Закон Планка

редактировать
Не путать с соотношением Планка.

Закон Планка описывает спектральную плотность электромагнитного излучения, испускаемого черным телом в тепловом равновесии при заданной температуре T, когда нет чистого потока вещества или энергии между телом и окружающей средой.

В конце XIX века физики не могли объяснить, почему наблюдаемый спектр излучения черного тела, который к тому времени был точно измерен, значительно расходился на более высоких частотах от предсказываемого существующими теориями. В 1900 году Макс Планк эвристически вывел формулу для наблюдаемого спектра, предположив, что гипотетический электрически заряженный осциллятор в полости, содержащей излучение черного тела, может изменять свою энергию только с минимальным приращением E, пропорциональным частоте его излучения. связанная электромагнитная волна. Это решило проблему предсказанной классической физикой ультрафиолетовой катастрофы. Это открытие стало новаторским в современной физике и имеет фундаментальное значение для квантовой теории.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Закон
  • 2 Излучение черного тела
  • 3 разных формы
    • 3.1 Соответствие форм спектральных переменных
    • 3.2 Форма спектральной плотности энергии
    • 3.3 Первая и вторая радиационные постоянные
  • 4 Физика
    • 4.1 Фотоны
    • 4.2 Закон Кирхгофа теплового излучения
      • 4.2.1 Спектральная зависимость теплового излучения
      • 4.2.2 Связь между поглощающей способностью и излучательной способностью
    • 4.3 Черное тело
    • 4.4 закон косинусов Ламберта
    • 4.5 Закон Стефана – Больцмана
    • 4.6 Перенос излучения
    • 4.7 Коэффициенты Эйнштейна
  • 5 Недвижимость
    • 5.1 Пики
    • 5.2 Приближения
    • 5.3 процентили
  • 6 Вывод
  • 7 История
    • 7.1 Бальфур Стюарт
    • 7.2 Густав Кирхгоф
    • 7.3 Эмпирические и теоретические компоненты для научной индукции закона Планка
    • 7.4 Взгляды Планка до того, как эмпирические факты привели его к поиску своего окончательного закона
    • 7.5 Нахождение эмпирического закона
    • 7.6 Попытка найти физическое объяснение закона
    • 7.7 Последующие события
  • 8 См. Также
  • 9 ссылки
    • 9.1 Библиография
  • 10 Внешние ссылки

Закон

Закон Планка точно описывает излучение черного тела. Здесь показано семейство кривых для разных температур. Классическая (черная) кривая отклоняется от наблюдаемой интенсивности на высоких частотах (коротких длинах волн).

Каждое физическое тело спонтанно и непрерывно испускает электромагнитное излучение, и спектральная яркость тела B описывает спектральную мощность излучения на единицу площади на единицу телесного угла для определенных частот излучения. Соотношение, заданное законом излучения Планка, приведенное ниже, показывает, что с повышением температуры общая излучаемая энергия тела увеличивается, а пик излучаемого спектра смещается в сторону более коротких волн. В соответствии с этим спектральная яркость тела для частоты ν при абсолютной температуре T определяется выражением

B ( ν , T ) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν k B T 1 {\displaystyle B(\nu,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}}

где k B - постоянная Больцмана, h - постоянная Планка, а c - скорость света в среде, будь то материал или вакуум. Спектральная яркость также может быть выражена на единицу длины волны λ, а не на единицу частоты. Выбрав подходящую систему единиц измерения (например, естественные единицы Планка ), закон можно упростить до следующего вида:

B ( ν , T ) = 2 ν 3 1 e ν T 1 {\displaystyle B(\nu,T)=2\nu ^{3}{\frac {1}{e^{\frac {\nu }{T}}-1}}}

Приравнивая интеграл спектральной яркости на единицу длины волны к интегралу на единицу частоты

λ 1 λ 2 B ( λ , T ) d λ = ν ( λ 2 ) ν ( λ 1 ) B ( ν , T ) d ν = λ 2 λ 1 B ( ν , T ) d ν d λ d λ = λ 1 λ 2 B ( ν , T ) d ν d λ d λ {\displaystyle \int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}B(\lambda,T)d\lambda =\int _{\nu (\lambda _{2})}^{\nu (\lambda _{1})}B(\nu,T)d\nu =\int _{\lambda _{2}}^{\lambda _{1}}B(\nu,T){\frac {d\nu }{d\lambda }}d\lambda =\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}-B(\nu,T){\frac {d\nu }{d\lambda }}d\lambda }

где второй интеграл интегрируется от до, потому что интегрирование вперед в частотном пространстве означает обратное интегрирование в пространстве длин волн. (Длина волны увеличивается с уменьшением частоты, так что если тогда). Поскольку это уравнение справедливо для любых пределов ν ( λ 2 ) {\textstyle \nu (\lambda _{2})} ν ( λ 1 ) {\textstyle \nu (\lambda _{1})} λ 1 lt; λ 2 {\textstyle \lambda _{1}lt;\lambda _{2}} ν ( λ 2 ) lt; ν ( λ 1 ) {\textstyle \nu (\lambda _{2})lt;\nu (\lambda _{1})}

B ( λ , T ) = B ( ν , T ) d ν d λ {\displaystyle B(\lambda,T)=-B(\nu,T){\frac {d\nu }{d\lambda }}}

Используя, видим, что c = λ ν {\textstyle c=\lambda \nu }

B ( λ , T ) = 2 h c 2 λ 5 1 e h c λ k B T 1 , {\displaystyle B(\lambda,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}},}

показывает, как излучаемая энергия, излучаемая на более коротких длинах волн, увеличивается с температурой быстрее, чем энергия, излучаемая на более длинных волнах. Закон также может быть выражен другими терминами, такими как количество фотонов, испускаемых на определенной длине волны, или плотность энергии в объеме излучения. В единицы СИ из B ν являются Вт ср -1 м -2 Гц -1, в то время как те B λ являются Вт ср -1 м -3.

В пределе низких частот (т. Е. Длинных волн) закон Планка стремится к закону Рэлея – Джинса, тогда как в пределе высоких частот (то есть малых длин волн) он стремится к приближению Вина.

Макс Планк разработал закон в 1900 году, используя только константы, определенные эмпирическим путем, и позже показал, что, выраженное в виде распределения энергии, это уникальное стабильное распределение излучения в термодинамическом равновесии. В качестве распределения энергии, он является одним из семейства распределений теплового равновесия, которые включают в себя распределение Бозе-Эйнштейна, то распределение Ферми-Дирака и распределение Максвелла-Больцмана.

Излучение черного тела

Основная статья: излучение черного тела Солнце приближается к радиатору черного тела. Его эффективная температура составляет около5777 K.

Черное тело - это идеализированный объект, который поглощает и излучает все частоты излучения. Вблизи термодинамического равновесия испускаемое излучение близко описывается законом Планка, и из-за его зависимости от температуры говорят, что планковское излучение является тепловым излучением, так что чем выше температура тела, тем больше излучения оно излучает на каждой длине волны.

Излучение Планка имеет максимальную интенсивность на длине волны, которая зависит от температуры тела. Например, при комнатной температуре (~300  K ), тело излучает тепловое излучение, в основном инфракрасное и невидимое. При более высоких температурах количество инфракрасного излучения увеличивается и может ощущаться как тепло, и испускается больше видимого излучения, поэтому тело светится заметно красным. При более высоких температурах тело становится ярко-желтым или бело-голубым и излучает значительное количество коротковолнового излучения, включая ультрафиолетовые и даже рентгеновские лучи. Поверхность солнца (~6000 К) излучает большое количество как инфракрасного, так и ультрафиолетового излучения; его излучение имеет максимум в видимой области спектра. Этот сдвиг из-за температуры называется законом смещения Вина.

Планковское излучение - это наибольшее количество излучения, которое любое тело, находящееся в состоянии теплового равновесия, может испустить со своей поверхности, независимо от его химического состава или структуры поверхности. Прохождение излучения через границу раздела между средами можно охарактеризовать излучательной способностью границы раздела (отношение фактической яркости к теоретической планковской яркости), обычно обозначаемой символом ε. Как правило, это зависит от химического состава и физической структуры, от температуры, длины волны, от угла прохождения и от поляризации. Коэффициент излучения естественной границы раздела всегда находится между ε = 0 и 1.

Тело, которое соприкасается с другой средой, которая имеет ε = 1 и поглощает все падающее на нее излучение, называется черным телом. Поверхность черного тела можно смоделировать с помощью небольшого отверстия в стенке большого корпуса, температура которого поддерживается при постоянной температуре, с непрозрачными стенками, которые на каждой длине волны не являются идеально отражающими. В состоянии равновесия излучение внутри этой камеры описывается законом Планка, как и излучение, выходящее из небольшого отверстия.

Так же, как распределение Максвелла – Больцмана является уникальным распределением максимальной энтропии энергии для газа материальных частиц, находящихся в тепловом равновесии, так и распределение Планка для газа фотонов. В отличие от материального газа, где массы и количество частиц играют роль, спектральная яркость, давление и плотность энергии фотонного газа при тепловом равновесии полностью определяются температурой.

Если фотонный газ не является планковским, второй закон термодинамики гарантирует, что взаимодействия (между фотонами и другими частицами или даже, при достаточно высоких температурах, между самими фотонами) вызовут изменение распределения фотонов по энергии и приближение к планковскому распределению. При таком подходе к термодинамическому равновесию фотоны создаются или аннигилируют в нужном количестве и с нужной энергией, чтобы заполнить полость распределением Планка, пока они не достигнут равновесной температуры. Это как если бы газ представляет собой смесь субгазов, по одному на каждую полосу длин волн, и каждый субгаз в конечном итоге достигает общей температуры.

Величина B ν ( ν, T) представляет собой спектральную яркость как функцию температуры и частоты. Он имеет единицы измерения Вт м −2 ср −1 Гц −1 в системе СИ. Бесконечно малое количество мощности B ν ( ν, T) cos θ d A  d Ω  d ν излучается в направлении, описываемом углом θ от нормали к поверхности из бесконечно малой площади поверхности d A в бесконечно малый телесный угол d Ω с бесконечно малой частотой полоса шириной d ν с центром на частоте ν. Суммарная мощность излучается в любой телесного угла является интегралом от B v, ( v,, T) над этими тремя величинами, и определяется законом Стефана-Больцмана. Спектральная яркость планковского излучения от черного тела имеет одинаковое значение для каждого направления и угла поляризации, поэтому черное тело называют ламбертовским излучателем.

Различные формы

Закон Планка можно встретить в нескольких формах в зависимости от условностей и предпочтений различных научных областей. Различные формы закона спектральной яркости суммированы в таблице ниже. Формы слева чаще всего встречаются в экспериментальных областях, а формы справа - в теоретических областях.

Закон Планка, выраженный через различные спектральные переменные
с h с ħ
Переменная распределение Переменная распределение
Частота ν B ν ( ν , T ) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν / ( k B T ) 1 {\displaystyle B_{\nu }(\nu,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}} Угловая частота ω B ω ( ω , T ) = ω 3 4 π 3 c 2 1 e ω / ( k B T ) 1 {\displaystyle B_{\omega }(\omega,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\hbar \omega /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}}
Длина волны λ B λ ( λ , T ) = 2 h c 2 λ 5 1 e h c / ( λ k B T ) 1 {\displaystyle B_{\lambda }(\lambda,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/(\lambda k_{\mathrm {B} }T)}-1}}} Угловая длина волны y B y ( y , T ) = c 2 4 π 3 y 5 1 e c / ( y k B T ) 1 {\displaystyle B_{y}(y,T)={\frac {\hbar c^{2}}{4\pi ^{3}y^{5}}}{\frac {1}{e^{\hbar c/(yk_{\mathrm {B} }T)}-1}}}
Волновое число ν̃ B ν ~ ( ν ~ , T ) = 2 h c 2 ν ~ 3 1 e h c ν ~ / ( k B T ) 1 {\displaystyle B_{\tilde {\nu }}({\tilde {\nu }},T)=2hc^{2}{\tilde {\nu }}^{3}{\frac {1}{e^{hc{\tilde {\nu }}/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}} Угловое волновое число k B k ( k , T ) = c 2 k 3 4 π 3 1 e c k / ( k B T ) 1 {\displaystyle B_{k}(k,T)={\frac {\hbar c^{2}k^{3}}{4\pi ^{3}}}{\frac {1}{e^{\hbar ck/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}}

Эти распределения представляют спектральную яркость черных тел - мощность, излучаемую излучающей поверхностью, на единицу площади проекции излучающей поверхности, на единицу телесного угла, на спектральную единицу (частоту, длину волны, волновое число или их угловые эквиваленты). Поскольку излучение изотропно (т.е. не зависит от направления), мощность, излучаемая под углом к нормали, пропорциональна площади проекции и, следовательно, косинусу этого угла в соответствии с законом косинусов Ламберта, и является неполяризованной.

Соответствие форм спектральных переменных

Разные спектральные переменные требуют разных соответствующих форм выражения закона. В общем, нельзя конвертировать между различными формами закона Планка, просто заменяя одну переменную другой, потому что при этом не принимается во внимание то, что разные формы имеют разные единицы. Единицы измерения длины волны и частоты взаимны.

Соответствующие формы выражения связаны, потому что они выражают один и тот же физический факт: для определенного физического спектрального приращения излучается соответствующее конкретное приращение физической энергии.

Это так, независимо от того, выражено ли оно через приращение частоты d ν или, соответственно, длины волны d λ. Знак минус может указывать на то, что увеличение частоты соответствует уменьшению длины волны. Чтобы преобразовать соответствующие формы так, чтобы они выражали одно и то же количество в одних и тех же единицах, мы умножаем его на спектральное приращение. Затем для конкретного спектрального приращения конкретное приращение физической энергии может быть записано

B λ ( λ , T ) d λ = B ν ( ν ( λ ) , T ) d ν , {\displaystyle B_{\lambda }(\lambda,T)\,d\lambda =-B_{\nu }(\nu (\lambda),T)\,d\nu,}     что приводит к     B λ ( λ , T ) = d ν d λ B ν ( ν ( λ ) , T ) . {\displaystyle B_{\lambda }(\lambda,T)=-{\frac {d\nu }{d\lambda }}B_{\nu }(\nu (\lambda),T).}

Также ν ( λ) = c/λ, так что dν/dλ = - c/λ 2. Подстановка дает соответствие между формами частоты и длины волны, с их различными размерами и единицами измерения. Как следствие,

B λ ( T ) B ν ( T ) = c λ 2 = ν 2 c . {\displaystyle {\frac {B_{\lambda }(T)}{B_{\nu }(T)}}={\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{c}}.}

Очевидно, что положение пика спектрального распределения закона Планка зависит от выбора спектральной переменной. Тем не менее, в некотором смысле, эта формула означает, что форма спектрального распределения не зависит от температуры в соответствии с законом смещения Вина, как подробно описано ниже в подразделе Процентили раздела Свойства.

Форма спектральной плотности энергии

Закон Планка также можно записать в терминах спектральной плотности энергии ( u), умножив B на4π/c:

u i ( T ) = 4 π c B i ( T ) . {\displaystyle u_{i}(T)={\frac {4\pi }{c}}B_{i}(T).}

Эти распределения имеют единицы энергии на объем на спектральную единицу.

Первая и вторая радиационные постоянные

В приведенных выше вариантах закона Планка варианты длины волны и волнового числа используют термины 2 hc 2 иhc/k Bкоторые содержат только физические константы. Следовательно, эти члены могут рассматриваться как сами физические константы и, следовательно, упоминаются как первая постоянная излучения c 1 L и вторая постоянная излучения c 2 с

c 1 L = 2 hc 2

а также

с 2 =hc/k B.

Используя радиационные постоянные, вариант закона Планка для длины волны можно упростить до

L ( λ , T ) = c 1 L λ 5 1 exp ( c 2 λ T ) 1 {\displaystyle L(\lambda,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}

и вариант с волновым числом может быть соответственно упрощен.

L используется здесь вместо B, потому что это символ SI для спектральной яркости. Л в с 1 L относится к этому. Эта ссылка необходима, потому что закон Планка может быть переформулирован, чтобы дать спектральную яркость излучения M ( λ, T), а не спектральную яркость L ( λ, T), и в этом случае c 1 заменяет c 1 L на

c 1 = 2π hc 2,

так что закон Планка для спектральной излучательной способности можно записать как

M ( λ , T ) = c 1 λ 5 1 exp ( c 2 λ T ) 1 {\displaystyle M(\lambda,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}

По мере совершенствования методов измерения Генеральная конференция мер и весов пересмотрела свою оценку c₂; см. Планковский локус § Международная шкала температур для подробностей.

Физика

Замораживание высокоэнергетических осцилляторов

Закон Планка описывает уникальное и характерное спектральное распределение электромагнитного излучения в термодинамическом равновесии, когда нет чистого потока вещества или энергии. Его физику легче всего понять, рассматривая излучение в полости с жесткими непрозрачными стенками. Движение стен может повлиять на излучение. Если стенки непрозрачны, то термодинамическое равновесие не изолировано. Представляет интерес объяснить, как достигается термодинамическое равновесие. Есть два основных случая: (а) когда приближение к термодинамическому равновесию заключается в присутствии материи, когда стенки полости неидеально отражают для каждой длины волны или когда стенки полностью отражают, в то время как полость содержит маленькое черное тело ( это был основной случай, рассмотренный Планком); или (б) когда приближение к равновесию происходит в отсутствие вещества, когда стенки идеально отражают для всех длин волн, а полость не содержит вещества. Для вещества, не заключенного в такую ​​полость, тепловое излучение приближенно можно объяснить соответствующим использованием закона Планка.

Классическая физика с помощью теоремы о равнораспределении привела к ультрафиолетовой катастрофе, предсказанию, что полная интенсивность излучения черного тела бесконечна. Если дополнить классический неоправданным предположение, что по какой - то причине излучение конечно, классическая термодинамика дает отчет о некоторых аспектах распределения Планка, таких как закон Стефана-Больцмане, и закон смещения Вина. В случае наличия материи квантовая механика дает хорошее объяснение, как показано ниже в разделе, озаглавленном « Коэффициенты Эйнштейна». Это был случай, рассмотренный Эйнштейном, и в настоящее время используется в квантовой оптике. В случае отсутствия материи квантовая теория поля необходима, потому что нерелятивистская квантовая механика с фиксированным числом частиц не дает достаточного объяснения.

Фотоны

Квантово-теоретическое объяснение закона Планка рассматривает излучение как газ безмассовых, незаряженных бозонных частиц, а именно фотонов, в термодинамическом равновесии. Фотоны рассматриваются как носители электромагнитного взаимодействия между электрически заряженными элементарными частицами. Числа фотонов не сохраняются. Фотоны создаются или уничтожаются в нужном количестве и с нужной энергией, чтобы заполнить полость распределением Планка. Для фотонного газа в термодинамическом равновесии плотность внутренней энергии полностью определяется температурой; более того, давление полностью определяется плотностью внутренней энергии. Это отличается от случая термодинамического равновесия для материальных газов, для которых внутренняя энергия определяется не только температурой, но также независимо от соответствующего числа различных молекул и, опять же, независимо от конкретных характеристик различных молекул. молекулы. Для различных материальных газов при данной температуре давление и плотность внутренней энергии могут изменяться независимо, поскольку разные молекулы могут нести независимо разные энергии возбуждения.

Закон Планка возникает как предел распределения Бозе – Эйнштейна, распределения энергии, описывающего не взаимодействующие бозоны в термодинамическом равновесии. В случае безмассовых бозонов, таких как фотоны и глюоны, химический потенциал равен нулю, и распределение Бозе – Эйнштейна сводится к распределению Планка. Существует еще одно фундаментальное равновесное распределение энергии: распределение Ферми – Дирака, которое описывает фермионы, такие как электроны, в тепловом равновесии. Эти два распределения различаются, потому что несколько бозонов могут занимать одно и то же квантовое состояние, а несколько фермионов - нет. При низких плотностях количество доступных квантовых состояний на частицу велико, и это различие становится несущественным. В пределе низкой плотности каждое из распределений Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака сводится к распределению Максвелла – Больцмана.

Закон Кирхгофа теплового излучения

Основная статья: закон Кирхгофа теплового излучения

Закон Кирхгофа о тепловом излучении представляет собой сжатое и краткое описание сложной физической ситуации. Следующее - это вводный набросок этой ситуации, который очень далек от строгого физического аргумента. Цель здесь лишь в том, чтобы обобщить основные физические факторы ситуации и сделать основные выводы.

Спектральная зависимость теплового излучения

Есть разница между кондуктивной теплопередачей и радиационной теплопередачей. Излучательная теплопередача может быть отфильтрована так, чтобы пропускать только определенный диапазон радиационных частот.

Общеизвестно, что чем горячее становится тело, тем больше тепла оно излучает на каждой частоте.

В полости в непрозрачном теле с твердыми стенками, которые не обладают идеальным отражением на любой частоте, в термодинамическом равновесии существует только одна температура, и она должна совместно использоваться излучением каждой частоты.

Можно представить себе две такие полости, каждая из которых находится в своем изолированном радиационном и термодинамическом равновесии. Можно представить себе оптическое устройство, которое обеспечивает лучистую теплопередачу между двумя полостями, отфильтрованную так, чтобы пропускать только определенную полосу радиационных частот. Если значения спектральной яркости излучения в полостях различаются в этой полосе частот, можно ожидать, что тепло будет переходить от более горячего к более холодному. Можно было бы предложить использовать такой отфильтрованный перенос тепла в такой полосе для приведения в действие теплового двигателя. Если два тела имеют одинаковую температуру, второй закон термодинамики не позволяет тепловому двигателю работать. Можно сделать вывод, что для температуры, общей для двух тел, значения спектральной яркости в полосе пропускания также должны быть общими. Это должно выполняться для каждой полосы частот. Это стало ясно Бальфуру Стюарту, а затем Кирхгофу. Бальфур Стюарт экспериментально обнаружил, что из всех поверхностей одна из ламповой сажи испускает наибольшее количество теплового излучения для всех видов излучения, судя по различным фильтрам.

Рассуждая теоретически, Кирхгоф пошел немного дальше и указал, что это означает, что спектральная яркость, как функция частоты излучения, любой такой полости в термодинамическом равновесии должна быть уникальной универсальной функцией температуры. Он постулировал идеальное черное тело, которое взаимодействует с окружающей средой таким образом, чтобы поглощать все падающее на него излучение. Согласно принципу взаимности Гельмгольца, излучение изнутри такого тела будет беспрепятственно проходить непосредственно в его окружение, не отражаясь на границе раздела. В термодинамическом равновесии тепловое излучение, испускаемое таким телом, будет иметь уникальную универсальную спектральную яркость как функцию температуры. Это понимание лежит в основе закона Кирхгофа о тепловом излучении.

Связь между поглощающей способностью и излучательной способностью

Можно представить себе небольшое однородное сферическое материальное тело меченого Х при температуре Т X, лежащий в поле излучения внутри большой полости со стенками материала меченого Y при температуре Т Y. Тело X излучает собственное тепловое излучение. На конкретной частоте ν излучение, испускаемое из определенного поперечного сечения через центр X в одном смысле в направлении, нормальном к этому поперечному сечению, может быть обозначено I ν, X ( T X), что характерно для материала X. На этой частоте v,, мощность излучения от стенок в это поперечное сечение в том смысле, противоположного в этом направлении может быть обозначена я v,, У ( Т Y), для температуры стенки Т Y. Для материала X, определяя поглощающую способность α ν, X, Y ( T X, T Y) как долю падающего излучения, поглощенного X, эта падающая энергия поглощается со скоростью α ν, X, Y ( T X, T Y) I ν, Y ( T Y).

Скорость q ( ν, T X, T Y) накопления энергии в одном смысле в поперечном сечении тела может быть выражена

q ( ν , T X , T Y ) = α ν , X , Y ( T X , T Y ) I ν , Y ( T Y ) I ν , X ( T X ) . {\displaystyle q(\nu,T_{X},T_{Y})=\alpha _{\nu,X,Y}(T_{X},T_{Y})I_{\nu,Y}(T_{Y})-I_{\nu,X}(T_{X}).}

Основополагающее открытие Кирхгофа, упомянутое выше, заключалось в том, что при термодинамическом равновесии при температуре T существует уникальное универсальное распределение излучения, в настоящее время обозначаемое B ν ( T), которое не зависит от химических характеристик материалов X и Y, что приводит к к очень ценному пониманию равновесия радиационного обмена любого тела, как показано ниже.

Когда существует термодинамическое равновесие при температуре T, излучение полости от стенок имеет то уникальное универсальное значение, так что I ν, Y ( T Y) = B ν ( T). Далее, можно определить коэффициент излучения ε ν, X ( T X) материала тела X так, чтобы при термодинамическом равновесии при температуре T X = T было I ν, X ( T X) = I ν, X ( T) = ε ν, X ( T) B ν ( T).

Когда тепловое равновесие преобладает при температуре T = T X = T Y, скорость накопления энергии обращается в нуль, так что q ( ν, T X, T Y) = 0. Отсюда следует, что в термодинамическом равновесии, когда T = T X = T Y,

0 = α ν , X , Y ( T , T ) B ν ( T ) ϵ ν , X ( T ) B ν ( T ) . {\displaystyle 0=\alpha _{\nu,X,Y}(T,T)B_{\nu }(T)-\epsilon _{\nu,X}(T)B_{\nu }(T).}

Кирхгоф указал, что из этого следует, что в термодинамическом равновесии, когда T = T X = T Y,

α ν , X , Y ( T , T ) = ϵ ν , X ( T ) . {\displaystyle \alpha _{\nu,X,Y}(T,T)=\epsilon _{\nu,X}(T).}

Вводя специальное обозначение α ν, X ( T) для поглощающей способности материала X при термодинамическом равновесии при температуре T (оправданное открытием Эйнштейна, как указано ниже), мы получаем равенство

α ν , X ( T ) = ϵ ν , X ( T ) {\displaystyle \alpha _{\nu,X}(T)=\epsilon _{\nu,X}(T)}

при термодинамическом равновесии.

Продемонстрированное здесь равенство поглощающей способности и излучательной способности характерно для термодинамического равновесия при температуре T и, как правило, не следует ожидать, что оно будет соблюдаться, когда условия термодинамического равновесия не выполняются. Излучательная способность и поглощающая способность - это свойства молекул материала по отдельности, но они по-разному зависят от распределения состояний молекулярного возбуждения в данном случае из-за явления, известного как «вынужденное излучение», которое было обнаружено Эйнштейном. В тех случаях, когда материал находится в термодинамическом равновесии или в состоянии, известном как локальное термодинамическое равновесие, коэффициент излучения и коэффициент поглощения становятся равными. Очень сильное падающее излучение или другие факторы могут нарушить термодинамическое равновесие или локальное термодинамическое равновесие. Локальное термодинамическое равновесие в газе означает, что столкновения молекул намного перевешивают излучение и поглощение света при определении распределений состояний молекулярного возбуждения.

Кирхгоф указал, что ему неизвестен точный характер B ν ( T), но он считает важным, чтобы его выяснили. Спустя четыре десятилетия после того, как Кирхгоф понял общие принципы его существования и характера, вклад Планка состоял в том, чтобы определить точное математическое выражение этого равновесного распределения B ν ( T).

Черное тело

Основная статья: Черное тело

В физике рассматривается идеальное черное тело, обозначенное здесь буквой B, определяемое как тело, которое полностью поглощает все электромагнитное излучение, падающее на него на каждой частоте ν (отсюда и термин «черное»). Согласно закону Кирхгофа теплового излучения, это означает, что для каждой частоты ν при термодинамическом равновесии при температуре T имеет место α ν, B ( T) = ε ν, B ( T) = 1, так что тепловое излучение от черное тело всегда равно полной сумме, указанной законом Планка. Ни одно физическое тело не может излучать тепловое излучение, превышающее тепловое излучение черного тела, поскольку, если бы оно находилось в равновесии с полем излучения, оно излучало бы больше энергии, чем было бы на него падало.

Хотя совершенно черных материалов не существует, на практике можно точно аппроксимировать черную поверхность. Что касается его материальной внутренней части, то тело из конденсированной материи, жидкости, твердого тела или плазмы с определенной границей раздела с окружающей средой является полностью черным для излучения, если оно полностью непрозрачно. Это означает, что он поглощает все излучение, которое проникает через границу раздела тела с окружающей средой и попадает в тело. На практике это не так уж и сложно. С другой стороны, идеально черный интерфейс в природе не встречается. Совершенно черный интерфейс не отражает излучения, но пропускает все, что падает на него с любой стороны. Наилучший практический способ создать эффективно черный интерфейс - смоделировать «интерфейс» с помощью небольшого отверстия в стенке большой полости в полностью непрозрачном твердом теле из материала, который не отражает идеально на любой частоте, со стенками в контролируемая температура. Помимо этих требований, материал стен не ограничен. Излучение, попадающее в отверстие, почти не имеет возможности выйти из полости, не поглотившись при многократных ударах о ее стенки.

Закон косинусов Ламберта

Основная статья: закон косинуса Ламберта

Как объяснил Планк, излучающее тело имеет внутреннюю часть, состоящую из материи, и границу раздела с прилегающей соседней материальной средой, которая обычно является средой, изнутри которой наблюдается излучение с поверхности тела. Интерфейс не состоит из физической материи, но представляет собой теоретическую концепцию, математическую двумерную поверхность, совместное свойство двух смежных сред, строго говоря, не принадлежащих ни к одной по отдельности. Такой интерфейс не может ни поглощать, ни излучать, потому что он не состоит из физической материи; но это место отражения и прохождения излучения, потому что это поверхность неоднородности оптических свойств. Отражение и прохождение излучения на границе раздела подчиняются принципу взаимности Стокса – Гельмгольца.

В любой точке внутри черного тела, находящегося внутри полости, находящейся в термодинамическом равновесии при температуре T, излучение является однородным, изотропным и неполяризованным. Черное тело поглощает все и не отражает ни одного падающего на него электромагнитного излучения. Согласно принципу взаимности Гельмгольца, излучение изнутри черного тела не отражается от его поверхности, а полностью передается наружу. Из-за изотропности излучения внутри тела спектральная яркость излучения, передаваемого изнутри наружу через его поверхность, не зависит от направления.

Это выражается в том, что излучение поверхности черного тела в термодинамическом равновесии подчиняется закону косинусов Ламберта. Это означает, что спектральный поток d Φ ( dA, θ, d Ω, dν) от заданного бесконечно малого элемента площади dA фактической излучающей поверхности черного тела, обнаруженный с заданного направления, составляющего угол θ с нормалью к фактическая излучающая поверхность в dA в элемент телесного угла обнаружения d Ω с центром в направлении, обозначенном θ, в элементе ширины полосы частот dν, может быть представлена ​​как

d Φ ( d A , θ , d Ω , d ν ) d Ω = L 0 ( d A , d ν ) d A d ν cos θ {\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta,d\Omega,d\nu)}{d\Omega }}=L^{0}(dA,d\nu)\,dA\,d\nu \,\cos \theta }

где L 0 ( dA, dν) обозначает поток на единицу площади на единицу частоты на единицу телесного угла, которую эта площадь dA показала бы, если бы она была измерена в нормальном направлении θ = 0.

Коэффициент cos θ присутствует потому, что область, к которой непосредственно относится спектральная яркость, является проекцией площади фактической излучающей поверхности на плоскость, перпендикулярную направлению, обозначенному θ. Отсюда и название закона косинуса.

Учитывая независимость направления спектральной яркости излучения от поверхности черного тела в термодинамическом равновесии, имеем L 0 ( dA, dν) = B ν ( T) и, следовательно,

d Φ ( d A , θ , d Ω , d ν ) d Ω = B ν ( T ) d A d ν cos θ . {\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta,d\Omega,d\nu)}{d\Omega }}=B_{\nu }(T)\,dA\,d\nu \,\cos \theta.}

Таким образом, закон косинуса Ламберта выражает независимость направления спектральной яркости B ν ( T) поверхности черного тела в термодинамическом равновесии.

Закон Стефана – Больцмана

Основная статья: закон Стефана – Больцмана

Полная мощность, излучаемая на единицу площади на поверхности черного тела ( P), может быть найдена путем интегрирования спектрального потока черного тела, найденного из закона Ламберта, по всем частотам и по телесным углам, соответствующим полусфере ( h) над поверхностью..

P = 0 d ν h d Ω B ν cos ( θ ) {\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{h}d\Omega \,B_{\nu }\cos(\theta)}

Бесконечно малый телесный угол можно выразить в сферических полярных координатах :

d Ω = sin ( θ ) d θ d ϕ . {\displaystyle d\Omega =\sin(\theta)\,d\theta \,d\phi.}

Так что:

P = 0 d ν 0 π 2 d θ 0 2 π d ϕ B ν ( T ) cos ( θ ) sin ( θ ) = σ T 4 {\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,B_{\nu }(T)\cos(\theta)\sin(\theta)=\sigma T^{4}}

куда

σ = 2 k B 4 π 5 15 c 2 h 3 5.670400 × 10 8 J s 1 m 2 K 4 {\displaystyle \sigma ={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}\pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670400\times 10^{-8}\,\mathrm {J\,s^{-1}m^{-2}K^{-4}} }

известна как постоянная Стефана – Больцмана.

Радиационный перенос

Основная статья: Радиационный перенос

Уравнение переноса излучения описывает способ воздействия на излучение при его прохождении через материальную среду. Для частного случая, когда материальная среда находится в термодинамическом равновесии в окрестности точки в среде, закон Планка имеет особое значение.

Для простоты мы можем рассматривать линейное установившееся состояние без рассеяния. Уравнение переноса излучения гласит, что для луча света, проходящего через небольшое расстояние d s, энергия сохраняется: изменение (спектральной) яркости этого луча ( I ν) равно количеству, удаленному материальной средой, плюс сумма, полученная от материальной среды. Если поле излучения находится в равновесии с материальной средой, эти два вклада будут равны. Материальная среда будет иметь определенный коэффициент излучения и коэффициент поглощения.

Коэффициент поглощения α представляет собой частичное изменение интенсивности светового луча при его прохождении на расстояние d s и имеет единицы длины -1. Он состоит из двух частей: уменьшения из-за поглощения и увеличения из-за стимулированного излучения. Вынужденное излучение - это излучение материального тела, которое вызвано поступающим излучением и пропорционально ему. Он включен в термин поглощения, потому что, как и поглощение, он пропорционален интенсивности входящего излучения. Поскольку степень поглощения обычно изменяется линейно, как плотность материала ρ, мы можем определить «массовый коэффициент поглощения» κ ν =α/ρчто является свойством самого материала. Тогда изменение интенсивности светового луча из-за поглощения при прохождении им небольшого расстояния d s будет

d I ν = κ ν ρ I ν d s {\displaystyle dI_{\nu }=-\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }\,ds}

«Массовый коэффициент излучения» j ν равен яркости на единицу объема небольшого элемента объема, деленной на его массу (поскольку, что касается массового коэффициента поглощения, излучение пропорционально излучающей массе), и имеет единицы мощности телесный угол −1 ⋅ частота −1 ⋅ плотность −1. Как и коэффициент поглощения массы, это тоже свойство самого материала. Тогда изменение светового луча при прохождении им небольшого расстояния d s будет

d I ν = j ν ρ d s {\displaystyle dI_{\nu }=j_{\nu }\rho \,ds}

Уравнение переноса излучения будет тогда суммой этих двух вкладов:

d I ν d s = j ν ρ κ ν ρ I ν . {\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=j_{\nu }\rho -\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }.}

Если поле излучения находится в равновесии с материальной средой, то излучение будет однородным (независимо от положения), так что d I ν = 0 и:

κ ν B ν = j ν {\displaystyle \kappa _{\nu }B_{\nu }=j_{\nu }}

что является еще одним утверждением закона Кирхгофа, связывающего два материальных свойства среды, и которое дает уравнение переноса излучения в точке, вокруг которой среда находится в термодинамическом равновесии:

d I ν d s = κ ν ρ ( B ν I ν ) . {\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=\kappa _{\nu }\rho (B_{\nu }-I_{\nu }).}

Коэффициенты Эйнштейна

Основная статья: Атомная спектральная линия

Принцип детального баланса утверждает, что при термодинамическом равновесии каждый элементарный процесс уравновешивается своим обратным процессом.

В 1916 году Альберт Эйнштейн применил этот принцип на атомном уровне к случаю, когда атом излучает и поглощает излучение из-за переходов между двумя конкретными энергетическими уровнями, что дало более глубокое понимание уравнения переноса излучения и закона Кирхгофа для этого типа излучения. Если уровень 1 является нижним уровнем энергии с энергией E 1, а уровень 2 является верхним уровнем энергии с энергией E 2, то частота ν излучаемого или поглощенного излучения будет определяться условием частоты Бора:

E 2 E 1 = h ν {\displaystyle E_{2}-E_{1}=h\nu }.

Если n 1 и n 2 - числовые плотности атома в состояниях 1 и 2 соответственно, то скорость изменения этих плотностей во времени будет обусловлена ​​тремя процессами:

( d n 1 d t ) s p o n = A 21 n 2 {\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {spon} }=A_{21}n_{2}} Спонтанное излучение
( d n 1 d t ) s t i m = B 21 n 2 u ν {\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {stim} }=B_{21}n_{2}u_{\nu }} Вынужденное излучение
( d n 2 d t ) a b s = B 12 n 1 u ν {\displaystyle \left({\frac {dn_{2}}{dt}}\right)_{\mathrm {abs} }=B_{12}n_{1}u_{\nu }} Фотоабсорбция

где u ν - спектральная плотность энергии поля излучения. Три параметра A 21, B 21 и B 12, известные как коэффициенты Эйнштейна, связаны с частотой фотонов ν, возникающей при переходе между двумя энергетическими уровнями (состояниями). В результате каждая линия в спектре имеет свой собственный набор связанных коэффициентов. Когда атомы и поле излучения находятся в равновесии, яркость будет определяться законом Планка и, согласно принципу детального баланса, сумма этих скоростей должна быть равна нулю:

0 = A 21 n 2 + B 21 n 2 4 π c B ν ( T ) B 12 n 1 4 π c B ν ( T ) {\displaystyle 0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)-B_{12}n_{1}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)}

Поскольку атомы также находятся в равновесии, населенности двух уровней связаны между собой фактором Больцмана :

n 2 n 1 = g 2 g 1 e h ν / k B T {\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}e^{-h\nu /k_{\mathrm {B} }T}}

где g 1 и g 2 - кратности соответствующих уровней энергии. Объединение двух приведенных выше уравнений с требованием, чтобы они действовали при любой температуре, дает два соотношения между коэффициентами Эйнштейна:

A 21 B 21 = 8 π h ν 3 c 3 {\displaystyle {\frac {A_{21}}{B_{21}}}={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}}
B 21 B 12 = g 1 g 2 {\displaystyle {\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}}

так что знание одного коэффициента даст два других. Для случая изотропного поглощения и излучения коэффициент излучения ( j ν) и коэффициент поглощения ( κ ν), определенные в разделе переноса излучения выше, могут быть выражены через коэффициенты Эйнштейна. Соотношения между коэффициентами Эйнштейна приведут к выражению закона Кирхгофа, выраженного в разделе переноса излучения выше, а именно:

j ν = κ ν B ν . {\displaystyle j_{\nu }=\kappa _{\nu }B_{\nu }.}

Эти коэффициенты применимы как к атомам, так и к молекулам.

Характеристики

Пики

Распределения B ν, B ω, B ν̃ и B k достигают максимума при энергии фотона

E = [ 3 + W ( 3 e 3 ) ] k B T 2.821   k B T , {\displaystyle E=\left[3+W\left({\frac {-3}{e^{3}}}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.821\ k_{\mathrm {B} }T,}

где W - функция Ламберта W, а e - число Эйлера.

Однако распределения B λ и B y достигают максимума при другой энергии.

E = [ 5 + W ( 5 e 5 ) ] k B T 4.965   k B T , {\displaystyle E=\left[5+W\left({\frac {-5}{e^{5}}}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 4.965\ k_{\mathrm {B} }T,}

Причина этого в том, что, как упоминалось выше, нельзя перейти (например) от B ν к B λ, просто заменив ν на λ. Кроме того, нужно еще и результат замены умножить на

| d ν d λ | = c / λ 2 {\displaystyle \left|{\frac {d\nu }{d\lambda }}\right|=c/\lambda ^{2}}.

Этот 1/λ 2Фактор сдвигает пик распределения в область более высоких энергий. Эти пики являются модовой энергией фотона при группировании с использованием элементов разрешения одинакового размера по частоте или длине волны соответственно. Между тем, средняя энергия фотона от черного тела равна

E = [ π 4 30 ζ ( 3 ) ] k B T 2.701   k B T , {\displaystyle E=\left[{\frac {\pi ^{4}}{30\zeta \left(3\right)}}\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.701\ k_{\mathrm {B} }T,}

где - дзета-функция Римана. Разделение hc на это выражение энергии дает длину волны пика. Для этого можно использовать ζ {\displaystyle \zeta } hc/k B знак равно 14 387 0,770 мкм К.

Спектральная яркость на этих пиках определяется как:

B ν , max ( T ) = 2 k B 3 T 3 ( 3 + W ( 3 exp ( 3 ) ) 3 h 2 c 2 1 e 3 + W ( 3 exp ( 3 ) ) 1 ( 1.896 × 10 19 W m 2 Hz K 3 ) × T 3 {\displaystyle B_{\nu,{\text{max}}}(T)={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}(3+W(-3\exp(-3))^{3}}{h^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{3+W(-3\exp(-3))}-1}}\approx \left(1.896\times 10^{-19}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}\cdot {\text{Hz}}\cdot {\text{K}}^{3}}}\right)\times T^{3}}
B λ , max ( T ) = 2 k B 5 T 5 ( 5 + W ( 5 exp ( 5 ) ) 5 h 4 c 3 1 e 5 + W ( 5 exp ( 5 ) ) 1 ( 4.096 × 10 6 W m 3 K 5 ) ×   T 5 {\displaystyle B_{\lambda,{\text{max}}}(T)={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{5}T^{5}(5+W(-5\exp(-5))^{5}}{h^{4}c^{3}}}{\frac {1}{e^{5+W(-5\exp(-5))}-1}}\approx \left(4.096\times 10^{-6}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{3}\cdot {\text{K}}^{5}}}\right)\times ~T^{5}}

Приближения

Логарифмические графики зависимости яркости от частоты для закона Планка (зеленый) в сравнении с законом Рэлея – Джинса (красный) и приближением Вина (синий) для черного тела при температуре 8 мК.

В пределе низких частот (т.е. длинных волн) закон Планка становится законом Рэлея-Джинса.

B ν ( T ) 2 ν 2 c 2 k B T {\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T}     или      B λ ( T ) 2 c λ 4 k B T . {\displaystyle \qquad B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}k_{\mathrm {B} }T.}

Яркость увеличивается пропорционально квадрату частоты, иллюстрируя ультрафиолетовую катастрофу. В пределе высоких частот (т.е. малых длин волн) закон Планка стремится к приближению Вина :

B ν ( T ) 2 h ν 3 c 2 e h ν k B T {\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}}}     или      B λ ( T ) 2 h c 2 λ 5 e h c λ k B T . {\displaystyle B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}.}

Оба приближения были известны Планку до того, как он разработал свой закон. Эти два приближения привели его к разработке закона, включающего оба предела, который в конечном итоге стал законом Планка.

Процентили

Закон смещения Вина в его более сильной форме утверждает, что форма закона Планка не зависит от температуры. Таким образом, можно перечислить точки процентиль суммарной радиации, а также пики для длины волны и частоты, в такой форме, которая дает длину волны Л при делении на температуры Т. Во второй строке следующей таблицы перечислены соответствующие значения λT, то есть те значения x, для которых длина волны λ равнаИкс/Т микрометры в точке процентиля яркости, заданной соответствующей записью в первой строке.

Процентиль 0,01% 0,1% 1% 10% 20% 25,0% 30% 40% 41,8% 50% 60% 64,6% 70% 80% 90% 99% 99,9% 99,99%
λ T (мкм К) 910 1110 1448 2195 2676 2898 3119 3582 3670 4107 4745 5099 5590 6864 9376 22884 51613 113374
λ k B T / hc 0,0632 0,0771 0,1006 0,1526 0,1860 0.2014 0,2168 0,2490 0,2551 0,2855 0,3298 0,3544 0,3885 0,4771 0,6517 1,5905 3,5873 7,8799

То есть 0,01% излучения приходится на длину волны ниже 910/Т мкм, на 20% ниже 2676/Т мкм и т. д. Пики длины волны и частоты выделены жирным шрифтом и составляют 25,0% и 64,6% соответственно. Точка 41,8% - это пик, нейтральный по длине волны и частоте (т. Е. Пик мощности на единицу изменения в логарифме длины волны или частоты). Это точки, в которых действует соответствующий закон Планка.1/λ 5, ν 3 иν 22соответственно, деленные на exp (hν/k B T) - 1достигают своих максимумов. Гораздо меньший разрыв в соотношении длин волн от 0,1% до 0,01% (1110 на 22% больше, чем 910), чем между 99,9% и 99,99% (113374 на 120% больше, чем 51613), отражает экспоненциальное затухание энергии на коротких волнах (слева конец) и полиномиальное затухание при long.

Какой пик использовать, зависит от приложения. Обычным выбором является пик длины волны при 25,0%, задаваемый законом смещения Вина в его слабой форме. Для некоторых целей может быть более подходящей медиана или точка 50%, делящая общее излучение на две половины. Последний находится ближе к пику частоты, чем к пику длины волны, потому что яркость падает экспоненциально на коротких волнах и только полиномиально на длинных. Нейтральный пик возникает на более короткой длине волны, чем медиана по той же причине.

Для Солнца T составляет 5778 K, что позволяет табулировать процентильные точки солнечного излучения в нанометрах при моделировании как излучатель черного тела, к которому Солнце является хорошим приближением. Для сравнения: планета, смоделированная как черное тело, излучающее при номинальной температуре 288 К (15 ° C), как репрезентативное значение сильно изменчивой температуры Земли, имеет длины волн, более чем в двадцать раз превышающие длину волны Солнца, что указано в третьей строке в микрометрах (тысячи нанометров).

Процентиль 0,01% 0,1% 1% 10% 20% 25,0% 30% 40% 41,8% 50% 60% 64,6% 70% 80% 90% 99% 99,9% 99,99%
Солнце λ (мкм) 0,157 0,192 0,251 0,380 0,463 0,502 0,540 0,620 0,635 0,711 0,821 0,882 0,967 1,188 1,623 3,961 8,933 19,620
288 K планета λ (мкм) 3,16 3,85 5,03 7,62 9,29 10.1 10,8 12,4 12,7 14,3 16,5 17,7 19,4 23,8 32,6 79,5 179 394

То есть только 1% солнечного излучения имеет длины волн короче 251 нм и только 1% - длиннее 3961 нм. Выражаясь в микрометрах, это означает, что 98% солнечного излучения находится в диапазоне от 0,251 до 3,961 мкм. Соответствующее 98% энергии, излучаемой планетой 288 K, составляет от 5,03 до 79,5 мкм, что значительно выше диапазона солнечного излучения (или ниже, если выражено в терминах частот ν =c/λвместо длин волн λ).

Следствием этой более чем порядковой разницы в длине волны между солнечным и планетным излучением является то, что фильтры, предназначенные для пропускания одного и блокирования другого, легко сконструировать. Например, окна, изготовленные из обычного стекла или прозрачного пластика, пропускают не менее 80% входящего солнечного излучения 5778 K, длина волны которого составляет менее 1,2 мкм, и блокируют более 99% исходящего теплового излучения 288 K с длиной волны 5 мкм и выше. при которой большинство видов стекла и пластика строительной толщины фактически непрозрачны.

Излучение Солнца - это излучение, достигающее верхних слоев атмосферы (TOA). Как видно из таблицы, излучение ниже 400 нм или ультрафиолетовое излучение составляет около 12%, тогда как излучение выше 700 нм или инфракрасное излучение начинается примерно с точки 49% и, таким образом, составляет 51% от общего количества. Следовательно, человеческому глазу видно только 37% инсоляции TOA. Атмосфера существенно сдвигает эти проценты в пользу видимого света, поскольку он поглощает большую часть ультрафиолета и значительное количество инфракрасного.

Вывод

Смотрите также: Газ в коробке и Фотонный газ

Рассмотрим куб со стороной L с проводящими стенками, заполненные с электромагнитным излучением в тепловом равновесии при температуре Т. Если в одной из стенок есть небольшое отверстие, излучение, испускаемое дырой, будет характерно для идеального черного тела. Сначала мы рассчитаем спектральную плотность энергии внутри полости, а затем определим спектральную яркость испускаемого излучения.

На стенках куба параллельная составляющая электрического поля и ортогональная составляющая магнитного поля должны исчезнуть. По аналогии с волновой функцией частицы в ящике обнаруживается, что поля являются суперпозициями периодических функций. Три длины волны λ 1, λ 2 и λ 3 в трех направлениях, перпендикулярных стенкам, могут быть:

λ i = 2 L n i , {\displaystyle \lambda _{i}={\frac {2L}{n_{i}}},}

где n i - натуральные числа. Для каждого набора целых чисел n i есть два линейно независимых решения (известных как режимы). Согласно квантовой теории, уровни энергии моды задаются следующим образом:

E n 1 , n 2 , n 3 ( r ) = ( r + 1 2 ) h c 2 L n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 . (1) {\displaystyle E_{n_{1},n_{2},n_{3}}\left(r\right)=\left(r+{\frac {1}{2}}\right){\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}.\qquad {\text{(1)}}}

Квантовое число r можно интерпретировать как количество фотонов в моде. Две моды для каждого набора n i соответствуют двум состояниям поляризации фотона, который имеет спин 1. Для r = 0 энергия моды не равна нулю. Эта вакуумная энергия электромагнитного поля ответственна за эффект Казимира. В дальнейшем мы будем вычислять внутреннюю энергию коробки при абсолютной температуре Т.

Согласно статистической механике, равновесное распределение вероятностей по уровням энергии определенного режима определяется выражением:

P r = e β E ( r ) Z ( β ) . {\displaystyle P_{r}={\frac {e^{-\beta E\left(r\right)}}{Z\left(\beta \right)}}.}

Здесь

β   = d e f   1 k B T . {\displaystyle \beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.}

Знаменатель Z ( β) является статистической суммой для одной моды и делает P r правильно нормированным:

Z ( β ) = r = 0 e β E ( r ) = e β ε / 2 1 e β ε . {\displaystyle Z\left(\beta \right)=\sum _{r=0}^{\infty }e^{-\beta E\left(r\right)}={\frac {e^{-\beta \varepsilon /2}}{1-e^{-\beta \varepsilon }}}.}

Здесь мы неявно определили

ε   = d e f   h c 2 L n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 , {\displaystyle \varepsilon \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}},}

что является энергией одиночного фотона. Как объясняется здесь, средняя энергия в режиме может быть выражена через статистическую сумму:

E = d log ( Z ) d β = ε 2 + ε e β ε 1 . {\displaystyle \left\langle E\right\rangle =-{\frac {d\log \left(Z\right)}{d\beta }}={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}.}

Эта формула, помимо первого члена энергии вакуума, является частным случаем общей формулы для частиц, подчиняющихся статистике Бозе – Эйнштейна. Поскольку нет ограничений на общее количество фотонов, химический потенциал равен нулю.

Если мы измеряем энергии относительно состояния, полная энергия в поле следует путем суммирования ⟨ E ⟩ -ε/2по всем разрешенным однофотонным состояниям. Это можно сделать точно в термодинамическом пределе, когда L стремится к бесконечности. В этом пределе ε становится непрерывным и мы можем интегрировать ⟨ E ⟩ -ε/2по этому параметру. Чтобы вычислить таким образом энергию в ящике, нам нужно оценить, сколько состояний фотона находится в заданном диапазоне энергий. Если мы запишем общее количество однофотонных состояний с энергиями между ε и ε + d ε как g ( ε) d ε, где g ( ε) - плотность состояний (которая оценивается ниже), то мы можем записать:

U = 0 ε e β ε 1 g ( ε ) d ε . (2) {\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}g(\varepsilon)\,d\varepsilon.\qquad {\t_dv{(2)}}}

Для расчета плотности состояний перепишем уравнение (1) следующим образом:

ε   = d e f   h c 2 L n , {\displaystyle \varepsilon \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {hc}{2L}}n,}

где n - норма вектора n = ( n 1, n 2, n 3):

n = n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 . {\displaystyle n={\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}.}

Для каждого вектора n с целыми компонентами, большими или равными нулю, есть два состояния фотона. Это означает, что количество состояний фотона в определенной области n- пространства вдвое превышает объем этой области. Диапазон энергий d ε соответствует оболочке толщиной d n =2 л/hcd ε в n -пространстве. Поскольку компоненты n должны быть положительными, эта оболочка охватывает октант сферы. Таким образом, количество состояний фотона g ( ε) d ε в диапазоне энергий d ε определяется выражением:

g ( ε ) d ε = 2 1 8 4 π n 2 d n = 8 π L 3 h 3 c 3 ε 2 d ε . {\displaystyle g(\varepsilon)\,d\varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,dn={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,d\varepsilon.}

Вставляя это в уравнение. (2) дает:

U = L 3 8 π h 3 c 3 0 ε 3 e β ε 1 d ε . (3) {\displaystyle U=L^{3}{\frac {8\pi }{h^{3}c^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{3}}{e^{\beta \varepsilon }-1}}\,d\varepsilon.\qquad {\text{(3)}}}

Из этого уравнения можно получить спектральную плотность энергии как функцию частоты u ν ( T) и как функцию длины волны u λ ( T):

U L 3 = 0 u ν ( T ) d ν , {\displaystyle {\frac {U}{L^{3}}}=\int _{0}^{\infty }u_{\nu }(T)\,d\nu,}

куда

u ν ( T ) = 8 π h ν 3 c 3 1 e h ν / k B T 1 . {\displaystyle u_{\nu }(T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}.}

А также:

U L 3 = 0 u λ ( T ) d λ , {\displaystyle {\frac {U}{L^{3}}}=\int _{0}^{\infty }u_{\lambda }(T)\,d\lambda,}

куда

u λ ( T ) = 8 π h c λ 5 1 e h c / λ k B T 1 . {\displaystyle u_{\lambda }(T)={8\pi hc \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda k_{\mathrm {B} }T}-1}.}

Это также функция спектральной плотности энергии с единицами энергии на единицу длины волны на единицу объема. Интегралы этого типа для бозе- и ферми-газов могут быть выражены в терминах полилогарифмов. Однако в этом случае можно вычислить интеграл в замкнутой форме, используя только элементарные функции. Подстановка

ε = k B T x , {\displaystyle \varepsilon =k_{\mathrm {B} }Tx,}

в формуле. (3), делает переменную интегрирования безразмерной, давая:

u ( T ) = 8 π ( k B T ) 4 ( h c ) 3 J , {\displaystyle u(T)={\frac {8\pi (k_{\mathrm {B} }T)^{4}}{(hc)^{3}}}J,}

где J - интеграл Бозе – Эйнштейна, определяемый по формуле:

J = 0 x 3 e x 1 d x = π 4 15 . {\displaystyle J=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}.}

Таким образом, общая электромагнитная энергия внутри коробки определяется выражением:

U V = 8 π 5 ( k B T ) 4 15 ( h c ) 3 , {\displaystyle {U \over V}={\frac {8\pi ^{5}(k_{\mathrm {B} }T)^{4}}{15(hc)^{3}}},}

где V = L 3 - объем ящика.

Комбинация hc/k B имеет ценность 14 387 0,770 мкм К.

Это не закон Стефана-Больцмана (который обеспечивает полную энергию, излучаемую от черного тела на единицу площади поверхности на единицу времени), но его можно записать в более компактной форме с использованием постоянного Стефана-Больцмана сг, что дает

U V = 4 σ T 4 c . {\displaystyle {U \over V}={\frac {4\sigma T^{4}}{c}}.}

Постоянная 4 σ/c иногда называют радиационной постоянной.

Поскольку излучение одинаково во всех направлениях и распространяется со скоростью света ( c), спектральная яркость излучения, выходящего из небольшого отверстия, равна

B ν ( T ) = u ν ( T ) c 4 π , {\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {u_{\nu }(T)c}{4\pi }},}

который дает

B ν ( T ) = 2 h ν 3 c 2   1 e h ν / k B T 1 . {\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}}.}

Его можно преобразовать в выражение для B λ ( T) в единицах длины волны, заменив ν наc/λ и оценивая

B λ ( T ) = B ν ( T ) | d ν d λ | . {\displaystyle B_{\lambda }(T)=B_{\nu }(T)\left|{\frac {d\nu }{d\lambda }}\right|.}

Анализ размерностей показывает, что единица стерадиан, показанная в знаменателе правой части приведенного выше уравнения, генерируется и переносится через вывод, но не появляется ни в одном из измерений для любого элемента в левой части. уравнения.

Этот вывод основан на Brehm amp; Mullin 1989.

История

Бальфур Стюарт

В 1858 году Бальфур Стюарт описал свои эксперименты по тепловому излучению, излучению и поглощающей способности полированных пластин из различных веществ по сравнению с мощностью черных поверхностей при той же температуре. Стюарт выбрал в качестве эталона поверхности черного цвета из-за различных предыдущих экспериментальных данных, особенно Пьера Прево и Джона Лесли. Он писал: «Черная лампа, которая поглощает все падающие на нее лучи и поэтому обладает максимально возможной поглощающей способностью, будет также обладать максимально возможной излучающей способностью».

Стюарт измерил излучаемую мощность с помощью термоэлемента и чувствительного гальванометра, считываемого с помощью микроскопа. Его интересовало селективное тепловое излучение, которое он исследовал с пластинами из веществ, которые излучают и поглощают избирательно для разных качеств излучения, а не максимально для всех качеств излучения. Он обсуждал эксперименты с точки зрения лучей, которые могли отражаться и преломляться и которые подчинялись принципу взаимности Гельмгольца (хотя он не использовал для этого эпоним). В этой статье он не упоминал, что качества лучей можно описать их длинами волн, и не использовал спектрально разрешающие устройства, такие как призмы или дифракционные решетки. Его работа была количественной в рамках этих ограничений. Он проводил измерения при комнатной температуре и быстро, чтобы поймать свои тела в состоянии, близком к тепловому равновесию, в котором они были приготовлены путем нагревания до равновесия с кипящей водой. Его измерения подтвердили, что вещества, которые излучают и поглощают избирательно, соблюдают принцип избирательного равенства излучения и поглощения при тепловом равновесии.

Стюарт предложил теоретическое доказательство того, что это должно происходить отдельно для каждого выбранного качества теплового излучения, но его математика не была строго верной. По словам историка Д.М. Сигеля: «Он не практиковал более сложные методы математической физики девятнадцатого века; он даже не использовал функциональную нотацию при работе со спектральными распределениями». В этой статье он не упомянул термодинамику, хотя и упомянул о сохранении vis viva. Он предположил, что его измерения подразумевают, что излучение поглощается и испускается частицами материи на всей глубине среды, в которой оно распространяется. Он применил принцип взаимности Гельмгольца для учета процессов взаимодействия материалов в отличие от процессов, происходящих во внутреннем материале. Он пришел к выводу, что его эксперименты показали, что внутри помещения, находящегося в тепловом равновесии, лучистое тепло, отраженное и испускаемое вместе, оставляя любую часть поверхности, независимо от ее вещества, было таким же, как и та же самая часть поверхности. поверхность, если бы она была сделана из лампового черного. Он не упомянул возможность идеально отражающих стен; в частности, он отметил, что полированные настоящие физические металлы поглощают очень мало.

Густав Кирхгоф

В 1859 году, не зная о работе Стюарта, Густав Роберт Кирхгоф сообщил о совпадении длин волн спектрально разрешенных линий поглощения и излучения видимого света. Что важно для теплофизики, он также заметил, что яркие или темные линии видны в зависимости от разницы температур между эмиттером и поглотителем.

Кирхгофа затем продолжил рассматривать тела, которые излучают и поглощают тепловое излучение, в непрозрачном корпусе или полости, в равновесии при температуре Т.

Здесь используются обозначения, отличные от обозначений Кирхгофа. Здесь мощность излучения Е ( Т, я) обозначает количество, размеры, общее излучение, испускаемое телом, помеченной индексом я при температуре T. Общий коэффициент поглощения ( Т, я) этого тела является безразмерным, отношение абсорбируется падающего излучения в полости при температуре Т. (В отличие от Бальфура Стюарта, определение Кирхгофом его коэффициента поглощения не относится, в частности, к черной поверхности как источнику падающего излучения.) Таким образом, отношениеE ( T, i)/а ( Т, я)Отношение излучаемой мощности к поглощению является размерной величиной с размерами излучаемой мощности, потому что a ( T, i) безразмерно. Также здесь специфическая для длины волны излучающая способность тела при температуре T обозначается E ( λ, T, i), а зависящий от длины волны коэффициент поглощения - a ( λ, T, i). Опять же, соотношениеE ( λ, T, я)/а ( λ, Т, я) Отношение излучаемой мощности к поглощению - это размерная величина с размерами излучаемой мощности.

Во втором отчете, сделанном в 1859 году, Кирхгоф объявил новый общий принцип или закон, для которого он предложил теоретическое и математическое доказательство, хотя он не предлагал количественных измерений мощности излучения. Его теоретическое доказательство было и до сих пор считается некоторыми авторами недействительным. Однако его принцип сохранился: для тепловых лучей одной длины волны, находящихся в равновесии при заданной температуре, отношение мощности излучения к коэффициенту поглощения, зависящее от длины волны, имеет одно и то же общее значение для всех тел, излучающих и поглощают на этой длине волны. В символах закон гласил, что отношение длины волныE ( λ, T, я)/а ( λ, Т, я)имеет одно и то же значение для всех тел, то есть для всех значений индекса i. В этом отчете не было упоминания о черных телах.

В 1860 году, все еще не зная об измерениях Стюарта избранных качеств излучения, Кирхгоф указал, что давно экспериментально установлено, что для полного теплового излучения невыбранного качества, испускаемого и поглощаемого телом в равновесии, измеренное отношение общего излучения E ( T, i)/а ( Т, я), имеет одно и то же значение, общее для всех тел, то есть для каждого значения индекса материала i. Опять же без измерений мощности излучения или других новых экспериментальных данных, Кирхгоф затем предложил новое теоретическое доказательство своего нового принципа универсальности значения отношения длин волн.E ( λ, T, я)/а ( λ, Т, я)при тепловом равновесии. Его новое теоретическое доказательство было и остается некоторыми авторами недействительным.

Но, что более важно, он опирался на новый теоретический постулат «абсолютно черных тел», что является причиной того, что говорят о законе Кирхгофа. Такие черные тела демонстрировали полное поглощение своей бесконечно тонкой самой поверхностной поверхностью. Они соответствуют эталонным телам Бальфура Стюарта с внутренним излучением, покрытым ламповой сажей. Они не были более реалистичными совершенно черными телами, которые позже рассмотрел Планк. Черные тела Планка излучали и поглощали только материал, находящийся внутри них; их границы раздела с прилегающими средами были только математическими поверхностями, неспособными ни поглощать, ни излучать, а только отражать и передавать с преломлением.

Доказательство Кирхгофа рассматривало произвольное неидеальное тело с меткой i, а также различные совершенные черные тела с меткой BB. Это необходимо, чтобы органы хранить в полости в тепловом равновесии при температуре Т. Его доказательство призвано показать, что соотношениеE ( λ, T, я)/а ( λ, Т, я)не зависит от природы я из- за неидеального тела, однако частично прозрачным или частично отражающей это было.

Его доказательство сначала утверждало, что для длины волны λ и температуры T, при тепловом равновесии, все абсолютно черные тела одинакового размера и формы имеют одно и то же общее значение излучательной способности E ( λ, T, BB) с размерами власти. В его доказательстве отмечалось, что безразмерный коэффициент поглощения a ( λ, T, BB) абсолютно черного тела, зависящий от длины волны, по определению равен 1. Тогда для абсолютно черного тела отношение мощности излучения к коэффициенту поглощения, зависящее от длины волны.E ( λ, T, BB)/а ( λ, T, BB)это снова просто E ( λ, T, BB) с размерностями power. Кирхгофа считал, последовательно, тепловое равновесие с произвольным неидеального тела, а также с абсолютно черного тела одного и того же размера и формы, на месте в его полости в равновесии при температуре Т. Он утверждал, что потоки теплового излучения должны быть одинаковыми в каждом случае. Таким образом, он утверждал, что при тепловом равновесии отношениеE ( λ, T, я)/а ( λ, Т, я)был равен E ( λ, T, BB), который теперь можно обозначить B λ ( λ, T), непрерывной функцией, зависящей только от λ при фиксированной температуре T, и возрастающей функцией T при фиксированной длине волны λ, при низкие температуры исчезают для видимых, но не для более длинных волн, с положительными значениями для видимых длин волн при более высоких температурах, что не зависит от природы i произвольного неидеального тела. (Геометрические факторы, подробно учтенные Кирхгофом, выше не учитывались.)

Таким образом, можно сформулировать закон Кирхгофа о тепловом излучении: для любого материала, излучающего и поглощающего в термодинамическом равновесии при любой заданной температуре T, для каждой длины волны λ отношение мощности излучения к коэффициенту поглощения имеет одно универсальное значение, которое характерно для совершенное черное тело и является излучательной способностью, которую мы здесь представляем как B λ ( λ, T). (Для нашего обозначения B λ ( λ, T) исходное обозначение Кирхгофа было просто e.)

Кирхгоф объявил, что определение функции B λ ( λ, T) является задачей первостепенной важности, хотя он понимал, что придется преодолевать экспериментальные трудности. Он предположил, что, как и другие функции, не зависящие от свойств отдельных тел, это будет простая функция. Эту функцию B λ ( λ, T) иногда называют «функцией Кирхгофа (эмиссионная, универсальная)», хотя ее точная математическая форма не будет известна еще сорок лет, пока она не была обнаружена Планком в 1900 году. Теоретическое доказательство для Принцип универсальности Кирхгофа разрабатывался и обсуждался различными физиками одновременно и позже. Позднее в 1860 году Кирхгоф заявил, что его теоретическое доказательство лучше, чем доказательство Бальфура Стюарта, и в некоторых отношениях так оно и было. В статье Кирхгофа 1860 года не упоминается второй закон термодинамики и, конечно, не упоминается концепция энтропии, которая в то время еще не была установлена. В более продуманном отчете в книге 1862 года Кирхгоф упомянул связь своего закона с «принципом Карно», который является формой второго закона.

Согласно Хельге Крагу, «квантовая теория обязана своим происхождением изучению теплового излучения, в частности, излучения« черного тела », которое Роберт Кирхгоф впервые определил в 1859–1860 годах».

Эмпирические и теоретические компоненты для научной индукции закона Планка

В 1860 году Кирхгоф предсказал экспериментальные трудности для эмпирического определения функции, описывающей зависимость спектра черного тела как функцию только от температуры и длины волны. Так и оказалось. Чтобы получить надежный результат, потребовалось около сорока лет разработки усовершенствованных методов измерения электромагнитного излучения.

В 1865 году Джон Тиндалл описал излучение электрически нагреваемых нитей и углеродных дуг как видимое и невидимое. Тиндаль спектрально разложил излучение с помощью призмы из каменной соли, пропускающей тепло и видимые лучи, и измерил интенсивность излучения с помощью термобатареи.

В 1880 году Андре-Проспер-Поль Крова опубликовал диаграмму трехмерного внешнего вида графика силы теплового излучения как функции длины волны и температуры. Он определил спектральную переменную с помощью призм. Он проанализировал поверхность с помощью так называемых «изотермических» кривых, участков для одной температуры, со спектральной переменной по оси абсцисс и переменной мощности по оси ординат. Он провел плавные кривые через точки своих экспериментальных данных. Они имели один пик со спектральным значением, характерным для температуры, и падали по обе стороны от него по направлению к горизонтальной оси. Такие спектральные разрезы широко показаны и сегодня.

В серии статей с 1881 по 1886 год Лэнгли сообщил об измерениях спектра теплового излучения с использованием дифракционных решеток и призм, а также самых чувствительных детекторов, которые он мог сделать. Он сообщил, что была пиковая интенсивность, которая увеличивалась с температурой, что форма спектра не была симметричной относительно пика, что было сильное падение интенсивности, когда длина волны была короче, чем приблизительное значение отсечки для каждого из них. Температура, что приблизительная длина волны отсечки уменьшалась с увеличением температуры, и что длина волны пиковой интенсивности уменьшалась с температурой, так что интенсивность сильно увеличивалась с температурой для коротких длин волн, которые были длиннее, чем приблизительное отсечение для температуры.

Прочитав Лэнгли, в 1888 г. русский физик В. А. Михельсон опубликовал соображение о том, что неизвестная функция излучения Кирхгофа может быть объяснена физически и математически сформулирована в терминах «полной нерегулярности колебаний... атомов». В то время Планк внимательно не изучал излучение и не верил ни в атомы, ни в статистическую физику. Майкельсон вывел формулу для спектра температуры:

I λ = B 1 θ 3 2 exp ( c λ 2 θ ) λ 6 , {\displaystyle I_{\lambda }=B_{1}\theta ^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {c}{\lambda ^{2}\theta }}\right)\lambda ^{-6},}

где I λ обозначает удельную интенсивность излучения на длине волны λ и температуре θ, а B 1 и c - эмпирические константы.

В 1898 году Отто Люммер и Фердинанд Курлбаум опубликовали отчет об источнике излучения в их полости. Их конструкция до сих пор практически не изменилась для измерения радиации. Это был платиновый ящик, разделенный диафрагмами, а его внутренность была почернена оксидом железа. Это был важный ингредиент для постоянно улучшающихся измерений, которые привели к открытию закона Планка. В версии, описанной в 1901 году, внутренняя часть была зачернена смесью оксидов хрома, никеля и кобальта.

Важность источника излучения полости Люммера и Курлбаума заключалась в том, что это был экспериментально доступный источник излучения черного тела, в отличие от излучения от просто экспонированного раскаленного твердого тела, которое было ближайшим доступным экспериментальным приближением к излучению черного тела более подходящий диапазон температур. Просто экспонированные раскаленные твердые тела, которые использовались ранее, испускали излучение с отклонениями от спектра черного тела, что делало невозможным определение истинного спектра черного тела в экспериментах.

Взгляды Планка, предшествовавшие эмпирическим фактам, привели его к выводу своего окончательного закона

Планк впервые обратил свое внимание на проблему излучения черного тела в 1897 году. Теоретический и эмпирический прогресс позволил Люммеру и Прингсхейму написать в 1899 году, что имеющиеся экспериментальные данные приблизительно соответствуют определенному закону интенсивности Cλ −5 e - c ⁄ λT, где C и c обозначают константы, измеряемые эмпирически, и где λ и T обозначают длину волны и температуру соответственно. По теоретическим причинам Планк в то время принял эту формулировку, которая имеет эффективную отсечку коротких волн.

Густав Кирхгоф был учителем Макса Планка и предположил, что существует универсальный закон для излучения черного тела, и это называлось «проблемой Кирхгофа». Планк, теоретик, полагал, что Вильгельм Вин открыл этот закон, и Планк расширил работу Вена, представив его в 1899 году на собрании Немецкого физического общества. Экспериментаторы Отто Люммер, Фердинанд Курлбаум, Эрнст Прингсхайм-старший и Генрих Рубенс провели эксперименты, которые, по-видимому, подтвердили закон Вина, особенно на более высоких частотах коротких волн, которые Планк так полностью одобрил в Немецком физическом обществе, что его стали называть законом Вина-Планка.. Однако к сентябрю 1900 года экспериментаторы вне всякого сомнения доказали, что закон Вейна-Планка не работает на более длинных волнах. Они представят свои данные 19 октября. Планку сообщил его друг Рубенс, и он быстро создал формулу в течение нескольких дней. В июне того же года лорд Рэли создал формулу, которая будет работать для коротких низкочастотных волн на основе широко принятой теории равнораспределения. Итак, Планк представил формулу, объединяющую закон Рэли (или аналогичную теорию равнораспределения) и закон Вина, который будет взвешиваться по тому или иному закону в зависимости от длины волны, чтобы соответствовать экспериментальным данным. Однако, хотя это уравнение работало, сам Планк сказал, что до тех пор, пока он не сможет объяснить формулу, полученную из «удачной интуиции», в один из «истинных значений» в физике, оно не имело бы истинного значения. Планк объяснил, что после этого последовала самая тяжелая работа в его жизни. Планк не верил в атомы и не считал, что второй закон термодинамики должен быть статистическим, потому что вероятность не дает абсолютного ответа, а закон энтропии Больцмана опирался на гипотезу атомов и был статистическим. Но Планк не смог найти способ согласовать свое уравнение Черного тела с непрерывными законами, такими как волновые уравнения Максвелла. Итак, в том, что Планк назвал «актом отчаяния», он обратился к атомному закону энтропии Больцмана, поскольку это был единственный закон, заставивший его уравнение работать. Поэтому он использовал постоянную Больцмана k и свою новую постоянную h для объяснения закона излучения Черного тела, который стал широко известен благодаря его опубликованной статье.

Нахождение эмпирического закона

Макс Планк представил свой закон 19 октября 1900 г. как усовершенствование приближения Вина, опубликованного в 1896 г. Вильгельмом Вином, которое соответствовало экспериментальным данным на коротких волнах (высоких частотах), но отклонялось от них на длинных волнах (низких частотах). В июне 1900 года, исходя из эвристических теоретических соображений, Рэлей предложил формулу, которую он предложил проверить экспериментально. Было высказано предположение, что универсальная функция Стюарта – Кирхгофа может иметь вид c 1 Tλ −4 exp (-c 2/λT). Это не была знаменитая формула Рэлея – Джинса 8π k B Tλ −4, которая не появлялась до 1905 года, хотя она действительно сводилась к последней для длинных волн, которые здесь актуальны. Согласно Кляйну, можно предположить, что вполне вероятно, что Планк видел это предположение, хотя он не упоминал о нем в своих статьях 1900 и 1901 годов. Планк знал о различных других предложенных формулах, которые были предложены. 7 октября 1900 года Рубенс сказал Планку, что в дополнительной области (длинноволновая, низкая частота) и только там формула Рэлея 1900 года хорошо соответствует наблюдаемым данным.

Для длинных волн эвристическая формула Рэлея 1900 года приблизительно означала, что энергия пропорциональна температуре, U λ = const. T. Известно, чтоdS/dU λ знак равно 1/Т и это приводит к dS/dU λ знак равно const./U λ и оттуда в d 2S/dU λ 2 = -const./U λ 2для длинных волн. Но для коротких волн формула Вина приводит к1/Т= - const. ln U λ + const. и оттуда вd 2S/dU λ 2 = - const./U λдля коротких волн. Планк, возможно, соединил эти две эвристические формулы для длинных и коротких волн, чтобы получить формулу

d 2 S d U λ 2 = α U λ ( β + U λ ) . {\displaystyle {\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}={\frac {\alpha }{U_{\lambda }(\beta +U_{\lambda })}}.}

Это привело Планка к формуле

B λ ( T ) = C λ 5 e c λ T 1 , {\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{\frac {c}{\lambda T}}-1}},}

где Планк использовал символы C и c для обозначения эмпирических констант подгонки.

Планк отправил этот результат Рубенсу, который сравнил его с данными наблюдений его и Курлбаума и обнаружил, что он замечательно подходит для всех длин волн. 19 октября 1900 г. Рубенс и Курлбаум кратко сообщили о соответствии данных, а Планк добавил краткое изложение, чтобы дать теоретический набросок для объяснения своей формулы. В течение недели Рубенс и Курлбаум представили более полный отчет о своих измерениях, подтверждающий закон Планка. Их метод спектрального разрешения более длинноволнового излучения был назван методом остаточных лучей. Лучи многократно отражались от полированных кристаллических поверхностей, и лучи, прошедшие весь процесс, были «остаточными» и имели длину волны, предпочтительно отраженную кристаллами из подходящих материалов.

Пытаясь найти физическое объяснение закона

См. Также: Соотношение Планка – Эйнштейна

Как только Планк открыл эмпирически подобранную функцию, он построил физический вывод этого закона. Его мысли были связаны с энтропией, а не с температурой. Планк рассматривал полость с идеально отражающими стенками; полость содержала конечное число гипотетических хорошо разделенных и узнаваемых, но идентично составленных, резонансных колебательных тел определенной величины, по несколько таких осцилляторов на каждой из конечного числа характерных частот. Гипотетические осцилляторы были для Планка чисто воображаемыми теоретическими исследовательскими зондами, и он сказал о них, что такие осцилляторы не обязательно должны «действительно существовать где-то в природе, при условии, что их существование и их свойства согласуются с законами термодинамики и электродинамики». Планк не придавал какой-либо определенной физической значимости своей гипотезе о резонансных осцилляторах, а, скорее, предложил ее как математический аппарат, который позволил ему вывести единое выражение для спектра черного тела, которое соответствовало бы эмпирическим данным на всех длинах волн. Он предварительно упомянул о возможной связи таких осцилляторов с атомами. В некотором смысле осцилляторы соответствовали углеродной крупинке Планка; размер пятнышка может быть небольшим независимо от размера полости, при условии, что пятнышко эффективно преобразовывает энергию между излучательными модами с длиной волны.

Частично следуя эвристическому методу расчета, впервые примененному Больцманом для молекул газа, Планк рассмотрел возможные способы распределения электромагнитной энергии по различным режимам своих гипотетических осцилляторов заряженного материала. Это принятие вероятностного подхода после Больцмана для Планка было радикальным изменением его прежней позиции, которая до того времени сознательно выступала против такого мышления, предложенного Больцманом. По словам Планка, «я считал [квантовую гипотезу] чисто формальным предположением и особо не задумывался над этим, кроме одного: что я получил положительный результат при любых обстоятельствах и любой ценой». Эвристически Больцман не распределил энергию в произвольном просто математическом кванте е, который он приступал сделать стремится к нулю по величине, так как конечная величина ε служила только для обеспечения определенного подсчета ради математического вычисления вероятностей, и не имел физическое значение. Ссылаясь на новую универсальную константу природы h, Планк предположил, что в нескольких осцилляторах каждой из конечного числа характеристических частот полная энергия распределяется между каждым в целочисленном кратном определенной физической единице энергии,, а не произвольно, как в методе Больцмана, но теперь для Планка, в новом подходе, характерном для соответствующей характеристической частоты. Его новая универсальная константа природы h теперь известна как постоянная Планка.

Далее Планк объяснил, что соответствующая определенная единица,, энергии должна быть пропорциональна соответствующей характеристической частоте колебаний ν гипотетического осциллятора, и в 1901 году он выразил это с помощью константы пропорциональности h:

ϵ = h ν . {\displaystyle \epsilon =h\nu.}

Планк не предлагал квантовать свет, распространяющийся в свободном пространстве. Идея квантования свободного электромагнитного поля была развита позже и в конечном итоге вошла в то, что мы теперь знаем как квантовую теорию поля.

В 1906 году Планк признал, что его воображаемые резонаторы, имеющие линейную динамику, не обеспечивают физического объяснения преобразования энергии между частотами. Современная физика, вслед за Эйнштейном, объясняет преобразование частот в присутствии атомов их квантовой возбудимостью. Планк считал, что в полости с идеально отражающими стенками и без материи электромагнитное поле не может обмениваться энергией между частотными компонентами. Это происходит из-за линейности из уравнений Максвелла. Современная квантовая теория поля предсказывает, что в отсутствие вещества электромагнитное поле подчиняется нелинейным уравнениям и в этом смысле само взаимодействует. Такое взаимодействие в отсутствие вещества еще не было измерено напрямую, потому что для этого потребуются очень высокие интенсивности и очень чувствительные и малошумящие детекторы, которые все еще находятся в процессе создания. Планк считал, что поле без взаимодействий не подчиняется и не нарушает классический принцип равнораспределения энергии, а вместо этого остается точно таким, каким оно было при введении, а не превращается в поле черного тела. Таким образом, линейность его механических предположений помешала Планку иметь механическое объяснение максимизации энтропии термодинамического равновесного поля теплового излучения. Вот почему ему пришлось прибегнуть к вероятностным аргументам Больцмана. Некоторые недавние предложения о возможном физическом объяснении постоянной Планка предполагают, что, следуя духу де Бройля дуальности волна-частица, если рассматривать излучение как волновой пакет, постоянная Планка определяется физическими свойствами вакуума и критическая величина возмущения в электромагнитном поле.

Закон Планка можно рассматривать как выполнение предсказания Густава Кирхгофа о том, что его закон теплового излучения имеет наивысшее значение. В своем зрелом изложении своего собственного закона Планк предложил тщательное и подробное теоретическое доказательство закона Кирхгофа, теоретическое доказательство которого до тех пор иногда обсуждалось, отчасти потому, что, как говорили, он полагался на нефизические теоретические объекты, такие как идеально поглощающая бесконечно бесконечная теория Кирхгофа. тонкая черная поверхность.

Последующие события

Он не был до пяти лет после того, как Планк сделал свое эвристическое предположение абстрактных элементов энергии или действий, которые Альберт Эйнштейн задуманной реально существующих квантов света в 1905 году в качестве революционного объяснения излучения черного тела, фотолюминесценции, из фотоэлектрического эффекта, и об ионизации газов ультрафиолетом. В 1905 году «Эйнштейн считал, что теорию Планка нельзя заставить согласиться с идеей световых квантов, и эту ошибку он исправил в 1906 году». Вопреки представлениям Планка того времени, Эйнштейн предложил модель и формулу, согласно которым свет излучался, поглощался и распространялся в свободном пространстве в виде квантов энергии, локализованных в точках пространства. В качестве введения к своим рассуждениям Эйнштейн резюмировал планковскую модель гипотетических резонансных материальных электрических осцилляторов как источников и поглотителей излучения, но затем он предложил новый аргумент, не связанный с этой моделью, но частично основанный на термодинамическом аргументе Вина, в котором формула ϵ = hν роли не играет. Эйнштейн дал энергетическое содержание таких квантов в видеRβν/N. Таким образом, Эйнштейн противоречил волновой теории света, которой придерживался Планк. В 1910 году, критикуя рукопись, присланную ему Планком, зная, что Планк был стойким сторонником специальной теории относительности Эйнштейна, Эйнштейн написал Планку: «Мне кажется абсурдным иметь непрерывное распределение энергии в пространстве без использования эфира».

Согласно Томасу Куну, только в 1908 году Планк более или менее принял часть аргументов Эйнштейна в пользу физической в ​​отличие от абстрактной математической дискретности в физике теплового излучения. Еще в 1908 году, рассматривая предложение Эйнштейна о квантовом распространении, Планк высказал мнение, что в таком революционном шаге, возможно, нет необходимости. До этого момента Планк был последовательным в том, что дискретность квантов действия нельзя найти ни в его резонансных осцилляторах, ни в распространении теплового излучения. Кун писал, что в более ранних работах Планка и в его монографии 1906 года нет «упоминания о разрыве, [ни] разговоров об ограничении энергии осциллятора [ни] какой-либо формулы типа U = nhν ». Кун указал, что его изучение работ Планка 1900 и 1901 годов и его монографии 1906 года привело его к «еретическим» выводам, вопреки широко распространенным предположениям тех, кто рассматривал сочинения Планка только с точки зрения более поздних, анахронических, точки зрения. Выводы Куна, относящиеся к периоду до 1908 года, когда Планк последовательно придерживался своей «первой теории», были приняты другими историками.

Во втором издании своей монографии в 1912 году Планк поддержал свое несогласие с предложением Эйнштейна о квантах света. Он довольно подробно предположил, что поглощение света его виртуальными материальными резонаторами может быть непрерывным, происходящим с постоянной скоростью в состоянии равновесия, в отличие от квантового поглощения. Только излучение было квантовым. Иногда это называли «второй теорией» Планка.

Лишь в 1919 году Планк в третьем издании своей монографии более или менее принял его «третью теорию», согласно которой как излучение, так и поглощение света являются квантовыми.

Яркий термин « ультрафиолетовая катастрофа » был дан Полем Эренфестом в 1911 году для парадоксального результата, заключающегося в том, что полная энергия в полости стремится к бесконечности, когда теорема о равнораспределении классической статистической механики (ошибочно) применяется к излучению черного тела. Но это не было частью мышления Планка, потому что он не пытался применить доктрину равнораспределения: когда он сделал свое открытие в 1900 году, он не заметил никакой «катастрофы». Впервые он был отмечен лордом Рэли в 1900 году, а затем в 1901 году сэром Джеймсом Джинсом ; а позже, в 1905 году, Эйнштейном, когда он хотел поддержать идею о том, что свет распространяется в виде дискретных пакетов, позже названных «фотонами», а также Рэлея и Джинса.

В 1913 г. Бор дал другую формулу с еще и другим физическим смыслом для величины hν. В отличие от формул Планка и Эйнштейна, формула Бора явно и категорически относится к энергетическим уровням атомов. Формула Бора была W τ 2 - W τ 1 = hν, где W τ 2 и W τ 1 обозначают уровни энергии квантовых состояний атома с квантовыми числами τ 2 и τ 1. Символ ν обозначает частоту кванта излучения, который может испускаться или поглощаться, когда атом проходит между этими двумя квантовыми состояниями. В отличие от модели Планка, частота не имеет непосредственного отношения к частотам, которые могли бы описывать сами эти квантовые состояния. ν {\displaystyle \nu }

Позже, в 1924 году, Сатьендра Нат Бозе разработал теорию статистической механики фотонов, которая позволила теоретически вывести закон Планка. Настоящее слово «фотон» было изобретено еще позже, Г. Н. Льюисом в 1926 году, который ошибочно полагал, что фотоны сохраняются, вопреки статистике Бозе-Эйнштейна; тем не менее слово «фотон» было принято, чтобы выразить постулат Эйнштейна о пакетной природе распространения света. В электромагнитном поле, изолированном в вакууме в сосуде с идеально отражающими стенками, как это рассматривал Планк, действительно фотоны будут сохраняться в соответствии с моделью Эйнштейна 1905 года, но Льюис имел в виду поле фотонов, рассматриваемое как система, замкнутая с по отношению к весомой материи, но открытому для обмена электромагнитной энергией с окружающей системой весомой материи, и он ошибочно предположил, что фотоны все еще сохраняются, сохраняются внутри атомов.

В конце концов, закон Планка о излучении черного тела внес вклад в концепцию Эйнштейна о квантах света, несущих линейный импульс, которая стала фундаментальной основой для развития квантовой механики.

Вышеупомянутая линейность механических предположений Планка, не учитывающая энергетических взаимодействий между частотными компонентами, была заменена в 1925 году оригинальной квантовой механикой Гейзенберга. В его статье, представленной 29 июля 1925 года, теория Гейзенберга объясняла вышеупомянутую формулу Бора 1913 года. Она допускала нелинейные осцилляторы в качестве моделей квантовых состояний атома, позволяя в некоторых случаях энергетическое взаимодействие между их собственными множественными внутренними дискретными частотными компонентами Фурье. излучения или поглощения квантов излучения. Частота кванта излучения была частотой определенной связи между внутренними атомными метастабильными колебательными квантовыми состояниями. В то время Гейзенберг ничего не знал о матричной алгебре, но Макс Борн прочитал рукопись статьи Гейзенберга и признал матричный характер теории Гейзенберга. Затем Борн и Джордан опубликовали явно матричную теорию квантовой механики, основанную на исходной квантовой механике Гейзенберга, но по форме явно отличную от нее; именно матричную теорию Борна и Жордана сегодня называют матричной механикой. Объяснение Гейзенбергом осцилляторов Планка как нелинейных эффектов, очевидных как фурье-моды переходных процессов испускания или поглощения излучения, показало, почему осцилляторы Планка, рассматриваемые как устойчивые физические объекты, которые можно было бы представить в классической физике, не давали адекватных результатов. объяснение явлений.

В настоящее время в качестве выражения энергии кванта света часто встречается формула E = ħω, где ħ =час/2π, а ω = 2π ν обозначает угловую частоту, реже эквивалентную формулу E = hν. Это утверждение о реально существующем и распространяющемся кванте света, основанное на теории Эйнштейна, имеет физический смысл, отличный от приведенного выше утверждения Планка ϵ = hν об абстрактных единицах энергии, которые должны быть распределены между его гипотетическими резонансными материальными осцилляторами.

Статья Хельге Краг, опубликованная в Physics World, описывает эту историю.

Смотрите также

использованная литература

Библиография

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-04-05 07:39:28
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте