Спектральный индекс

редактировать

В астрономии спектральный индекс источника является мерой зависимости плотности потока излучения ( есть поток излучения на единицу частоты) на частоте. При заданной частоте $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ и поток излучения плотность $S ν {\ displaystyle S _ {\ nu}}$ $S _ {\ nu}$ , спектральный индекс $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ неявно задается как

S ν ∝ ν α. {\ displaystyle S _ {\ nu} \ propto \ nu ^ {\ alpha}.}

{\ displaystyle S _ {\ nu} \ propto \ nu ^ {\ alpha}.}

Обратите внимание, что если поток не подчиняется степенному закону по частоте, спектральный индекс сам является функцией частоты. Изменив вышеизложенное, мы видим, что спектральный индекс определяется как

α (ν) = ∂ log ⁡ S ν (ν) ∂ log ⁡ ν. {\ displaystyle \ alpha \! \ left (\ nu \ right) = {\ frac {\ partial \ log S _ {\ nu} \! \ left (\ nu \ right)} {\ partial \ log \ nu}}. }

{\ displaystyle \ alpha \! \ left (\ nu \ right) = {\ frac {\ partial \ log S _ {\ nu} \! \ left (\ nu \ right)} {\ partial \ log \ nu}}.}

Очевидно, что степенной закон может применяться только в определенном диапазоне частот, потому что в противном случае интеграл по всем частотам был бы бесконечным.

Спектральный индекс также иногда определяется в терминах длины волны $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ . В этом случае спектральный индекс $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ неявно задается как

S λ ∝ λ α, {\ displaystyle S _ {\ lambda} \ propto \ lambda ^ { \ alpha},}

{\ displaystyle S _ {\ lambda} \ propto \ lambda ^ {\ alpha},}

и на данной частоте спектральный индекс может быть вычислен, взяв производную

α (λ) = ∂ log ⁡ S λ (λ) ∂ log ⁡ λ. {\ displaystyle \ alpha \! \ left (\ lambda \ right) = {\ frac {\ partial \ log S _ {\ lambda} \! \ left (\ lambda \ right)} {\ partial \ log \ lambda}}. }

{\ displaystyle \ alpha \! \ left (\ lambda \ right) = {\ frac {\ partial \ log S _ {\ lambda} \! \ left (\ lambda \ right)} {\ partial \ log \ lambda}}.}

Спектральный индекс с использованием $S ν {\ displaystyle S _ {\ nu}}$ $S _ {\ nu}$ , который мы можем назвать $α ν, {\ displaystyle \ alpha _ {\ nu},}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {\ nu},}$ отличается от индекса $α λ {\ displaystyle \ alpha _ {\ lambda}}$ $\ alpha _ {\ lambda}$ , определенного с помощью $S λ. {\ displaystyle S _ {\ lambda}.}$ ${\ displ aystyle S _ {\ lambda}.}$ Суммарный поток между двумя частотами или длинами волн равен

S = C 1 (ν 2 α ν + 1 - ν 1 α ν + 1) = C 2 (λ 2 α λ + 1 - λ 1 α λ + 1) знак равно с α λ + 1 C 2 (ν 2 - α λ - 1 - ν 1 - α λ - 1) {\ Displaystyle S = C_ {1} ( \ nu _ {2} ^ {\ alpha _ {\ nu} +1} - \ nu _ {1} ^ {\ alpha _ {\ nu} +1}) = C_ {2} (\ lambda _ {2} ^ {\ alpha _ {\ lambda} +1} - \ lambda _ {1} ^ {\ alpha _ {\ lambda} +1}) = c ^ {\ alpha _ {\ lambda} +1} C_ {2} (\ nu _ {2} ^ {- \ alpha _ {\ lambda} -1} - \ nu _ {1} ^ {- \ alpha _ {\ lambda} -1})}

{\ displaystyle S = C_ {1} (\ nu _ {2} ^ {\ alpha _ { \ nu} +1} - \ nu _ {1} ^ {\ alpha _ {\ nu} +1}) = C_ {2} (\ lambda _ {2} ^ {\ alpha _ {\ lambda} +1} - \ lambda _ {1} ^ {\ alpha _ {\ lambda} +1}) = c ^ {\ alpha _ {\ lambda} +1} C_ {2} (\ nu _ {2} ^ {- \ alpha _ {\ lambda} -1} - \ nu _ {1} ^ {- \ alpha _ {\ lambda} -1})}

что означает, что

α λ = - α ν - 2. {\ displaystyle \ alpha _ {\ lambda} = - \ alpha _ {\ nu} -2.}

{\ displaystyle \ alpha _ {\ lambda} = - \ alpha _ {\ nu} -2.}

Иногда применяется соглашение о противоположном знаке, в котором спектральный индекс равен задается формулой

S ν ∝ ν - α. {\ displaystyle S _ {\ nu} \ propto \ nu ^ {- \ alpha}.}

{\ displaystyle S _ {\ nu} \ propto \ nu ^ {- \ alpha}.}

Спектральный индекс источника может указывать на его свойства. Например, согласно положительному знаку, спектральный индекс излучения оптически тонкой термической плазмы равен -0,1, тогда как для оптически толстой плазмы он равен 2. Поэтому спектральный индекс от -0,1 до 2 на радиочастотах часто указывает на тепловое излучение, тогда как крутой отрицательный спектральный индекс обычно указывает на синхротронное излучение. Стоит отметить, что на наблюдаемое излучение могут влиять несколько процессов поглощения, которые больше всего влияют на низкочастотное излучение; уменьшение наблюдаемого излучения на низких частотах может привести к положительному спектральному индексу, даже если собственное излучение имеет отрицательный индекс. Поэтому связать положительные спектральные индексы с тепловым излучением непросто.

Спектральный показатель теплового излучения

На радиочастотах (т.е. в низкочастотном и длинноволновом пределе), где закон Рэлея – Джинса является хорошим приближением Для спектра теплового излучения интенсивность определяется как

B ν (T) ≃ 2 ν 2 k T c 2. {\ displaystyle B _ {\ nu} (T) \ simeq {\ frac {2 \ nu ^ {2} kT} {c ^ {2}}}.}

B _ {\ nu} (T) \ simeq {\ гидроразрыва {2 \ ню ^ {2} kT} {c ^ {2}}}.

Логарифм каждой стороны и вычисление частной производной относительно $журнала ν {\ displaystyle \ log \, \ nu}$ $\ log \, \ nu$ дает

∂ log ⁡ B ν (T) ∂ log ⁡ ν ≃ 2. {\ displaystyle {\ frac { \ partial \ log B _ {\ nu} (T)} {\ partial \ log \ nu}} \ simeq 2.}

{\ frac {\ partial \ log B _ {\ nu} (T)} {\ partial \ log \ nu}} \ simeq 2.

Таким образом, согласно положительному знаку, спектральный индекс теплового излучения равен $α ≃ 2 {\ displaystyle \ alpha \ simeq 2}$ $\ alpha \ simeq 2$ в режиме Рэлея – Джинса. Спектральный индекс отклоняется от этого значения на более коротких длинах волн, для которых закон Рэлея-Джинса становится все более неточным приближением, стремясь к нулю, когда интенсивность достигает пика на частоте, задаваемой законом смещения Вина. Из-за простой температурной зависимости потока излучения в режиме Рэлея – Джинса, радиоспектральный индекс неявно определяется как

S ∝ ν α T. {\ displaystyle S \ propto \ nu ^ {\ alpha} T.}

S \ propto \ nu ^ {{\ alpha}} T.

Ссылки