{xx}(\omega)=\alpha _{1}S_{xx,1}( \omega)+\alpha _{2}S_{xx,2}(\omega).

Интегрированный спектр или спектральное распределение мощности $F (ω) {\ displaystyle F (\ omega)}$ $F(\omega)$ определяется как

F (ω) = ∫ - ∞ ω S xx (ω ′) d ω ′. {\ displaystyle F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ omega} S_ {xx} (\ omega ') \, d \ omega'.}

F(\omega)=\int _{-\infty }^{\omega }S_{xx}(\omega ')\,d\omega '.

Спектральная плотность перекрестной мощности

Для двух сигналов $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x(t)$ и $y (t) {\ displaystyle y (t)}$ $y (t)$ , каждый из которых обладают спектральной плотностью мощности $S xx (ω) {\ displaystyle S_ {xx} (\ omega)}$ $S_ {xx} (\ omega)$ и $S yy (ω) {\ displaystyle S_ {yy} (\ omega)}$ $S_{yy}(\omega)$ , можно определить перекрестную спектральную плотность мощности (CPSD ) или перекрестную спектральную плотность (CSD ), задаваемый формулой

S xy (ω) = lim T → ∞ E [(F x T (ω)) ∗ F y T (ω)]. {\ Displaystyle S_ {xy} (\ omega) = \ lim _ {T \ to \ infty} \ mathbf {E} \ left [\ left (F_ {x} ^ {T} (\ omega) \ right) ^ { *} F_ {y} ^ {T} (\ omega) \ right].}

{\ displaystyle S_ {xy} (\ omega) = \ lim _ {T \ to \ infty} \ mathbf {E} \ left [\ left (F_ {x } ^ {T} (\ omega) \ right) ^ {*} F_ {y} ^ {T} (\ omega) \ right].}

Таким образом, кросс-спектральная плотность (или «кросс-спектр мощности») является преобразованием Фурье кросс-корреляции функция:

S xy (ω) = ∫ - ∞ ∞ R xy (t) e - j ω tdt = ∫ - ∞ ∞ [∫ - ∞ ∞ x (τ) ⋅ y (τ + t) d τ] е - j ω tdt, {\ displaystyle S_ {xy} (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R_ {xy} (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot y (\ tau + t) d \ tau \ right] e ^ {-j \ omega t} dt,}

{\ displaystyle S_ {xy} (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R_ {xy} (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot y (\ tau + t) d \ tau \ right ] e ^ {- j \ omega t} dt,}

где $R xy (t) {\ displaystyle R_ {xy} (t)}$ $R _ {{xy}} (t)$ - взаимная корреляция из $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x(t)$ и $y (t) {\ displaystyle y (t)}$ $y (t)$ .

В свете этого виден PSD быть частным случаем CSD для $x (t) = y (t) {\ displaystyle x (t) = y (t)}$ $x (t) = y (t)$ .

для дискретных сигналов x n и y n, соотношение между кросс-спектральной плотностью и кросс-ковариация:

S xy (ω) = 1 2 π ∑ n = - ∞ ∞ R xy (n) e - j ω n {\ displaystyle S_ {xy} (\ omega) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} R_ {xy} (n) e ^ {- j \ omega n}}

{\ displaystyle S_ {xy} (\ omega) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} R_ {xy} (n) e ^ {- j \ omega n}}

Оценка

Цель оценки спектральной плотности - это оценка спектральной плотности случайного сигнала из последовательности временных отсчетов. В зависимости от того, что известно о сигнале, методы оценки могут включать параметрический или непараметрический подходы и могут быть основаны на анализе во временной или частотной области. Например, обычный параметрический метод включает подгонку наблюдений к авторегрессионной модели . Распространенным непараметрическим методом является периодограмма.

. Спектральная плотность обычно оценивается с использованием методов преобразования Фурье (таких как метод Велча ), но и другие методы, такие как также можно использовать метод максимальной энтропии.

Свойства

Спектральная плотность $f (t) {\ displaystyle f (t)}$ $f(t)$ и автокорреляция $f ( t) {\ displaystyle f (t)}$ $f(t)$ образуют пару преобразования Фурье (для PSD по сравнению с ESD используются разные определения функции автокорреляции). Этот результат известен как теорема Винера – Хинчина.
Одним из результатов анализа Фурье является теорема Парсеваля, в которой говорится, что площадь под кривой спектральной плотности энергии равна площади под квадратом от величины сигнала, полная энергия:

∫ - ∞ ∞ | f (t) | 2 d t знак равно ∫ - ∞ ∞ E S D (ω) d ω. {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | f (t) \ right | ^ {2} \, dt = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} ESD (\ omega) \, d \ omega.}

\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(t)\right|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }ESD(\omega)\,d\omega.

Приведенная выше теорема верна и в дискретных случаях. Аналогичный результат справедлив для мощности: площадь под кривой спектральной плотности мощности равна полной мощности сигнала, которая равна

R (0) {\ displaystyle R (0)}

R(0)

, автокорреляционная функция при нулевой задержке. Это также (с точностью до константы, которая зависит от коэффициентов нормализации, выбранных в используемых определениях) дисперсия данных, составляющих сигнал.

Понятия, связанные с данным

спектральный центроид сигнала - это средняя точка его функции спектральной плотности, то есть частота, которая делит распределение на две равные части.
спектральная граничная частота сигнала является расширением предыдущей концепции до любой пропорции. из двух равных частей.
Спектральная плотность является функцией частоты, а не времени. Однако спектральная плотность малых окон более длинного сигнала может быть вычислена и нанесена на график в зависимости от времени, связанного с окном. Такой график называется спектрограммой. Это основа ряда методов спектрального анализа, таких как кратковременное преобразование Фурье и вейвлеты.
«Спектр» обычно означает спектральную плотность мощности, как обсуждалось выше, которая изображает распределение содержания сигнала по частоте. Это не следует путать с частотной характеристикой передаточной функции, которая также включает в себя фазу (или, что эквивалентно, действительную и мнимую части как функцию частоты). Для передаточных функций (например, график Боде, щебетание ) полная частотная характеристика может быть представлена в виде графика в виде двух частей: амплитуда в зависимости от частоты и фаза в зависимости от частоты (или реже, как действительная, так и мнимая части передаточной функции). Импульсная характеристика (во временной области) $h (t) {\ displaystyle h (t)}$ $h(t)$ , как правило, не может быть однозначно восстановлена только по части амплитудной спектральной плотности без фазовая функция. Хотя это также пары преобразования Фурье, нет симметрии (как есть для автокорреляции), заставляющей преобразование Фурье быть действительным. См. спектральная фаза и фазовый шум.

Приложения

Электротехника

Спектрограмма сигнала FM-радио с частотой по горизонтальной оси и временем возрастание вверх по вертикальной оси.

Концепция и использование спектра мощности сигнала является фундаментальным в электротехнике, особенно в системах электронной связи, включая радио связь, радары и связанные с ними системы, а также технология пассивного дистанционного зондирования. Электронные инструменты, называемые анализаторами спектра, используются для наблюдения и измерения спектров мощности сигналов.

Анализатор спектра измеряет величину кратковременного преобразования Фурье (STFT) входного сигнала. Если анализируемый сигнал можно рассматривать как стационарный процесс, STFT представляет собой хорошую сглаженную оценку его спектральной плотности мощности.

Космология

Изначальные флуктуации, вариации плотности в ранней Вселенной, количественно оцениваются спектром мощности, который дает мощность вариаций как функцию пространственного масштаба.

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Скрипты Matlab Power Spectral Density