Закон смещения Вина гласит, что кривая излучения черного тела для разных температур будет иметь максимум на разных длинах волн, которые обратно пропорциональны температуре. Смещение этого пика является прямым следствием закона излучения Планка, который описывает спектральную яркость излучения черного тела как функцию длины волны при любой заданной температуре. Однако это было обнаружено Вильгельмом Вином за несколько лет до того, как Макс Планк разработал это более общее уравнение, и оно описывает полный сдвиг спектра излучения черного тела в сторону более коротких волн при повышении температуры.
Формально закон смещения Вина гласит, что спектральная яркость излучения черного тела на единицу длины волны достигает пика на длине волны λ пика, определяемой по формуле:
где T - абсолютная температура. b - константа пропорциональности, называемая константой смещения Вина, равная2,897 771 955... × 10 -3 m⋅K, или б ≈ 2898 μm⋅K. Это обратная зависимость между длиной волны и температурой. Таким образом, чем выше температура, тем короче или меньше длина волны теплового излучения. Чем ниже температура, тем длиннее или больше длина волны теплового излучения. Что касается видимого излучения, то горячие предметы излучают более синий свет, чем холодные. Если кто-то рассматривает пик излучения черного тела на единицу частоты или на пропорциональную полосу пропускания, необходимо использовать другую константу пропорциональности. Однако форма закона остается той же: длина волны пика обратно пропорциональна температуре, а частота пика прямо пропорциональна температуре.
Закон смещения Вина можно назвать «законом Вина», термин, который также используется для аппроксимации Вина.
Закон смещения Вина применим к некоторым повседневным переживаниям:
Закон назван в честь Вильгельма Вина, который вывел его в 1893 году на основе термодинамического аргумента. Вин рассмотрел адиабатическое расширение полости, содержащей световые волны в тепловом равновесии. Он показал, что при медленном расширении или сжатии энергия света, отражающегося от стен, изменяется точно так же, как и частота. Общий принцип термодинамики состоит в том, что состояние теплового равновесия при очень медленном расширении остается в состоянии теплового равновесия.
Сам Вин вывел этот закон теоретически в 1893 году, следуя термодинамическим соображениям Больцмана. Ранее это наблюдалось, по крайней мере полуколичественно, американским астрономом Лэнгли. Этот сдвиг вверх νmax с T знаком каждому - когда железо нагревается в огне, первое видимое излучение (около 900 К) становится темно-красным, видимым светом с самой низкой частотой. Дальнейшее увеличение T вызывает изменение цвета на оранжевый, затем на желтый и, наконец, на синий при очень высоких температурах (10 000 К или более), при которых пик интенсивности излучения выходит за пределы видимого диапазона в ультрафиолет.
Адиабатический принцип позволил Вину сделать вывод, что для каждой моды адиабатическая инвариантная энергия / частота является только функцией другого адиабатического инварианта, частоты / температуры. Современный вариант вывода Вина можно найти в учебнике Ванье и в статье Э. Бэкингема.
Следствием этого является то, что форма функции излучения черного тела (которая еще не была понята) будет сдвигаться пропорционально по частоте (или обратно пропорционально по длине волны) с температурой. Когда Макс Планк позже сформулировал правильную функцию излучения черного тела, она не включила в явном виде постоянную Вина b. Скорее, постоянная Планка h была создана и введена в его новую формулу. Постоянная Вина b может быть получена из постоянной Планка h и постоянной Больцмана k.
Для спектрального потока, учитываемого на единицу частоты (в герцах ), закон смещения Вина описывает пиковое излучение на оптической частоте, определяемой следующим образом:
или эквивалентно
где α ≈2,821 439 372 122 078 893... - константа, полученная из уравнения максимизации, k - постоянная Больцмана, h - постоянная Планка, а T - температура (в градусах Кельвина ). Теперь, когда излучение учитывается на единицу частоты, этот пик теперь соответствует длине волны на 70% длиннее, чем пик, рассматриваемый на единицу длины волны. Соответствующая математика подробно описана в следующем разделе.
Закон Планка для спектра излучения черного тела предсказывает закон смещения Вина и может использоваться для численной оценки постоянной, относящейся к температуре и пиковому значению параметра для любой конкретной параметризации. Обычно используется параметризация длины волны, и в этом случае спектральная яркость черного тела (мощность на излучающую площадь на телесный угол) составляет:
Дифференцируя u (λ, T) по λ и полагая производную равной нулю, получаем:
который можно упростить и получить:
Определив:
уравнение становится единым с единственной переменной x:
что эквивалентно:
Это уравнение легко решается численно методом Ньютона, что дает x =4.965 114 231 744 276 303... для точности с плавающей запятой двойной точности. Решение для длины волны λ в миллиметрах и использование температуры в градусах Кельвина дает:
Другая распространенная параметризация - по частоте. Вывод, дающий значение пикового параметра, аналогичен, но начинается с формы закона Планка как функции частоты ν:
Предыдущий процесс с использованием этого уравнения дает:
Чистый результат:
Это аналогично решается с помощью метода Ньютона, в результате чего x =2,821 439 372 122 078 893... для точности с плавающей запятой двойной точности. Аналитическое решение может быть получено с помощью W-функции Ламберта
Решение относительно ν дает:
Обратите внимание, что для данной температуры параметризация по частоте подразумевает другую максимальную длину волны, чем параметризация по длине волны.
Например, используя T = 6000 K и параметризацию по длине волны, длина волны для максимальной спектральной яркости составляет λ = 482,962 нм с соответствующей частотой ν = 620,737 ТГц. Для той же температуры, но с параметризацией по частоте, частота максимальной спектральной яркости составляет ν = 352,735 ТГц с соответствующей длиной волны λ = 849,907 нм.
Эти функции представляют собой функции плотности яркости, которые представляют собой функции плотности вероятности, масштабированные для получения единиц яркости. Функция плотности имеет разные формы для разных параметризаций, в зависимости от относительного растяжения или сжатия абсциссы, которая измеряет изменение плотности вероятности относительно линейного изменения данного параметра. Поскольку длина волны и частота имеют обратную связь, они представляют собой существенно нелинейные сдвиги плотности вероятности относительно друг друга.
Полная яркость - это интеграл распределения по всем положительным значениям, и он инвариантен для данной температуры при любой параметризации. Кроме того, для данной температуры яркость, состоящая из всех фотонов между двумя длинами волн, должна быть одинаковой, независимо от того, какое распределение вы используете. Другими словами, интегрирование распределения длин волн от λ 1 до λ 2 приведет к тому же значению, что и интегрирование частотного распределения между двумя частотами, которые соответствуют λ 1 и λ 2, а именно от c / λ 2 до c / λ 1.. Однако форма распределения зависит от параметризации, и для другой параметризации распределение обычно будет иметь другую плотность пиков, как показывают эти расчеты.
Использование значения 4 для решения неявного уравнения дает пик в функции спектральной плотности яркости, выраженной в параметре яркость на пропорциональную ширину полосы. Возможно, это более интуитивный способ представления «длины волны пикового излучения». Это дает x =3.920 690 394 872 886 343... для точности с плавающей запятой двойной точности.
Однако важным моментом закона Вина является то, что любой такой маркер длины волны, включая среднюю длину волны (или, альтернативно, длину волны, ниже которой происходит любой указанный процент излучения), пропорционален температуре, обратной величине. То есть форма распределения для данной параметризации масштабируется и преобразуется в соответствии с температурой и может быть вычислена один раз для канонической температуры, а затем соответствующим образом сдвинута и масштабирована, чтобы получить распределение для другой температуры. Это следствие строгой формулировки закона Вина.