График Боде

редактировать
Рисунок 1 (a): График Боде для фильтра первого порядка (однополюсный) фильтр верхних частот ; прямолинейные аппроксимации обозначены как «полюс Боде»; фаза изменяется от 90 ° на низких частотах (из-за вклада числителя, который составляет 90 ° на всех частотах) до 0 ° на высоких частотах (где фазовый вклад знаменателя равенство -90 ° и исключает вклад числителя Рис. 1 (b): График Боде для первого порядка (однополюсного) фильтра нижних частот ; прямолинейные аппроксимации обозначены как «полюс Боде»; фаза на 90 ° ниже, чем на Рисунке 1 (a), потому что фазовый вклад числителя составляет 0 ° на всех частотах.

В электротехнике и теории управления, a График Боде - это график частотной характеристики системы. Обычно это комбинация графика величины Боде,, выражающего значение (обычно в децибелах ) частотной характеристики, и графика фазы Боде,, выражающий фазовый сдвиг.

Как использовать задумал Хендрик Уэйд Боде в 1930-х годах, график представляет собой асимптотическое приближение частотной характеристики, с использованием отрезков линий.

Содержание

  • 1 Обзор
  • 2 Определение
  • 3 Частотная характеристика
  • 4 Правила построения графика Боде вручную
    • 4.1 График амплитуды прямой линии
    • 4.2 График скорректированной амплитуды
    • 4.3 Прямолинейный график фазы
  • 5 Пример
    • 5.1 График величины
    • 5.2 График фазы
    • 5.3 Нормализованный график
  • 6 Пример с нулем и полюсом
  • 7 Запас усиления и фазажа
    • 7.1 Примеры использования графиков Боде
  • 8 Плоттер Боде
  • 9 Связанные графики
  • 10 Приложение
    • 10.1 Доказательство связи с частотной характеристикой
  • 11 См. также
  • 12 Примечания
  • 13 Ссылки
  • 14 Внешние ссылки

Обзор

Среди его нескольких важных вкладов в теорию схем и теорию управления, инженер Хендрик Уэйд Боде, используя в Bell Labs в 1930-х годах, разработал простой, но точный метод построения графиков усиления и фазового сдвига. Они носят его имя, график усиления Боде и фазовый график Боде. «Боде» часто произносится как, хотя голландское произношение - Bo-duh. (Голландский: ).

Боде столкнулся с проблемой разработки стабильных усилителей с обратной связью для использования в телефонных сетях. Разработка графиков Боде для развития и запаса по фазе, необходимые для поддержания стабильности при изменениях характеристик схем, вызванных во время производства или во время работы. сервомеханизмов и других систем управления с обратной связью. График Боде является примером анализа в частотной области.

Определение

График Боде для линейного, не зависящая от времени система с передаточной функцией H (s) {\ displaystyle H (s)}H (s) (s {\ displaystyle s}s , являющаяся сложным числом в области Лапласа ) состоит из графика амплитуды и графика фазы.

График величины Боде - это график функции | H (s = j ω) | {\ displaystyle | Н (s = j \ omega) |}| H (s = j \ omega) | частоты ω {\ displaystyle \ omega}\ omega j {\ displaystyle j}j - мнимая единица ). ω {\ displaystyle \ omega}\ omega -ось графика магнитуды логарифмической, имеет значение в децибелах, то есть значение для величины | H | {\ displaystyle | H |}| H | откладывается по оси 20 log 10 ⁡ | H | {\ displaystyle 20 \ log _ {10} | H |}20 \ log _ {10} | H | .

График фазы Боде - это график фазы, обычно выраженный в градусах, передаточной функции arg ⁡ (H (s = j ω)) {\ displaystyle \ arg \ left (H (s = j \ omega) \ right)}\ arg \ left (H (s = j \ omega) \ right) как функция от ω {\ displaystyle \ omega}\ omega . Фаза откладывается на той же логарифмической оси ω {\ displaystyle \ omega}\ omega , что и величина графика, но значение фазы откладывается на линейной вертикальной оси.

Частотная характеристика

В этом разделе показан график Боде - это визуализация частотной характеристики системы.

Рассмотрим линейную, не зависящую от времени систему с передаточной функцией H (s) {\ displaystyle H (s)}H (s) . Предположим, что система подвергается синусоидальному входному сигналу с настройкой ω {\ displaystyle \ omega}\ omega ,

u (t) = sin ⁡ (ω t), {\ displaystyle u (t) = \ sin (\ omega t) \;,}u (t) = \ грех (\ омега т) \;,

, который применяется, то есть от времени - ∞ {\ displaystyle - \ infty}- \ infty до времени t {\ displaystyle t}t . Ответ будет иметь вид

y (t) = y 0 грех ⁡ (ω t + φ), {\ displaystyle y (t) = y_ {0} \ sin (\ omega t + \ varphi) \;,}y (t) = y_0 \ sin (\ omega t + \ varphi) \ ;,

т.е. также синусоидальный сигнал с амплитудой y 0 {\ displaystyle y_ {0}}y_{0}, сдвинутой по фазе относительно входа на фазу φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi .

Можно показать, что величина отклика

y 0 = | H (j ω) | {\ displaystyle y_ {0} = | H (\ mathrm {j} \ omega) | \;}y_0 = | H (\ mathrm {j} \ omega) | \;

(1)

и фазовый сдвиг

φ = arg ⁡ H (j ω). {\ displaystyle \ varphi = \ arg H (\ mathrm {j} \ omega) \;.}\ varphi = \ arg H (\ mathrm {j} \ omega) \ ;.

(2)

Схема доказательства этих формул приведена в приложении.

Таким образом, на вход с система отвечает с той же выходным сигналом, который усиливается в | пред ω {\ displaystyle \ omega}\ omega | H (j ω) | {\ displaystyle | ЧАС (\ mathrm {j} \ omega) |}| H (\ mathrm {j} \ omega) | и сдвинут по фазе на arg ⁡ (H (j ω)) {\ displaystyle \ arg (H (\ mathrm {j} \ omega))}\ arg (H (\ mathrm {j} \ omega)) . Эти величины, таким образом, характеризуют частотную характеристику и отображаются на графике Боде.

Правила построения графика Боде вручную

Для многих практических подробных задач графики могут быть аппроксимированы отрезками прямых линий, которые являются асимптотами точного ответа. Влияние каждого из членов передаточной функции с множеством элементов может быть аппроксимировано набором прямых линий на графике Боде. Это позволяет графически решить функцию частотной характеристики. Использовались до широкого распространения цифровых компьютеров графические методы, чтобы уменьшить необходимость в утомительных вычислениях; графическое решение может быть использовано для определения диапазонов параметров для новой конструкции.

Схема графика состоит в том, что можно рассматривать журнал функции в форме:

f (x) = A ∏ (x - cn) an {\ displaystyle f (x) = A \ prod (x -c_ {n}) ^ {a_ {n}}}f (x) = A \ prod (x-c_ {n}) ^ {{a_ {n}}}

как сумма журналов его нулей и полюсов :

журнал ⁡ (f (x)) = журнал ⁡ (A) + ∑ журнал ⁡ ( х - сп). {\ displaystyle \ log (f (x)) = \ log (A) + \ sum a_ {n} \ log (x-c_ {n}) \;.}\ log (f (x)) = \ log (A) + \ sum a_ {n} \ log ( x-c_ {n}) \ ;.

Эта идея явно используется в методе для рисования фазовых диаграмм. Метод построения графиков амплитуд неявно использует эту идею, но поскольку логарифм амплитуды каждого полюса или нуля всегда начинается с нуля и имеет только одно изменение асимптоты (прямые линии), метод можно упростить.

График амплитуды по прямой

Амплитуда в децибелах обычно строится с использованием дБ = 20 log 10 ⁡ (X) {\ displaystyle {\ text {dB}} = 20 \ log _ {10} (X)}{\ displaystyle {\ text {dB}} = 20 \ log _ {10} (X)} для определения децибел. Дана передаточная функция в форме

H (s) = A ∏ (s - xn) an (s - yn) bn {\ displaystyle H (s) = A \ prod {\ frac {(s-x_ {n)}) ^ {a_ {n}}} {(s-y_ {n}) ^ {b_ {n}}}}}H (s) = A \ prod {\ frac {(s-x_ {n}) ^ {{a_ {n}}}} {(s-y_ {n}) ^ {{b_ { n}}}}}

где xn {\ displaystyle x_ {n}}x_ {n} и yn {\ displaystyle y_ {n}}y_ { n} - константы, s = j ω {\ displaystyle s = \ mathrm {j} \ omega}s = {\ mathrm {j}} \ omega , an, bn>0 {\ displaystyle a_ {n}, b_ {n}>0}a_n, b_n>0 и H {\ displaystyle H}H - функция передачи:

  • при каждом значении s, где ω = xn {\ displaystyle \ omega = x_ {n}}\ omega = x_n (ноль), увеличить наклон линии на 20 ⋅ и B {\ displaystyle 20 \ cdot a_ {n} \, \ mathrm {dB}}20 \ cdot a_ {n} \, {\ mathrm {dB}} на декаду.
  • при каждом значении s, где ω = yn {\ displaystyle \ omega = y_ {n}}\ omega = y_n (полюс), уменьшить наклон на 20 ⋅ bnd B {\ displaystyle 20 \ cdot b_ {n} \, \ mathrm {dB}}20 \ cdot b_ {n} \, {\ mathrm {дБ}} за декаду.
  • Начальное значение зависит от границ. Начальная точка находится путем установки начальной угловой частоты ω {\ displaystyle \ omega}\ omega в функции и нахождения | H (j ω) | {\ displaystyle | H (\ mathrm {j} \ omega) |}| H ({\ mathrm {j}} \ omega) | .
  • Начальный наклон функции при начальном значении зависит от количества и порядка нулей и полюсов, которые имеют значения ниже начального значения, и составляет найдено с использованием первых двух правил.

Для обработки неприводимых многочленов 2-го порядка ax 2 + bx + c {\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}ax^{2}+bx+cво многих случаях может быть аппроксимируется как ( ax + c) 2 {\ displaystyle ({\ sqrt {a}} x + {\ sqrt {c}}) ^ {2}}(\ sqrt {a} x + \ sqrt {c}) ^ 2 .

Обратите внимание, что нули и полюсы появляются, когда ω {\ displaystyle \ omega}\ omega равно определенному xn {\ displaystyle x_ {n}}x_ {n} или yn {\ displaystyle y_ {n}}y_ { n} . Это связано с тем, что рассматриваемая функция связана с H (j ω) {\ displaystyle H (\ mathrm {j} \ omega)}H ({\ mathrm {j }} \ omega) , поскольку это сложная функция, | H (j ω) | Знак равно ЧАС ⋅ ЧАС * {\ Displaystyle | ЧАС (\ mathrm {j} \ omega) | = {\ sqrt {H \ cdot H ^ {*}}}}| H ({\ mathrm {j}} \ omega) | = {\ sqrt {H \ cdot H ^ {*}}} . Таким образом, в любом месте, где есть ноль или полюс, включающий член (s + xn) {\ displaystyle (s + x_ {n})}(s + x_ {n}) , величина этого члена будет ( Xn + J ω) ⋅ (Xn - J ω) знак равно Xn 2 + ω 2 {\ Displaystyle {\ sqrt {(x_ {n} + \ mathrm {j} \ omega) \ cdot (x_ {n} - \ mathrm {j} \ omega)}} = {\ sqrt {x_ {n} ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}{\ sqrt {(x_ {n} + {\ mathrm {j}) } \ omega) \ cdot (x_ {n} - {\ mathrm {j}} \ omega)}} = {\ sqrt {x_ {n} ^ {2} + \ omega ^ {2}}} .

Скорректированный график амплитуды

Чтобы исправить прямолинейную амплитуду графика:

  • на каждом нуле поставьте точку 3 ⋅ и B {\ displaystyle 3 \ cdot a_ {n} \ \ mathrm {dB}}3 \ cdot a_n \ \ mathrm {дБ} над линией,
  • на каждом полюсе поставьте точка 3 ⋅ bnd B {\ displaystyle 3 \ cdot b_ {n} \ \ mathrm {dB}}3 \ cdot b_n \ \ mathrm {дБ} под линией,
  • начертите плавная кривая через эти точки с использованием прямых линий в качестве асимптот (линий, к которому кривая приближается).

Обратите внимание, что этот метод коррекции не включает, как обрабатывать комплексные значения xn {\ displaystyle x_ {n}}x_ {n} или yn {\ displaystyle y_ {n}}y_ { n} . В случае неприводимого многочлена лучший способ исправить - это фактически вычислить передаточной функции на полюсе или нуле, соответствующем неприводимому многочлену, и поставить точку или под линией на полюсе или нуле..

График фазы по прямой

Дана передаточная функция в той же форме, что и выше:

H (s) = A ∏ (s - xn) an (s - yn) bn {\ Displaystyle H (s) = A \ prod {\ frac {(s-x_ {n}) ^ {a_ {n}}} {(s-y_ {n}) ^ {b_ {n}}}}}H (s) = A \ prod {\ frac {(s-x_ {n}) ^ {{a_ {n}}}} {(s-y_ {n}) ^ {{b_ { n}}}}}

идея состоит в том, чтобы нарисовать отдельные графики для каждого полюса и нуля, а затем сложить их. Фактическая фазовая кривая определяется как - arctan ⁡ (I m [H (s)] R e [H (s)]) {\ displaystyle - \ arctan \ left ({\ tfrac {\ mathrm {Im} [H ( s)]} {\ mathrm {Re} [H (s)]}} \ right)}- \ arctan \ left ({\ tfrac {{\ mathrm {Im}} [H (s)]} {{\ mathrm {Re}} [H (s)]}} \ right) .

Чтобы нарисовать фазовый график, для каждого полюса и нуля:

  • if A {\ displaystyle A}A положительно, начальная линия (с нулевым наклоном) на 0 градусов {\ displaystyle 0 \ deg}0 \ deg
  • , если A {\ displaystyle A}A отрицательно, начальная линия (с нулевым наклоном) на - 180 градусов {\ displaystyle -180 \ deg}{\ displaystyle -180 \ deg}
  • , если количество нестабильных нулей и полюсов нечетная, дополнительно 180 градусов к этому основанию
  • в каждом ω = | х п | {\ Displaystyle \ omega = | x_ {n} |}\ omega = | x_n | (для стабильных нулей - Re ⁡ (z) < 0 {\displaystyle \operatorname {Re} (z)<0}\ operatorname {Re} (z) <0 ), увеличьте наклон на 45 ⋅ an {\ displaystyle 45 \ cdot a_ {n}}45 \ cdot a_n градусов на декаду, начиная за одну декаду до ω = | х п | {\ Displaystyle \ omega = | x_ {n} |}\ omega = | x_n | (: | xn | 10 {\ displaystyle {\ frac {| x_ {n} |} {10}}}\ frac {| x_n |} {10} )
  • на каждом ω = | yn | {\ displaystyle \ omega = | y_ {n} |}\ omega = | y_n | (для стабильных полюсов - Re ⁡ (p) < 0 {\displaystyle \operatorname {Re} (p)<0}\ operatorname {Re} (p) <0 ), уменьшить наклон на 45 ⋅ bn {\ displaystyle 45 \ cdot b_ {n}}45 \ cdot b_n за градусов, начиная за одну декаду до ω = | yn | {\ displaystyle \ omega = | y_ {n } |}\ omega = | y_n | (Например: | yn | 10 {\ displaystyle {\ frac {| y_ {n} |} {10}}}\ frac {| y_n |} {10} )
  • "нестабильный" (правая полуплоскость) полюса и нули (Re ⁡ (s)>0 {\ displaystyle \ operatorname {Re} (s)>0}\operatorname {Re}(s)>0 ) имеют противоположное поведение.
  • снова выравнивает наклон, когда фаза изменено на 90 ⋅ an { \ displaystyle 90 \ cdot a_ {n}}90 \ cdot a_n градусов (для нуля) или на 90 ⋅ bn {\ displaystyle 90 \ cdot b_ {n}}90 \ cdot b_n г радусов (для полюса),
  • после графика проведя по одной линии для каждого полюса или нуля, сложите линии вместе, чтобы получить окончательный фазовый график; то есть, окончательный фазовый график представляет собой суперпозицию каждого предыдущего фазового графика.

Пример

Чтобы создать прямолинейный график для фильтра нижних частот первого порядка (однополюсный), нужно передать функцию через угловую частоту:

H lp (j ω) = 1 1 + j ω ω c. {\ displaystyle H _ {\ mathrm {lp}} (\ mathrm {j} \ omega) = {1 \ over 1+ \ mathrm {j} {\ omega \ over {\ omega _ {\ mathrm {c}}} }} \;.}H _ {\ mathrm {lp}} (\ mathrm {j} \ omega) = {1 \ более 1 + \ mathrm {j} {\ omega \ over {{\ omega_ \ mathrm {c}}}}} \;.

Приведенное выше уравнение является нормализованной формой передаточной функции. График Боде показан на Рисунке 1 (b) выше, а затем обсуждается прямой построение аппроксимации линии.

График величины

Величина (в децибелах ) передаточной функции выше (нормализованная и преобразованная в форму угловой частоты), заданная выражением для усиления в децибелах A vd B {\ displaystyle A _ {\ mathrm {vdB}}}A_ \ mathrm {vdB} :

A vd B = 20 ⋅ журнал ⁡ | H l p (j ω) | = 20 ⋅ журнал ⁡ 1 | 1 + j ω ω c | = - 20 ⋅ журнал ⁡ | 1 + j ω ω c | Знак равно - 10 ⋅ журнал ⁡ (1 + ω 2 ω с 2) {\ displaystyle {\ begin {выровнено} A _ {\ mathrm {vdB}} = 20 \ cdot \ log | H _ {\ mathrm {lp}} (\ mathrm {j} \ omega) | \\ = 20 \ cdot \ log {\ frac {1} {\ left | 1+ \ mathrm {j} {\ frac {\ omega} {\ omega _ {\ mathrm {c}}}} \ right |}} \\ = - 20 \ cdot \ log \ left | 1+ \ mathrm {j} {\ frac {\ omega} {\ omega _ {\ mathrm {c}}}} \ right | \\ = - 10 \ cdot \ log \ left (1 + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ omega _ {\ mathrm {c}} ^ {2}}} \ right) \ end {Выровненный }}}\ begin {align} A_ \ mathrm {vdB} = 20 \ cdot \ log | H _ {\ mathrm {lp}} (\ mathrm {j} \ omega) | \\ = 20 \ cdot \ log \ frac {1} {\ left | 1 + \ mathrm {j} \ frac {\ omega} {\ omega_ \ mathrm {c}} \ right |} \\ = -20 \ cdot \ log \ left | 1 + \ mathrm {j} \ frac {\ omega} {\ omega_ \ mathrm {c}} \ right | \\ = -10 \ cdot \ log \ left (1 + \ frac {\ omega ^ 2} {\ om ega_ \ mathrm {c} ^ 2} \ right) \ end {align}

затем построенный в зависимости от входной частоты ω {\ displaystyle \ omega}\ omega в логарифмическом масштабе, может быть аппроксимирован двумя линиями и образует асимптотическую (приблизительную) значение Боде графика передаточной функции:

  • для угловых частот ниже ω c {\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}}}\ omega_ \ mathrm {c} это горизонтальная линия на уровне 0 дБ, поскольку на низких частотах член ω ω c {\ displaystyle {\ omega \ over {\ omega _ {\ mathrm {c}}}}}{\ omega \ over {\ omega_ \ mathrm {c}}} мал и им можно пренебречь, что делает уравнение усиления децибел равным до нуля,
  • для угловых частот выше ω c {\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}}}\ omega_ \ mathrm {c} это линия с наклоном -20 дБ за декаду, поскольку на высоких частотах ω ω c { \ displaystyle {\ omega \ over {\ omega _ {\ mathrm {c}}}}}{\ omega \ over {\ omega_ \ mathrm {c}}} член доминирует, и выражение усиления децибел выше упрощается до - 20 log ⁡ ω ω c {\ displaystyle -20 \ log {\ omega \ over {\ omega _ {\ mathrm {c}}}}}-20 \ log {\ omega \ over {\ omega_ \ mathrm {c}}} , который представляет собой прямую линия с наклоном - 20 d B {\ displaystyle - 20 \, \ mathrm {dB}}-20 \, {\ mathrm {дБ}} на декаду.

Эти две линии встречаются на угловой частоте. Из графика можно увидеть, что для частот значительно ниже угловой частоты схема имеет затухание 0 дБ, что соответствует единичному усилению полосы пропускания, то есть амплитуда выходного сигнала фильтра равна амплитуде входного сигнала. Частоты выше угловой частоты ослабляются - чем выше частота, тем выше затухание .

Фазовый график

Фазовый график Боде получается путем построения фазового угла передаточной функции, заданной как

арг ⁡ ЧАС Lp (J ω) = - загар - 1 ⁡ ω ω с {\ Displaystyle \ arg Н _ {\ mathrm {lp}} (\ mathrm {j} \ omega) = - \ tan ^ {- 1} {\ omega \ over {\ omega _ {\ mathrm {c}}}}}\ arg H _ {\ mathrm {lp}} (\ mathrm {j} \ omega) = - \ tan ^ {- 1} {\ omega \ over {\ omega_ \ mathrm {c}}}

по сравнению с ω {\ displaystyle \ omega}\ omega , где ω {\ displaystyle \ omega}\ omega и ω c {\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}}}\ omega_ \ mathrm {c} - входная угловая частота и угловая частота среза соответственно. Для входных частот намного ниже угла, отношение ω ω c {\ displaystyle {\ omega \ over {\ omega _ {\ mathrm {c}}}}}{\ omega \ over {\ omega_ \ mathrm {c}}} мало, и поэтому фаза угол близок к нулю. При увеличении отношения абсолютное значение фазы увеличивается и становится равным –45 градусов, когда ω = ω c {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {\ mathrm {c}}}\ omega = \ omega_ \ mathrm {c} . Когда отношение увеличивается для входных частот, превышающих частоту излома, фазовый угол асимптотически приближается к -90 градусов. Шкала частот для фазовой графики является логарифмической.

Нормализованный график

Горизонтальная ось частот, как на графике амплитуды, так и на фазе, может быть заменена нормализованным (безразмерным) использованием частот ω ω c {\ displaystyle {\ omega \ над {\ omega _ {\ mathrm {c}}}}}{\ omega \ over {\ omega_ \ mathrm {c}}} . В таком случае говорят, что график нормализован, и единицы частот больше не используются, поскольку теперь все входные частоты выражены как кратные частоты среза ω c {\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}}}\ omega_ \ mathrm {c} .

Пример с нулем и полюсом

Рисунки 2-5 демонстрируют построение графиков Боде. Этот пример с полюсом и нулем показывает, как использовать суперпозицию. Для начала отчетности отдельно.

На рис. 2 показан график величины Боде для нуля и полюса нижних частот и сравнивается их с графикми прямой линии Боде. Прямолинейные графики горизонтальны до положения полюса (нуля), а затем падают (повышают) со скоростью 20 дБ / декаду. Второй рисунок 3 делает то же самое для фазы. Фазовые графики горизонтальны до десятикратного значения частоты частоты ниже положения полюса (нуля), а затем падают (повышаются) со скоростью 45 ° / декаду, пока частота не становится больше, чем положение полюса (нуля). Затем вертикальными горизонтальными на более высоких частотах с окончательным общим изменением фазы на 90 °.

На рисунках 4 и 5 показано, как выполняется наложение (простое сложение) графика полюса и нуля. Прямые графики Боде снова сравниваются с точными графиками. Ноль перемещен на более высокую частоту, чем полюс, чтобы сделать пример более интересным. Обратите внимание на рис. 4, что падение полюса на 20 дБ / декаду задерживается повышением нуля на 20 дБ / декада, что приводит к горизонтальному графику амплитуды для частот выше нулевого положения. Обратите внимание на рис. 5 на фазовом графике, аппроксимация прямой линии приблизительна в области, где и полюс, и ноль влияет на фазу. Также обратите внимание на рис. 5, что диапазон частот, в котором фаза изменяется на прямолинейном графике, ограничен частотами в десять раз выше и ниже положения полюса (нуля). Там, где присутствуют фаза полюса и ноль, прямолинейный график фазы является горизонтальным, потому что падение полюса на 45 ° / декада задерживается перекрывающимся подъемом нуля на 45 ° / декада в ограниченном диапазоне частот. где оба являются активными участниками фазы.

Запас по усилению и запас по фазе

Графики Боде используются для оценки стабильности усилителей с отрицательной обратной связью путем определения усиления и запас по фазе усилителя. Понятия усиления и запаса по фазе основаны на выражении усиления для усилителя с отрицательной обратной связью, заданном формулой

AFB = AOL 1 + β AOL, {\ displaystyle A _ {\ mathrm {FB}} = {\ frac {A _ {\ mathrm {OL}}} {1+ \ beta A _ {\ mathrm {OL}}}} \ ;,}A _ {{\ mathrm {FB}}} = {\ frac {A _ {{\ mathrm {OL}}}} {1+ \ beta A _ {{\ mathrm {OL}}}}} \ ;,

где A FB - коэффициент усиления усилителя с обратной связью (коэффициент усиления обратной связи ), β - коэффициент обратной связи, а A OL - коэффициент усиления без обратной связи (коэффициент усиления разомкнутой цепи ). Коэффициент усиления A OL является сложной функцией частоты, как величины, так и фазы. Исследование этого соотношения показывает возможность бесконечного усиления (интерпретируемого как нестабильность), если произведение βA OL = −1. (То есть величина βA OL равна единице, а его фаза составляет -180 °, так называемый критерий устойчивости Баркгаузена ). Графики Боде используются для определения того, насколько близко усилитель подходит к этому условию.

Ключом к этому определению являются две частоты. Первый, обозначенный здесь как f 180, - это частота, на которой коэффициент усиления без обратной связи меняет знак. Второй, обозначенный здесь f 0 дБ, представляет собой частоту, на которой величина произведения | β A OL | = 1 (в дБ, величина 1 равна 0 дБ). То есть частота f 180 определяется условием:

β A O L (f 180) = - | β A O L (f 180) | = - | β A O L | 180, {\ displaystyle \ beta A _ {\ mathrm {OL}} \ left (f_ {180} \ right) = - | \ beta A _ {\ mathrm {OL}} \ left (f_ {180} \ right) | = - | \ beta A _ {\ mathrm {OL}} | _ {180} \ ;,}\ beta A _ {{\ mathrm {OL}}} \ left (f _ {{180}} \ right) = - | \ beta A _ {{\ mathrm {OL}}} \ left (f _ {{180}} \ right) | = - | \ beta A _ {{\ mathrm {OL}}} | _ {{180}} \ ;,

где вертикальные полосы обозначают величину комплексного числа (например, | a + jb | = [a 2 + b 2] 1 2 {\ displaystyle | a + \ mathrm {j} b | = \ left [a ^ {2} + b ^ {2} \ right] ^ {\ frac {1} {2}}}| a + {\ mathrm {j}} b | = \ left [a ^ { 2} + b ^ {2} \ right] ^ {{{\ frac 12}}} ), а частота f 0 дБ определяется условием:

| β A O L (f 0 d B) | = 1. {\ displaystyle | \ beta A _ {\ mathrm {OL}} \ left (f _ {\ mathrm {0dB}} \ right) | = 1 \ ;.}| \ beta A _ {{\ mathrm {OL}} } \ left (f _ {{\ mathrm {0dB}}} \ right) | = 1 \ ;.

Одним из показателей близости к нестабильности является усиление маржа . График фазы Боде определяет частоту, на которой фаза βA OL достигает -180 °, обозначенную здесь как частота f 180. Используя эту частоту, график величины Боде определяет величину βA OL. Если | βA OL|180 = 1, усилитель, как упоминалось, нестабилен. Если A OL|180 < 1, instability does not occur, and the separation in dB of the magnitude of |βAOL|180 из | βA OL | = 1 называется запасом по усилению. Поскольку величина единицы равна 0 дБ, запас усиления представляет собой просто одну из эквивалентных форм: 20 log 10 ⁡ (| β AOL | 180) = 20 log 10 ⁡ (| AOL |) - 20 log 10 ( β - 1) {\ displaystyle 20 \ log _ {10} (| \ beta A _ {\ mathrm {OL}} | _ {180}) = 20 \ log _ {10} (| A _ {\ mathrm {OL}} |) -20 \ log _ {10} (\ beta ^ {- 1})}{\ displaystyle 20 \ log _ {10} (| \ beta A _ {\ mathrm {OL}} | _ {180}) = 20 \ log _ {10} (| A _ {\ mathrm {OL}} |) -20 \ log _ {10} (\ beta ^ {- 1})} .

Другой эквивалентной мерой близости к нестабильности является запас по фазе. График величины Боде определяет частоту, на которой величина | βA OL | достигает единицы, обозначенной здесь как частота f 0 дБ. Используя эту частоту, фазовый график Боде находит фазу βA OL. Если фаза βA OL (f 0 дБ)>-180 °, условие нестабильности не может быть выполнено ни на одной частоте (поскольку его величина будет <1, когда f = f 180), а расстояние по фазе при f 0 дБ в градусах выше -180 ° называется запасом по фазе.

Если достаточно простого ответа «да» или «нет» по вопросу стабильности, усилитель будет стабильным, если f 0 дБ < f180. Этого критерия достаточно для прогнозирования стабильности только для усилителей, удовлетворяющих некоторым ограничениям на их полюсное и нулевое положения (системы с минимальной фазой ). Хотя эти ограничения обычно соблюдаются, в противном случае необходимо использовать другой метод, например, график Найквиста. Оптимальные запасы по усилению и фазе могут быть вычислены с использованием теории интерполяции Неванлинны – Пика.

Примеры с использованием графиков Боде

Рисунки 6 и 7 иллюстрируют поведение усиления и терминологию. Для трехполюсного усилителя на рисунке 6 сравнивается график Боде для коэффициента усиления без обратной связи (коэффициент усиления без обратной связи) A OL с коэффициентом усиления с обратной связью A FB (замкнутый- петлевое усиление). Подробнее см. усилитель отрицательной обратной связи.

В этом примере A OL = 100 дБ на низких частотах и ​​1 / β = 58 дБ. На низких частотах также A FB ≈ 58 дБ.

Поскольку показано усиление A OL без обратной связи, а не произведение β A OL, условие A OL = 1 / β решает f 0 дБ. Коэффициент усиления обратной связи на низких частотах и ​​для больших A OL составляет A FB ≈ 1 / β (см. Формулу для коэффициента усиления обратной связи в начале этого раздела для случая больших усиление A OL), поэтому эквивалентный способ найти f 0 дБ - посмотреть, где усиление обратной связи пересекает усиление разомкнутого контура. (Частота f 0 дБ потребуется позже, чтобы найти запас по фазе.)

Вблизи этого кроссовера двух коэффициентов усиления при f 0 дБ критерии Баркгаузена почти совпадают. удовлетворяется в этом примере, и усилитель с обратной связью демонстрирует большой пик усиления (он был бы бесконечным, если β A OL = -1). За пределами частоты единичного усиления f 0 дБ коэффициент усиления без обратной связи достаточно мал, чтобы A FB ≈ A OL (изучите формулу в начале этого раздел для случая малого A OL).

На рисунке 7 показано соответствующее сравнение фаз: фаза усилителя обратной связи почти равна нулю до частоты f 180, где коэффициент усиления без обратной связи имеет фазу -180 °. В этом районе фаза усилителя с обратной связью резко падает вниз и становится почти такой же, как фаза усилителя с разомкнутым контуром. (Напомним, A FB ≈ A OL для малого A OL.)

Сравнивая помеченные точки на рисунках 6 и 7, можно увидеть Видно, что частота единичного усиления f 0 дБ и частота переворота фазы f 180 в этом усилителе почти равны, f 180 ≈ f 0 дБ ≈ 3,332 кГц, что означает, что запас по усилению и по фазе почти равен нулю. Усилитель на грани стабильности.

На рисунках 8 и 9 показаны запас по усилению и запас по фазе для разной величины обратной связи β. Коэффициент обратной связи выбран меньшим, чем на рис. 6 или 7, перемещая условие | β A OL | = 1 для более низкой частоты. В этом примере 1 / β = 77 дБ, а на низких частотах A FB ≈ 77 дБ.

На рисунке 8 показан график усиления. На рисунке 8 пересечение 1 / β и A OL происходит при f 0 дБ = 1 кГц. Обратите внимание, что пик усиления A FB около f 0 дБ почти исчез.

На рисунке 9 показан фазовый график. Используя значение f 0 дБ = 1 кГц, найденное выше на графике амплитуд на рисунке 8, фаза разомкнутого контура при f 0 дБ равна -135 °, что является фазой граница 45 ° выше -180 °.

Используя рисунок 9, для фазы -180 ° значение f 180 = 3,332 кГц (разумеется, тот же результат, что и ранее). Коэффициент усиления без обратной связи из рисунка 8 при f 180 составляет 58 дБ, а 1 / β = 77 дБ, поэтому запас по усилению составляет 19 дБ.

Стабильность - не единственный критерий отклика усилителя, и во многих приложениях более строгие требования, чем стабильность, являются хорошими переходной характеристикой. Как показывает эмпирическое правило, для хорошей реакции на скачок требуется запас по фазе не менее 45 °, и часто рекомендуется запас более 70 °, особенно если колебания компонентов из-за производственных допусков являются проблемой. См. Также обсуждение запаса по фазе в статье переходная характеристика.

Плоттер Боде

Рис. 10: Амплитудная диаграмма фильтра Чебышева 10-го порядка, построенная с использованием приложения Bode Plotter. Передаточная функция Чебышева определяется полюсами и нулями, которые добавляются щелчком по сложной графической диаграмме.

Плоттер Боде - это электронный прибор, напоминающий осциллограф, который строит диаграмму Боде или график., коэффициента усиления по напряжению или фазового сдвига схемы в зависимости от частоты частоты в системе управления с обратной связью или фильтре. Пример этого показан на рисунке 10. Он чрезвычайно полезен для анализа и тестирования фильтров и стабильности систем управления с обратной связью посредством измерения угловых (срезающих) частот, а также запаса по усилению и фазе.

Эта функция идентична функции, выполняемой векторным анализатором цепей, но анализатор цепей обычно используется на гораздо более высоких частотах.

В образовательных / исследовательских целях построение диаграмм Боде для заданных передаточных функций способствует лучшему пониманию и получению более быстрых результатов (см. Внешние ссылки).

Связанные графики

Два связанных графика, которые отображают одни и те же данные в разных системах координат : график Найквиста и график Николса. Это параметрические графики с частотой на входе и величиной и фазой частотной характеристики на выходе. На графике Найквиста они отображаются в полярных координатах с отображением величины в радиус и фазы в аргумент (угол). График Николса отображает их в прямоугольных координатах в логарифмической шкале .

Приложение

Доказательство связи с частотной характеристикой

В этом разделе показано, что частотная характеристика задается величиной и фазой передаточной функции в уравнениях (1) - (2).

Немного изменив требования для формул (1) - (2), предполагается, что ввод был применен, начиная с момента t = 0 {\ displaystyle t = 0}t = 0 , и вычисляется вывод в пределах t → ∞ {\ displaystyle t \ to \ infty}t \ to \ infty . In this case, the output is given by the convolution

y ( t) = ∫ 0 t h ( τ) u ( t − τ) d τ, {\displaystyle y(t)=\int _{0}^{t}h(\tau)u(t-\tau)d\tau \;,}{\ displaystyle y (t) = \ int _ {0} ^ {t} h (\ tau) u (t- \ tau) d \ tau \ ;,}

of the input signal with the inverse Laplace transform of the transfer function h ( t) {\displaystyle h(t)}h (t) . Assuming that the signal becomes periodic with mean 0 and period T after a while, we can add as many periods as we want to the interval of the integral

lim t → ∞ y ( t) = ∫ 0 t h ( τ) u ( t − τ) d τ + ∫ t t + T h ( τ) u ( t − τ) d τ +... = ∫ 0 ∞ h ( τ) u ( t − τ) d τ. {\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=\int _{0}^{t}h(\tau)u(t-\tau)d\tau \;+\int _{t}^{t+T}h(\tau)u(t-\tau)d\tau \;+...=\int _{0}^{\infty }h(\tau)u(t-\tau)d\tau \;.}{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty } y (t) = \ int _ {0} ^ {t} h (\ tau) u (t- \ tau) d \ tau \; + \ int _ {t} ^ {t + T} h (\ tau) u (t- \ tau) d \ tau \; +... = \ int _ {0} ^ {\ infty} h (\ tau) u (t- \ tau) d \ tau \ ;.}

Thus, inserting the sinusoidal input signal one obtains

lim t → ∞ y ( t) = ∫ 0 ∞ h ( τ) sin ⁡ ( ω ( t − τ)) d τ = ∫ 0 ∞ h ( τ) I m ( e j ω ( t − τ)) d τ. {\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=\int _{0}^{\infty }h(\tau)\sin \left(\omega (t-\tau)\right)d\tau \;=\int _{0}^{\infty }h(\tau)\mathrm {Im} \left(e^{\mathrm {j} \omega (t-\tau)}\right)d\tau \;.}{\ displaystyle \ lim _ { t \ to \ infty} y (t) = \ int _ {0} ^ {\ infty} h (\ tau) \ sin \ left (\ omega (t- \ tau) \ right) d \ tau \; = \ int _ {0} ^ {\ infty} h (\ tau) \ mathrm {Im} \ left (e ^ {\ mathrm {j} \ omega (t- \ tau)} \ right) d \ tau \ ;.}

Since h ( t) {\displaystyle h(t)}h (t) is a real function this can be written as

lim t → ∞ y ( t) = I m { e j ω t [ ∫ 0 ∞ h ( τ) e − j ω τ d τ ] }. {\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=\mathrm {Im} \left\{e^{\mathrm {j} \omega t}\left[\int _{0}^{\infty }h(\tau)e^{-\mathrm {j} \omega \tau }d\tau \ \right]\right\}\;.}{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} y (t) = \ mathrm {Im} \ left \ {e ^ {\ mathrm {j} \ omega t} \ left [\ int _ {0} ^ {\ infty} h (\ tau) e ^ {- \ mathrm {j} \ omega \ tau} d \ tau \ \ right] \ right \} \ ;.}

The term in brackets is the definition of the Laplace transform of h {\displaystyle h}h at s = j ω {\displaystyle s=\mathrm {j} \omega }s = \ mathrm {j} \ omega . Inserting the definition in the form H ( j ω) = | H (j ω) | exp ⁡ ( arg ⁡ H ( j ω)) {\displaystyle H(\mathrm {j} \omega)=|H(\mathrm {j} \omega)|\exp \left(\arg H(\mathrm {j} \omega)\right)}H (\ mathrm {j} \ omega) = | H ( \ mathrm {j} \ omega) | \ exp \ left (\ arg H (\ mathrm {j} \ omega) \ right) one obtains the output signal

lim t → ∞ y ( t) = | H (j ω) | sin ⁡ ( ω t + arg ⁡ ( H ( j ω))) {\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=|H(\mathrm {j} \omega)|\sin \left(\omega t+\arg \left(H(\mathrm {j} \omega)\right)\right)\;}\ lim_ {t \ to \ infty} y (t) = | H (\ mathrm {j} \ omega) | \ sin \ left (\ omega t + \ arg \ left (H (\ mathrm {j} \ omega) \ right) \ right) \;

stated in Eqs.(1)-(2).

See also

Notes

References

External links

Wikimedia Commons has media related to Bode plots.
Последняя правка сделана 2021-05-12 12:36:16
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте