Закон смещения Вина

редактировать
Не путать с законом распределения Вина.

Излучение черного тела в зависимости от длины волны для различных температур. Каждая температурная кривая имеет пики на разной длине волны, и закон Вина описывает сдвиг этого пика.

Закон смещения Вина гласит, что кривая излучения черного тела для разных температур будет иметь максимум на разных длинах волн, которые обратно пропорциональны температуре. Смещение этого пика является прямым следствием закона излучения Планка, который описывает спектральную яркость излучения черного тела как функцию длины волны при любой заданной температуре. Однако это было обнаружено Вильгельмом Вином за несколько лет до того, как Макс Планк разработал это более общее уравнение, и оно описывает полный сдвиг спектра излучения черного тела в сторону более коротких волн при повышении температуры.

Формально закон смещения Вина гласит, что спектральная яркость излучения черного тела на единицу длины волны достигает пика на длине волны λ пика, определяемой по формуле:

λ пик знак равно б Т {\ displaystyle \ lambda _ {\ text {peak}} = {\ frac {b} {T}}}

где T - абсолютная температура. b - константа пропорциональности, называемая константой смещения Вина, равная2,897 771 955... × 10 -3  m⋅K, или б ≈ 2898 μm⋅K. Это обратная зависимость между длиной волны и температурой. Таким образом, чем выше температура, тем короче или меньше длина волны теплового излучения. Чем ниже температура, тем длиннее или больше длина волны теплового излучения. Что касается видимого излучения, то горячие предметы излучают более синий свет, чем холодные. Если кто-то рассматривает пик излучения черного тела на единицу частоты или на пропорциональную полосу пропускания, необходимо использовать другую константу пропорциональности. Однако форма закона остается той же: длина волны пика обратно пропорциональна температуре, а частота пика прямо пропорциональна температуре.

Закон смещения Вина можно назвать «законом Вина», термин, который также используется для аппроксимации Вина.

СОДЕРЖАНИЕ
  • 1 Примеры
  • 2 Открытие
  • 3 Частотно-зависимая формулировка
  • 4 Вывод из закона Планка
    • 4.1 Параметрирование по частоте
    • 4.2 Максимумы различаются в зависимости от параметризации
  • 5 См. Также
  • 6 Примечания
  • 7 ссылки
  • 8 Дальнейшее чтение
  • 9 Внешние ссылки
Примеры

Закон смещения Вина применим к некоторым повседневным переживаниям:

  • Кусок металла, нагретый паяльной лампой, сначала становится «раскаленным докрасна», так как самые длинные видимые длины волн кажутся красными, затем становится более оранжево-красным при повышении температуры, и при очень высоких температурах он будет описан как «раскаленный добела», как все более и более короткие длины волн становятся преобладающими в спектре излучения черного тела. Еще до того, как он достиг температуры раскаленного докрасна, тепловое излучение происходило в основном в более длинных инфракрасных длинах волн, которые не видны; тем не менее, это излучение можно было почувствовать, поскольку оно согревает близлежащую кожу.
  • Можно легко заметить изменение цвета лампы накаливания (которая излучает свет за счет теплового излучения), когда температура ее нити изменяется с помощью диммера. По мере того, как свет тускнеет и температура нити накала уменьшается, распределение цвета смещается в сторону более длинных волн, и свет кажется более красным, а также более тусклым.
  • Дровяной огонь при температуре 1500 К тушит пиковое излучение с длиной волны около 2000 нм. 98% его излучения приходится на длины волн более 1000 нм и лишь малая часть - на видимые длины волн (390–700 нм). Следовательно, костер может согреться, но является плохим источником видимого света.
  • Эффективная температура Солнца составляет 5778 К. Используя закон Вина, можно найти пиковое излучение на нанометр (длины волны) на длине волны около 500 нм, в зеленой части спектра около максимальной чувствительности человеческого глаза. С другой стороны, с точки зрения мощности на единицу оптической частоты, пиковое излучение Солнца составляет 343 ТГц или длину волны 883 нм в ближнем инфракрасном диапазоне. Что касается мощности, приходящейся на процентную полосу пропускания, пик приходится на длину волны красного цвета около 635 нм. Независимо от того, как вы хотите построить спектр, примерно половина солнечного излучения имеет длину волны короче 710 нм, что примерно соответствует пределу человеческого зрения. Из них около 12% приходится на длины волн короче 400 нм, ультрафиолетовые волны, невидимые невооруженным глазом. Можно понять, что довольно большое количество солнечного излучения попадает в довольно небольшой видимый спектр.
Цвет звезды определяется ее температурой согласно закону Вина. В созвездии Ориона можно сравнить Бетельгейзе ( T  ≈ 3300 K, вверху слева), Ригель ( T  = 12100 K, внизу справа), Bellatrix ( T  = 22000 K, вверху справа) и Минтаку ( T  = 31800 K, крайняя правая из 3 "звездочек пояса" посередине).
  • Однако преобладание излучения в видимом диапазоне не наблюдается у большинства звезд. Горячий сверхгигант Ригель излучает 60% своего света в ультрафиолете, а холодный сверхгигант Бетельгейзе излучает 85% своего света в инфракрасном диапазоне. Обе звезды видны в созвездии Ориона, поэтому можно легко оценить разницу в цвете между бело-голубым Ригелем ( T  = 12100 K) и красной Бетельгейзе ( T  ≈ 3300 K). Хотя немногие звезды имеют такую ​​температуру, как Ригель, звезды холоднее Солнца или даже такие холодные, как Бетельгейзе, очень распространены.
  • Млекопитающие с температурой кожи около 300 К излучают пиковое излучение около 10 мкм в дальней инфракрасной области. Следовательно, это диапазон длин волн инфракрасного излучения, который должны воспринимать змеи гадюки и пассивные ИК-камеры.
  • При сравнении видимого цвета источников освещения (включая люминесцентные лампы, светодиодное освещение, компьютерные мониторы и фотовспышки ) принято указывать цветовую температуру. Хотя спектры таких источников света неточно описываются кривой излучения черного тела, указана цветовая температура, при которой излучение черного тела наиболее точно соответствует субъективному цвету этого источника. Например, сине-белый флуоресцентный свет, который иногда используется в офисе, может иметь цветовую температуру 6500 K, тогда как красноватый оттенок тусклого света накаливания может иметь цветовую температуру (и фактическую температуру нити накала) 2000 K. Обратите внимание, что неформальное описание первого (голубоватого) цвета как «холодного», а второго (красноватого) как «теплого» прямо противоположно фактическому изменению температуры, связанному с излучением черного тела.
Открытие

Закон назван в честь Вильгельма Вина, который вывел его в 1893 году на основе термодинамического аргумента. Вин рассмотрел адиабатическое расширение полости, содержащей световые волны в тепловом равновесии. Он показал, что при медленном расширении или сжатии энергия света, отражающегося от стен, изменяется точно так же, как и частота. Общий принцип термодинамики состоит в том, что состояние теплового равновесия при очень медленном расширении остается в состоянии теплового равновесия.

Сам Вин вывел этот закон теоретически в 1893 году, следуя термодинамическим соображениям Больцмана. Ранее это наблюдалось, по крайней мере полуколичественно, американским астрономом Лэнгли. Этот сдвиг вверх νmax с T знаком каждому - когда железо нагревается в огне, первое видимое излучение (около 900 К) становится темно-красным, видимым светом с самой низкой частотой. Дальнейшее увеличение T вызывает изменение цвета на оранжевый, затем на желтый и, наконец, на синий при очень высоких температурах (10 000 К или более), при которых пик интенсивности излучения выходит за пределы видимого диапазона в ультрафиолет.

Адиабатический принцип позволил Вину сделать вывод, что для каждой моды адиабатическая инвариантная энергия / частота является только функцией другого адиабатического инварианта, частоты / температуры. Современный вариант вывода Вина можно найти в учебнике Ванье и в статье Э. Бэкингема.

Следствием этого является то, что форма функции излучения черного тела (которая еще не была понята) будет сдвигаться пропорционально по частоте (или обратно пропорционально по длине волны) с температурой. Когда Макс Планк позже сформулировал правильную функцию излучения черного тела, она не включила в явном виде постоянную Вина b. Скорее, постоянная Планка h была создана и введена в его новую формулу. Постоянная Вина b может быть получена из постоянной Планка h и постоянной Больцмана k.

Частотно-зависимая формулировка

Для спектрального потока, учитываемого на единицу частотыгерцах ), закон смещения Вина описывает пиковое излучение на оптической частоте, определяемой следующим образом: d ν {\ displaystyle d \ nu} ν пик {\ displaystyle \ nu _ {\ text {пик}}}

ν пик знак равно α час k Т ( 5,879 × 10 10   ЧАС z / K ) Т {\ displaystyle \ nu _ {\ text {peak}} = {\ alpha \ over h} kT \ приблизительно (5,879 \ times 10 ^ {10} \ mathrm {Hz / K}) \ cdot T}

или эквивалентно

час ν пик знак равно α k Т ( 2,431 × 10 - 4   е V / K ) Т {\ Displaystyle ч \ ню _ {\ текст {пик}} = \ альфа кТ \ приблизительно (2,431 \ раз 10 ^ {- 4} \ \ mathrm {эВ / К}) \ cdot T}

где α ≈2,821 439 372 122 078 893... - константа, полученная из уравнения максимизации, k - постоянная Больцмана, h - постоянная Планка, а T - температура (в градусах Кельвина ). Теперь, когда излучение учитывается на единицу частоты, этот пик теперь соответствует длине волны на 70% длиннее, чем пик, рассматриваемый на единицу длины волны. Соответствующая математика подробно описана в следующем разделе.

Вывод из закона Планка

Закон Планка для спектра излучения черного тела предсказывает закон смещения Вина и может использоваться для численной оценки постоянной, относящейся к температуре и пиковому значению параметра для любой конкретной параметризации. Обычно используется параметризация длины волны, и в этом случае спектральная яркость черного тела (мощность на излучающую площадь на телесный угол) составляет:

ты λ ( λ , Т ) знак равно 2 час c 2 λ 5 1 е час c / λ k Т - 1 . {\ displaystyle u _ {\ lambda} (\ lambda, T) = {2hc ^ {2} \ over \ lambda ^ {5}} {1 \ over e ^ {hc / \ lambda kT} -1}.}

Дифференцируя u (λ, T) по λ и полагая производную равной нулю, получаем:

ты λ знак равно 2 час c 2 ( час c k Т λ 7 е час c / λ k Т ( е час c / λ k Т - 1 ) 2 - 1 λ 6 5 е час c / λ k Т - 1 ) знак равно 0 , {\ displaystyle {\ partial u \ over \ partial \ lambda} = 2hc ^ {2} \ left ({hc \ over kT \ lambda ^ {7}} {e ^ {hc / \ lambda kT} \ over \ left ( e ^ {hc / \ lambda kT} -1 \ right) ^ {2}} - {1 \ over \ lambda ^ {6}} {5 \ over e ^ {hc / \ lambda kT} -1} \ right) = 0,}

который можно упростить и получить:

час c λ k Т е час c / λ k Т е час c / λ k Т - 1 - 5 знак равно 0. {\ displaystyle {hc \ over \ lambda kT} {e ^ {hc / \ lambda kT} \ over e ^ {hc / \ lambda kT} -1} -5 = 0.}

Определив:

Икс час c λ k Т , {\ Displaystyle х \ экв {НС \ над \ лямбда кТ},}

уравнение становится единым с единственной переменной x:

Икс е Икс е Икс - 1 - 5 знак равно 0. {\ displaystyle {xe ^ {x} \ over e ^ {x} -1} -5 = 0.}

что эквивалентно:

( Икс - 5 ) е Икс + 5 знак равно 0. {\ displaystyle (x-5) e ^ {x} + 5 = 0.}

Это уравнение легко решается численно методом Ньютона, что дает x =4.965 114 231 744 276 303... для точности с плавающей запятой двойной точности. Решение для длины волны λ в миллиметрах и использование температуры в градусах Кельвина дает:

λ пик = hc / xkT = (2,897 771 955 185 172 661... мм К) / Т.

Параметризация по частоте

Другая распространенная параметризация - по частоте. Вывод, дающий значение пикового параметра, аналогичен, но начинается с формы закона Планка как функции частоты ν:

ты ν ( ν , Т ) знак равно 2 час ν 3 c 2 1 е час ν / k Т - 1 . {\ displaystyle u _ {\ nu} (\ nu, T) = {2h \ nu ^ {3} \ over c ^ {2}} {1 \ over e ^ {h \ nu / kT} -1}.}

Предыдущий процесс с использованием этого уравнения дает:

- час ν k Т е час ν / k Т е час ν / k Т - 1 + 3 знак равно 0. {\ displaystyle - {h \ nu \ over kT} {e ^ {h \ nu / kT} \ over e ^ {h \ nu / kT} -1} + 3 = 0.}

Чистый результат:

( Икс - 3 ) е Икс + 3 знак равно 0. {\ displaystyle (x-3) e ^ {x} + 3 = 0.}

Это аналогично решается с помощью метода Ньютона, в результате чего x =2,821 439 372 122 078 893... для точности с плавающей запятой двойной точности. Аналитическое решение может быть получено с помощью W-функции Ламберта

Икс знак равно 3 + W ( 0 , - 3 е - 3 ) {\ displaystyle x = 3 + W (0, -3e ^ {- 3})}

Решение относительно ν дает:

ν пик = xkT / h = (0,058 789 257 576 468 249 46... ТГц К −1) Т.

Максимумы различаются в зависимости от параметризации

Обратите внимание, что для данной температуры параметризация по частоте подразумевает другую максимальную длину волны, чем параметризация по длине волны.

Например, используя T = 6000 K и параметризацию по длине волны, длина волны для максимальной спектральной яркости составляет λ = 482,962 нм с соответствующей частотой ν = 620,737 ТГц. Для той же температуры, но с параметризацией по частоте, частота максимальной спектральной яркости составляет ν = 352,735 ТГц с соответствующей длиной волны λ = 849,907 нм.

Эти функции представляют собой функции плотности яркости, которые представляют собой функции плотности вероятности, масштабированные для получения единиц яркости. Функция плотности имеет разные формы для разных параметризаций, в зависимости от относительного растяжения или сжатия абсциссы, которая измеряет изменение плотности вероятности относительно линейного изменения данного параметра. Поскольку длина волны и частота имеют обратную связь, они представляют собой существенно нелинейные сдвиги плотности вероятности относительно друг друга.

Полная яркость - это интеграл распределения по всем положительным значениям, и он инвариантен для данной температуры при любой параметризации. Кроме того, для данной температуры яркость, состоящая из всех фотонов между двумя длинами волн, должна быть одинаковой, независимо от того, какое распределение вы используете. Другими словами, интегрирование распределения длин волн от λ 1 до λ 2 приведет к тому же значению, что и интегрирование частотного распределения между двумя частотами, которые соответствуют λ 1 и λ 2, а именно от c / λ 2 до c / λ 1.. Однако форма распределения зависит от параметризации, и для другой параметризации распределение обычно будет иметь другую плотность пиков, как показывают эти расчеты.

Использование значения 4 для решения неявного уравнения дает пик в функции спектральной плотности яркости, выраженной в параметре яркость на пропорциональную ширину полосы. Возможно, это более интуитивный способ представления «длины волны пикового излучения». Это дает x =3.920 690 394 872 886 343... для точности с плавающей запятой двойной точности.

Однако важным моментом закона Вина является то, что любой такой маркер длины волны, включая среднюю длину волны (или, альтернативно, длину волны, ниже которой происходит любой указанный процент излучения), пропорционален температуре, обратной величине. То есть форма распределения для данной параметризации масштабируется и преобразуется в соответствии с температурой и может быть вычислена один раз для канонической температуры, а затем соответствующим образом сдвинута и масштабирована, чтобы получить распределение для другой температуры. Это следствие строгой формулировки закона Вина.

Смотрите также
Примечания
использованная литература
дальнейшее чтение
внешние ссылки
Последняя правка сделана 2023-03-21 11:15:31
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте