Температура яркости

редактировать

Температура яркости или температура яркости - это температура черного тела в тепловом равновесии с окружающей средой, чтобы дублировать наблюдаемую интенсивность объекта серого тела на частота $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ . Эта концепция используется в радиоастрономии, планетологии и материаловедении.

. Яркостная температура поверхности обычно определяется оптическим измерением, например, с использованием пирометр, предназначенный для определения реальной температуры. Как подробно описано ниже, реальная температура поверхности в некоторых случаях может быть вычислена путем деления яркостной температуры на коэффициент излучения поверхности. Поскольку коэффициент излучения имеет значение от 0 до 1, реальная температура будет больше или равна яркостной температуре. На высоких частотах (короткие длины волн) и низких температурах преобразование должно происходить в соответствии с законом Планка.

. Яркостная температура не является температурой, как обычно понимается. Он характеризует излучение и в зависимости от механизма излучения может значительно отличаться от физической температуры излучающего тела (хотя теоретически возможно сконструировать устройство, которое будет нагреваться источником излучения с некоторой яркостной температурой до фактической температуры, равной до яркостной температуры). Нетепловые источники могут иметь очень высокие яркостные температуры. В пульсарах яркостная температура может достигать 10 К. Для излучения типичного гелий-неонового лазера мощностью 60 мВт и длиной когерентности 20 см, сфокусированного в пятно с диаметром 10 мкм яркостная температура будет примерно 14 × 10 К.

. Для черного тела, закон Планка дает:

I ν = 2 час ν 3 c 2 1 eh ν К T - 1 {\ Displaystyle I _ {\ nu} = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac { 1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {kT}} - 1}}}

I _ {\ nu} = {\ frac {2h \ nu ^ {{3}}} {c ^ {2}}} {\ frac {1 } {e ^ {{{\ frac {h \ nu} {kT}}}} - 1}}

где

$I ν {\ displaystyle I _ {\ nu}}$ $I _ {\ nu}$ (Интенсивность или Яркость) - количество энергии, излучаемой на единицу площади поверхности в единицу времени на единицу телесного угла и в диапазоне частот между $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ и $ν + d ν {\ displaystyle \ nu + d \ nu}$ $\ nu + d \ nu$ ; $T {\ displaystyle T}$ $T$ - это температура черного тела; $h {\ displaystyle h}$ $h$ - постоянная Планка ; $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ - частота ; $c {\ displaystyle c}$ $c$ - скорость света ; и $k {\ displaystyle k}$ $k$ - константа Больцмана.

Для серого тела спектральная яркость - это часть черного сияние тела, определяемое излучательной способностью $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ . Это делает обратную величину яркостной температуры:

T b - 1 = kh ν ln [1 + eh ν k T - 1 ϵ] {\ displaystyle T_ {b} ^ {- 1} = {\ frac {k} {h \ nu}} \, {\ text {ln}} \ left [1 + {\ frac {e ^ {\ frac {h \ nu} {kT}} - 1} {\ epsilon}} \ right]}

T_ {b } ^ {{- 1}} = {\ frac {k} {h \ nu}} \, {\ text {ln}} \ left [1 + {\ frac {e ^ {{{\ frac {h \ nu} } {kT}}}} - 1} {\ epsilon}} \ right]

При низкой частоте и высоких температурах, когда $h ν ≪ k T {\ displaystyle h \ nu \ ll kT}$ $h \ nu \ ll kT$ , мы можем использовать закон Рэлея – Джинса :

I ν = 2 ν 2 K T c 2 {\ displaystyle I _ {\ nu} = {\ frac {2 \ nu ^ {2} kT} {c ^ {2}}}}

I _ {{\ nu}} = {\ frac {2 \ nu ^ {2} kT} {c ^ {2}}}

, чтобы яркостная температура могла можно просто записать как:

T b = ϵ T {\ displaystyle T_ {b} = \ epsilon T \,}

T_ {b} = \ epsilon T \,

В общем случае яркостная температура является функцией $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ , и только в случае излучения черного тела оно одинаково на всех частотах. Яркостная температура может использоваться для вычисления спектрального индекса тела в случае нетеплового излучения.

Расчет по частоте

Яркостная температура источника с известной спектральной яркостью может быть выражена как:

T b = h ν k ln - 1 ⁡ (1 + 2 h ν 3 Я ν с 2) {\ displaystyle T_ {b} = {\ frac {h \ nu} {k}} \ ln ^ {- 1} \ left (1 + {\ frac {2h \ nu ^ {3}} { I _ {\ nu} c ^ {2}}} \ right)}

T_ {b} = {\ frac {h \ nu} {k}} \ ln ^ {{- 1}} \ left (1 + {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {I_ {{\ nu}} c ^ {2}}} \ right)

Когда $h ν ≪ k T {\ displaystyle h \ nu \ ll kT}$ $h \ nu \ ll kT$ , мы можем использовать метод Рэлея– Закон Джинса:

T b = I ν c 2 2 k ν 2 {\ displaystyle T_ {b} = {\ frac {I _ {\ nu} c ^ {2}} {2k \ nu ^ {2}}} }

T_ {b} = {\ frac {I _ {{\ nu}} c ^ {2}} {2k \ nu ^ {2}}}

Для узкополосного излучения с очень низкой относительной спектральной шириной линии $Δ ν ≪ ν {\ displaystyle \ Delta \ nu \ ll \ nu}$ $\ Delta \ nu \ ll \ nu$ и известную яркость $I {\ displaystyle I}$ $I$ мы можем вычислить яркостную температуру как:

T b = I c 2 2 k ν 2 Δ ν {\ displaystyle T_ {b} = {\ frac {Ic ^ {2}} {2k \ nu ^ {2} \ Delta \ nu}}}

T_ {b} = {\ frac {Ic ^ {2}} {2k \ nu ^ {2} \ Delta \ nu}}

Расчет по длине волны

Спектральная яркость излучения черного тела равна выражается длиной волны как:

I λ = 2 hc 2 λ 5 1 ehck T λ - 1 {\ displaystyle I _ {\ lambda} = {\ frac {2hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {hc} {kT \ lambda}} - 1}}}

I _ {{\ lambda}} = {\ frac {2hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {e ^ {{{\ frac {hc} {kT \ lambda}}}} - 1}}

Итак, яркостную температуру можно рассчитать как:

T б знак равно hck λ ln - 1 ⁡ (1 + 2 hc 2 I λ λ 5) {\ displaystyle T_ {b} = {\ frac {hc} {k \ lambda}} \ ln ^ {- 1} \ left (1 + {\ frac {2hc ^ {2}} {I _ {\ lambda} \ lambda ^ {5}}} \ right)}

T_ {b} = {\ frac {hc} {k \ lambda}} \ ln ^ {{- 1}} \ left (1 + {\ frac {2hc ^ {2}} {I _ {{\ lambda}} \ lambda ^ {5}}} \ right)

Для длинноволнового излучения $hc / λ ≪ k T {\ displaystyle hc / \ lambda \ ll kT}$ $hc / \ lambda \ ll kT$ яркостная температура:

T b = I λ λ 4 2 kc {\ displaystyle T_ {b} = {\ frac {I _ {\ lambda} \ lambda ^ {4}} {2kc}}}

T_ {b} = {\ frac {I _ {{\ lambda}} \ lambda ^ {4}} {2kc}}

Для почти монохроматического излучения яркостная температура может быть выражена с помощью яркости $I {\ displaystyle I}$ $I$ и длина когерентности $L c {\ displaystyle L_ {c}}$ $L_ {c}$ :

T b = π I λ 2 L c 4 kc ln ⁡ 2 {\ displaystyle T_ {b} = {\ frac {\ pi I \ lambda ^ {2} L_ {c}} {4kc \ ln {2}}}}

T_ {b} = {\ frac {\ pi I \ lambda ^ {2} L_ {c}} {4kc \ ln {2}}}

Ссылки